作者:姚必巍; 沈新权 期刊:《中学数学研究》 2019年第11期
近年来全国高中数学联赛各赛区预赛试题和浙江省各地高考模拟题中,很多数列不等式问题都是在定积分背景下命制的,我们以此为载体对该类试题的命制手法进行研究,并基于此手法进行一些新题的命制.
2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题第10题: 已知正实数a,b满足a2+b2=1,且a3+b3+1=m(a+b+1)3,求m的取值范围.
作者:杨位先; 杨列敏 期刊:《中学数学教学参考》 2019年第07期
题目在直角坐标系xOy中,如图1所示,A,B与C,D分别是椭圆Γ:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点。设P,Q是Γ上位于第一象限,满足OQ∥AP,M是线段AP的中点,射线OM与Γ交于点R。证明:线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形。
作者:王恒亮 期刊:《河北理科教学研究》 2017年第03期
问题1△ABC中AB=BC=2,AC=3,设O为△ABC的内心,若AO=pAB+qAC,则p/q=_____.问题1为2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题.本文在此将给出上述问题的一般化探究,同时对三角形的外心、重心、垂心等类似问题作进一步探究,希望对读者有所帮助.
题目 (2018年全国高中数学联赛安徽预赛第11题) (1)求证:对于任意实数x、y、z,都有x^2+2y^2+3z^2≥√3(xy+yz+zx);(2)是否存在实数k〉√3,使得对于任意实数x、y、z下式恒成立? x^2+2y^2+3z^2≥k(xy+yz+zx).试证明你的结论.问题(1)比较简单,在此略去.
2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第15题是一道解析几何试题,从阅卷情况看,答对这道试题的人数不足3%,从大题情况看,考生对解析几何的学习,仅仅停留在解方程、代点等简单技巧上,不重视定义的掌握,忽视对概念的深刻理解,从而事倍功半,半途而废.现根据考生的思路,整理出部分解答,供参考.
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.△ABC的三个内角满足sin A·cos B -sinB=sin C-sin A·cosC.贝( ). (A)∠A=90° (B)∠B=90° (C)∠C=90° (D)△ABC不一定是直角三角形
作者:李晓雪; 郭璋 期刊:《中学生数学》 2017年第12期
2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛第二题:在△ABC中,M、N分别为边AB、AC上的点,且满足BM/MA+CN/NA=1证明:线段MN过△ABC的重心.
作者:林志刚; 雷新桥 期刊:《福建中学数学》 2018年第04期
这是2008年全国高中数学联赛江西省预赛第14题,是一道难度较大的证明不等式的经典题,本文利用“函数法”给出简洁自然的证明.
作者:江保兵; 胡周霞 期刊:《中学数学研究》 2018年第04期
例1(2016年全国高中数学联赛湖北省高二竞赛试题)过抛物线y^2=2pc(P〉0)外一点P向抛物线作两条切线,切点为M,N,F为抛物线的焦点.证明:(1)|PE|^2=|MF|·|NF|;(2)∠PMF=∠FPN.
2004年全国高中数学联赛试题第4题:设0点在AABC内部,且有→OA+2→OB+3→OC=→0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).
作者:袁子阳; 陈宇 期刊:《中学数学研究》 2018年第04期
2016年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛第19题为:如图1,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,E为AB的中点,PA丄平面ABCD,PC与平面PAD所成角的正弦值为√6/4.
2003年全国高中数学联赛山东赛区预赛的最后一题是:如图1,已知正方体ABCD-A181C1D1的棱长为2,点E是棱CD的中点,求异面直线A1C1和B1E的距离,该题是一类典型求距离,本文想就此题谈谈如何求异面直线间距离,及其转化方法。
求函数的最大(小)值和证明不等式的方法很多,本文首先通过解答2003年全国高中数学联赛中一道求最值题的方法来介绍求一类相关不等式问题的待定系数法。
2004年全国高中数学联赛加试第一大题为:在锐角△ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB,AC于F,G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.
作者:刘刚; 赵毅 期刊:《中学数学研究》 2017年第09期
1试题(2016年全国高中数学联赛四川预赛)如图1,
作者:孙春扣; 陈宇 期刊:《中学数学研究》 2017年第03期
2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第15题:
作者:刘刚; 赵毅 期刊:《中学数学月刊》 2017年第02期
1试题 如图1,CD是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)的一条直径,过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线,交椭圆于另一点N,交椭圆短轴所在直线于点M,证明:|AM|·|AN|=|CO|·|CD|.(2016年全国高中数学联赛江西预赛第9题)
2016年全国高中数学联赛新疆赛区初赛于2016年5月22日举行,其中解答题第2题如下: 试题 过原点且斜率为正值的直线交椭圆x^2/4+y^2=1于两点,设A(2,0),B(0,1),求四边形AEBF的面积的最大值.
作者:刘康宁; 陈孝庚 期刊:《中学数学教学参考》 2007年第12期
一、(本题满分50分)如图1,在锐角△ABC中,AB〈AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证:O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.