关键词：儿童；数学规则；应用思维；培养
中图分类号：g612 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）30-0100-02
一、小学数学运算规则思维培养问题的重要性
1.问题的提出及研究方式。2004年乌鲁木齐的中小学（小学、初中）开始使用新课改教材，在这几年的发展中新课改已经在全疆普及，不论是乌鲁木齐市小学还是和田偏远地区的小学，都已经在使用新课标教材。课改改革了教材，改革了思想，注重知识基础，更关注于学生实际，注重生活、注重交流，注重学生的个性发展。探索一条适合学生主动发展、有利于学生创新精神、实践应用能力、合作品质培养的教学方式，成为教育工作者一项主要的任务。要切实落实新课改的要求，让学生积极主动地参与到对新知的探索中，去发现新知、形成数学学习能力，培养学生的数学应用思维尤为重要。我们主要通过数学法则的学习观察对数学应用思维培养提出建议。
2.问题提出的意义和作用。小学阶段是学生接触数学的重要阶段，根据儿童的认知特点以及学生身心发展特点以及小学学习阶段的特点，小学阶段数学课程安排更应注重学生从生活中来到生活中去，注重培养学生基本的数学素养、数学应用能力、应用意识。数学的应用意识是强调数学数学和现实的联系，让学生在数学知识的应用过程中感受到其现实价值，从而激发学生勤奋学习数学知识，增强将知识应用于实践的意识，提高数学教学效率。
二、关于问题的个案研究
（一）学习状况调查
案例背景：个案选取乌市22小学6年级一名学生作为研究对象进行研究。案例情况：了解学生在数学运算规则学习方面的情况，具体内容如表1：
通过对该生的学习状况了解，乌市35小退休数学教师吴振秀老师进行了分析：
1.该生的基础知识模糊，应该重新进行概念梳理。比如书本上写2×5=10，他如果算错了写成答案为12，他会这样问：为什么题目不是写的2×6？学生会为自己的错误找借口，因此需要让学生意识到自己的错误在哪里，应该积极面对自己的错误。
2.该生没有耐心，需要家长培养学生。要求学生按照45分钟休息15分钟的规定做练习和休息。
3.在观察中可以发现该生对学过的概念并不能立刻想起来，需要老师对概念的一部分进行提醒，才能想到。做过的题目，当改变某个数字或改变顺序时就不会做了。通过了解家长，该生家长每天负责所有题目检查，在错题纠正中，仅简单地写出自己的做法，并没有帮助学生进行这一类的题目归类，遇见较长的题不能完全理解题目的含义，且经常看错题目。
（二）教师针对性的辅导办法
通过对该生的学习状况了解，乌市35小退休数学教师吴振秀老师进行教学（关于四则运算及运用的教学思路）：
1.复习加减乘除运算法则并强调重点。
如图1：有3个三角形和7个正方形
最小数3，最大数7，相差数4。所以7比4多3，4比7少3。
教学重点：
①区分易混淆的概念并练习解决问题。在解题过程中强调重点；②关于乘法加法学生容易分清，而减法除法却易糊涂，教师举上图的例子区分了多与少的问题，并通过例题中的图形让学生学会减法。反复进行四则混合运算练习，学生见到“谁比谁多或少”时立刻区分有几部分，按照每部分的要求进行列式。通过概念重复并结合短小的举例理解这部分概念并进行板书，在做题时要求学生先读题3遍，读对字了再做题。由于做题时间较长，该生对概念的理解变得模糊，教师重新复习概念，着重复习部分。通过练习及错题讲解，该生对文字题目的解决能力提高。
2.关于性质类的教学思路。例如写出1～10的约数。
由学生回答每一个数的约数，教师强调1只有1个约数，我们说它既不是质数也不是合数。2、3、5、7等有2个约数是质数。含有2个以上（不含2）约数的是合数。然后从1到50的所有数由学生回答是合数还是质数。学生反应很快，全部可以答出。
3.关于简便运算的教学思路。学生看到简便运算题时不能立刻反应过来，通过复习加法交换律/结合律、乘法交换律等，学生自己完成了题目。提示含有9的数字可以改成整十减一，遇到分数、小数尽量化为1，还有常出
的数字（25×4、125×8、12.5×8、1.25×8等）。要求家长给学生每天布置简便运算及四则混运算题目。
（三）关于个案的学习分析
通过该生学习情况以及教师针对性地帮助、解决分析，我们意识到：
（1）教学过程应该趋于合理化，比如复习课可以先进行概念复习再进行题目练习。
（2）学生需要自我约束，教师有责任督促学生。复习预习是非常重要的，可以让学生对所学知识有个明确的认识。
（3）教学方式的的多元化决定了应用思维培养的必要性。教师需要用直观的方式呈现给学生做题的步骤，通过反复的练习让学生内化这些知识。
（4）学生的主动性呼唤着人性化的管理。学生在学习疲劳时需要休息，教师要结合学生的个性特点进行分析，了解学生的学习状况，与家长配合制定合理的教学方式。
三、总结
人类社会在探索中不断创新，在不断创新中取得进步。在科学技术突飞猛进的当今，培养具有创新能力的人才成为迫切需要。寓创新教育于数学活动中是发展儿童智力、思维，培养创新精神的有效手段，因为数学本身具有抽象性、精确性和广泛性的特点，它是培养和锻炼思维能力的基础课，人们曾形象地称数学是人类思维的“体操”。
1.走进社会，开阔视野，激发创新意识
在我们的生活环境中，每件物品都是以一定的形状、大小、数量和方法存在的，可以说数学教育无处不在。 因此，让孩子走进社会这个大校园中发现问题、寻找问题，并用自己的创造去解决问题，要珍惜孩子的好奇心、求知欲和创造火花，使他们的学习具有思想和创新。“商店”和“超市”是儿童经常和父母出入的地方，货架上琳琅满目的商品，分门别类的摆放整齐而有序，妈妈给孩子买一斤果冻和一斤饼干，“数一数果冻有几个？”“各种颜色分别有几个？”“把果冻分给小伙伴吃，可以怎么分？有几种不同的分法？”“饼干是什么形状的？咬一口会变成什么形状呢？”“怎样把饼干分成相等的二份、三份？……”这些问题都是儿童乐意去思考的，在自己或和他人分享食品的过程中，通过分一分、做一做、想一想，发展了儿童的能力、独立思考能力和扩展其发散性思维。
2.多种方法，培养兴趣，激发儿童的创造性思维
兴趣是儿童学习的动力，儿童年龄越小，越需要依靠直接兴趣来激发学习动机，特别是数学学科具有抽象性、逻辑性强的特点，知识内容比较单调枯燥，因此在数学教学过程中，要充分运用直观教具，采用灵活多样、生动活泼的教学方法，使儿童学得轻松愉快，饶有兴趣，并能在学习中积极思维、发展智力。
2.1运用游戏，让儿童在感兴趣的学习中发展思维。游戏是孩子们最喜爱的活动，将教学内容和操作活动以游戏的形式出现：一是数学知识蕴含在游戏内，变得比较直观、形象。二是游戏的形式符合了儿童“爱玩的内在需求”。例如：为了帮助儿童巩固和加深对相邻数和数的组成的知识，可以采用“找朋友”、“配对”的游戏。在“感知5以内数量”的学习中，我设计了一系列游戏，“小兔种萝卜”、“小兔分萝卜”、“小兔找家”等，教学时，在整个教学过程中，完全运用游戏的形式，把儿童的学习寓于游戏活动中，使儿童轻松愉快的学知识，既激发了儿童学习的积极性，又能让儿童在感兴趣的学习中积极思维。
2.2直观演示，让儿童在主动地学习中积极思维。教师在数学教学中，出示实物或教具，演示多媒体课件。进行示范性的操作，把数学知识以直观的形式呈现出来，让儿童获得丰富的典型的感性材料，从而加深对所学的数学知识的理解。当然在演示的过程中离不开语言的作用，教师应用生动、形象、明确的语言加以说明，或提出一些启发性的问题，让儿童思考，使他们的思维活动始终处于积极状态。例如：教儿童理解“四等分”的含义时，教师可以出示一个西瓜或一片饼干，先让儿童来分一分，然后教师进行示范演示，先把西瓜一分二，等分成同样大小的两块，再把两块西瓜分别等分成相等的两份。教师边等分，边指导幼儿观察老师是怎样分的，再结合方形纸、圆形纸让儿童自己操作，让儿童在直观感知的基础上，通过思考，把一个圆形分成两个或四个完全相等的图形，就是二等分和四等分。
2.3组织讨论、让儿童在相互交流中促进思维。引导儿童在自由组合、小组活动、集体活动中将自己的探究结果告诉同伴，让大家来评价，从互相交流的过程中，丰富儿童的认识，促进幼儿思维的发展。如：在儿童“认识三角形”教学中，可让幼儿通过操作各种各样的三角形，互相进行分析比校，最后总结出它们之间的共同特点，使幼儿抽象出三角形的概念。这个过程有效地锻炼了儿童分析、综合、比较、概括的能力，培养了儿童的思维，而教师要注意利用教学手段、激发幼儿求知欲，抓住最佳时机开拓儿童思路，多给儿童思考问题、发现问题、讨论问题的机会，为幼儿的思维活动提供最佳信息。
3.创设环境，提供材料，发展创造性思维
人的生活实践几乎都离不开数学，数学具有广泛性、概括性、逻辑性的特点，儿童的思维是直觉行动思维和具体形象思维占优势，根据这一特点，儿童的数学教育不但应注重启蒙性，更应该注重生活化，让孩子在生活和游戏中感受事物的数量关系，体验数学的重要和有趣。同时，环境与材料是数学活动的载体，教师应慎重考虑数学活动中的材料选择和环境的创设，并激发儿童与物质材料和环境发生相互作用，促进儿童积极地去发现、去寻找、去探索数学奥秘的愿望。
3.1利用客观环境，随机引导，发展创造性思维。教育家苏霍姆林斯基认为，如果没有外界环境，不与环境相互作用，探索就会落空，没有求知欲就谈不上有创新。自然界的一切生物，像花朵、小虫、蜂巢等也都包含着丰富的数学知识。让儿童在没有思想负担的情况下，自然、轻松、愉快地学习并获得一些粗浅的数学知识，或者巩固一些已学知识，有利于激发儿童学习数学的兴趣，从而促进儿童创造性思维的发展。如皮球是圆的，手指的长短、粗细各不相同，3只苹果加1只桔子共有几只水果等等，要充分地利用周围的环境，通过有意识地随机引导，儿童无意识的回答，在一问一答中学到或巩固了数学知识，同时又促进了儿童思维的发展。由皮球是圆的，由圆想到其它各种东西；再如在午餐时，每组请一个小朋友在每碗饭里放一把调羹，再把饭一一送到本组小朋友的手中，在送饭的过程中不仅让幼儿知道组上有几个人，拿几份饭，而且还能促进儿童积极思维，如果组上缺一个人，应该拿几份饭呢？借此来感知数量和对应关系。
3.2创设区角，提供材料，发展儿童的创造性思维。儿童学习数学最初是通过亲自动手操作材料来完成的，皮亚杰曾说过：“数学开始于对物体的动作。”数学活动中，一般都要为儿童提供操作材料，但在集体或小组操作活动中，老师不可能提供许多的材料来满足各不同层次儿童的发展水平。但要真正开发儿童智力，促进儿童思维只靠每周一二节的数学教学活动是远远不够的。因此，教师要利用一切可利用的环境和资源，在班级里开设“数学引导发现区”、“小问号区”、“智力大转盘”、“看看、想想、做做区”、“小博士区”……在每个区内投放各种材料，适合各不同层次发展水平的儿童，让儿童通过多种渠道，多方位地介入到数学操作活动中去，在活动中儿童动手摆弄，操作数学材料，反复进行探索，幼儿在“做”的过程中，在与材料相互作用的过程中，才能获得某一数学概念及规律，发展幼儿的逻辑推理能力，逐步形成表象思维，并为抽象思维打下基础，从而促进儿童的创新思维的发展。
4.独立思考，自主活动，培养创新精神
一、观察活动中，儿童科学思维启蒙
儿童认识外部世界――环境，首先是从观察、感知开始的。在小学阶段，儿童的思维方式以直观形象思维为主。儿童科学教育也是以观察、感知为重要途径。因此，在科学教学中，要重视学生的观察指导，这是培养科学思维的前提。如，三年级教材中《我眼里的生命世界》，我带领学生走出教室，观察校园里的花花草草和小动物，你会时不时听到孩子们兴奋的惊叹，孩子的热情前所未有的高涨，一张张小脸既开心又充满了求知欲。这时的他们不是在我的推动下被动前行，而是在主动的探索前行。此时，我要做的就是及时引导，学生在观察实践中，加深对周围事物的认识，激发儿童快乐积极的情绪，从而发展他们最基本的科学思维的品质。
二、探究活动中，儿童科学思维提升
小学科学教育在当前的一个重要转向就是从过去的“以知识为中心”转向“以探究为中心”。小学科学课教学是以探究学习为主的。在科学探究活动中，儿童的思维能力是儿童认知发展的核心，儿童通过观察、实验等探究活动获得的感性认识，必须通过思维进行综合、概括才能上升到理性认识，才能使儿童的认识得以发展。科学探究过程就是用科学的思维方式获取知识的过程。因此，科学探究和科学思维在本质上是相通的，前者更侧重于科学知识获得的过程，而后者则侧重于学习者内在的思维过程。在教学实践中，科学探究和科学思维更是无法分割。
（一）大胆猜想假设，激活学生思维
猜想和假设就是依据已有的材料和知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。猜想的过程是一个思维的过程，是学生结合生活实际的表现，是培养学生逻辑思维的好时机。儿童会对问题有自己的猜想。对问题的猜想假设，是让学生充分暴露思维的过程。教师应善于调动学生已学过的知识，鼓励他们大胆去想，让学生懂得假设应有理有据，培养学生思维力求与客观实际相符合。
（二）放手实验设计，丰富学生思维
实验设计能充分发挥学生在实验教学中的主体作用，促使学生做实验的主人，避免被动地做实验。比如《研究磁铁》一课中，教学重点就是能够设计实验，探究出磁铁的性质。在教学中，我不是直接给出实验活动的过程，而是给学生提供材料，让学生自由组合“玩磁铁”，小组讨论“玩什么，怎么玩，玩出了什么”。这样的设计不但体现了学生的主体地位，同时学生在自主探索的过程中理解科学概念、理解科学本身，更让创新思维的火花时时闪烁。科学思维能力的提高不是通^简单地灌输，而是个体在自主的学习和实践过程中不断内化和升华的过程。
（三）认真整理数据，深化学生思维
很多时候，我们重在收集数据，而忽视对数据的分析。数据的整理归纳又是我们结论得出的关键。而往往对于数据的仔细分析又能得到意想不到的结果。在四年级《加热和冷却》一课的数据记录中，发现当油停止加热时，温度不降反升。当我们发现了这个疑问后，大家充满热情地进行了讨论，最后我们得出了油自身的余热使它在停止加热时温度不降反升。我们在实验后对数据进行了认真的整理和归纳，不但能够得出最终的结论，甚至会有新的发现和亮点。这样的过程，不但培养了学生严谨的科学思维和分析能力，同时也能让儿童在数据整理过程中体会发现的乐趣和得出结论的成就感。
三、拓展活动中，儿童科学思维升华
1 立足学生创新能力的发展
创造活动是在灵活的思维方式下产生的，过于单一的训练必定导致思维的僵化和墨守成规。心理学的研究证实了这一点：知识的操作和自动化将损伤知识运用的灵活性，常表现为受长期知识经验的影响，人对某类问题的认识形成错误的思维定势，不能灵活的应用知识解决问题。 “珠心算”的训练过程也是如此，训练时间长、形式单一，不能灵活训练，把学生禁锢在枯燥乏味的套子里，就谈不上创新能力的培养。因此，在新课程标准下的珠心算珠心算的学习中，一道自然数连加如 20 到 120 ；儿童往往要经过几十、几百遍才能又快又准。在这个过程中，儿童百折不挠的练习，向目标努力，他们一定厌倦过、想过放弃，但是，通过调适情绪、心中高度责任感激励、促使他们最后获得成功。这个过程是一个自我克制的过程，是一种成功的享受，这无疑将使他们获得自信，使他们相信，只要不懈努力，一定会获得成功，这个过程也是对儿童意志的一个考验。珠心算学习要求一快二准，长期学习逐步培养了学生细致、认真、一丝不苟的态度和作风，从而培养了他们高度的责任感。培养了持之以恒、刻苦、奋进、追求效率、质量的意识，在实践中促进学生良好学习态度、习惯的形成。
拨珠活动使儿童手指肌肉的运动增加，手指是“智慧的前哨”，适度的增加其运动量，也可以促进大脑的思维活动，真可谓手巧促心灵，心灵手更巧。并且“珠心算”教学通过听数、看数、记数的训练，数译珠、珠译数的训练，在此特殊的环境中，在培养了学生的观察力、记忆力、注意力的同时，也发展了学生的创新能力。
2 注重合作和交流能力的培养
当前课程改革的目标之一是改革教学过程中过分注重接受、记忆、模仿学习的倾向，倡导学生主动参与，交流、合作、探究等多种学习活动，改进学习方式，使学生真正成为学习的主人。 《数学课程标准》认为数学学习活动“不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式”。即在数学学习活动中，要引导儿童乐意与同伴合作交流，培养学生的主动性和探索性。而在传统的珠心算学习中，多数时间要求儿童必须外静内动的独立心算，在多数时间要求学生进行独立拨珠以形成珠像，客观上减少了儿童合作和交流的机会。许多时间学生都是独立的进行计算，这种学习方式缺少与同伴交流的客观条件。如果长时间这样学习，对培养合作交流的能力是不利的。现在，由于现代教育技术的发展，多媒体技术、网络技术等已渗透到教育的各个方面，因特网、校园局域网、多元化的现代远程教育网以及视频点播技术等的普遍应用，增加了相互交流的机会，现代教育技术为基础的教育正取代一些传统的教育方式和方法，现代教育技术与传统珠心算教学的整合将是珠心算教学发展的趋势。 学生可以通过网络这一丰富的资源库来自主学习、自主探索、自主发现，新课程标准理念下，提倡教师与学生的多项交流，将有利于形成一种人与人之间相互作用的情境。如在课堂教学中穿插自由讨论、小组活动等形式，给学生一个自由展示自己才华的机会，从而更利于培养学生的创造力。在这里，学生可以自由的表达观点，并且采取一定操作主动验证想法的正确性，调动了学生的积极性。 学生始终兴致盎然的投入到训练中去，克服了天天打算盘、想算盘这种枯燥乏味的事情，不断地激发兴趣，诱发了积极训练的动机，形成了相互作用的情境，有了和谐、自由的课堂气氛。这样，让每一个学生感到“珠心算”的乐趣，积极投入。当师生间建立起亲近融洽的良好关系，课堂上注重合作、交流时，良好的课堂气氛自然“水到渠成”。
3 在体验中提高学生的注意力和想象力
珠心算教学通过对儿童的培养，使他们计算速度不断提高，从而使儿童思维敏捷性品质很明显的改善。实践证明：一年级学生稍加训练可达到每秒计算 3 - 6 个数字，这是数值计算的训练，但智力活动具有辐射、迁移性，经过一定时间的训练，对其它活动有同样的效应 . 。在珠心算的教学过程中，儿童的手、眼、耳、口不仅配合协调，且左右两个半脑的形象思维和抽象思维也交替运用，非常有利于学生的智力的开发。儿童双手拨珠，在拨、看、听训练中，要求动作规范、准确、迅速、力度适中，不仅锻炼了手，也达到了心灵手巧，耳聪目明，提高了触觉、视觉、听觉的灵敏度。而且学习珠心算还利于丰富儿童的想象力。爱因斯坦说：“想象力比知识更重要”。珠心算学习通过大量想珠、心算，使儿童想象力明显提高，实践证明：在语言学习中，珠心算班学生回答问题更有新意，课堂气氛更活跃。珠心算学习中，儿童手、眼、耳、口和左右脑同时运用，促使了儿童思维锻炼，加强了儿童思维的灵活性、深刻性、敏捷性、促使儿童整体智力水平得到提高。
4 在实践中促进学生非智力因素的培养
心理学家认为人的智慧的心理因素机能可以分成两个系统。 即智力和非智力因素系统。后者包括动机、兴趣、意志、情感、性格等。它对智力因素可以起到动力和调节机能，这对儿童今后的学习和成长是极为重要的。美国心理学家丹尼尔 . 戈尔曼研究认为：人成功的因素中 20% 归功于智商，而 80% 归功于其他因素。 而其他因素中的关键，即情感智商 ――自我激励、百折不挠、控制冲动、调适情绪、充满希望、具有高度责任感等。 戈尔曼研究认为：对于智商，经验或教育对它的作用不大，而对人生至关重要的 EQ 却完全能从童年学得和提高。
[关键词]：科学教育科学探究科学思维
小学科学课教学是以探究学习为主的，教师应该按照怎样的原则进行教学来培育学生的科学思维呢？我以为，在进行科学探究性学习的教学时，应当遵循科学发展的规律，按照“问题——假设——验证——结论”的科学认识程序，组织学生开展探究活动，在探究活动中发展学生的探究能力。要改变现状，让学生学会思维，善于提出问题，培养学生的研究意识，在此我想谈谈我的看法。
一、认识科学思维
什么是“科学思维”？顾名思义，科学思维就是用科学的方法进行思维，它是科学方法在个体思维过程中的具体表现。反过来，我们也可以把科学本身看成是一种思维方式，科学探究过程就是用科学的思维方式获取知识的过程。因此，科学探究和科学思维在本质上是相通的，前者更侧重于科学知识获得的过程，而后者则侧重于学习者内在的思维过程。在教学实践中，科学探究和科学思维更是无法分割。科学教育的过程要真正体现科学探究的本质，就必须把焦点置于科学思维方式的培养上。
掌握科学的思维方法，提高学生科学思维的能力，对于学生学习科学和今后的工作非常重要。同样在学习科学的过程中不论是科学问题的提出、科学数据的测量、科学现象的观察、科学模型的抽象、科学概念的形成、科学目标的归纳和科学理论的建立，还是用科学理论解决实际问题，都离不开科学思维。
二、聚焦于科学思维的教育与聚焦于科学知识的教育的比较
聚焦于科学思维的教育，应将以上诸点渗透于教学过程之中。其面貌当和传统的聚焦于科学知识的教育大不相同。我们可以从以下几方面将二者做一比较：
教学重心
比较方面聚焦于科学思维聚焦于科学知识
科学观的基础科学是不断探究的过程。科学是一个固定和权威的结论。
教学目标重视过程，即重视儿童的思维过程。重视结果，即重视科学知识。
教学方法较多采用探究的方法较多采用讲授的方法
教师角色是儿童探究的合作者、指导者、引领者，引导儿童提出问题、解决问题，和儿童一起寻找问题的答案。是知识的来源，引导儿童得到最后的结论，或者直接地把结论告诉儿童。
儿童角色提出问题、解决问题，进行主动的探究和思考；儿童通过探究过程获得对科学的个人的理解；儿童享受思维的乐趣，在科学探究的过程中获得自信和满足；对儿童心理发展的长远影响接受确定的科学知识、教学结果；儿童通过记忆获得科学知识，但也许并不理解；难以给儿童留下深刻的印象。
三、如何培养儿童的科学思维
通过上面的比较，我们可以感受到，只有将科学教育聚焦于科学思维的培养，才能触及到儿童科学教育的灵魂所在。儿童科学启蒙，最根本的就是思维方式的启蒙。从小对儿童的思维方式进行塑造，养成其科学的思维习惯，对他们的一生都很重要。那么，如何培养儿童的科学思维呢？
尽管很多人热情地称“儿童就是科学家”，我想这主要是针对儿童对周围世界的探究热情而做出的评论，其中多含褒扬鼓励的成分。而作为一个认识者，儿童思维能力的发展离严格意义的科学思维还有很大的差距。
科学思维的两个基本要素，即尊重事实和遵循逻辑，恰恰是儿童不容易做到的！这正是科学思维对儿童所构成的挑战。
如何看待这一问题，又如何应对这一挑战？我们认为，儿童思维发展的状况，既指明了儿童科学教育的起点和方向，同时又说明了儿童科学教育的特殊性质。这是儿童科学教育所必须坚持的辩证观。
我们对儿童进行科学教育，一个重要任务就是给予理性的启蒙，将科学思维的种子播撒在儿童的心灵中。儿童科学思维的培养，有三个关键性的实践要点：
第一步是对问题的猜想即使没有教师的提示，儿童也会对问题有自己的猜想，只不过他会用猜想代替进一步的探究，从而仓促地得出结论。教师引导儿童进行猜想的意义在于，我们可以从儿童已有的认识水平出发，将他们引向科学探究的过程。
猜想本身就是一种思考。教师要追问儿童“你为什么这样猜想”，这样做的作用就是可以有效地鼓励儿童进行有根据的猜想。他们会主动地运用已有的经验，来思考当前的问题。
对于儿童的各种猜想，教师都要加以重视，并启发儿童如何证明它。儿童的有些猜想的确是胡乱的、没有依据的，而且也无法验证，教师可以采取保留的态度。
第二步是事实的验证对儿童的任何想法，都要引导其通过事实来验证。观察是最直接的获取事实的途径，对于较大的儿童来说，实验则是更有力的证明。
无论事实和他们先前的想法是否一致，对儿童来说都是很有意义的。如果儿童发现事实证明了自己的想法，他们会得到一种惊喜的感觉，而当他们发现了和自己想法相反的事实，也许会感到很意外，但这种意外能给他们留下深刻的印象，并冲击其固有的想法。
教师要不断地强化儿童这样的价值观：相信事实！
蒙氏教育思想 数学素养 学前教育
由蒙台梭利创立的有着一整套教育理念及配套教具的独特教育方式，是近年来学前教育领域实践研究的热门。各地不断涌现了专门培训蒙氏教师，配备蒙氏教具的教育机构，各幼儿园也纷纷举办“蒙氏班”，运用蒙氏教育法对幼儿进行教育，以期达到更好的效果。作为培养幼儿教师的院校，在学前教育专业开设蒙台梭利课程是必要的且可行的，尤其是蒙台梭利教育思想对学前教育专业学生数学素养的提升有着深远的影响。
一、蒙台梭利教育思想
玛利亚・蒙台梭利（Maria Montessori）是意大利著名的教育家，是教育史上杰出的幼儿教育家。她以幼儿教育为基础，创立了独特的教育理念和方法，有学者认为，蒙台梭利教育方法是“世界上最好的教育思想和世界上一流的幼儿教育”。蒙台梭利认为在教育过程中，有三个非常重要且缺一不可的要素：预备好的环境、谦逊的教师、干净整齐的教具。其中，预备好的环境是成功教育的前提，它能够提供一个足以让幼儿自由选择、自由活动、自主学习的环境；谦逊的教师应该具有谦虚有礼、温柔亲切、省思自我的特质，同时具备多重角色，如儿童的观察者、协助者、示范者、解释者、环境的预备者、学校和家长的沟通者，是推进教育成功的主导因素；科学的教具是教育成功的媒介，这些教具的制作原理包含了孤立化的原理，感官教育的对比、排序分类的构造性原理，以及由简入繁从具体到抽象的系统性，教具的自动订正等。
蒙台梭利教育法的独特魅力源于她对儿童的充分研究与了解，遵循儿童的敏感期，激发儿童潜能，在宽松、愉快的环境中发展孩子独立、自信、专注、创造等能力，为将来孩子的成长打下良好的素质基础。其主要特点：以儿童为中心；不教的教育；把握儿童的敏感期；教师扮演协助者的角色；完全人格的培养；尊重儿童的成长步调；混龄教学；丰富的教材与教具；摒除奖惩制度；爆发的教学成果。
二、数学素养
数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式,它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体说，一个具有“数学素养”的人在他的认识世界和改造世界的活动中，常常表现出以下特点：在讨论问题时，习惯于强调定义，强调问题存在的条件；在观察问题时，习惯于抓住其中的关系，在微观认识基础上进一步做出多因素的全局性考虑；在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念广义化，用于认识现实中的问题。
数学素养就是人们通过数学教育以及个体自身的实践活动和认识活动，所获得的数学知识和数学能力、建立的数学情感、形成的数学观念、优秀的数学品质和意识的综合。从广义和狭义的角度认识数学素养更有意义，广义的理解指除基础知识和基本技能外，还包括解决问题的能力、数学交流的能力、数学推理的能力，了解数学和现实的联系以及对数学学习价值的再认识等。狭义地说数学素养是指数学思想方法和语言、数学思维品质、数学观念和意识或者说是数学文化中最基本的素养等。因此，我们倾向于把数学素养当作是学习、探究数学并应用数学分析和解决问题的个性心理特征和水平，是一个稳定的、可以终身受益的数学学习的学养，需要经过长期的积淀。
2001年教育部颁布的《幼儿园教育指导纲要（试行）》指出，在幼儿数学教育中，要注重培养幼儿的数学意识、发展幼儿的思维结构以及要将幼儿数学学习与生活紧密联系等。在实践中幼儿教师数学素养的高低直接影响幼儿的数学教育。学前教育专业属于职业教育范畴，是综合性、实用性很强的特殊专业，具有基础文化素质培养与艺术技能教育双重性特点，而本专业学生入学时起点不高，数学基础薄弱、数学理解能力差、缺乏数学兴趣，这些都决定了学前教育专业学生数学素养普遍较低，因此，提升学前教育专业学生数学素养尤为重要。
三、启示与思考
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学是借助于数字、图表、字母等方面的转换，通过空间、数量、推理等方面的训练，培养人们的逻辑、计算能力的学科。数学教育在蒙台梭利教学法中占有极其重要的地位，她认为让儿童在生活与操作中自然地认知数学，这样不但可以为儿童奠定稳定的数理基础，培养其逻辑思维能力，而且可以培养儿童对数学的兴趣，使我们懂得了数学是一连串的逻辑性思考与串联，经过比较、分类与归纳，找出其间的关联性，并借助计算方法得到理想的答案，因此数学不仅包含数字的组合与罗列，还蕴藏着宇宙万事万物的法则。
1.操作性学习提升学生数学应用意识
蒙台梭利有句名言：“让我听……我随后就会忘记，让我看……我就能记住，让我做……我就能理解。”因此，依据数学学习的内容，蒙台梭利设计了与之配套的幼儿数学学具，幼儿在数学学具操作中感受系统的数学知识，获得了生活的经验，将数值化的量抽象为数概念。
作为将来的幼儿教师，不但能指导幼儿操作优质的、优秀的教具、学具，而且自身也能完成由数学中抽象的、理念性强、思维意识强的概念或物体转化为可操作的、科学的、合理的外在形式，运用所学到的相关数学知识在幼儿数学教育中实施，自行开发设计儿童玩、教具，能为幼儿培养空间想象力、数的运算等技能得到提高和提升，并学会运用数学相关知识解决实际问题，充分改进蒙台梭利学具中为幼儿操作过程不可避免的情绪状态，自我修订中易产生的“偷懒”现象，这些都需要未来的幼儿教师应该思考的。
2.启发式教学提升学生数学理解能力
蒙台梭利反对教师为中心的填鸭式教育，主张以自我教育为主，在教育活动中，儿童是主体、是中心，让儿童自发的主动学习，独立思考，自我发现，自我教育和成长。教师是孩子学习“灵感”的“启发者”，与转变“头脑”的“诱导人”。蒙氏教育里的“让孩子们自己去打开吸取知识的灵窗，运用自己的思考，而日新又新”。让我们从一句问话中来体会这种不同：
传统式：小明，你看看这两个球有什么不一样？哪一个是大的？哪一个是小的？
蒙氏：来！小明，摸摸看这两个球，你发现了什么？前者的问题，局限性大，而且早已规定好儿童必须回答些什么问题。后者的弹性非常宽，他不仅要小孩亲自摸摸看，去体会感觉，更将问题的限度放到最大，孩子可以灵活运用自己的脑子，发现事物的种种不同和奥妙。再来，前一个问题，是老师“期待”的有限答案；后一个问题，是让孩子自己去“发现”各种的答案。观点与立场竟然会有如此大的差别，这样更能激发和促进儿童的“内在潜力”的发展。
在深入研究和学习蒙氏教育思想以及实际操作蒙氏教具后，学前教育专业的学生们能够深刻地体会到以前所学的数学相关知识在蒙氏教具中的灵活运用，更能感悟到曾学习过的深奥的、复杂的数学知识在未来的工作和生活中应用广泛，对相关的数学知识逐渐地明白了，提升了她们数学理解能力。
3.自由式教育原则提升学生数学逻辑思维能力
自由是蒙台梭利教育方法的基本原理。“科学教育学的基本原理将是学生的自由，允许个体的发展和儿童天性的自由表现。”“自由并非做你想做的事，而是要做正确的事。”
数学是一门因果关系紧密、逻辑严谨、推理性强的学科。数学逻辑思维能力是指人类能够有效地运用数字进行计算、量化、推理、归纳、假设等复杂数学运算能力。数学教育的最终目的并不仅仅是为了学习一些计算方法，更重要的是通过数学的学习与演练提高儿童的逻辑思维能力，增强儿童的独立工作能力，使儿童将来成为一个有智慧的人。幼儿的内在冲动是通过自由活动表现出来的，通过主客观的交互作用而获得思维上的发展，激发兴趣，把外部的动作转化为内部智力的操作，使问题的解决过程在头脑中进行，切实地发展了学生的逻辑思维能力。
参考文献：
[1]段云波.蒙台梭利数学教育及教具操作手册[M].山东教育出版社，2007.
关键字：儿童认知发展；多元表征；思维培养
【中图分类号】G40-057【文献标识码】A【论文编号】1009―8097（2015）03―0101―08【DOI】10.3969/j.issn..1009-8097.2015.03.016
引言
数学是一门高度抽象的学科，不如音乐那般生动，也不似美术那般具体，对于认知发展水平有限的儿童来说，数学显得格外单调乏味和难以理解。儿童处于直观形象思维向抽象思维的过渡阶段，也是数学概念初步形成的关键期。研究发现“儿童早期数学认知发展表现出相当稳定性，不少儿童的数学困难显然早在幼年甚至3岁前就已开始出现，但并未得到应有的关注和帮助”。数学游戏作为一种直观的感性材料，将数学呈现为儿童容易接受的“教育形态”，在儿童的具体形象思维与抽象概念的数学思维之间架起一座桥梁，避免了儿童时期的负面经历从学前期就开始影响他们对数学的学习兴趣、态度和能力。然而，目前儿童数学游戏市场鱼龙混杂，产品质量良莠不齐，部分游戏品质较低。
儿童数学游戏相关的研究主要集中在四个方面：一是游戏对于数学教育的意义与反思，如“利用数字化游戏提高数学理解力研究”；二是相关技术在儿童数学游戏开发中的运用，如“基于Android平台的数学教育游戏设计与开发等”；三是儿童数学游戏相关的理论研究，主要包括儿童认知发展理论、游戏化学习理论等；四是儿童数学游戏本体设计，但多数研究游离于游戏设计情境、角色、道具、故事背景等外部机制，并未触及游戏核心机制和规则。此外，值得一提的是美国“基于认知发展的数学教育”项目，它是当前国际颇具影响力的促进项目，以儿童数学认知发展的概念体系为切入点进行儿童数学教育研究，也就是提倡将儿童认知发展规律研究与数学教育相结合，该观点受到数学教育领域研究者的认同。本文针对3-9岁年龄段儿童设计数字化数学游戏，尤其指移动互联网兴起后的移动端儿童数学游戏，探索符合儿童认知发展规律的数字化游戏设计模式和方法。为了方便读者更好地理解，文中提到的所有研究样本和游戏实例都可以从苹果官方App Store中下载体验。
一 现有儿童数学游戏存在问题及原因分析
我国儿童数学游戏呈现“小学化”特点，儿童认知规律没有得到充分尊重。存在以下问题：
1 忽略儿童数学思维认知发展规律
英国的帕梅拉・利贝克提出“儿童学习数学的过程经历了体验、语言、图画、符号等四个阶段，儿童的数学思维也伴随着这四个阶段从具象到抽象循序渐进地发展”。然而，目前大部分儿童数学游戏忽略了这一儿童认知学习规律，譬如“乐乐的数学”、“小兔子学数数”等，这些游戏通过简单的交互动画引导儿童学习数数，在游戏GUI设计和配音方面考虑了儿童的审美需求，使用高饱和度、高明度的配色和欢快的配乐，在游戏娱乐性方面尚可。但在教育性方面，游戏直接跳过体验、图画等阶段，让儿童学习数数，违背了上述儿童数学思维发展规律。
2 数学知识原理并未与游戏机制真正融合
部分游戏开发商缺乏对数学原理和儿童思维的深入研究，将玩家看成被动接受知识的容器，为儿童提供现成的数学结论或模型，让其进行记忆和反复练习，其中不乏一些下载量较高的游戏，如“乘法达人”、“宝宝学数字”等。“乘法达人”是一款记忆乘法口诀的游戏，但它只是简单地让孩子通过反复记忆来死记硬背，并没有引导儿童发现并理解“口诀”背后的乘法原理。此类游戏倾向于“将数学知识生硬地塞入成熟的娱乐游戏框架中”，虽然保证了教育游戏在表现形式上的娱乐性，但游戏核心机制设计并未和数学核心思想结合，游戏教学设计处于一种“知其然而不知所以然”的状态，无法让玩家了解数学知识背后蕴含的原理。此外，一味死记硬背，会打击儿童学习数学的兴趣，阻碍其数学思维的发展。
3 家长认知误导
研究者对幼儿园大班和学前班幼儿数学知识和能力述评的测查结果表明“学前末期儿童已经较好地具备了小学初期数学知识，但学前儿童学习数学的思维能力发展明显不足”。我国很多儿童表现出超人的数学运算能力：例如美国小学生需要通过掰手指计算的乘法，我国很多学龄前儿童就可以熟练背诵乘法口诀；再如，在中国低年级小学生眼里十分简单的基本算术，日本文部科学省组织的全国学力调查显示“六年级学生的正确率只有82.1%”。然而，这些骄人成绩往往是大量的作业训练和死记硬背的结果，一些家长甚至老师并没有认识到了解数学原理和方法对儿童思维发展的重要性，认为孩子可以提高做题速度和正确率、提升应试水平即可，为儿童买单大量“出题机”数学游戏。受家长消费需求和市场导向，游戏商设计开发大量基于“出题机”内核的儿童数学游戏，家长为儿童买单这些游戏，如此周而复始、循环往复。
根据以上三点分析可知，儿童数学游戏产生问题的根源在于游戏开发商和家长忽略了儿童认知发展规律以及对儿童数学思维的培养。然而，新课程改革提倡数学教育是思维活动的教育，数学教学的最终目标是“学会数学的思维，发展学生的思维能力与解问题的能力”。因此，数学游戏设计应该结合儿童的数学认知发展特点，培养儿童数学思维，而非单纯提高其解题技巧。
二 儿童数学认知发展特点
3～9岁的儿童处于数学概念初步形成和发展的关键期，也是直观形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。此年龄段儿童数学认知的具体特征如下：
1 学龄前儿童――象征性思维为主
研究表明“学龄前儿童（3～6岁）的思维具有感性、具象性等特点，这一时期的儿童并不能进行真正的逻辑思维”。3～4岁的幼儿主要依靠头脑中的表象和具体实物的联想展开思维；5～6岁的儿童的形象思维占主导地位，但已经初步出现抽象逻辑思维。因此，“学龄前儿童的数学认知主要表现为数学意识的感性具象的形式，理性逻辑的形式较弱”。
2 小学低年级儿童――初具逻辑性
小学低年级儿童（7～9岁）的数学认知水平处于皮亚杰提出的“具体运算阶段”，儿童认识到客体尽管在外形上发生变化，但其特有的属性不变。此阶段的儿童已经可以进行一定程度的逻辑推理，但需要借助具体形象或实际经验的支持。比如在理解“相遇问题”时，需要借助“两辆汽车相遇”的具体场景。因此，低年级儿童的思维特征倾向于具体、直觉地理解抽象关系，需要借助具体形象感知理解抽象关系。
由此可见，3～9岁儿童的数学思维都具有很大成分的具体形象性，区别在于不同年龄段的儿童对于具体形象的依赖程度有所差异：“学龄前儿童完全依赖具体表象展开数学逻辑思维；小学低年级儿童开始摆脱了具象的束缚获得逻辑性，但此年龄段的儿童并未掌握抽象的逻辑思维结构，其逻辑性依然依赖于具体经验”。因此，本文根据儿童无法脱离具体形象理解抽象的数学概念这一认知特点，结合“核心图”模型和多元表征理论，尝试建构儿童数学游戏设计模型。
三 儿童数学游戏设计模型
1 “核心图”结构模型
“核心图”（Core Diagram）是由独立游戏开发者Charmie Kim总结提出的游戏结构模型，如图1a所示，设计流程由里及外：核心机制，游戏的核心框架，也是游戏中学习次数最频繁的操作；“游戏规则、设计配乐、故事背景等次级机制围绕核心层层相裹”。以游戏“愤怒的小鸟”为例，如图1b所示，该游戏的核心机制是“弹射”，也是玩家使用频率最高的操作；游戏规则是“在规定次数内除掉小猪”，道具功能是“各类小鸟的攻击方式相异；不同小猪的防御力不等”；GUI设计主要包括：角色（小猪、小鸟），道具，场景等；故事背景：小猪偷鸟蛋，小鸟复仇。
2 多元表征
（1）表征与多元表征
表征，心理学解释为“将一种事、物、想法或知识重新表示出来，因此存在一个‘表征’实体，也必定存在一个‘被表征’实体，两个实体之间存在一种映射关系”。表征分为外部表征和内部表征，外部表征包括叙事性表征（抽象符号）和描绘性表征（具体图像），外部表征可以转义成内部表征；内部表征指学习者头脑中无法直接观察的心理表征。数学学习中，表征是指培养儿童能运用表征的手段来表达数学的概念、解决问题和解释数学现象；多元表征指一个数学对象可以有多重表征形式，如布鲁纳提出“从思维发展的角度将数学表征分为扮演形式的活动性表征、肖像形式的图像学表征和符号形式的符号性表征”。
（2）儿童数学游戏中的多元表征
数学游戏中的多元表征符号本质上是学习对象，数量符号、算术符号、运算步骤等抽象元素属于叙事性表征；游戏形象、道具和游戏操作等具象元素属于描绘性表征。这些表征符号与其被表征的数学知识之间具有一定的关联性，学习者的任务就是在这些外部表征和内部抽象表征系统之间建立必要的映射，并从游戏操作过程中抽象出数学系统。我们将这个学习过程称为“表征的概念化”，“游戏形象和数学符号间形成映射、游戏操作与运算过程间形成类比，引导学习者抽象出内部数学逻辑思想”。
笔者将儿童通过游戏表征学习数学系统的过程称为“表征概念化”，也就是将外部游戏表征系统概念化、抽象成为内部数学思维系统，详细流程如图2所示，根据儿童具象化思维特征，首先建立与叙事性表征符号（抽象数学符号）具有映射关系的描绘性表征符号（具象游戏形象）；设计与数学运算原理具有类比、映射关系的游戏规则和机制；然后，引导儿童按照该规则、步骤控制游戏形象，逐步建立游戏操作模式；儿童通过反复感知、操作游戏规则的行为产生“直觉唤醒”，将外部表征系统转换、转译成内部表征系统（运算原理和逻辑思想）。如此，完成整个“表征概念化”游戏学习过程。由此可见，多元描绘性表征系统能够帮助儿童从多元具体形式中抽象数学问题的内在结构和原理，并转译成内部数学符号系统，从而开发儿童数学思维。因此，在儿童数学游戏设计中，应该倡导“多元表征”的设计理念。
3 多元具体化游戏设计模型
英国数学教育家Dienes最早提出“数学学习的‘多元具体化原则’，他认为儿童可以通过玩数学游戏学到数学知识、发现数学结构，这些游戏的对象就是数学学习对象的具体化表征形象，游戏的规则蕴含了数学规律或关系”。那么，“多元具体化原则”如何运用于儿童数学游戏设计中？根据“核心图”结构，游戏设计流程经历核心机制设计、规则设计、角色道具设计和背景故事设计四个环节，其中故事背景根据角色设计确定，因此我们只探讨核心机制、规则和角色道具设计三个部分。具体设计模型如图3所示：
（1）核心机制映射数学思维，游戏规则等效数学方法
“核心图”结构指出“核心机制和规则是在游戏中发生最频繁交互行为”，玩家操作和学习频率最高的部分；操作性学习理论指出“学习者在手动操作中，进行积极的数学思维活动，从而实现外部操作规则向内部数学思维的转化”。因此，核心机制和规则的设定应该通过对运算方法的类比分析进行设计，并与运算程序“结构等效”（Falk Seeger，a stmcturally equivalent‘presentation’）。如此，儿童才能借助外部操作动作类比、抽象出其中的数学思维。例如“乘法分配律”知识点的核心思想是“划归”，数学方法是“提取公因式”，那么将核心机制与规则的设计映射为“提取某个相同角色”，并将这一操作作为游戏规则，为操作其他游戏角色提供参照。
（2）游戏道具类比运算符号
游戏道具是指游戏中具有特殊功能的装备，能够对游戏角色产生特定作用，这一特点与运算符在计算过程中的功能不谋而合。因此，类比运算符的功能设计游戏道具和装备，儿童通过使用道具掌握道具的计算功能，然后以“道具升级”方式将游戏道具转变成数学运算符。本文研究的运算符号主要指：加、减、乘、除、括号等，以加法为例：与“+”对应的道具功能需要被映射成联合两个游戏角色的操作，待儿童理解该道具的计算功能后，再将道具的外形过渡为“+”。
（3）游戏角色表示数量符号
游戏角色是玩家的操作对象，数字、字母等数量符号是运算的对象。设计游戏时，用角色表示数量符号，能够提升数学游戏的“亲和力”，让儿童在接触数学游戏时觉得这仅仅是一款纯粹的娱乐游戏。游戏角色设计从描绘性表征过渡到叙事性表征，游戏角色表征形象的设计风格从具体的卡通造型过渡到半抽象的图形再到完全抽象的数字。前部分关卡的角色设计结合故事背景，采用具体形象作为角色；后部分关卡的角色设计逐步过渡到抽象的图形、字母和数字。
四 儿童数学思维启蒙游戏“动物狂欢节"设计实例
1 游戏总体介绍
“动物狂欢节”是一款培养3―9岁儿童的数学思维的游戏，选取的知识点是人教版小学四年级下册的乘法分配律的逆运算，即a×b+a×c=a×（b+c），游戏目标是培养儿童的划归思维。游戏以动物狂欢节为故事背景，分为四个场景：海洋动物、天空鸟类、草丛昆虫和丛林走兽，玩家通过拖拽动物卡片到“传递门”，将所有动物送至狂欢节现场。
2 设计分析
具体的设计分析主要从核心机制、规则、道具以及角色这四个方面展开：
（1）核心机制与规则
根据上文总结的设计模型，围绕数学知识点以及相关原理和思想，展开游戏的核心机制设计；围绕数学公式和方法展开游戏规则设计。
游戏前3个场景传授“化归”思维，第4场景培养“系数”概念。图3的举例部分已经提出“划归”思想和“提取公因式”方法的游戏操作规则设计是“提取相同的角色”，具体设计如下：图4a所示，首先拖拽相同的动物卡片至“传递门”；图4b所示，此时会产生魔法光环；然后如图4c和图4d所示，依次将剩余的两个动物卡片拖入魔法环内，如此，本关卡中的所有动物就能通过“传递门”到达狂欢节现场。
游戏第4场景培养“系数”概念，系数指单项式中的数字因数，例如，代数式“3y”中常量3是系数，它表示一个常量3与变量y的乘积，等于y+y+y，也就是“3个y相加”，系数的数学思想可以通俗地解释为“有多少个变量相加”。因此，第4场景的核心机制和游戏规则依据“有多少个变量相加”设计为“多少个小动物相加”，具体操作如下：如图5a所示，首先界面中显示两只猩猩；然后，如图5b所示，游戏规则设定从其中一张猩猩卡片后拖出黑点卡片“1点”；接下来，如图5c所示，将另一只猩猩卡片拖拽到第一张猩猩卡片上；操作完成后，如图5d所示，此时的黑点卡片中黑点的数量从“1点”变成了“2点”。根据索菲安和戴维道夫的观点“儿童数学思维的起源不是数数、也不是通过目测获得的对数的感知理解，而是在于数量的比较”。儿童在上述游戏操作中将观察到相同的卡片合并后，黑点卡片中点数发生了改变，当拖拽增加一只猩猩时，黑点数量也相应地增加一个。反复进行此操作后，儿童便能理解黑点的数量就代表“多少只猩猩相加”的数量，从而抽象出“系数”这一数学概念。
（2）道具功能设计
游戏道具功能设计依据知识点中的运算符号，乘法分配率中主要涉及加法、乘法和括号等。因此，本游戏通过道具升级的方式，逐步引入上述运算符和结合符，具体设计如图6所示。
（3）角色设计
游戏角色本质上是数量符号的表征，乘法分配律中的数量符号包括数字、字母和单项式。考虑到儿童数学思维发展的具象特点，游戏角色设计为卡通动物卡片，然后逐步引入数字、符号等抽象数量符号。“动物狂欢节”的游戏角色设计从具体的卡通造型过渡到半抽象的图形、数字，再到完全抽象的数字，如图7所示，整个游戏的形象表征经历了从描绘性表征到叙事性表征的转变，循序渐进地引导儿童接受抽象的数字和数量符号。
具体设计如下图所示，草丛场景的初步关卡，如图8a所示，游戏初期关卡的角色设计是四张具体的昆虫卡片，儿童在反复操作中学会“提取相同卡片”的游戏规则；随后关卡，如图8b所示，将“公因式”卡片“蚂蚁”换成半抽象的字母b；接下来的关卡，如图8c所示，将不同卡片分别置换成“三点”和“两点”系数卡片；最后关卡，如图8d所示，将半抽象的系数卡片完全置换成抽象的数字系数卡片。
从“动物狂欢节”游戏设计的过程中，我们可以更加具体地理解如何使用游戏表征设计模型来设计一款儿童数学游戏。
自儿童哲学诞生以来，儿童哲学课程也是各路学者关注的焦点，儿童哲学课程在国内研究者的研究中大多适用于校本课程当中。而在学前教育当中，也可以用于园本课程的探索。儿童天生就是哲学家，天生就能提出一些意想不到的哲学问题，天生就带有好奇心看世界，但是若缺乏系统的思维训练，缺乏发现这些哲学问题的眼光，无疑到最后便会变成缺乏思考能力的人。因此，对于学前儿童来说，也需要这样的思维训练，这便是学前儿童哲学课程的意义所在，在学者的研究当中，儿童哲学课程在一些发达地区的中小学已经初见端倪，但是整个学前儿童哲学课程还在摸索当中。
一、学前儿童哲学课程的内涵
西方国家认为“儿童哲学”是为儿童提供的哲学课程。在全国教育哲学学术委员会2015年高峰论坛中凸显了当前儿童哲学教育有几种不同的价值观念，公民教育取向的看法是以批判性思维、自由意识和社会责任感培养为主，方法论取向的看法是以训练思维为主的，而人文教育取向的看法是以提高哲学素养为主。学前儿童哲学课程可以说是以训练学前儿童思维为主，培养独立思考的意识以及沟通合作能力，最终达到培养提高学前儿童哲学素养目的的活动。
二、提出学前儿童哲学课程的必要性
余保华、刘晶（2015）在其文章中提到，澳大利亚将培养具有批判性思维、探究性与合作性能力的儿童，作为应对时代挑战的核心对策，把儿童哲学引入基础教育课程体系。澳大利亚儿童哲学课程发展启示我们，逻辑推理与批判性思维的训练应该从儿童开始，错过关键期想在儿童成年后再去实现这样的目标则十分困难；针对儿童理性思维训练的内容应该有专门的课程体系，这种课程应该是统整性的。基于此，在学前教育或小学阶段开始设置儿童哲学的课程内容，是完全必要也是可行的，这也是形成学生批判性的思维品质进而提升教育质量的有效途径。学前儿童哲学课程的提出还可以保护学前儿童的哲学天性，留住幼儿由于好奇心提出的哲学问题，并从中激发幼儿的思考。这样的课程提出可以让学前儿童得到更好的发展，幼儿在好奇心的驱使下可以提出让人意想不到的新想法或事物，这也正是我们时下所倡导的培养人的创新能力，把一切能够培养人创新能力的想法从幼儿期开始激发出来。
学前儿童哲学课程的提出能够训练幼儿的思维能力，在竞争如此激烈的大环境当中，如何教育培养人才是各个国家讨论的主题，而儿童的创新能力便是关键，但儿童的创新能力与批判性思维能力密不可分，因此能够开发人的理性思维就是开发人的创新思维。幼儿的理性思维不是一蹴而就的，也不是凭空出现便不会消失的，需要训练才能长期保持并一步步提高。而哲学课程便是能够训练幼儿的哲学思维能力的活动。
三、学前儿童哲学课程的理论基础
（一）基础之一：哲学
世界上很多著名的哲学家都认为哲学源于惊讶，古希腊哲学家亚里士多德、柏拉图都秉持这一观点。亚里士多德认为，“古往今来人们开始哲理探索，都应起于对自然万物的惊异。”并且柏拉图在《泰阿泰德篇》中说：“惊讶，这尤其是哲学家的一种情绪，除此之外，哲学没有别的开端。”“这地地道道是哲学家的情绪，即惊讶，因为除此之外哲学没有别的决定性的起点。”其实惊讶并不是我们常说的少数人的专利，每个人从出生的那一刻开始就对自己和世界都怀有o限的惊讶与好奇，幼儿不断发出“为什么”的信号，提出“我是怎么出生的”“我为什么在这里”“世界从何而来”等根本问题。这些问题正是哲学诞生之初，古希腊哲人们争论不休的哲学问题。儿童天生就是哲学家，但他们思考往往是一种直觉反应，特别是对于还处于具体形象思维的学前儿童阶段更是如此，由于学前儿童的惊讶并没有经过理性的思考审查，必然会犯逻辑上的错误，李普曼认为需要对学前儿童的这种直觉反应加以训练打磨，儿童的这些逻辑错误以及思考上的混乱与不足才会得到纠正与引导，才能对日后的言语及行为带来积极影响。因此学前儿童也需要把直觉反应经过理性的思考训练，若在关键时期内得到了引导训练，便会在以后的思考中事半功倍。
儿童哲学所倡导的对儿童思维能力的训练，为推动理性思维发展的学前儿童哲学课程提供了重要的基础。
（二）基础之二：心理学
