关键词：初中数学；理论教学；教学方法
数学是一门自然学科，也是一门实践性较强的学科，生活中数学的应用无处不在，因此，学生对于数学的学习应极其重视。根据对前人初中数学理论教学方法的相关资料搜集，笔者发现前人对于教学方法的运用、推荐，多数与平常知识的教学一般无二，且有些文章发表时间距今甚远，并非新课改背景下初中数学理论新的教学方法。为更好地应对新课改为初中数学带来的机遇与挑战，笔者结合自己的数学教学，在下文中为数学的理论教学方法提供相关借鉴。
一、提供大量实例
笔者认为，实例是帮助学生进行理论理解的最佳参考。一般情况下，我们对于理论的教学往往采取两种方式：例子―理论―例子，理论―例子―理论。也就是说，实例与理论交替呈现给学生，以便于学生更好地理解。笔者在此提倡，我们所呈现的实例，应包括正例、反例以及变式。通过给学生呈现大量的实例，能够切实帮助学生进行理论的理解和运用。
例如，在对勾股定理进行教学时，我们可以先给学生几组数据，要学生在草稿纸上画出满足要求的三角形，如三角形三个边长分别为3，4，5；5，12，13；5，7，9等，其中要包括直角三角形以及非直角三角形。随后，要求学生自主进行探究，发现勾股定理的内容。之后，教师进行勾股定理概念的讲解，即“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方和”，利用经典的直角三角形ABC，让学生明白，这句话的意思就是a2+b2=c2。
随即，我们给学生呈现大量的实例供学生练习，当然，正例、反例交替呈现。正例如直角边为3，4斜边为5的直角三角形，直角边为5，12斜边为13的直角三角形等。反例即是各种非直角三角形，其边长绝对不构成勾股定理所呈现的平方和关系。这是通过例子―理论―例子的方式对理论进行讲解。通过此番练习，相信学生能够更好地对勾股定理进行了解。
二、联系已有知识
数学的学习是建立在过去的知识经验基础之上的，从“1+1=2”开始，学生在小学阶段已经累积了大量的数学学习素材，例如图形的认识、加减乘除四则运算等，这对于初中的数学学习已然成为前提。笔者提议教师教学时将现学知识与过去已学的知识联系起来，是为帮助学生对这些知识形成更深刻的印象，避免其被学生抛诸脑后，甚至到最后全部遗忘。
例如，我们在对直角三角形全等条件进行教学时，可以将其与全等三角形SSS条件与勾股定理相联系。教材中直角三角形全等的学习在三角形全等的学习以及勾股定理的内容之后，此时对直角三角形全等条件HL的教学就可与之相联系。也就是说，我们可以先为学生呈现两个直角三角形ABC与DEF。已知直角边AC=DF，BC=EF，那么，直角三角形ABC与DEF是否全等？为什么？一般情况下，学生会根据三角形全等的SAS条件来证明这两个三角形相等，教师可以对这种方式进行肯定后，教会学生另一种证明方法。
AC=DF，BC=EF
AC2+BC2=DF2+EF2
AB2=DE2（勾股定理）
AB=DE，又AC=DF，BC=EF
ABC≌DEF（SSS）（勾股定理）
这是采用一种新的思路来解决这一数学问题，这样的解题思路虽然比运用SAS直接进行解题要繁琐一些，但却运用了多个原理进行解题。当然，教师还是要提倡学生运用简便方式进行解题，此举只是为了让学生更深层次地理解直角三角形HL这一全等条件。
三、提供简便方法
知之者不如好之者，好之者不如乐之者。学生浓厚的学习兴趣是学生学习的不竭动力。针对学生数学学习中的难点，教师可以利用多媒体设备进行教学，可以利用新颖的教学方式进行教学，当然，学生最喜欢的就是简便快速的记忆方法。笔者下面对初中数学中常用的几个三角函数的忆提供简便的学习方法。
初中数学的三角函数，只涉及了sin、cos以及tan，即正弦、余弦、正切。三角函数的度数，只涉及常用到的30°、45°、60°。通常情况下，教师会列出表格要求学生进行记忆。而笔者会为促进学生进行sin和cos的记忆，提供相应简便、易掌握的方法。如对于正弦来说，三个度数的分母都是2，分子的数字按度数从小到大依次是根号1、2、3；对于余弦来说，三个度数的分母都是2，分子的数字按度数从小到大分别是根号3、2、1。这样的识记方式对于学生来说更容易理解，也更容易使学生进行较为深刻的掌握。
对于初中生来说，新课改带来的新颖的教学方式能够引起学生对于数学学习的浓厚学习兴趣，教师也应抓住此机遇不断对自身的教学进行完善，使学生能够切实在兴趣的指引下获得更多的数学知识。
参考文献：
Abstract： In-depth understanding of mathematical notions is the foundation to learn higher mathematics. In this paper， several confusing notions are interpreted by the use of piecewise function as a counter example in higher mathematics； counter example of piecewise function makes the abstract concepts more concrete. Piecewise function as a counter example can help students cultivate the thinking ability and improve innovation ability.
关键词： 高等数学；概念；分段函数；反例
Key words： higher mathematics；notions；piecewise function；counter-example
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）26-0219-02
0 引言
学习数学可以锻炼学生严谨的思维，培养分析问题和解决问题的能力，高等数学是各高校的理工农林等专业学生必修的基础课。在高等数学中起着基础、关键、贯穿作用的是数学概念。每个数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提。数学概念的简洁、抽象、严谨等特点导致很多学生对高等数学学习有畏惧感，感觉抽象、枯燥，乏味。在有限的学时内，让学生正确理解概念，教师举例说明是直观的，可以减少学生学习活动的盲目性。逆向思维可以打破学生的定向思维，使其从多层次、多角度理解概念，进而深入的掌握知识，大大的开拓视野。利用反例教学在高等数学的教学中起着画龙点睛的作用。
分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的一个函数。分段函数在每段内对应的解析式是初等函数，在分段点处的特性往往会发生很大的异常，这也是用作反例的重要价值。本文主要将一元分段函数作为反例，在高等数学中学生不易理解或者易混淆的几个重要概念中进行应用。
1 初等函数与分段函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数。由于分段函数是由几个式子表示的函数，有些老师讲解初等函数的概念时，只强调初等函数用一个式子表示，轻易地得出分段函数非初等函数的结论。事实上并非所有的分段函数都不是初等函数。
例如，函数y=3x+2，x？叟0x+2，x
2 有界函数与函数值
若函数f（x）在区间I内有界，则称f（x）在区间I内为有界函数。初学有界函数概念的学生易与有限的函数值混淆。事实上函数有界是函数在研究区间整体的一个性质，函数值是某点按照对应法则计算的结果，这两个概念是整体和局部上的区别。
例如，分段函数f（x）=■，x≠00，x=0在任意x0点的函数值为有限值■，但是对任意的θ（θ>1），不妨取x0=■≠0，有f（x0）=■=2θ>θ，从而知函数f（x）为无界函数。
3 函数极限与函数值
如果在xa的过程中，对应的函数值f（x）无限地接近于常数A，则称数A是函数f（x）在点a的极限。初学函数极限的学生易想当然的认为函数的极限就是函数在点a处的函数值。事实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值无关。
例如，已知函数f（x）=■，x≠25，x=2，极限■f（x）=
■■=■（x+2）=4，而在x=2处的函数值f（x）=5≠4。
4 无穷大与无界函数
若对于任意给定的不论多么大的正数M，总存在δ>0，当0
例如，已知数列函数f（n）=n，n=2k■，n=2k+1，其中k为整数。显然它是一个无界数列函数，但当n+∞时，它不是无穷大，因为奇数子列是收敛的，极限值为0。
5 原函数和可积
若f（x）在闭区间I上有原函数，很多学生就认为函数f（x）在闭区间I上可积。这是因为他们将原函数和可积两者认为等价的。事实上，函数具有原函数和可积不是充要条件。
例如，分段函数f（x）=2xsin■-■cos■，x∈（0，1] 0，x=0，又知函数F（x）=x2sin■，x≠0 0，x=0，且有F'（x）=f（x）。因此F（x）为函数f（x）的原函数，但是分段函数f（x）在闭区间[0，1]上不连续，故在[0，1]上不可积。
通过列举一个反例能够调动学生学习的积极性，将思路引到正确的轨道上来，加深学生对知识的理解，辨析错误，可以让学生少走很多弯路。同时，反例还可以促使学生去寻找某些结论成立的新条件，培养学生严密的思维能力。在高等数学中证明充分而非必要命题（定理、法则）、必要而非充分条件命题（定理、法则）时，分段函数作为反例仍起到重要的作用。
参考文献：
[1]吴怡.数学概念的教学策略初探[J].教学与管理，2009（27）：129-130.
关键词： 变式教学 初中数学 教学应用
引言
变式教学主要是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，包括变换问题中的结论或条件，更换命题中的非本质特征，变换问题的形式与内容，从而使学生掌握数学对象的本质属性，提升数学学习水平，进而促进整体数学教学效率的提高。
一、变式教学应遵循的原则
将变式教学应用于初中数学教学中，必须遵循以下几个原则，保证教学应用的合理性与效果：其一，题目的引申要合适有度。在实际教学中，若引申过多的题目，则会加重学生的负担，长此以往，便会产生厌恶数学的情绪。因此，在变式教学中，习题例题的引申内容和方式，均应根据教材内容与学生的具体情况而定，合适有度地变式引申，有助于学生提起兴趣，激发灵感，进而提升数学学习水平。其二，根据学生接受能力制定教学目标。在进行初中数学变式教学时，一定要充分考虑学生的基础知识掌握度及接受能力，只有在这样的前提下制定的教学目标，才能适合学生，才能运用自如。其三，以调动学生的主观能动性为目的。应用变式教学时，教师应该引导学生去“变”，使学生在“变”的过程中获得知识，在“变”中提高能力，调动自己的主观能动性[1]。
二、概念变式教学的具体应用
概念变式教学的具体应用，主要通过六大步骤完成：问题情境探究新知形成概念变式深化变式训练总结升华。问题情境是指教师在概念教学中根据概念类型、设计概念引入变式，将概念还原到客观实际中，例如还原到模型、实例、题组等实际中，进而提出问题；接着，学生根据教师创设的问题情境，进行自主创新学习，学生可通过自主探究、小组讨论、师生讨论释疑等形式，从实践经验与原认知结构中提取与新知相关的旧知，进而构建新知；学生在讨论、探究新知的基础上进行自主归纳、概括，进而形成概念；形成概念之后，教师不应急于引导学生运用概念解决问题，而应该引导学生对概念作进一步探讨，通过等价深化变化、辨析变式等，使学生对概念有更深一层的了解；在这一环节的教学中教师可精心选编题目，利用变式获得一组变式训练题组，让学生运动变式进行解答；在以上各环节完成之后，教师引导学生对课堂教学内容及方法作适当的评价、总结，使学生对本节课所学概念、方法得到更深层次理解，使知识得以升华[2]-[3]。
三、例题变式教学的具体应用
例题是将初中数学知识、技能、方法与思想连接起来的纽带，因此，进行例题变式教学，显得很有必要。在初中例题教学中，教师可将课本上的例题进行合理变式，使学生从多层面、多结论、多角度了解知识。例如，教师在教学“勾股定理”证明，定理为在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知：直角三角形的两直角边的长分别为A、B，斜边长为C，求解：A +B =C。
上图中，图1边长为A，B的两个正方形连在一起，S=A +B ；图2由4个全等直角三角形和1个小正方形所组成；若将其中的2个三角形移动到图2中，便会得到1个边长为C的正方形，面积为C ，因此便可得到A +B =C ，此种变式方法是从我国古代赵爽的证明方法衍生而来的。
四、习题的多层次变式设计
习题的多层次变式设计，是指在题型不变的情况下，对图形、条件、结论进行合理变化的一种教学方式，通过习题的多层次变式设计，激发学生对初中数学的学习热情，从而调动学生学习数学的积极性与主动性。例如，教师在讲解菱形判定时，教材中有一题：在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F，四边形AFCE是菱形吗？
根据已知条件与图3分析，可将题目变式为：已知矩形ABCD，将四边形ABCD进行折叠，使点B与点D重合，画出折痕后，判断四边形AECF的形状，并阐述理由，若AB=6，BC=8，便可求出EF长。通过条件中图形变化，使学生对菱形的折叠等规律有进一步理解，进而掌握此类题型的解题思路与解题方法，实现“以不变应万变”。
结语
初中数学对初中学生而言难度较高，很多学生在这一阶段无法适应枯燥、乏味、单一的数学课程，导致对数学知识掌握较慢，且容易出现厌学情绪。基于这种现象，初中数学教师应该引起重视，合理应用变式教学法，引导学生联系生活实际，从生活中发现数学问题，学会用灵活的方式变换数学概念，轻松理解数学知识，从而调动学生学习数学的积极性与主动性，最终提高初中数学教学的整体教学质量。
参考文献：
[1]媛.以“变”显“质”――谈初中数学变式教学[J].新课程学习・中旬，2012，12（12）：92-93.
关键词：应用；初中数学；案例
初中数学是在学生已有的数学基础上进行进一步的拓展。此时的数学除了继续注重基础知识之外，还尤其注重对学生思维能力的培养。案例教学就是现在一种新型的教学方式，是指给学生一些案例阅读，让他们先对案例进行讨论和研究，之后在由教师进行引导，将案例中涉及的理论知识引申剖析出来。但案例教学之前主要应用于商学和法学这一类的学科上，要将其运用在数学上尤其是初中数学上有一定的难度性。因此，教师要把握住初中数学的特点，先选择合适的案例，之后在合适的时机用合适的方式将案例应用到教学中。本文主要探讨案例的选择和案例在课堂的运用。
一、案例的选择
教师在对案例进行选择时，首先要注重案例与理论的相关性。一个和理论没有任何关系的案例，不论它是多么精彩对于教学都是毫无作用的。因此，教师在选择案例的时候，要先对案例进行研究分析。最好还能对案例进行各种推论研究，这也对提高教师在课堂上对案例讨论结果的掌握能力，有助于教学的连贯性，也有助于教师帮助学生进行知识网络的构建。而且案例的选择最好具有实践性，这样才能够让学生更好地理解理论知识。当然，案例的选择最好还应带有一定的趣味性，能够提高学生的学习兴趣。如果能够找到的案列较多，教师还可以挑选一些具有叠进性的案例，有利于学生进行循序渐进的学习。人教版教材的一大特点就是附带很多案例，而且兼具趣味性、理论性和实践性，是很好的案例教学的材料。教师可以有选择性地拿去使用。以最新一版七年级上册有理数一章为例“填幻方”为例，教师在进行书上的例子前，可以要求学生先观察：下列这个三阶幻方（1）中，有哪些相等的关系？每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？之后进行书上案例的探讨学习。这样一来，书上案例的切入就不会显得突兀，而且有了此案例的引导，之后学习的连贯性、理论知识点的导入性就会强很多。
二、案例在课堂中的运用
（一）明确教学目的
教师要想案例教学能在课堂中有效地被运用，心中一定要有明确的教学目标，就那上文“填幻方”的案例来讲，教师在使用这个案例时一定要在心中明确使用这一案例的目的是为了教授学生有理数加减法，所以要将学生尽量往这一方面引导。如果教师不能明确教学目标，自然也就不能明确自己想要达到的教学效果，对课堂节奏的把握上也会大打折扣，这对提高课堂效率也会起到相反的作用。而且学生在经过多次讨论，如果教师在此时不能给出明确的目标方向，学生很容易偏离主干线，也达不到让学生通过讨论加深对知识的记忆，反而会让他们产生记忆的混乱。
【关键词】函数性质 初中数学 教学方法
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）31-0133-02
对于教师而言，应该高度重视函数教学，依照从易到难、由简入繁、循序渐进的方式，对函数知识进行传授，培养学生对于函数的认知能力，在课堂教学中，采用有效的教学方法，为学生创造出一个有效的平台，帮助学生理解和认识函数的本质规律，通过例题的方式，实现理论与实践的有机结合，对学生的函数思维模式进行培养，确保其能够合理利用函数的观点和方法，对实际生活中遇到的各种问题进行解决。
这里结合具体的教学实例，对初中数学函数教学的方法和课程设计进行简要分析。
例1：在ABC中，BC边的高为6cm，如果从三角形顶点C沿BC边所在的直线，向B点做直线运动，则三角形的面积出现相应的变化。结合已知条件，回答下列问题：（1）在C点向B点运动的过程中，自变量是什么？因变量又是什么？（2）设BC边的长度为x，面积为y，则x和y之间的函数关系是什么？（3）假定BC边原本的长度为12cm，在C点运动的过程中逐渐缩短到3cm，那么在这个过程中，ABC的面积呈现出怎样的变化[1]？
对于这个例题，在进行讲解的过程中，如果单纯依靠口头描述，学生必然会感到云里雾里，不知所然。对此，教师可以在黑板上画出ABC的图形，然后在BC边上任意选择几个点作为C点移动过程中的到新点，将原本抽象的问题变得更加形象，以方便学生进行观察。结合题目的已知条件，可以看出，伴随着C点的移动，三角形的面积出现了较大的变化，而且只有当C点停止移动时，三角形的形态才会确定下来，有唯一一个对应的三角形。因此，对于第一个问题，C点运动过程中的自变量为BC边长，因变量是ABC的面积；对于第二个问题，结合BC边上的高为6cm的已知条件，结合三角形面积计算公式，可以得到x与y的函数关系式，即y=3x（3
在上述分析中，提到的三个问题都是非常基础的问题，不过同样能够引导学生了解函数的概念和本质特征。为了进一步对函数教学方法课程设计进行阐述，这里仍然以例题的方式进行讲解。
例2：在南海军演中，假定一枚炮弹在发射后，呈现出比较规则的抛物线运动，经过26s后落入海中，并且准确击中假想目标。已知炮弹发射的最大高度为845m，设炮弹与海面的高度为h，下落时间为t，则可以利用相应的函数表达式h=130t-5t2来表示。结合上述条件，运用所需的函数知识分析，h是t的函数吗？为什么[2]？
对于这个问题，在讲解过程中，同样需要首先在黑板上画出相应的坐标系，在坐标系中标明炮弹的运行轨迹。以发射点作为远点，分别引出x轴（时间）和y轴（高度），炮弹落入海面的位置即抛物线与x轴相交位置，以D来表示。然后，教师可以在x轴的线段OD之间任意选择一个点M，作x轴的垂线，与抛物线的交点为P，测量M的横坐标和P的纵坐标；再次于线段OD上选择任意点N，同样作x轴垂线，与抛物线交点为Q，测量N点横坐标和Q点纵坐标。以此类推，尽量多选择几个点进行坐标值的测量，从而使得学生认识到，伴随着横坐标点位的移动，其坐标值以及与抛物线交点的纵坐标值都会出现相应的变化。而无论取值点的位置如何，横坐标x都存在对应的纵坐标y，而且取值唯一。由此可知，函数值y会随着自变量x的变化而相应变化，结合题目中的已知条件，就可以明确，任意时间点t依照上述对应关系，都存在唯一对应高度h，也就是说，h是t的函数。
上述教学设计的主要目的，是使得学生能够充分了解函数的概念及本质，加深其对于相关知识的理解和记忆，认识到自变量x和因变量y之间的对应关系：变量x的每一个定值都存在唯一对应的变量y，在这种情况下，就可以说y是x的函数。同时，结合上述实例，还可以引导学生正确理解x与y的对应关系，明确x的取值范围。
为了保证良好的教学效果，教师还应该布置相应的课后习题，在帮助学生进一步巩固函数概念的同时，也可以培养其创新意识。例如，给出函数关系式y=x2+5（x>0），鼓励学生结合日常生活中的场景，对函数式的对应关系进行解释，使得其能够将函数的思维和方法应用到现实生活中，解决实际问题[3]。
总而言之，函数在初中数学中有着毋庸置疑的重要作用，甚至已经逐渐成为了初中数学学习中的一条重要纽带。对于教师而言，在教学环节应该对教学案例进行精挑细选，突出案例的典型性和代表性，确保学生能够真正理解和掌握相应的函数方法，促进课堂教学效率和水平的提高。
参考文献：
[1]贾靖林.信息化环境下初中数学函数教学的策略研究[J].中国教育技术装备，2011，05：85-86.
论文关键词：例谈不等式恒成立中参数范围的确定
确定恒成立不等式中参数的取值范围，常需灵活应用函数与不等式的基础知识在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定恒成立不等式中参数的取值范围？课本中从未论及，但它却成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想与数形结合思想指引下，灵活地进行代数变换、综合地运用所学知识初中数学论文，方可取得较好的解题效果，因此此类问题的求解当属学习的难点．笔者试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结．
一、不等式解集法
不等式在集合A中恒成立等价于集合A是不等式解集B的子集；通过求不等式的解集并研究集合间的关系便可求出参数的取值范围．
例1 已知时，不等式|x2－5|<4恒成立，求正数a的取值范围．
解 由得；由| x2－5 | < 4得1< x2< 9，－3 < x <－1或1 < x < 3．记A =， B = (－3,－1)∪(1, 3)， 则AB．∴－3 ≤<≤－1（无解）或1≤<≤3，∴0< a≤，故正数a的取值范围(0, ]．
二、函数最值法
已知函数f(x)的值域为 [m, n]，则f (x)≥a恒成立f (x)min≥a，即m > a；f (x) ≤a恒成立n≤a．据此，可将恒成立的不等式问题，转化为求函数的最大、最小值问题．
例2 若不等式2x－1 > m (x2－1)对满足－2≤m≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围．
分析 若将原问题转化为集合[－2, 2 ]是关于m的不等式(x2－1) m<2x－1的解集的子集，则解不等式需分类讨论．若今f (m) = (x2－1) m－ (2x－1)，则可将问题转化为f (m)在[－2, 2 ]上的最大值小于零，而f (m)是“线性”函数初中数学论文，则最值在区间端点处取得，便有如下简解．
解 令 f(m) = (x2－1) m－(2x－1)， 则 f (m) < 0 恒成立 f (m)max< 0
，解之得<x<，即x 的取值范围为(,)．
例3 若不等式x2－m(4xy－y2) + 4m2y2≥0对一切非负的x, y值恒成立，试求实数m的取值范围．
解 若y = 0，则原不等式恒成立；若y≠0，则原不等式可化为
≥0；令t =，则t≥0且g(t) = t2－4mt + m + 4m2≥0．问题转化为二次函数g(t)在区间[0,+∞)上的最小值非负．
故有 或 ．解得m的范围为(－∞, －] ∪[0,+∞) ．
说明 二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题，可使原本复杂的问题变得易于解决．
三、参数分离法
将参变元与主变元从恒不等式中分离，则在求函数最值时可避免繁冗的分类讨论，从而更好地实施“函数最值法”．
例4 若不等式2x + 2≤a (x + y) 对一切正数x, y恒成立，求正数a的最小值．
解 参数分离，得a≥= f (x, y)．x +3y≥2，∴3 (x+y)≥2x + 2，∴f(x, y) ≤3初中数学论文，∴a≥f (x, y)max=3，∴a的最小值为3．
例5 奇函数 f(x)是R上的增函数，若不等式f (m·3x) + f (3x－9x－2) < 0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解 f(x)为奇函数，∴原不等式等价于：f (m·3x)< f(3x－9x－2)，又f(x)在R上为增函数，∴m·3x<3x－9x－2，不等式两边同除以3x，得m<3 x +－1= f (x)．
3 x +≥2，当且仅当3 x =时取“=”，∴f (x)min =2－1，故所求m的取值范围为(－∞, 2－1)．
说明 （1）在求解本例时，若无分离参数的求简意识，则必转化为含参二次函数在区间上的最值问题，不可避免地要进行分类讨论．
（2）诸多数学问题在通过代数变形后均可转化为形如f (x) = ax+型函数的最值问题，其最值的求解通常用重要不等式或函数单调性来完成．
四、数形结合法
将恒成立的不等式问题，合理转化为一函数图像恒在另一函数图象的上（下）方初中数学论文，进而利用图形直观给出问题的巧解．
例6 若不等式 3 | x + a |－2x + 6 > 0 在R中恒成立，求实数a的取值范围．
解 尝试前述方法均较麻烦，而将原不等式变为
| x + a | >x－2，令f (x) = | x + a |，g(x) =x－2，作
出它们的图象如右图所示，便有－a < 3即a >－3，所
求范围为(－3,+∞) ．
综上所述，求恒成立不等中参数的取值范围固然有四类彼此相联的思考方法，但是，只有在函数思想的指导下，树立数形结合与参数分离的求简意识，面对具体问题时才能取得良好的解题效果．
关键词:农村;初中;小学;财政投资;资金支出结构;义务教育
中图分类号:F08;G40-054 文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)11-0122-06
农村义务教育财政投入总量长期不足,是制约我国农户教育水平提高、农村人群素质改善的因素之一;而农村义务教育财政投资结构优化则与农村义务教育质量改善、投资效率提升呈现正相关关系。许多研究者(比如安彦林,2005;胡东兰和汪欣,2005;王德文,2003;张玲等,2002;等等)都曾考察过义务教育财政投资的结构问题。研究的大部分结果表明,(农村)义务教育财政投资管理级次过低;对高等教育和义务教育投资的分配不合理;教育投资的城乡地区差距大。江文涛(2006)利用1998―2003年时间序列数据考察了农村义务教育投资的现状,研究的重点为农村义务教育投入的政策性因素特征。与本文出发点类似的是,申亚民(2003)曾考察过中国西部教育投资使用结构并撰写了文章,该文依据经济学边际技术替代率思想,通过西部与全国平均水平比较以及利用等效率曲线寻找西部教育投资使用的合理范围。目前,对农村义务教育财政性投资支出结构特征、现状的研究鲜有文章触及。本文主要关注于农村地区间的基础教育国家财政性投资支出结构,试图利用时间序列数据,描述现阶段农村初中与农村小学国家财政性投资支出结构的动态特征,以便为优化投资方向提供实证证据。
一、农村初中与农村小学教育财政投资结构分析
(一)农村初中与农村小学教育财政投资结构分项目数量与增速分析
1.国家财政性农村初中与农村小学教育投资总量与增速
从总量上看,根据下页表1中数据,20世纪90年代中期以来,我国国家财政性农村义务教育投入总量快速增长,增建甚至高于国民生产总值增长率。1993年,我国农村初中财政性教育经费投入总额118.64亿元,农村小学财政性教育经费231.97亿元;到2003年,这两项指标分别达到376.42亿元和766.41亿元,比1993年分别增长了2.17倍和2.30倍;到2004年,这两项指标分别达到468.28亿元和925.33亿元,比1993年分别增长了2.95倍和2.99倍。2004年,我国农村义务教育国家财政性经费总额达到1 393.61亿元,2003年达到1 142.83亿元,2003年比1993年增长了2.26倍。1993―2002年同期,我国的国民生产总值增长了2.03倍。这说明,我国农村义务教育投入是超前于我国经济增长的,基本符合教育经济理论的要求。从增长速度上看,现阶段国家对农村义务教育投入的增长速度仍低于财政支出的增长速度,在表1中,财政性农村义务教育名义环比增长速度只在2001和2004两个年份高于义务教育经费、义务教育财政性经费的名义环比增速。根据下页表2,从环比增长率角度比较,财政性农村义务教育经费环比增长率仅在2001年、2002年和2004年三个年份超出我国财政支出环比增长率,其余年份均低于财政支出环比增长率;如果从年均增长率方面考虑, 1997―2004年义务教育财政投资的年均增长率13.43%,1997―2004年农村义务教育财政投资的年均增长率15.44%,均低于财政收入年均增长率16.61%和财政支出年均增长率17.83%;如果从增长倍数上来比较,2003年与1993年相比,我国财政支出增长了4.31倍,同期我国政府对农村义务教育投入增长了2.26倍。上述数据表明我国财政支出增长速度高于政府对农村义务教育投入的增长速度。但在农村义务教育投入中政府投入占的比例逐年升高,近两年,我国政府对农村义务教育投入速度正在加快。1993年,政府对农村初中的财政教育拨款占农村初中教育经费的比例为56.91%,2002年上升到72.26%,2003年上升到73.48%。1993年,政府对农村小学的财政教育拨款占农村小学教育经费的比例为58.64%,2002年上升到76.77%,2003年上升到77.79%。从比例上看,我国财政性农村义务教育经费占义务教育经费、财政性义务教育经费比例基本处于上升态势,但其占教育经费、财政支出比例一直处于下降态势。
2.农村初中与农村小学教育投资总量分类别数量与增速分析
从农村义务教育投资结构分项目数量与增速角度分析,由表2、表3数据,农村初中、小学义务教育财政支出结构中,7个观察期期间以事业性经费支出为主体;事业性经费上升幅度较设备购置、基建建设等投资快,农村初中事业性经费1998年为237.70亿元,2004年上升到549.31亿元,2004年较1998年增长了131.09%,7个观察期期间平均每年增长14.98%;农村初中个人部分经费,1998年为154.32亿元,2004年上升到403.25亿元,2004年较1998年增长了161.31%,7个观察期期间平均每年增长17.36%;农村初中公用部分经费,1998年为83.38亿元,2004年上升到146.06亿元,2004年较1998年增长了75.17%,7个观察期间平均每年增长9.79%;基建支出经费1998年为30.45亿元,2004年下降到22.10亿元,2004年较1998年降低了27.42%,7个观察期间平均每年增长-5.20%;设备购置费1998年为12.22亿元,2004年上升到19.22亿元,2004年较1998年增长了57.28%,平均每年增长7.84%。农村小学事业性经费1998年为479.36亿元,2004年上升到1033.19亿元,2004年较1998年增长了115.54%,7个观察期间平均每年增长13.65%;农村小学个人部分经费1998年为341.31亿元,2004年上升到825.30亿元,2004年较1998年增长了141.80%,7个观察期间平均每年增长15.85%;农村小学公用部分经费1998年为138.05亿元,2004年上升到207.89亿元,2004年较1998年增长了50.59%,7个观察期间平均每年增长7.06%;基建支出1998年为45.50亿元,2004年下降到31.10亿元,2004年较1998年降低了31.65%,7个观察期间平均每年增长-6.14%;设备购置费1998年为17.61亿元,2004年上升到22.68亿元,2004年较1998年增长了28.79%,平均每年增长4.38%。反映义务教育财政紧张程度的公用经费指标农村初中从1998年的83.38亿元上升到2004年的146.06亿元,平均每年增长9.79%;农村小学从1998年的138.05亿元上升到2004年的207.89亿元,平均每年增长7.06%。从上述数据基本反映出我国农村义务教育财政供给总量水平目前处于保证人员基本工资稳定状态。
从趋势上看,在图1和图2中,1998―2004年全国农村初中与农村小学教育经费四类主要支出项目总量变化上升和下降包含的类别以及趋势基本一样。7个观察期间,事业性经费、个人部分、公用部分均呈上升趋势,但公用部分经费上升势头教为平缓,曲线没有代表事业性经费和个人部分的曲线陡峭。在图3和图4中,1998―2004年全国农村初中与农村小学教育经费四类主要支出项目名义环比增速,事业性经费和个人部分经费趋势大体一致,但公用部分经费和基建支出经费区别较大,尤其是基建支出,农村初中经历了先增后减再增的三个阶段;农村小学经历先增后减两个阶段。
(二)农村初中与农村小学教育财政投资结构分类别占比情况分析
从农村初中教育财政资金投资构成比例中,事业性教育经费占教育经费的比例从1998年的88.65%上升至2004年的96.13%,上幅7.48个百分点;个人部分教育经费占教育经费的比例从1998年的57.55%上升至2004年的70.57%,上幅13.02个百分点;公用部分教育经费占教育经费的比例则由1998年的31.10%下降至2004年的25.56%,降幅5.54%;基建支出经费中教育经费的比例由1998年的11.36%下降至2004年的3.87%,降幅7.49个百分点;公用部分占教育经费的比例和基建支出占教育经费的比例呈现波动变化趋势,分别从1998年的31.10%和11.36%下降至2002年的24.45%和2003年的3.04%最低点,再上升到2004年的25.56%和3.87%(如图3所示)。四类支出项目占比情况年均增长率高低次序分别为:个人部分、事业性经费、公用部分、基建支出。
从农村小学教育财政资金支出构成比例(表4)中, 事业性教育经费占教育经费的比例从1998年的91.33%上升至2004年的97.08%,上幅5.75个百分点;个人部分教育经费占教育经费的比例从1998年的65.03%上升至2004年的77.54%,上幅12.51个百分点;公用部分教育经费占教育经费的比例则由1998年的26.30%下降至2004年的19.53%,降幅6.77%;基建支出经费中教育经费的比例由1998年的8.67%下降至2004年的2.92%,降幅5.84个百分点;公用部分占教育经费的比例和基建支出占教育经费的比例呈现波动变化趋势,分别从1998年的26.30%和8.67%下降至2002年的18.08%和2003年的2.44%最低点,再上升到2004年的19.53%和2.92%(如图4所示)。四类支出项目占比情况年均增长率高低次序分别为:个人部分、事业性经费、公用部分、基建支出。
农村小学、初中教育财政资金投资构成比例中,农村小学、初中各教育财政资金支出构成比例趋于相似。在各支出构成比例中, 升幅变化幅度以及升幅增长速度最大的均为个人部分教育经费占教育经费的比例;降幅变化幅度最大的农村初中为基建支出占教育经费的比例,农村小学为公用部分教育经费占教育经费的比例;下降速度最快的农村初中和农村小学均为基建支出(分别为:-11.02%和-10.55%)。
(三)农村初中与农村小学教育财政投资结构分类别描述统计分析
农村初中义务教育财政资金支出构成中,标准差(由于其易受基数影响,仅能表明分组数据间的绝对差异)最大的为个人部分经费占教育经费的比例,标准差为5.30,说明各年份间个人部分经费中农村初中教育经费构成比重(同组数据间)数据分散程度最大,存在较大差异;标准差最小的为公用部分经费占农村初中教育经费的比例,标准差为2.55,说明各年份间公用部分经费占教育经费构成比重数据分散程度较小,基本上不存在差异。事业性经费占教育经费的比例,标准差为2.88;基建支出占教育经费的比例,标准差为2.89,说明各年份间上述两项项教育经费构成比重数据有一定程度分散,存在一定程度差异。农村小学义务教育财政资金支出构成比例标准差最大的为个人部分经费占教育经费的比例,标准差为5.18,说明各年份间个人部分经费中农村初中教育经费构成比重数据分散程度最大,存在较大差异;标准差最小的为事业性经费占教育经费的比例,标准差为2.15,说明各年份间公用部分经费占教育经费构成比重数据分散程度较小,基本上不存在差异。公用部分经费占教育经费的比例,标准差为3.17;基建支出占教育经费的比例,标准差为2.18,说明各年份间上述两项项教育经费构成比重数据有一定程度分散,存在一定程度差异。
在上述四类分组数据之间,农村初中、农村小学教育财政资金投资构成比例的变异系数(由于其不受基数影响,能表明分组数据间的相对差异)由高到低排序完全相同,基建支出占教育经费的比例变异系数最大, 数值分别为0.5124和0.4921, 说明其在各年份中四类教育经费支出构成比重中数据分散程度最大;事业性经费支出占教育经费的比例变异系数最小, 数值分别为0.0305和0.0225;其余两项由高到低依次为: 公用部分教育经费占教育经费的比例,变异系数分别为0.0932和0.1473,个人部分教育经费占教育经费的比例,变异系数分别为0.0791和0.0700。
二、研究结论
综上所述,对农村义务教育财政资金支出结构分析可得出以下结论:第一,农村义务教育财政资金支出总量增长较快,但1998―2004年财政性农村义务教育投资名义环比增长速度仍低于义务教育经费、义务教育财政性经费和财政支出的名义环比增速。第二, 1998―2004年间,农村小学、初中教育财政资金投资构成比例中,农村小学、初中各教育财政资金支出构成比例变化趋势趋于相似。在各支出构成比例中, 升幅变化幅度以及升幅增长速度最大的均为个人部分教育经费占教育经费的比例;降幅变化幅度最大的农村初中为基建支出占教育经费的比例,农村小学为公用部分教育经费占教育经费的比例;下降速度最快的农村初中和农村小学均为基建支出。第三,农村义务教育财政资金支出构成存在差异。组内差异最大的,农村初中和农村小学均为个人部分经费占教育经费的比例,标准差分别为5.30和5.18。组内差异最小的,农村初中为公用部分经费占农村初中教育经费的比例,标准差为2.55,农村小学为事业性经费占教育经费的比例,标准差为2.15。组间数据中差异最大的,农村初中和农村小学均为基建支出占教育经费的比例,变异系数分别为0.5124和0.4921;组间数据中差异最小的,农村初中和农村小学均为事业性经费支出占教育经费的比例,变异系数数值分别为0.0305和0.0225。
参考文献:
[1] 安彦林.我国义务教育财政投资的结构分析[J].山西财政税务专科学校学报,2005,(6).
[2] 陈锡文.中国政府支农资金使用与管理体制改革研究[M].太原:山西经济出版社,2004.
[3] 胡东兰,汪欣.我国农村义务教育财政投入分析[J].甘肃农业,2005,(8):12-13.
[4] 李继香.当前农村基础教育财政投入的思考[J].教育与经济,2004,(2).
[5] 申亚民.中国西部地区教育投资使用结构研究[J].唐都学刊,2003,(3).
[6] 孙国英.教育财政:制度创新与发展趋势[M].北京:社会科学文献出版社,2002.
[7] 孙文基.关于财政教育支出的经济学思考[J].财政研究,2003,(8).
[8] 王德文.中国农村义务教育:现状、问题和出路[J].中国农村经济,2003,(11).
【关键词】初中数学；证明题；解题错误；纠错方式
初中数学教学中有关证明题的教学内容设计，是为了使学生对图形的性质及不同图形之间的相互关系进行探索，来进行推理和计算，从而增强自身的推理能力.但在实际的学习过程中，很多学生在做证明题时，因为种种原因而出现各种解题错误，不仅会降低学生的学习效果，还会影响学生学习数学的积极性.因此，教师应掌握初中数学证明题中的常见错误，并采用正确的纠错方式对错误进行纠正，不断提高初中数学的教学质量.
一、初中数学证明题解题中存在的错误
（一）基础数学知识性的错误
1.知识性的错误是指学生对一些数学概念和数学性质缺乏正确的认识，而导致的解题错误，比如，对一些数学公式和定义等的错误使用.
2.错误案例：已知AC与EF平行，EA和EB分别平分∠CAB和∠DBA，E在直线CD上，求证AB=AC+BE.
大多数学生在做这道几何证明题时，都会画一条辅助线，来证明题目中的结论.如果BF和BD相等的假设成立，结论的假设就是成立的.但至于运用什么样的几何定律来证明BD=BF，很多学生都不知道.有些学生为了证明这道题的结论，会胡乱编造一个论证的方法，但实际的证明过程很混乱，而且缺乏有力的理论依据.
（二）数学逻辑上的错误
1.数学逻辑上的错误主要指的是学生的逻辑推理过程不严密，推理的思路不清晰，尤其是在几何证明题中，出现这种错误的原因主要是推理时的方法不规范.
2.案例：在ABC中，D是AB边上的一点，DF和AC相交在点E上，且DE=CE，求AB与CF之间的位置关系.
在解答这道证明题时，一部分学生认为AD和CF是相等的，并把这个假设当作一个已知条件来证明上述的论证.最后，得出CF与AD平行的结论.但是，如果学生仔细阅读上述的题目，就会发现题目中并没给出AD=CF的已知条件，所以在证明结论的过程中，不能将其当作已知条件来使用.必须要使用题目中给出的条件，来进行一步步的推理，推算出最后的正确结论.
二、初中数学证明题解题错误的纠错方式
（一）教师的题目解答要有针对性
在进行课堂教学知识讲解时，教师首先应对学生易出现错误的问题进行有针对性的讲解，以减少学生在做证明题时的出错率.对于学生容易混淆的数学概念，教师还要引导学生采用对比的方法，对不同的数学概念及其性质进行区分和联系.在课堂教学中，要多让学生通过板书或是分析解答的方式，来增强自身的逻辑思维能力.让学生对易出错的问题进行总结和归类，教会学生识别解题错误，并及时纠正错误，巩固所学的数学知识.比如，在讲到反比例的数学概念时，还要让学生多做一些相关的习题，让学生充分理解反比例函数的表达形式.并根据公式变形的案例，提升学生的抽象概括思维能力.
（二）提高学生的数学审题能力
对于学生容易犯的一些低级错误，想要改善这种出错问题的关键在于认真审题.尤其是对于一些条件比较隐蔽的证明题，学生一定要反复阅读题目，以便准确找到论证问题的条件和结论.在审题的过程中，还要紧抓关键词，想办法对题目的内涵进行挖掘，提高审题能力，不仅可以使学生能从题目中获得更多的信息，还能提高学生的数学解题能力.
（三）提高学生的数学计算能力
计算能力是初中学生必须具备的一项学习技能，因此，初中数学教师还要重视对学生计算能力的培养.在平时的教学过程中，多设置一些有关数学计算的练习题目.让学生多运用一些公式和概念，从而确保数学计算结果的准确.
三、结束语
初中数学证明题是初中数学教学中的重要教学内容之一，学生在平时的解题过程中出错率也一直比较高，为了改善这种状况，教师还要对学生在解答证明题过程中易出现的错误进行总结，分析学生出错的原因，以便采取相应的解决措施，亩降低学生的出错率，提高初中数学教学的整体水平.
【参考文献】
