关键词：高中数学研究性学习问题思考
2004年4月,教育部颁布《全日制普通高级中学数学教学大纲(实验修订版)》首次明确提出:在必修课的内容中安排“研究性课题学习”(12课时),并给出了其教学目标和参考课题。研究性学习,作为培养学生创新精神和实践能力的一种重要途径和载体,无疑是当前我国基础教育课程改革的热点、亮点和难点。应该说，目前中学对数学研究性学习进行了一些积极的尝试，并且取得了一定成绩，体现在推动了学校管理体制的改革，促进了学校、社会、家庭间的相互配合，从整体上推进了数学素质教育的实施，加快了教学设备的更新，为学校发展奠定了基础。而且，数学研究性学习的开展充分尊重与满足师生及学校环境的独特性与差异性，有助于学校形成支持和激励的氛围，有助于教育质量的提高。但是，我们也应该看到，由于数学研究性学习没有非常成熟的经验可供借鉴，因而在具体运作过程中，也会出现一些问题，需要我们认真审视和深入思考，并在实施前就要加以注意。
一、高中数学研究性学习的展开要学会因校制宜
高中数学研究性学习强调要结合学生学习、生活和社会生活实际选择研究专题，同时要充分利用本校本地的各种教育资源。学校内部资源包括具有不同知识背景、特长爱好的数学教师，包括图书馆、实验室、计算机、校园等设施设备和场地。也包括反映学校文化的各种有形无形的资源。有条件的地方应尽量利用高校、科研院所、学术团体等部门的数学人才和数学电子信息资源为数学研究性学习的开展提供有力支持。从某种意义上说，越是困难的地区和学校，对培养学生应用所学知识研究解决实际问题的意识和能力的需求越迫切。上海郊县一所中学的农村学生在数学和生物教师指导下，针对当地经常受到乳虫危害，造成麦子大量减产的情况，成立了“勤虫诱因与防治预报”课题组，他们的研究结果被镇植保站采纳，课题组也深受鼓舞。
除了充分利用校内外教育资源外，学校也要结合自身实际对数学研究性学习的开展进行有效管理。在这方面，上海市晋元高级中学做法有可取之处。他们有研究性学习的两级管理指导协调系统:一是学校和教师，包括研究性学习教研室，教务处、年级组、学生处、团委、总务处，大家分工明确，互相配合。二是教研室与学生之间管理协调系统，例如，他们有高一年级组研究性学习协调委员会，由学生干部担任主要角色，对包括数学研究性学习在内的各类研究性学习进行学生间的协调和管理，有助于及时发现问题，解决问题。
二、教师观念的转变和角色的转换
数学研究性学习的具体操作者是学校和教师，除了学校以外，数学教师的作用更是不容忽视。数学研究性学习是为了让学生“会学数学”，数学研究性学习应视学校学习为起点，以“终身学习”为目标，为了更好的开展研究性学习，数学教师要进行如下观念的转变:以人为本，以问题和问题解决为中心，因为“问题是数学的心脏”:数学研究性学习应面向全体学生，实现“人人学有价值的数学”，“人人都获得必需的数学’，“不同的人在数学上获得不同的发展”。在数学研究性学习的实施中，要让全体同学参与其中，乐在其中;数学来源于生活又回归于生活，因此，数学研究性学习应在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
在数学研究性学习的实施中，数学教师观念转变是前提，同时要求数学教师也要进行角色的转换。首先，数学教师应是学习者。因为“数学课程标准”的理念是“以人为本”，数学研究性学习是人本思想的体现，因此数学教师要摸清学生在数学研究性学习中的心理机制和认知特点，以学习者的身份去体验数学研究，以学习者的立场参与其中，去发现问题，反思问题，进而引发学生学会向数学提问，学会向数学问题解决提问。
其次，数学教师应充当指导者.数学研究性学习是与数学问题的解决密不可分的，而问题的解决又不是一朝一夕之功。为此，数学教师在选题阶段，要针对学生学习与发展需要，结合学校和社区教育资源条件、特点，开发设计适合学生研究的课题。另外，还可提出建议，让学生讨论，形成具体计划，还可提供相关背景知识，诱导学生寻找值得研究的课题:在实施阶段，教师要进行分工指导，帮助学生明确目标任务和职责。另外，数学教师还要对学生进行心理疏导，激励学生研究探索，鼓励学生克服挫折。在方法上，教师也要根据新情况新问题鼓励学生不断对实施方案进行微调。除此之外，教师要指导学生在数学研究性学习中，获得数学科学态度、科研方法、探索兴趣的感悟和体验。
再有，数学教师应充当评价者。这里的评价包括两方面，一是教师对学生的评价，在这一过程中，要注意过程评价与结果评价相结合，多注重过程，注意激励与导向的结合。注意多元化的评价，既要关注学生在数学研究性学习方面已达到的程度水平，更要关注学生行为、情感、态度的生成和变化，一些中学开展的数学研究性学习论文答辩会和成长纪录袋的评价形式值得借鉴;二是数学教师对自身的评价。数学课程的改革，要求教师对任何学习活动都要有反思与体验，对研究性学习也是如此。从这一点来讲，数学教师应当去反思自己在研究性学习中的表现，强化评价意识。只有知道什么样的选题是好的选题，自己才能帮助学生把好关、选好题，只有知道什么样的指导最到位，才会引领学生在数学研究性学习的过程中少走弯路，提高效率。
三、研究性学习的定位及其与数学教学的关系
数学研究性学习是面向全体学生的，而不是只针对少数优秀学生的，它以激发学生主动探索的积极性，培养学生的创新精神为追求目标，鼓励学生介入数学学科前沿的研究，要求学生的研究结果具有一定的科学性，但并不强求每个学生的最后研究结果都必须独一无二.。强调这样的定位，有助于预防数学研究性学习变为新的数学学科竞赛。
由于数学研究性学习的特点，大大改变了以往的教育模式，学生不再只是被动接受者，而是成为学习的主人，是问题的研究者和解决者，而教师则是在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用。从初步开展数学研究性学习的实践情况来看，凡是认真参加数学研究性学习的学生，基本上都没有影响数学学科内容的学习。访谈结果显示，因为开展数学研究课题的需要，学生“用然后知不足”，常常自觉的加深或拓宽了与课题相关的数学学科课程的学习:有的通过自己的亲身实践，更加加深了对数学学科课程的理解和热爱。因此，是否可以这样说，数学研究性学习和现有数学学科教学之间，不是一个反对一个，一个否定一个，而是互为补充，相互促进的关系。
四、应着眼于使学生认识数学文化的魅力，将知识融入到生活实际
毫无疑问，数学作为一种科学，描述了一种最高的文化成就。美国数学家怀尔德1981年从数学人类学的角度提出了“数学——一种文化体系”的数学哲学观，这是很长时期以来出现的第一个成熟的数学哲学观。数学作为一种文化，除了具有文化的某些普通特征外，还有其区别于其他文化形态的独有特征。数学是科学的语言，是思维的工具，也是传播人类思想的一种基本方式:数学用一种客观的方式将自然与社会连接起来，并具有相对的稳定性和延续性:数学作为一种思想方法，充满着理性精神。学校数学研究性学习的开展有助于学生认识数学文化，在数学研究性学习中，我们要发挥这种魅力对同学们的吸引。一些中学显然认识到了这一点，如在北京某中学进行数学研究性学习的活动动员中，数学组长的发言为同学们提到了海湾战争中的数学，提到了推理小说中蕴涵的数学，提到了古汉语研究中的数学，还提到了经济中的数学、化学中的数学等等，让同学们充分认识到了数学文化的无处不在，同时也认识到了数学文化的传承与发展。一斑窥全貌，由此可见，开展研究性学习有助于让学生们进入到数学文化的氛围，从而感受到数学文化的魅力。如果数学研究性学习能为人们认识数学文化、推动数学文化的发展做一些贡献，那么在未来培养出大批积极主动和有能力的年轻的数学文化传播者，也是指日可待的。
另外，数学研究性学习应首先着眼于让学生融入生活实践，所研究的数学问题不要求很大，只要能有一定的生活实践意义和价值，不管多么小的问题，都不失为一个好问题。在以往的数学研究性学习课题中，也己体现了这一着眼点。如某中学同学研究的“学校食堂窗口的设置问题”就是从生活实践的角度出发，从统计学的角度出发，找到了学生到达窗口与厨师盛饭时间的大致规律，从而让同学们更加融入了身边的生活实际，也增强了服务于生活实践的意识。学校和教师作为数学研究性学习的真正的管理者和执行者，一定注意不要贪大舍小。要首先从观念上教会学生融入生活实际。为什么这么说呢?因为数学是生活世界的财产，在实践中应用数学财产，而且这种应用与感兴趣的日常实际密切结合，就可以让学生走进生活实践、提高生存能力，从而使生活变得轻松，因而会让学生们感到学习数学的轻松愉快。
总之，研究性学习，作为培养学生创新精神和实践能力的一种重要途径和载体，无疑是当前我国基础教育课程改革的热点、亮点和难点。研究性学习具有综合性和开放性的特征，但究其实施过程，也需要依托相应的课程作为载体。从而，现行的中学各学科教学也都应该为研究性学习的实施做出自己的努力。
参考文献：
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【关键词】初中数学；学习兴趣
1.阐明意义，诱发兴趣
学习目的是产生学习兴趣与学习动力的基础，因此，要使学生对学习数学感就必须使学习明确数学的特点和学习数学的目的和意义。使他们懂得：数学不仅是一门自然科学，而且还是自然科学之母，是训练人们思维的体操，学习数学不仅是为了获取数学知识，更重要的是要通过数学的学习，接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高思维能力，锻炼意志品质，并把它们迁移到学习、工作和生活的各个领域中去；是要通过严格的数学训练，养成一种坚定不移而又客观公正的品格，形成一种严格而精确的思维习惯。使他们清楚：学习数学的人，不管他们将来从事何种职业，严谨的数学求真精神、严密的数学思维方法，科学的数学研究方法，严格的数学推理方法和灵活而精确的数学着眼点，都将随时随地发生作用，使他们终身受益。
通过对学生阐明学习数学的目的与意义，不仅向学生展示数学的魅力，而且也诱发了学生学习数学的兴趣。
2.编讲故事，唤起兴趣
数学严格的推理方法和严密的逻辑性容易使数学课的教学陷入枯燥而乏味的境地，为避免这种情况的发生，在给学生讲授数学知识的同时，我们可以把所要讲的数学知识及其相关的背景知识编成一个个生动有趣的故事讲述给学生，让学生在听故事的过程中有滋有味地学习，从而唤起学生学习数学的兴趣。
3.编制歌诀，增强兴趣
数学这门课程的公式与法则相当多，如果不掌握一定的识记数学公式与法则的技巧，仅仅“靠死记硬背”，不仅难以将公式法则记牢，而且还会使学生产生“数学公式法则过于繁难”的心理而丧失学习数学的兴趣，因此，教师在教学过程中，，可以根据有关数学公式与法则的特点，尽可能地将它们编成歌诀或顺口溜来帮助学生识记，以减轻学生学习的负担，从而增强他们学习的兴趣。在学习八年级数学平方和（差）公式(X+Y)2=X2±2XY+Y2时，一位女教师教给学生这样一个口诀：“首平方，尾平方，二倍乘积在中央”，使学生很快就记住了平方和（差）公式。2的平方根是1.41421，教师教学生口诀：意思意思而已（141421）
4.精心设疑，激发兴趣
好奇是青少年突出的心理共性，利用好学生的好奇心理，就可以激发学生的学习兴趣。因此，在数学教学过程中，我们可以通过精心创设“问题情境”，进行恰当的质疑问难，引起学生的好奇心、注意力和求知欲，，使学生的学习始终处于积极思维的状态，让他们听数学课犹如听章回小说评书一般，欲罢而不能，从而激发他们学习数学的兴趣。
5.直观教学，保护兴趣
数学知识的抽象性不仅给学生学习数学带来很大的困难，而且还极大地影响学生学习数学的积极性。为解决这个问题，在教学的过程中，我们要充分利用幻灯、电影、电视、多媒体电脑等现代教学手段进行直观教学，将难以理解的数学概念，如对折、旋转、平移、轴对称、中心对称、直线与圆的位置关系、函数图象、轨迹、图形间的相互转化等数学知识变成一副副生动形象的动态画面展现在学生面前，给学生一种赏心悦目、耳目一新的感觉，从而调动起学生学习数学的积极性。
6.科学归因，保护兴趣
归因理论的创立者---心理学家韦纳等人的研究和和实践表明：如果把一个人失败归因于内部的、稳定的、可控的因素，那么就会使人沮丧，从而降低人的积极性；如果把一个人的失败归因于外部的、非稳定的、不可控制的因素，那么就可以催人奋进，从而提高人的积极性。因此，在教学过程中，当遇到数学方面的学困生时，我们要善于将他们的学困归因于外部的、非稳定的、不可控制的因素，充分肯定他们的潜在能力，保护他们学习数学的积极性，使他们能始终满怀信心地迎接挑战。
参考文献
关键词：教学自主问题情境拓宽兴趣
《数学课程标准》明确指出,学生是学习的主人。数学教学中应激发学生的学习兴趣。注重培养学生自主学习的意识和习惯。为学生创设良好的自主学习环境，尊重学生的个体差异。鼓励学生选择适合自己的学习方式。老师是数学学习中的组织者、引导者与合作者。这就要求教师在教学中灵活运用多种教学策略。充分调动学生的多种感官；手、眼、脑并用，引导学生在民主和谐的氛围中学会学习。本文在新课程理念下数学教学中如何体现学生的自主作用谈几点体会：
一、提出问题，预设情境，提高自主学习的兴趣
苏霍姆林斯基曾说过：“人的心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要，这种需要在中小学生的精神世界中尤为重要。”作为一个数学老师。在教学中就是要善于发现学生的学习动机，唤起他们的求知欲望。让他们兴趣盎然地参与到学习新知识的过程中来。在数学教学中，创设“问题情境”要能使学生产生迫切解决问题的心理。教师提出问题的方式，要有兴趣与好奇心。问题的内容应结合学生生活实际或已有知识，并富有情趣。这样才能把学生引入到有关情境中，充分发挥学生自主探求的思维活动。
例如：在我的《用字母表示数》这一节的教学中，首先通过同学们自己动手摆正方形，从摆1个正方形所需要的火柴棒，到连着摆2个、3个正方形所需的火柴棒的实际操作。来诱发他们对摆50个、100个正方形所需要的火柴棒的思考。师生就会很自然的转到学习知识上来。再如用袁隆平的科学水稻和“神舟”三号宇宙飞船这些跟我们生活紧密联系在一起的事情提出问题。不仅让学生们了解到了数学学科中存在的一些规律，还在学习的同时掌握了社会知识。数学中渗透了语文，政治思想的教育。这样创设问题情境，形成悬念。能把学生引入到最佳的思维状态。能让学生对新知识的学习兴趣盎然，提高自主学习的动力。
二、延拓创新，创设情境，增长自主学习的精神
新课程中学生主体地位的确立要求学生将被动接受知识的过程变为主动参与的过程。在获取知识的过程中培养学生的自主学习、主动探究的精神，使他们在探究数学奥妙的过程中不断发现新问题，从而更加主动的投入学习。当然，这也离不开老师上课时的精心策划和指导。这就需要我们老师从各方面，特别是学生感兴趣的方面去发现一些与数学有联系的问题。从而加强学生学习的兴趣。也可在教学中组织学生自己编辑一些问题。从问题中找出规律。
如：我在上《一元一次方程的应用》习题课的过程中，从资料上选取了这样一道应用题：
（*）一列快车长180m，时速为72km，一列慢车长220m，时速为48km，问：
（1）两车相向而行，从车头相遇到车尾刚好相离需要多少时间？（2）两车同向而行，慢车在前，快车从追上慢车车尾开始到刚好与慢车完全错开需要多少时间？
这是一道双动态的典型应用题，一般来说学生是很难弄清题意获得正确、完整的解析过程的。但本人在教学过程中事先并没有直接给出原题（*），而是将（*）中的题目条件变改，出示给学生的是下题：（）一列火车长180m，时速为72km，一座桥长220m，火车从车头上桥开始到车尾刚好离桥需要多少时间？
这是一道动静态的应用题，较（*）简单，学生很容易作出示意图分析、弄清题意，获得正确、完整的解析过程的。
我要求学生将（）中的条件“一座桥长220m”任意更换为其它条件，提示他们最好改变为动态的事物，重新自编应用题（学生分组讨论）。之后我将学生自编的应用题收集起来，主要有以下三种类型：
第一类：一列火车长180m，时速为72km，一山洞长220m，火车从车头进洞开始到车尾刚好离洞需要多少时间？
第二类：一列火车长180m，时速为72km，另一列火车长220m，时速为akm，（这里由于不同的学生给出不同的时速，故用akm代），问两列火车相向而行，从车头相遇到车尾刚好相离需要多少时间？
第三类：一列火车长180m，时速为72km，另一列火车长220m，时速为akm，两车同向而行，慢车在快车前，快车从车头与慢车车尾相接到刚好与慢车车头完全错开需要多少时间？
更有优秀的学生，在第二、三类题中增加“两车距离bkm”的条件，第一类题与（）当然没有什么本质上的区别，但第二、三类题则是学生自己独立思考，提出的问题。
这个过程产生的效果是非常明显的。其中渗透了问题情境、情绪情境、教室情境的创设。让学生成为了学习的主体。让他们始终在愉快，兴奋的过程中努力自主的思考、揣摩。
我要求学生自己解答以上自编的问题，他们都能准确的给出解答过程，并都能清楚的说出分析问题的步骤。此时，学生兴趣特别浓，结束之后，我告诉学生，事实上，我本来想要出示的原题正是第二、三类的综合应用题。学生此时情绪更高，我便顺水推舟，启发学生今后遇到问题时，不仅要会解答，更重要的是要在解答过后善于总结，发现新的问题，因为我们在书本上遇见的常是一些较实际问题简单的问题，而实际问题往往又正好是这些问题的延拓。
三、开放题材，联系实际，拓宽自主学习的世界
生活中到处有数学，到处存在着数学的思想，关键是教师是否善于结合课堂内容，去捕捉“生活现象”，采集生活数学实例，为课堂教学服务。
数学开放题有利于培养学生用数学的眼光去看待周围的世界。在教学中，适当穿插一些开放题会给课堂带来生机，有利于调动学生学习的积极性。
例如，在教“比例的意义和基本性质”时，在课前安排这样一段插曲：你们知道在我们人体上的许多比吗？让学生将拳头翻滚一周的长度和脚底长度比？身高与两臂平伸的长度比？脚底长度与身高比？并引导学生想想在生活中的用处……这样利用“人体中有趣的比”开放题，引出“比例”的学习，可使学生带着浓厚的兴趣来探索新知识。
[摘 要] 近几十年来，数学模型在国际贸易中的运用日益增多。本文以中部地区对外贸易的发展为例，来探讨聚类分析方法、因果检验分析方法和多变量回归分析方法在国际贸易中的运用。通过这三个数学模型的分析可以看出，数学模型在国际贸易学中的运用能较为精确的揭示国际贸易的规律，从而为国际贸易的教学和科研提供有益的借鉴。 【论文关键词】 数学模型 国际贸易 中部地区 近几十年来，随着社会的不断进步和科学技术的迅速发展，数学模型的应用范围在不断地扩大，早已突破了传统的物理、力学、工程技术范围，已经扩展到包括生物、化学、生态、经济、管理等极其广泛的领域。因此，数学建模的基本知识已成为经济管理人员所必备的基础知识，而专业的应用数学工作者和经济理论研究者更需要具有熟练的数学技巧和丰富的想象力，加快引进和吸收国外先进的数学方法，努力做到学以致用。近年来，数学模型在国际贸易领域的应用迅速发展，主要包括回归模型、时间序列模型、多元统计模型等等。本文以中部地区对外贸易的发展为例，来探讨聚类分析方法、因果检验分析方法和多变量回归模型在国际贸易学中的运用，期望能对国际贸易领域的教师在数学模型方法的运用方面提供有益的借鉴。 一、相关数学模型说明 1.聚类分析方法 聚类分析是根据研究对象的特征对其进行分类的多元分析技术的总称。聚类分析方法的思想是通过定量测算各样本之间的相似程度和亲疏关系，将性质比较相似、综合差异比较小的样本分别聚合成类，而将性质相似性比较小、综合差异比较大的样本区分为不同的类，从而将整个研究对象聚合成若干类。聚类分析法可以通过以下四个步骤完成：第一步选择恰当的变量。本文根据变量必须和目标密切相关、反映分类对象特征、变量之间不应高度相关的原则选择了对我国对外贸易水平影响最大的5个指标：国内生产总值、商品贸易出口总额、商品贸易进口总额、国际旅游贸易总额和承包工程及劳务合作总额。第二步是对原始数据进行标准化处理，即数据的量纲标准化的处理。第三步距离测度。本文以欧式距离的最短距离法来进行测度我国对外贸易发展水平。第四步，对样本进行分类与分析。 2.协整检验和因果分析方法 协整检验是指如果两个（或两个以上）的时间序列变量是非平稳的，但它们的某种线性组合却表现出平稳性，则这些变量之间存在长期稳定的关系，即协整关系。因此它有助于分析变量之间的长期均衡关系的。由于协整分析从分析时间序列的非平稳性入手，探求非平稳变量间蕴含的长期均衡关系，既避免了传统的线性回归对非平稳的经济时间序列进行简单回归时产生的“伪回归”现象，又解决了对非平稳进行差分，往往使数据中包含的长期调整信息丢失的问题，把时间序列分析中的短期动态模型和长期均衡模型的优点结合起来，为非平稳时间序列的建模型提供了良好的解决方法。 Granger因果检验是检验经济变量之间因果关系的一种常用方法。因果检验认为，如果X是Y的Granger原因，但Y并不是X的Granger原因，则X的过去值应该能够帮助预测Y的未来值，但Y的过去值不应该能够帮助预测X的未来值。因此，Granger因果性检验一个变量在多大程度上可由一个变量自身的过去值来解释以及加入其它解释变量的过去值，能否增加解释力度。 3.多变量回归模型 多元回归模型一般是指当有多个解释变量对被解释变量起作用时，可以通过建立多元回归模型来测量各个解释变量对被解释变量的方向和影响程度。本文以中部地区对外贸易的影响因素为例，选择3个外部间接影响因素和4个自身直接影响因素为解释变量，以对外贸易为被解释变量，并为消除变量的不平稳性，对变量取对数，建立如下模型： LnTR=a0+a1LnWEI+a2LnEER+a3LnTOT+a4LnGDP+a5LnFDI+a6LnIN+a7LnHC+u 其中a0为截距，u随机扰动项。 二、数学模型分析结果 1.基于聚类分析方法的中部地区对外贸易现状在全国的地位比较分析 中部地区的对外贸易发展滞后，在全国处于相对落后的地位。从1996年～2006年，中部地区对外贸易年均所占全国的比重仅为3.2%。中部六省在全国排名总体上偏后，但部分省份排名也较前。以2006年为例，中部地区安徽、江西、湖北、河南、湖南和山西在全国的排名分别是第12、22、13、15、18和20位。那么，中部地区各省对外贸易发展在全国的综合地位究竟如何？聚类 分析将使我们得出更为直观的结论。 本文以2006年全国31个地区的国内生产总值、商品贸易出口总额、进口总额、国际旅游总额和承包工程及劳务总额为指标，运用SAS软件进行聚类分析得到的我国各地区对外贸易地区分类（如表1所示）。我国31个地区依据对外贸易发展水平分可以为分三类:第一类是发达地区;第二类较发达地区;第三类是欠发达地区。 资料来源：原始数据来自于《中国统计年鉴》（2007）。 从表1可以看出，我国各地区对外贸易很不平衡，东部地区的对外贸易发展水平处于全国领先地位，而中西部地区的对外贸易发展水平相对落后。在全国31个地区中，真正能够进入前二类的地区只有10个（分别是广东、上海、北京、江苏、浙江、天津、福建、辽宁、山东和河北），所占比重不到全国的三分之一，剩余的三分之二都是属于第三类欠发达地区，可见我国对外贸易发展水平极不平衡，大部分地区的对外贸易还有待进一步发展。而且经过仔细观察发现，进入前二类的10个地区除辽宁外全部为东部沿海地区（东部地区只有海南没有进入前二类地区），中西部地区和辽宁以外的东北地区全部属于第三类，对外贸易发展极为落后，大大低于全国平均水平。 2.基于协整检验与因果检验方法的中部地区对外贸易与经济增长关系分析 本文利用1986年～2006年的时间序列数据，采用协整检验来考察中部地区对外贸易与经济增长之间的长期和短期均衡关系，并通过因果检验方法来验证它们之间的因果关系。当然，在此之前，为保证变量的平稳性，要进行单位根检验。本文使用最常用的扩充迪基-富勒检验即ADF检验方法来进行平稳性检验，结果认为原始序列变量国内生产总值（LnGDP）、出口（LnEX）和进口（LnIM）均为I（1）的，即一阶单整的，而只有其1阶差分序列变量才是I（0）的，故不能用简单的回归方程来分析它们之间的关系，而要使用协整理论来进行定量分析。 (1)协整（co-integration）检验。由协整检验结果表2可知，由于在5%和1%的显著水平下，30.33分别大于24.31、29.75，7.35分别小于12.53、16.31，2.04分别小于3.84、6.51，因此变量LnGDP、LnEX、LnIM之间存在唯一的协整关系，估计出的协整方程如下： LnGDP=2.4060+0.9317LnEX+0.5409LnIM t值：(40.8249) (10.0014) (13.9264) ad-R2=0.99151 F=193.95 协整方程表明，从长期来看，中部地区国内生产总值与出口、进口之间存在长期稳定的均衡关系，出口和进口都对GDP产生积极的影响。其中，出口对GDP的作用要大于进口对GDP的作用。出口的产出弹性为0.93，表明出口平均每增加1个百分点，GDP将增加0.93个百分点；进口的产出弹性为0.54，表明进口平均每增加1个百分点，GDP将增加0.54个百分点，其对GDP的作用要小于出口的作用。 资料来源：《中国统计年鉴》（1986年～2006年）；表中r代表协整向量个数，检验的滞后期为3期。 (2)格兰杰因果检验（Granger Test）。协整检验结果告诉我们中部地区对外贸易与经济增长之间存在长期的均衡关系，但是这种均衡关系是否是因果关系，还需要进行因果关系检验。由于进行格兰杰因果检验的前提是序列必须是平稳的，因此我们用三个变量的平稳序列即一阶差分序列通过Granger因果关系检验法来进行检验。 资料来源：《中国统计年鉴》（1986年～2006年）。 根据检验结果表3所示，dLnGDP与dLnEX之间不存在格兰杰因果关系，说明尽管中部地区出口贸易能促进国内生产总值增长 ，但还不是其主要原因，同样，中部地区的出口贸易主要还是体现劳动力优势，国内生产总值不是其出口扩大的主要原因。d LnGDP与dLnIM之间只存在单方面的因果关系：dLnGDP在10%的显著水平上是dLnIM的原因，而dLnIM不是dLnGDP的原因。说明中部地区国内需求的扩大导致了较大的进口需求，而进口贸易不是国内生产总值的主要原因。 3.基于多变量回归模型的中部地区对外贸易影响因素分析 我们利用中部地区1986年～2006年的相关数据通过构建多变量回归模型对中部地区对外贸易影响因素进行分析。通过回归分析，发现大部分变量不显著，因此逐步删除不显著变量LnGDP、LnEER和LnWEI，得到相对来说较为理想的回归方程： LnTR=-15.8965+3.7091LnTOT-0.1867LnFDI+0.4517LnIN- 0.3067LnHC t值：（40.8249) (2.3802) (-1.6046) (1.9498) (-1.5726) ad-R2=0.9551 F=59.6174 回归方程的可决系数较高，达到0.9551，说明模型的回归拟合优度很好，F检验值为59.6174，F>F0.01，说明方程总体线性关系在99%水平下显著成立；同时D.W值为1.9607，说明这个序列排除了自相关的干扰。具体考察各解释变量的统计显著性，发现有2个变量显著性水平比较高，通过了10%的显著水平检验，有2个变量通过了15%的显著水平检验，有3个变量没有通过显著性检验。 对各解释变量的分析如下：（1）贸易条件和全社会固定资产投资对中部地区对外贸易有较大的推动作用。贸易条件系数和全社会固定资产投资系数分别为3.7091和0.4517，这2个变量都通过了5%的显著性检验，且与对外贸易贸易呈正相关关系，这与我们一般结论相符。（2）外商直接投资和人力资本对中部地区对外贸易贸易作用非常微弱。这2个变量的系数分别为-0.1867和-0.3067，而且它们只通过了15%的显著性检验，因此我们可以说中部地区外商直接投资和人力资的作用没有得到充分的发挥，这与一般的研究结论不符。（3）全球经济指数、汇率和国内生产总值与中部地区的对外贸易贸易没有直接关系。这3个变量被剔除在模型之外，对中部地区对外贸易没有产生影响，这与一般的理论看法有些不同。 三、结论与启示 通过以上数学模型对中部地区对外贸易发展现状、与经济增长的关系、影响因素及其发展环境的分析，本文得出如下结论：（1）聚类分析表明，中部地区各省的对外贸易发展在全国相对还比较落后，在三大类地区中，中部地区六省均处于第三类欠发达地区。（2）协整检验和因果分析显示，中部地区对外贸易与经济增长之间存在着长期稳定的均衡关系，对外贸易促进了经济的增长，而经济增长对进口有作用。同时，因果检验显示，尽管出口贸易能促进经济增长，但它们之间没有因果关系；进口贸易同样不是经济增长的重要原因，不过经济增长却是进口贸易的格兰杰原因。（3）多变量回归结果告诉我们，中部地区影响因素主要是贸易条件和全社会固定资产投资，而外商直接投资和人力资本对外贸的作用较小，全球经济指数、汇率和国内生产总值与中部地区的对外贸易没有直接关系。 从以上分析我们可以看出，数学模型可以广泛运用于国际贸易领域的各个方面，较为精确的数学模型有利于我们得到更为直观而准确的结论。当然，除了上述三种数学模型外，大多数的经济计量模型都可以运用到国际贸易领域，包括因子分析、差分方程、脉冲反应模型、向量自回归模型、预测误差方差分解法等等。因此，要使这些数学模型到国际贸易领域得到充分利用，还需要我们的教师和学者不懈地努力和探讨。
例1(湖南湘潭市)如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中∠AOB=.
解析观察发现这里正方形内的七巧板有5块是等腰直角三角形，1块正方形和1块锐角为45°的平行四边形。利用数字标出组成正方形和小猫的七巧板之间的对应关系，如图2所示，∠AOB内部的两块是等腰直角三角形，则∠AOB=90°.
例2(湖北荆门市)用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图3所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是()
(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．
解析观察拼图3可发现:大正方形的边长是矩形的长和宽之和；小正方形的边长是矩形的长和宽之差.由大正方形的面积是144可知其边长是12,即x+y=12①；由小正方形的边长是4可知其边长是2,即x-y=2②,因此选项A和B的关系式均正确.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案为选择D.
点评例1、例2的拼图试题在教材中是具有相应原型的，这里改编成中考试题可谓老树发新枝。事实上学生若能认真观察图形的本身特点进而找到相应数量关系，准确解答并不是件难事。
2与多边形、圆相结合,注重考察学生对几何性质的综合运用.
例3(陕西省)如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是．
解析此题中所求三个正方形的面积S1、S2、S3之间的关系实质是求梯形ABCD的两个腰长及上底边边长
三者的平方关系.可利用梯形的高来建立桥梁
作用.如图5，分别过点
A、B做AEDC,BFDC,
垂足分别为E、F.设
梯形ABCD的高为h,
AB=a,DE=x,则DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可证得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.
例4(江苏南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图6所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图7所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
解析(1)因为扇形ABC的弧长＝×16×2π＝8π，因此圆的半径应为4cm．由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，由于，所以方案一不可行．
(2)设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，则①,②,由①②，可解得，．故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．
点评将正方形与多边形、圆结合是中考中出现频率较高的题目。此类题目涉及知识点较多，跨度较大，需要学生具有较为扎实的基本功，具有综合运用相关数学知识的能力。
3与“动点问题”相结合,注重考察学生对不变因素的探究能力.
例5(湖北武汉市)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F。如图8，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
(1)如图9，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E.
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
(2)若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图10并判断(1)中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
解析(1)①如图11过点P做PHBC,垂足为点H,连接PD.此时四边形PFCH为正方形.容易证出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，进一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因为PEDC,可证得DF=FE.
②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因为PF∥AD,有,将DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.
(2)连接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分别为F、H,在DC延长线上取一点E,使得PEPB.此时有结论①DF=EF成立.而结论②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC关系.证明与②类似,略.
点评动点问题是中考热点问题之一，它要求学生善于抓住运动变化的规律性和不变因素，把握运动与静止的辨证关系.例5中,无论动点P在线段AC上如何运动,∠BPE是直角以及四边形PFCH为正方形是不变的.
4与对称、旋转相结合,注重考察学生变换的数学思想.
例6（重庆市）如图13，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是.
解析由题意可知AED和FED关于ED所在的直线对称,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.则∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,则AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四边形AEFG是菱形.设AE=k,容易证得EFB和OGF均是等腰直角三角形，则EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正确的结论是①、④、⑤，其余结论显然不成立。
例7（黑龙江齐齐哈尔市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图14），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图15），线段BM,ND和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图16的位置时，线段BM,ND和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
解析(1)如图17，把AND绕点A顺时针90°，得到ABE，则有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.进而可证得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.
(2)线段BM,ND和MN之间存在MN=DN－MB.
点评平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅.
5与函数图象相结合,注重考察学生的数形结合思想.
例8（湖南长沙市）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图18）按一定方向运动。图19是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图20是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
（1）s与t之间的函数关系式是：；
（2）与图20相对应的P点的运动路径是：；P点出发秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图16中补全函数图象.
解析（1）图19是正比例函数图象，易求得s与t之间的函数关系式为：S=(t≥0)
（2）从图20的函数图象可以看出，动点P的纵y在运动时随时间t的增大开始时逐渐增大，而后又不变，最后又减小至0，说明P点在正方形的运动路径是：MDAN.由图18、19可知，P点从点M运动到点B的路程为5，速度为0.5，所以首次到达点B需要时间为10秒.
(3)结合图18和图20，分析可得，第1秒之前，动点P从点M向点D处运动；第1至3秒时，动点P从点D向点A处运动；第3至5秒时，动点P从点A向点B处运动；第5至7秒时，动点P从点B向点C处运动；第7至8秒时，动点P从点C向点M处运动.时间段不同，函数关系不同，因此列分段函数为：当3≤s＜5，y=4－s；当5≤s＜7，y=－1；当7≤s≤8，y=s－8．补全的函数图象如图21.
点评函数图象问题是数形结合的数学思想的重要体现，在中考试卷中也往往作为具有一定区分度的题目出现。例8是一个分段函数问题，其关键是依据函数图象弄清楚点P在正方形ABCD上的哪一段运动,坐标与时间、路程如何变化.
6与实际问题相结合,注重考察学生构建数学模型的能力.
例9（湖北荆门市）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图21所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图22所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图22中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
解析：(1)四边形EFGH是正方形．图22可以看作是由四块图21所示地砖绕C点按顺时针方向旋转90°后得到的,故CE=CF=CG=CH．因此CEF是等腰直角三角形.所以因此四边形EFGH是正方形.
教育家陶行知先生也曾说过：“生活即教育。“提倡在生活中寻找教育真谛，把生活和教育有机地结合在一起。”在日常生活中，处处都蕴含着数学知识，在实际教学中，教师如果能够以学生所熟知的生活经验作为切入点，结合本节课的教学内容，适时引入，能把学生的好奇心激发出来，把他们主动探究知识的欲望调动起来。比如，在复习“函数”这一部分内容时，可以创设这样的问题情境：我想在淘宝网上选购一款手机，单价是850元，为了得到更多优惠价格，我找了11位同事，准备一起团购这款手机，其中，甲店给出的优惠价值是买一部手机优惠10元，买两部优惠20元，以此类推......但是，每部手机的最低售价则为700元。乙店给出的优惠措施则是购买10部手机，就免费赠送一部。接下来，请同学们推算一下，我应该去哪家店购买合适呢？问题一提出，课堂的氛围顿时热闹起来，大家都饶有兴趣地计算着、讨论着，学习的积极性与热情也逐渐高涨起来，很大程度上把学生学习的主动性调动出来，指导学生体验用数学思想和方法去解决实际生活中的一些问题的真谛，有助于培养、提高学生运用数学知识解决实际问题的综合能力。
二、运用多媒体课件创设生活化的教学情境
数学是一门抽象性的学科，在教学时，可以充分发挥出多媒体课件的优势，把抽象的数学知识与生动形象的多媒体情景结合在一起，让同学们都能够更形象直观地感知知识的产生和形成的过程。在教学中，教师也要善于把教学内容及其形象融为一体，指导学生在具体可感的形象中完成从生动直观向抽象思维的有效过渡，使课堂教学更加的生动化。例如，在几何画板被引入到数学课堂之中，也验证了数学是一门实验科学。学生在教师的耐心指导下，也会主动投入到动手实验、主动去发现、去创造的活动中，同学们也可以利用这个软件去构建生活中的数学模型，去研究他们所关心的个性化的问题，让学生探究数学知识的乐趣在时间和空间上都得到有效发展。多媒体课件的合理使用，也能较直观地向学生演示一些几何问题，同学们在接受、理解起来也就会较容易了。
三、用数学知识解决生活实际问题
生活化教学是从学生的实际生活出发进行课堂教学的一种有效教学手段，是基于教学与生活相互融合而设计的一种教学思路，因此，在数学教学中，教师也可以结合教学内容，适时地融入一些贴近生活实际的数学问题，以此来作为知识应用的例题，有助于学生对这些重点内容理解的更为透彻。数学学科，尤其是高中阶段的数学，具有很强的抽象性，而且学习起来也有很大的难度，但是，无论难度多大，数学都是来源于生活的，因此可以说，生活是学生学习知识的源泉，也是课堂数学生活化教学的有效延伸。例如，在教学“立体几何”的相关内容时，教师就可以针对球面距离的概念，列举一些和生活相关的实例，先给出地球上两个地区的经纬度，让学生们计算两地之间的球面距离，学生既会积极主动地融入到活动当中，而且还能够调动起学生对相应的地理知识的有效运用，加强了学科与学科之间的密切联系。
关键词：初中数学；课堂优化；教学研究
随着新课改的广泛实施，越来越多的教育者开始意识到将教学观念从应试教育转向素质教育的重要性。在这种形势下，摆脱传统教学观念、优化课堂、提高课堂有效性成为当前教师所面临的一项紧急任务。数学作为初中的一项基础学科，进行课堂优化已是势在必行，数学教师应力求让学生在优良的课堂环境中进行学习，充分调动他们的主观能动性，促进其数学学习能力的提升。笔者依照自己在长期教学中得来的经验和认识，从“课堂导入”“教学内容”“课下作业”三方面入手对此进行了浅显的研究探讨。
一、优化课堂导入，找到教学切入点
传统数学课堂教学中，教师为了提高教学效率，总习惯于直接进行知识重点难点的讲解，这样并不利于学生吸收消化知识，反而抑制了他们的学习兴趣，制约着课堂教学的高效开展。针对这一现状，教师应设计合理的课堂导入环节，并从这巧妙的导入中寻找出教学切入点，促进学生顺利的进入学习状态，从而提高教学效率。比如在学习“图形的初步认识”这一章节内容时，笔者将事先准备好的多种立体图形的模型放在讲台上，其中有正方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体，然后让学生分别观察这几个立体图形每个面的样子，思考它们之间的相似点和不同点，随后向大家提问到：“你们通过观察这些立体图形，能发现什么相同和不同？”大家纷纷回答到：“正方体和球体每个面都相同。”“圆柱体和圆锥体的俯视图是一样的。”“长方体的一些面略有差异。”“圆柱体的侧面看着像长方形。”在大家回答完后，笔者将自己之前所准备的各种立体图形三视图展示给学生观看，并问道：“你们能通过这些三视图看出这是什么立体图形吗？”大部分学生都能看出正方体和球体的视图，对于其他图形则比较容易弄混，趁势笔者抓住这一问题当做教学切入点，让大家打开课本，一起从今天要讲述的内容中寻找观察视图的规律，并让大家学习如何利用视图画出立体图形，这样一来，大家都在好奇心的驱使下积极主动地跟着笔者的思路，再学习起来也充满了动力，大大提高了教学效率。由此可见，教师设计巧妙的课堂导入可以充分抓住学生的注意力，并从中找到合适的教学切入点将他们的思路带入课本，促进教学的顺利开展。
二、优化教学内容，正确教学针对性
初中数学课本中已经逐渐开始出现一些较为抽象的理论公式，但初中生心智还未完全成熟，对于抽象概念的理解能力较为薄弱。然而不少数学教师在教学时，总是将知识理论一股脑儿的“灌输”给学生，使得他们分不清哪些是重点难点，这种笼统的学习方式很容易使其思维混乱，无法建立起清晰有条理的数学知识体系，严重抑制着他们的数学学习兴趣和积极性。鉴于此，教师应深入探究教材内容，将课本知识设计出针对性和层次性，以此来达到优化教学内容的目的。比如在学习“角的特殊关系”这一部分内容时，笔者利用多媒体为学生放映制作好的教学课件，课件中两个角以动态的形式移动，从不足90°到超过90°，大家直观的观察角度大小的变化，随后将两个不足90°的角相拼接，出现了一个直角，这时大家就能得出“两个锐角的和等于90°就说明这两个角互为余角”的理论，接着利用同样的方式将两个角拼接成一个平角，如此证明“两个角相加等于180°，则说明这两个角互为补角。”这个理论。接下来，笔者又列出了几道相关的题让学生练习来巩固刚刚学到的知识，在这个过程中，课件针对角的特殊关系进行了详细的讲解和展示，使学生充分理解了这一知识点。教师利用多媒体针对某一知识重点进行详细讲解，可以充分优化教学内容，从而促使每个学生都能完整理解数学中抽象的理论知识，促使教学质量得以提高。
关键词：高效课堂；初中数学；生活化
一、实施生活化的教学方法
所谓生活化的教学方法，指的就是教师在教学过程中将生活的因素带入有关理论知识的教学当中，这样能够让学生在学习的时候将自己的生活经验带入有关理论知识的理解中。例如，教师在教学“轴对称图形”时就可以采用这样生活化的教学方法，首先教师对学生说：“同学们想一下生活中有哪些物体是轴对称图形，老师先给大家举个例子，同学们体育课上经常玩的篮球就是轴对称图形。”有的学生说：“我们国旗上的五角星就是轴对称图形。”有的学生说：“我们现在用的课本就是轴对称图形。”有的学生说：“我们喝水的杯子也是轴对称图形。”还有的学生说：“我们打羽毛球用的羽毛球拍也是轴对称图形。”然后，教师在学生回答之后对学生说：“同学们刚刚说得都不错，下面同学们根据刚刚想到的生活中的例子，考虑一下轴对称图形有什么特点？”学生开始小声讨论起来，有的学生仔细观察身边的轴对称图形，有的学生说：“对称点到对称轴的距离相等。”教师说：“别的同学还有其他的答案吗？”学生纷纷摇了摇头，这时教师对学生说：“同学们看一下黑板。”说着教师就在黑板上画了一个五角星并将五角星的对称轴画出来，然后对学生说：“同学们仔细看好现在老师把对称点都连起来，同学们观察一下有什么特点。”学生异口同声地说：“对称点的连线垂直于对称轴。”学生通过对生活中常见的事物进行观察的方式加深了对理论知识的理解。教师在教学的过程中通过让学生对生活中的事物进行观察的方式提高学生对理论知识的认识程度，这样能够有效提高学生的认知能力以及学生对理论知识的掌握能力，从而提高教师教学的有效性。
二、多媒体的使用与初中数学教学进行有效结合
多媒体设备的使用能够给学生带来视觉上和听觉上的冲击，同时教师在教学的过程中使用多媒体设备能够给学生带来直观的印象，从而帮助学生理解抽象的理论知识。例如，教师教学“二次函数”的时候就可以充分利用多媒体设备，让学生以更直观的方式了解二次函数的有关内容，首先，教师在上课之前制作有关的Flash动画，让学生了解二次函数的主要特点；其次，教师在教学的过程中向学生播放有关的Flash动画并对学生说：“同学们现在看到的就是二次函数的Flash动画，现在大家仔细观看并在观看之后回答老师的问题。”教师为学生播放Flash动画，学生在观看之后，教师向学生提问：“同学们在观看之后对二次函数有什么了解吗？”有的学生说：“二次函数在变化的时候分为三种情况：”另一位学生补充说道：“分别是Δ0，Δ0和δ=0的三种情况。”说着学生就在黑板上画出这三种情况下的二次函数，教师笑了笑说：“两位同学回答得都非常好，二次函数就是分为δ0，Δ0和Δ=0的三种情况，不同的情况下函数的顶点是不同的。”学生在观看有关的Flash动画的时候，对二次函数的有关内容产生了直观的印象。教师在教学的过程中通过让学生观看有关Flash动画的方式将多媒体设备的应用与初中数学教学进行有效结合，这样的教学方法能够有效地调动学生学习的积极性。
三、发挥小组合作学习的优势
