【关键词】幂函数 课案设计
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）10-0077-02
根据我校的课改要求，本人在校本教材与校本练习开发中，就课案设计构思上作了如下安排，课堂效益与辅导效果良好。
一、化归铺垫，认知数与形的结合
1.将非零有理指数变形为分数的形式： p、q既约，分母q为正整数，分子p为非零整数；当有理指数为整数时，分母q=1。
2.在第一象限，作三条辅助线x=1【过点（1，1）的x轴的垂线】；y=1【过点（1，1）的y轴的垂线】；y=x【过点（1，1）的第一象限的角分线】。
并将y=1变形为y=x0【补充规定当x=0时，y=1】；y=x变形为y=x1 。
3.分别作二次函数y=x2，反比例函数y=以及函数y=x的图象并观察：
①在第一象限中，观察抛物线、双曲线及y=x图像与三条辅助直线的位置关系：
y=x2在直线x=1的右侧位于直线y=x1之上，而有理指数>1；
y=x在直线x=1的右侧位于直线y=x0与y=x1之间，而有理指数0
y=x-1在直线x=1的右侧位于直线y=x0之下，而有理指数
②判断三个函数的奇偶性，观察有理指数转化为既约分数后分子、分母的奇偶性：
y=x2是偶函数，y=x2可变形为y=x，=，分母q为正奇数，分子p为正偶数；y=x-1为奇函数，y=x-1可变形为y=x，=，分母q为正奇数，分子p为负奇数；
y=x为非奇非偶函数，=，分母q为正偶数，分子p为（正）奇数。
4.①分析y=x，y=x分别与直线x=，x=4交点与三条辅助直线的相对位置关系；
②分析y=x，y=x分别与直线x=，x=8交点与三条辅助直线的相对位置关系；
③分析y=x，y=x分别与直线x=，x=4交点与三条辅助直线的相对位置关系。
5.讨论y=x，y=x，y=x，y=x在y轴左侧的图象情形，分析指数分数的符号，分母q、分子p的奇偶性。
二、分类讨论，合情归纳推理
第一类情形：分数为大于1的正数（>1）
在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x1的上方，第一象限的图象示意图为：
（一） 分母q为正偶数，分子p恒为正奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为[0，+∞）（偶次根式 中，xp≥0，x≥0）
2.y=x为非奇非偶函数，图象如图1-1
3.值域为[0，+∞）（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
（二）分母q为正奇数，分子p为正奇数（举例如：y=x3）
1.自然定义域为R（奇次根式中xp∈R，x∈R）
2.y=x为奇函数，推知图象如图1-2
3.值域为R（图象在y轴上的正射影为y轴）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
第二类情形：分数为小于1的正数（0
在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x0与y=x1之间，第一象限的图象示意图为：
（一） 分母q为正偶数，分子p恒为正奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为[0，+∞）（偶次根式中，xp≥0，x≥0）
2.y=x为非奇非偶函数，图象如图2-1
3.值域为[0，+∞]（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
（二）分母q为正奇数，分子p为正奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为R（奇次根式中，xp∈R，x∈R）
2.y=x为奇函数，推知图象如图2-2
3.值域为R （图象在y轴上的正射影为y轴）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
第三类情形：分数为负数（
在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x0的下方，第一象限的图象示意图为：
（一） 分母q为正偶数，分子p恒为负奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为（0，+∞）（代数式中，x-p>0，x>0）
2.y=x为非奇非偶函数，推知图象如图3-1
3.值域为（0，+∞）（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）
4.图象恒过点（1，1），不过原点。
（二） 分母q为正奇数，分子p恒为负奇数（举例如：y=x-1）
1.自然定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）（代数式中，x-p≠0，x≠0）
2.y=x为奇函数，推知图象如图3-2
(1)理解指数函数的概念，能画出指数函数的图像；
(2)能应用指数函数概念解决简单的数学问题；
(3)从图像和解析式的不同角度研究指数函数性质；
(4)培养学生主动学习、合作交流的意识，使学生获得研究函数的规律和方法。
二、教学重点与难点
(1)教学重点：指数函数的概念、图像和性质。
(2)教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。
三、教学过程
1.利用电子白板的特点，创设有效的数学情景、提出问题、引入课题
电子白板投出：“某种细胞分裂的示意图”(如图1所示)， 提出问题：这种细胞每过30分钟就由1个分裂成2个，设想经过900分钟(15个小时)后会产生多少个细胞？
图1
学生回答后，教师在白板上拖动文本框，公布估算的数据：900分钟后细胞总个数10.74亿个。
教师提问：在上面这个问题中，细胞个数用y表示，分裂的次数用x表示，y与x之间的关系是什么？
学生得出公式y=2x( x∈N* )
问：如果经过990分钟(16.5小时)后细胞总数是多少？
师生用白板计算：990分钟后细胞总个数85.90亿个。
教师：y=2x 就是我们今天要学习的指数函数。
设计意图：利用白板创设问题情境，引出课题―指数函数，让学生体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律，激发学生学习新知的兴趣和欲望。
2.利用电子白板进行师生互动、探究新知，找出规律
(1)指数函数的定义
教师在电子白板上投影关系式 y=0.84x
叙述：我们在本章开始的学习中，接触到一个与y=2x 类似的关系式，y=0.84x。
问题：①y=2x 和y=0.84x这两个解析式有什么共同特征？(是指数形式)
②它们能否构成函数？(能)
③它们是否是我们已学过的函数类型？(否)
教师通过上述问题，引导学生观察上述两个函数的共同特点：指出指数函数的表达式的特点，指数是自变量。用字母a代替底数，上述两式可以表示成y=ax的形式。称作指数函数。
设计意图：人天生有模仿和尝试的欲望，学生此前已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，这时用白板创设一个看似认识，但又不同的函数，引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型，在具体问题中抽象出共性，激发学生的学习兴趣，建立概念。
(2)指数函数中底数的分类
问题：在指数函数中，底数可以为下列3类吗？
①a＜0
②a=0
③a=1
你能写出上述3种情况下的指数函数形式吗？
学生上台在电子白板上书写几个符合上述条件的指数函数形式。
教师引导学生分析上述底数与指数之间的关系，说明一般情况下不研究这3种情况的指数函数。本课我们主要研究当a＞0且a≠1时的指数函数的性质。
问学生： y＝2×3x是指数函数吗？
教师分析：有些函数式貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1。
例题讲解：下列函数为指数函数的有 ② ③ 。
①y=x2 ； ②y=8x； ③y=(2a-1)x(且a≠1)；④ y=(-4)x。
学生在白板上用拖动的方式，将②，③2个正确答案的序号拖到填空线上。
设计意图：底数的分类是本节课的难点，只有认识清楚底数a的特殊规定，才能理解指数函数的定义域；并为后续学习打好基础。让学生通过白板写出三种情况下的指数函数形式，然后指出问题，可使学生加深印象，再通过练习强化概念的理解和应用。
(3)指数函数的图像和性质
教师在电子白板上投影(见表1)：
表1 分析y＝ax的图像和性质
请学生分成小组讨论，完成上表中的图象和解析式。
学生活动：分成两组，一组讨论指数函数的解析式，另一组研究指数函数的图像；然后进行交流。
交流、总结：教师在电子白板上用几何画板软件，改变参数a的值，追踪y＝ax的图像，让学生在图像的变化过程中，观察图像的变化规律和指数函数的性质。
师生共同总结指数函数的图像和性质，教师边总结边在电子白板上分步显示表1的图像和解析式(见表2)。
表2 分析y＝ax的图像和性质
设计意图：通过学生的自主探索、合作学习，变被动为主动，学生成为学习的主人，让学习过程成为一种自觉的行动，从而加深学生对指数函数图像和性质的理解、记忆。
3.应用典型例题理解概念
(1)练习：在同一平面直角坐标系中画出y=3x和 y=(1/3)x的大致图像，并说出这2个函数的性质；
(2)例1：已知指数函数f(x)=ax的图像经过点 (3,27)，求f(0)，f(1)，f(-3) 的值。
(3)例 2： 比较下列各题中两个值的大小。
①1.82.5，1.83.2 ；②0.61.2 ，0.6-1.2 ；③1.50.6 ，0.61.5 。
根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
教师用电子白板讲解、画图、板书，与学生互动交流、小结。
设计意图：例题设计围绕所学的内容，引导学生理清思路，在熟悉指数函数单调性的基础上学会构造指数函数方法，利用单调性比较两个幂的大小。解题后及时引导学生进行小结，总结在数学活动中所获取的数学经验，领悟数形结合的数学思想方法。
4.巩固训练提升总结
(1)若函数y =(a－1)x 在R 上为减函数，则a的范围为
(2)已知下列不等式，比较m，n 的大小。
① am
② am>an ( a＞1 )；
③ m=a2.5，n=a3(a＞0，a≠1 )。
设计意图：检查教学目标是否达成，对学生出现的错误，师生及时用白板进行纠正。
四、教学反思
本节课的设计力求能体现新课程的教学理念，采用如下教学模式：创设情境学生活动意义建构形成概念知识运用回顾反思。
利用白板工具，改变教学方法，创设情境，从不同的角度理解指数函数，通过对比总结得到指数函数的性质，让学生体会研究方法。
白板的使用，增强了课堂教学的交互性，操作性，学生在动手操作的过程中学习知识，形成概念，探究方法，反馈练习，提高了教学的有效性。
参考文献
[1] 叶文俊. 电子白板在数学教学中的应用[J].中国信息技术教育，2011，8
1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．
(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．
(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．
2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．
3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．
教学建议
教材分析
（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．
（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．
教法建议
（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．
（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．
（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．
教学设计示例
函数初步应用
教学目标
1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．
2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力
3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．
教学重点，难点
重点是应用问题的阅读分析和解决．
难点是根据实际问题建立相应的数学模型
教学方法
师生互动式
教学用具
投影仪
教学过程
一.提出问题
数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．
问题一：如图，是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)
(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)
首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．
当时，，(采用直接计算的方法)
当时，
．(板书)
(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)
综上，有，
此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)
问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．
下面我们一起看第二个问题
问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)
首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．
设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：
2000年2003年
2001年2004年
2002年2005年(板书)
第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值
=++
=．
=++
=．(板书)
第三步计算增长率．
．(板书)
计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．
总结后再提出最后一个问题
问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．
(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;
(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)
题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．
解：．(板书)
完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即
(2)若使利润最大应满足
同时成立即解得
当或时，有最大值．
由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．
三．小结
通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．
四．作业略
五．板书设计
2．9函数初步应用
问题一：
解：
问题二
分析
问题三
（课件显示问题）
探究1：在同一直角坐标系中画出y=2x 和y=2x+3的图象，观察两函数图象，比较它们的异同.
（学生动手描点、画图，独立思考后同组交流）
生1：两个函数的图象都是一条直线,并且倾斜程度相同.
师：你能说明一次函数y=2x+3的图象为什么是一条直线吗？
生2：根据表格，我所描的第二组的点分别在第一组所描各点上方3个单位长度处.既然描出的第一组点是共线的，那么描出的第二组各点也应该是共线的.所以一次函数y=2x+3的图象是一条直线.
师：是否可以从解析式入手说明一次函数y=2x+3的图象是一条直线呢？
（学习小组讨论、合作、全班交流）
生3：对于自变量的任一值，这两个函数相应的值总差同一个常数3．反映在图象上，就是横坐标相同的情况下，两个函数图象上对应的点的纵坐标总差3，将正比例函数的图象经过平移得到相应的一次函数的图象，所以一次函数y=2x+3的图象是一条直线.
探究2：直线y=kx+b可由直线y=kx平移得到，平移的方向、距离如何决定？
生4：方向由b确定.
生5：当b>0时，直线y=kx向上平移；当b
生6：平移的距离为b个单位.
生7：不对老师，我觉得是-b个单位.
生8：老师，我不同意.-b有可能是个负数呀.
生9：我个人观点应该是︱b︱个单位长度.
生10：我有补充，距离是个非负数，取︱b︱个单位长度，可避免符号带来的困扰.
（教师对学生的各抒己见表示充分的肯定和赞赏）
二、引导探究、深入理解一次函数图象的性质
师：下面我们分别研究k、b正负对图象所经过的象限有怎样的影响？（出示课件）
探究3：一次函数解析式y=kx+b 中，b表示什么含义？b的正负对函数图象所经过的象限有什么影响？
（学生思考，组内讨论，师提醒学生注意观察练习中的四个图象）
生1：当x=0时，y=b,所以b表示图象与y轴交点的纵坐标.
生2：我发现当b>0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴.
生3：我发现当b
生4：当b=0时，图象过原点.
师：b的正负对函数图象所经过的象限有什么影响？
生5：当b>0时，直线y=kx+b必过一、二两个象限；当b
探究4：一次函数解析式y=kx+b 中，k的正负对函数图象所经过的象限有什么影响？
生6：k >0时，图象必过一、三象限，k
师：k>0时，直线y=kx过一、三象限，向上或向下平移得到的直线y=kx+b的图象必过一、三象限；k
（同时，出示四种情况的直线大致分布象限.教师利用几何画板演示直线y=kx+b，当x变化时y随之变化的趋势）
生7：当k>0 时，y随x的增大而增大；
生8：当k
三、本案例体现特点
1.注重数学方法和数学思想的渗透
数学思想方法是对数学规律的理性认识，通过学习，让学生逐步掌握一定的数学方法并形成一定的数学思想，也是我们数学课程的一个重要目标.本案例通过作函数图象、分析与比较两种函数解析式，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想、分类讨论法的领悟.
2.充分发挥学生的主体性
“数学学习活动应当是一个生动活泼、主动、富有个性的过程”.在新知探索过程中，教师不再是高高在上的知识传授者，教师角色实现了真正的转变.教师作为学生学习过程中的合作者、参与者、研究者、组织者和促进者，这种平等、民主的师生关系，促进了师生、生生之间的交流，学生的主体地位得到了充分的尊重，学生的个性得到了充分的张扬，学生的才华和灵性得到了施展.
高三数学总复习的导数复习课后,有学生提出:二次函数有根的判别式,那么三次函数的根的个数能否由系数进行判别呢?对此,笔者没有立即给出答案,而是思索如何利用这个问题发动学生去自主探究,通过探究使学生熟练运用导数工具解决函数问题,让学生领悟数形结合、转化与化归、猜想和归纳等数学思想,引导学生积极参与到知识的发生发展过程中去,体验知识获取的艰辛和愉悦.
在组织学生探究之前,笔者对这个问题先行进行了探究.首先,三次函数的一般形式f( x )=ax3+ bx2+cx+d( a≠0)中含有四个参数,直接探究其零点判定,对学生来说难度较大.联想到三次函数经过平移和伸缩变换后总可以化成下列形式:f( x )=x3+px+q.在不完全的三次函数形式里,参数减少为两个,探究的难度就大大减少了.反之,若不完全形式的三次函数零点问题解决了,一般形式的三次函数就可以先转化成不完全形式,然后再利用已有结论进行判别.
针对以上的思考,笔者设计了层层递进的疑问,每一步使学生能够做到“跳一跳,够得到”,一步步逼近结论.并且对某些公式和定理进行认真的推导,对学生的现实和数学现实中有哪些与本质类似或有联系等问题进行慎密的思考,对探究过程中学生可能出现的即时生成问题,准备好引领办法,这样才能做到胸有成竹,避免浪费宝贵的教学时间.下面是课堂实录.
2 探究实录
2.1 情境创设,引入课题
问题1 已知函数( )31f xxax=?+有三个零点,求a的取值范围.
设计意图 从典型的例习题联想提出新问题,从熟悉的问题而想到尚待解决的问题,从特殊的背景猜想得到一般性的结论并加以证明,这样设计可以激发学生的学习兴趣和求知欲望,提高学生的猜想和归纳能力.
(投影生1的解答过程)
3 教学体会
3.1 教师应先行考虑问题是否有探究的必要
“以学生为主体”的教育观念要求教学过程要在探究活动中展开,也就是说,概念、公式、定理等的数学都要体现数学化的教学思想,要揭示数学的形成过程.什么问题可以让学生自主探究,什么问题不适合在课堂探究,根据学生的“最近发展区”如何设置探究的难度和过程,探究过程中学生可能会遇到哪些思维障碍如何启发学生解决问题,等等.这些都需要教师在组织学生探究之前应该先行探究,并解决以下两个问题:有没有探究的必要?如何确定探究的起点和探究的方式?对于那些抽象度较低、无任何知识背景的工具性知识或学生容易理解其产生或形成过程的概念或数学结论,采用接受性学习比较经济和理想.对于那些本身具有较强的经验性、演绎性或对象性的数学知识,教学中从学生日常经验或教材出发,开展数学探究性学习则是必要的.探究的起点不宜太高,应选用学生比较熟悉的背景作为切入点.将学生的兴趣和注意力引导到探究的问题中去后,探究过程应是探究课的重点所在,采用自主探索与合作交流相结合的方式为好.但要保证足够的时间和空间让学生经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程.
3.2 探究时教师要充分发动学生的积极性
苏霍姆林斯基说过:“学生要想牢固地掌握数学,就必须用内心创造与体验的方法来学习数学”.因此,引导学生在体验中学习,在体验中自主探究、自主发展是学好数学的关键.在学习过程中,教师通过指导、创设情境,提供信息资料、工具和情感交流等多种途径使学生在不断的“体验”中获得知识,发展能力.要给学生独立思考的时间和空间,充分用好学生的口、手和思维,让学生敢说、敢做、敢于发现问题、敢于发表见解,最大限度地让学生在体验中学习,在合作中提高,在主动中发展.只有这样学生才能真正体会和感受知识的生长过程与创作,体验其中蕴含的发现,有助于加深对概念的理解,搞清概念的内涵特征,从而提高课堂教学的有效性.
3.3 探究时教师要适时控制过程和难度
因为学生对中学数学知识之间的联系和内在的数学思想认识还具有一定的局限性,对所探究的问题难度,教师要充分把握好,并能根据学生的心理特征和学情,为学生提供丰富的案例和背景材料,引导和帮助学生提出问题,让取[lunwen.1KEjian .com 第一论文 网]得数学结果的过程是一个具有坡度循序上升的探究过程.
教学调控是课堂教学活动的一个重要环节,也是确保教学探究活动顺利进行的有效手段.要提高探究学习的有效性,要求教师能够对学生探究过程进行有效调控.当学生集体遇到困难的时候,用直观的教具、图象或精辟的语言等做有针对性的启发;当学生探究误入歧途的时候,适当点拨一下探究的思路,把学生引向正确可行的方向;当学生探究的思路可行但繁琐的时候,在充分肯定的前提下鼓励学生另辟蹊径,指出更好的方法.尊重学生,信任学生,以学生为主体,时刻关注学生的学习动态适时点拨,与学生密切合作,只有这样才能充分调动学生学习的积极性、主动性,让学生在经历数学问题发现和解决的历程中体验成功的喜悦.
九年级数学
第二十八章
锐角三角函数
章末巩固训练
一、选择题
1.
如图，要测量小河两岸相对的两点P，A间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于(
)
A．100sin35°米
B．100sin55°米
C．100tan35°米
D．100tan55°米
2.
一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(
)
A.
斜坡AB的坡度是10°
B.
斜坡AB的坡度是tan10°
C.
AC＝1.2tan10°
米
D.
AB＝
米
3.
(2019湖南湘西州)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是
A．10
B．8
C．4
D．2
4.
（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为
（
）
A.
B.
C.
D.
5.
在课题学习后，同学们想为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2.82米，BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长约是(结果保留小数点后一位．参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)(
)
A．1.2米
B．1.5米
C．1.9米
D．2.5米
6.
（2020·咸宁）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
7.
如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(
)
A.
30.6
B.
32.1
C.
37.9
D.
39.4
8.
(2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OCOB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx
D．acosx+bsinx
二、填空题
9.
如图，在ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．
10.
齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1
m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)
11.
某电动车厂新开发的一种电动车如图7所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1
m，则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m．(不考虑其他因素，结果保留小数点后一位．参考数据：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)
12.
如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)
13.
如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10
m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1
m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)
14.
(2019江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．
15.
（2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．
16.
【题目】（2020·哈尔滨）在ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为
.
三、解答题
17.
某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
18.
阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，过点C作CDAB于点D，在RtADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝c－bcosA.
在RtBDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，
即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，
整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.
同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)
利用上述结论解答下列问题：
(1)在ABC中，∠A＝45°，b＝2
，c＝2，求a的长和∠C的度数；
(2)在ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．
19.
如图，在ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.
(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
(2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．
20.
如图，AD是ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.
求：(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值.
21.
如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为
60
m，随后无人机从A处继续水平飞行30
m到达A′处．
(1)求A，B之间的距离；
(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．
22.
数学建模某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为如图12①所示的滑板车(示意图)或图②的自行车(示意图)，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30
cm，CE＝40
cm，∠ABC＝53°，图①中B，E，C三点共线，图②中的座板DE与地面保持平行，则图①变形到图②后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)
23.
(2019铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732)
24.
阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)＝
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，
例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋
根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：
(1)计算sin15°；
(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为
米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．
人教版
九年级数学
第二十八章
锐角三角函数
章末巩固训练-答案
一、选择题
1.
【答案】C [解析]
PAPB，PC＝100米，∠PCA＝35°，PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．
故选C.
2.
【答案】
B 【解析】斜坡AB的坡角是10°，选项A是错误的；坡度＝坡比＝坡角的正切，选项B是正确的；AC＝
米，选项C是错误的；AB＝
米，选项D是错误的．
3.
【答案】D
【解析】∠C=90°，cos∠BDC=，设CD=5x，BD=7x，BC=2x，
AB的垂直平分线EF交AC于点D，AD=BD=7x，AC=12x，
AC=12，x=1，BC=2；故选D．
4.
【答案】
B
【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，在RtACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，AC＝2，CB＝3，AB，sin∠ABC，∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．
5.
【答案】B [解析]
设CD的长为x米．在RtBCD中，∠BDC＝α＝18°.
tan∠BDC＝，
BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.
在RtACD中，∠ADC＝β＝66°.
tan∠ADC＝，
AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.
AB＝AC－BC，
2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.
6.
【答案】C
【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，点E是BC中点，，BE=CE=EF=，∠EFC=∠ECF，AE=，∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠AEB，==，因此本题选C．
7.
【答案】D 【解析】如解图，设AB与DC的延长线交于点G，过点E作EFAB于点F，过点B作BHED于点H，则可得四边形GDEF为矩形．在RtBCG中，BC＝12，iBC＝＝，∠BCG＝30°，BG＝6，CG＝6，BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∠AEF＝α＝45°，AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．
8.
【答案】D
【解析】如图，过点A作AEOC于点E，作AFOB于点F，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，
∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∠EAB=x，∠FBA=x，AB=a，AD=b，FO=FB+BO=acosx+bsinx，
故选D．
二、填空题
9.
【答案】2 [解析]
过点A作ADBC，垂足为D，如图所示．
设AC＝x，则AB＝x.
在RtACD中，AD＝AC·sinC＝x，
CD＝AC·cosC＝x.
在RtABD中，AB＝x，AD＝x，
BD＝＝x.
BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，
x＝2.
10.
【答案】1.4 【解析】如解图，作ADMN于点D，由题意得，AD＝1
m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，BD＝＝＝7
m，CD＝＝＝＝5.6
m，BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4
m.
11.
【答案】1.6 [解析]
如图，过点A作ADMN于点D.
由题意可得AD＝1
m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝90°，
BD＝≈，
CD＝≈，
BC＝BD－CD≈1.6(m)．
12.
【答案】11 【解析】∠A＝30°，PM＝PA＝9海里．∠B＝55°，
sinB＝，0.8＝，PB≈11海里．
13.
【答案】10＋1 【解析】如解图，过点A作AEBC，垂足为点E，则AE＝CD＝10
m，在RtAEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10
m，BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.
14.
【答案】
【解析】如图，过点B作BC1AN，垂足为C1，BC2AM，交AN于点C2，
在RtABC1中，AB=2，∠A=60°，∠ABC1=30°，AC1=AB=1，由勾股定理得：BC1=，在RtABC2中，AB=2，∠A=60°，∠AC2B=30°，AC2=4，由勾股定理得：BC2=2，当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时
15.
【答案】
【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与O相切于点B，所以ABBC，所以∠ABC＝90°．在RtABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在RtABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在RtOBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．
16.
【答案】5或7
【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在ABD中
tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD－
CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在ABD中
tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD＋
CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)新坡面AC的坡度为1∶，
tanα＝＝，
α＝30°.(2分)
答：新坡面的坡角α的度数为30°.(3分)
(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．
理由如下：
如解图所示，过点C作CDAB，垂足为点D，
坡面BC的坡度为1∶1，
BD＝CD＝6米，(4分)
新坡面AC的坡度为1∶，
CD∶AD＝1∶，
AD＝6米，(6分)
AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．
答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．(7分)
18.
【答案】
[解析]
(1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明ABC是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．
解：(1)在ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2
)2＋22－2×2
×2×＝4，则a＝2(负值已舍)．
22＋22＝(2
)2，即a2＋c2＝b2，
ABC为直角三角形．
又a＝c＝2，∠C＝45°.
(2)b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，
c2－c＋1＝0，
解得c＝.
c＞a＞b，c＝.
19.
【答案】
解：(1)DE垂直平分AB，
EA＝EB，
∠EAB＝∠B＝25°.
又∠C＝90°，
∠CAE＝90°－25°－25°＝40°.
(2)∠C＝90°，
sin∠CAE＝＝.
CE＝2，AE＝3，AC＝.
EA＝EB＝3，BC＝5，
tanB＝＝.
20.
【答案】
[解析]
(1)过点A作AEBC于点E，根据cosC＝，求出∠C＝45°，根据AC＝，求出AE＝CE＝1，根据tanB＝，求出BE的长；
(2)根据AD是ABC的中线，求出CD的长，得到DE的长，进而求得sin∠ADC的值．
解：(1)如图，过点A作AEBC于点E.
cosC＝，
∠C＝45°.
在RtACE中，CE＝AC·cosC＝×＝1，AE＝CE＝1.
在RtABE中，tanB＝，即＝，
BE＝3AE＝3，
BC＝BE＋CE＝4.
(2)AD是ABC的中线，CD＝BD＝2，
DE＝CD－CE＝1.
AEBC，DE＝AE，∠ADC＝45°，
sin∠ADC＝.
21.
【答案】
解：(1)如解图，过点D作DEAA′于点E，由题意得，
AA′∥BC，
∠B＝∠FAB＝30°，(2分)
又AC＝60
m，
在RtABC中，sinB＝，即＝，
AB＝120
m.
答：A，B之间的距离为120
m．(4分)
(2)如解图，连接A′D，作A′EBC交BC延长线于E，
AA′∥BC，∠ACB＝90°，
∠A′AC＝90°，(5分)
四边形AA′EC为矩形，
A′E＝AC＝60
m，
又∠ADC＝∠FAD＝60°，
在RtADC中，
tan∠ADC＝，即＝，
CD＝20
m，(8分)
DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50
m，(10分)
tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，
答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为.(12分)
22.
【答案】
解：图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了变化．
如图①，过点D作DFBE于点F，则BE＝2BF.
由题意知BD＝DE＝30
cm，
BF＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，
BE＝2BF≈36(cm)，
则BC＝BE＋CE≈76(cm)．
如图②，过点D作DMBC于点M，过点E作ENBC于点N，则四边形DENM是矩形，
MN＝DE＝30
cm，EN＝DM.
在RtDBM中，BM＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，DM＝BD·sin∠ABC≈30×＝24(cm)，EN≈24
cm.
在RtCEN中，CE＝40
cm，
CN≈32
cm，
则BC≈18＋30＋32＝80(cm)．
80-76＝4(cm)．
故图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了改变，增加了约4
cm.
23.
【答案】
由题意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km，
在RtAPM和RtBPM中，tanA==，tanB==1，
AM==h，BM=h，
AM+BM=AB=10，h+h=10，
解得h=15–5≈6．
答：h约为6km．
24.
【答案】
解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)
＝×－×
＝.(4分)
(2)在RtBDE中，
∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，
tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，(5分)
BE＝14＋7，(6分)
又AE＝DC＝，
摘要：计算机应用基础课程中的Excel公式与函数是重点和难点之一，本文探讨了在教学中结合专业，抓住学生感兴趣的问题，以工作过程导向，将“任务”知识融入到教学活动中，以提高计算机统考“合并计算”题目的得分率的方法。
关键词 ：合并计算任务驱动 Excel公式与函数
根据粤人社办〔2012〕457号文要求，计算机统考成绩已成为衡量学校教学质量和学生毕业率的指标之一。为提升“合并计算”得分率，笔者根据课程内容与专业特点，采用任务驱动实施“Excel公式与函数”教学。
一、基于任务驱动的Excel公式与函数教学
1.学材分析
根据学生具体情况，因地制宜，因材施教，抓住学生感兴趣的问题，以“工作过程导向”将“任务”知识融入到活动中，引导学生观察、实践、体会、理解，最终掌握公式与函数的运用。
2.学生分析
前期学生已经掌握了在工作表中输入数据、编辑、修饰工作表、绝对和相对地址的引用等基本操作，在此基础上进一步让学生学会如何在Excel中进行数据分析计算。本课以营销专业为例，学生对销售利润、税金、统计等话题比较有兴趣，通过学生感兴趣的问题，将知识融入到教学活动中，解决实际问题，让学生自己动手，从实践中获得知识，提高学生的综合能力。
3.教法的应用
在教法应用上，采用任务驱动法、演示讲解法、设问法、讨论法等多种教学方法相结合的“基于工作过程”的任务驱动教学模式。在学生学习方法上，采用观察分析法、小组合作法、尝试法等。
4.教学过程
通过“悠然创意礼品网店销售表”，创设情境，循序渐进，提出四个工作任务。
二、案例分析和教学效果
本实例教学改变了传统的就题论题、直接演示的教学方法，以学生感兴趣的实际工作和生活问题导入，让学生由被动接受变为主动求学。
1.首先创设情境，导入新课
兴趣是最好的教师，“导入”是教学过程的一个重要环节。引人入胜的课堂导入，既能吸引学生的注意力，又能激发起学生的求知欲，引起学生的兴趣。因此笔者根据学生专业特点，设计了帮助“悠然创意礼品网店”店主小张分析“商品销售统计表”的工作任务。网上开店是热门话题，也是学生专业课程与实践学习中面临的实际问题，能激起学生很大的兴趣，有利于师生共同完成整个教学活动。整堂课主要围绕“悠然创意礼品网店”的主题开展教学活动。
2.讲解公式的作用及格式
紧接着教师延续导入中的问题，讲解公式的作用及格式，使学生在理解的基础上能够学以致用，快速进入学习状态，且注意力高度集中。显然学生仅仅理解了知识点还远远不够，因此通过让学生完成“任务一：初级实践——悠然创意礼品网店销售表（库存数、售价、销售收入、销售税金等）的计算”，学习公式应用。设计的4个小问题从易到难，从简单到复杂，从基础到强化，让学生处于解决一个问题后再抛出一个新的问题，循序渐进、螺旋上升的状态，学生在学习中不断地积累知识、技能，不断地提高学习能力。
学生有一定的能力差异，笔者在本节课中抓住学生间的差异设计了下面的教学活动。即通过“任务二与三：提升与深入实践——悠然创意礼品网店销售表（销售利润、月总销售利润、月销售最多商品的数量、月销售最少商品的数量、日平均收入等）分析计算”及其延伸，解决三个问题：一是从公式应用到函数应用的过渡；二是突出绝对引用与相对引用的区别，使学生能够灵活应用；三是减少能力较弱学生的懒惰心理，促使他们与其他同学共同学习。随着任务二和三的深入，不仅学习目标得到很好的落实，而且学生的综合素养也得到了一定的提升。
最后设计“任务四：提高实践——计算机成绩表（总评、班总分与班平均分）”。不但可以提供给学生进一步理解和实践的机会，而且激励学生的竞争意识。
3.通过小组讨论共同完成巩固练习题、统考真题
为了强化知识的理解和吸收，引导学生分析、统计“班级成绩表”和“往届统考真题练习”等课外作业来进一步巩固Excel公式与函数的运用，从而掌握统考考点——“合并计算”。
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
学法：四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：ab，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从a到b的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在b中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设a、b是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及从a到b的对应法则f），并说明把函f：ab记为y=f（x），其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈a}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合a中的数的任意性，集合b中数的唯一性。
6.“f：ab”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域a（要优先），值域c（上函数值的集合且c∈b）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈a）是不是函数？
解：y=1可以化为y=0*x+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
四.课时小结：
1.映射的定义。
2.函数的近代定义。
3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4.函数近代定义的五大注意点。
五.课后作业及板书设计
书本p51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。
预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。
函数（一）
一、映射：2.函数近代定义：例题练习
