关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性
抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定义域。
解析：由由a＞0
知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。
三、抽象函数的奇偶性
四、抽象函数的对称性
例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为（）
A、2B、0C、1D、不能确定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，y=f(2x+1)是奇函数，y=也是奇函数，。，，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+g(-x)=故选A。
五、抽象函数的周期性
例4、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则()
(A)是偶函数(B)是奇函数
(C)(D)是奇函数
解:与都是奇函数
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=f(x－b)，则y=f(x)是以T=a＋b为周期的周期函数。
定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=－f(x－b)，则y=f(x)是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。
定理3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b－a)为周期的周期函数。
定理4.若函数y=f(x)的图像关于点（a,0)与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b－a)为周期的周期函数。超级秘书网
定理5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=4(b－a)为周期的周期函数。
性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，则函数有周期4(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。
（商丘师范学院数学与信息科学学院，河南商丘476000）
摘要：实变函数论是大学数学专业本科课程中的一门专业基础课.从上好第一节课，增强课堂趣味性，有计划地适当布置小论文题目等方面探讨如何改进实变函数课程的教学方法与实践，进而培养学生的学习积极性，提高教学质量.
关键词 ：课程改革；教学实践；实变函数
中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）02-0012-02
基金项目：商丘师范学院教学改革研究项目(2013jgxm33)
实变函数论是微积分的进一步发展，十九世纪初数学家逐渐发现分析基础本身还存在着许多问题，为解决这些问题逐步形成了一种新的理论实变函数论.它渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用.实变函数论是大学数学专业本科课程中的一门专业基础课，它具有高度的抽象性，较强的逻辑性，需要有一定的分析、代数等基础知识，一向被学生认为是最难学的课程之一.许多数学专业的本科生都对这门课不感兴趣，甚至望而生畏.近年来，针对这种现状，很多的学者就实变函数课程的教学与实践，进行了不同方面的探讨，同时在教学内容、教学方法等方面进行的不同程度的改革，见文献[1-5]，学生的学习兴趣和学习的效果有了一定的提高，但实际效果还远没有达到预定的期望.作者根据身在教学第一线的工作经历，主要从要上好第一节课，课堂增强趣味性，课下有计划地适当布置小论文题目等方面对如何改进实变函数课程的教学方法与实践进行了探讨.
1上好第一节课
实变函数论因其高度的抽象性一直深受学生的惧怕，并且学生普遍有这样一种困惑：实变函数论课程那么难，那么抽象，它对将来的工作和生活有什么作用？而许多教师迫于课时紧张，在教学中忽视第一节课整个课程的结构及发展，与其他课程的联系的介绍，直接或简单介绍后直接进入主要内容的学习.学习目的不明确以及学习上的畏难情绪直接影响学生学习实变函数的热情和效果.通过第一节课也就是绪论课的学习，可先让学生对本课程有个大致的了解.理解是以旧知识、旧经验为基础的，由于实变函数论课程是数学分析基础课的进一步升华和延伸，首先说明实变函数论是在分析基础本身出现问题的基础上产生的，如对某些很简单的函数像[0,1]区间上的dirichlet函数，在Riemann意义下不可积.为解决出现的这些问题，需要对Riemann积分进行改进.Riemann积分的思想主要是对函数的定义域进行分割，Lebesgue采用了对值域进行分割来建立积分理论的方法，由此产生了Lebesgue测度理论及积分理论-实变函数的核心内容.通过类比将实变函数中的基本概念和理论与数学分析中的相应部分尽可能紧密地联系起来，激发学生的学习兴趣.说到学习这门课有什么作用，从知识本身上说，对数学系大学本科阶段开设实变函数论这门课程是很有必要的，但这门课比较抽象，所以放在大学三年级来开设.不管是他们以后要在数学方面或是转到物理等其他方面继续深造，或者是去工作都是非常有用的.首先这是做理论研究和技术工作的基础；从学生自身上说，另外，通过学习这门课其实是对原来学习分析、代数、几何等知识的升华，帮助学生对以前的知识理解的更透彻，培养学生分析问题，思考问题，解决问题的能力，提高了学生的思维能力和分析能力，简单点说就是可以使人变聪明，这话学生爱听.
通过第一节课的学习，尽可能地拉近学生和实变函数的距离，使他们在心理上对实变函数有一些亲近感，让学生感受到实变函数的具体和魅力，重要性与实用性，激发学生学习该课程的热情和兴趣，从而努力学好它.
2增强趣味性
在上好第一节课的同时，学生已经对实变函数课程结构有了一定的了解，但在接触到具体内容之后，也会逐渐感到内容抽象，可能还会觉得枯乏难懂.因此在课堂中要适当的加入一些形象化语言，一些历史小故事等，增强学生的积极性，调节课堂氛围，增加学生的注意力.比如在讲解集合论这一章时，可以讲解一下康拓的生活遭遇，当时他所建立的集合理论，连续统假设不被数学界所认可，并本人受到了攻击.这对一个充满激情的学者来说是多么大的打击，以至康拓出现了精神问题，后来在精神病院死去.后来，他所创立的集合理论，还是被世人所接受并被肯定其价值.让学生了解一些实变函数相关知识的一些历史小故事，增强他们了解该课程的欲望，从而提高学习兴趣.
实变函数某些概念往往以“似是而非，似非而是”而难以理解，有时候可能会让学生莫不着头脑.如在集合的基数学习时，自然数很多很多，学生总感学自然数与实数一样多.除了数学的公式严格说明的同时，可以将其更形象的说，自然数相对于实数犹如一大麻袋的硬币投入整个大海.让学生在趣味中学习，提高学习的效果.
3适当布置小论文题目
现代教育教学理念的重点在于创新，既要传授知识，又要兼备发展智力，培养能力，提高素养.虽然在绪论课的学习中，通过对比实变函数论与数学分析的紧密联系，学生在直观上已有所了解，并通过增加小故事一定程度上提高了学生的积极性，但有些学生从心态上，认为这只是一门课，所以应付，缺少主动性；此外，有一些学生在修这门课的同时面临着将要考研的压力，而研究生入学考试中，该门课不作为考试内容，从而也致使对这门课程的重视不够.以往“实变函数”课程教学往往采用“满堂灌”式的板书教学，课堂是教师一个人的舞台，学生只是被动的接受.签于这些现状，从根本上提高学生的主动性，让其真正的参与进来，提高他们对这门课的重视，我们还采取有计划的布置小论文题目，来吸引他们的注意力.从而培养他们的兴趣，同时培养他们分析问题，多角度考虑问题，总结知识点的能力.这些，对他们以后作毕业论文设计都是很有帮助的.有计划的布置一些小论文题目，作一下知识总结或者是谈一下心得体会，给学生留有一定的思考空间，更能展示他们的考虑问题，总结知识的能力，展示他们的才华.一个人对一门课程学得好与坏不是简单的表现再考试卷面的成绩上，而最重要的应该是对该课程的整体理解上，通过该课程的学习无论是在知识上，还是在学习知识、传授知识的能力上都有所提高.
以上是我们从“实变函数”课程教学过程中，对其教学方法的一些改进与实践方式，从学生的反应来看，有一定的效果.我们也想通过这种教学实践，使学生养成一个良好的学习习惯.当然，好习惯的养成不是一朝一夕的，是长期坚持的结果.此外，在实际教学过程中仍可能会面临这样那样的问题，具体问题具体分析，根据实际情况灵活处理.
参考文献：
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关键词：初中物理；函数；教学；策略
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）29-0113-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.29.069
一、初中数学函数教学的现状
自实施新课程改革以来，初中数学教学模式逐步改变，教学方式渐呈多样化趋势，数学函数教学也能充分利用现代先进的科学技术进行课程教学活动。历经多年的努力，在初中数学函数教学过程中，很多教师已经充分掌握了计算机操作、计算机应用功能，已经能较好地运用多媒体技术辅助教学，已经非常注重教学方式、教学策略，使很多学生提高了对函数问题的认识和理解，提升了他们的思维能力、分析能力及实际应用能力。为今后更深层次的学习数学知识，接受更高的数学教育打好了基础，铺平了道路。
二、初中数学函数教学的不足
很多初中数学教师通过不懈的努力，使学生很好地认知初等函数数学知识，掌握了相关的理论。但教学过程中依然有少数教师无法很好地运用教学谋略进行教学活动，主要表现如下。
（一）没有充分理解函数知识在初中数学中的重要性
虽然大多初中数学教师都能认识到函数知识是非常重要的，也知道函数知识是连接高中数学知识的桥梁，起着承上启下的桥梁作用，都能在教学过程中好好设计教学方案，讲解函数的定义，都能教授初中学生从数学知识中认识什么是定量，什么是变量，什么是函数的三要素等。少数初中数学教师由于没有充分理解函数知识在初中数学中的重要性，在教学过程中没有好好设计教学方案，没有充分准备和认真讲解初中数学中函数的定义和概念，没能有意识地运用函数将现实生活中的一些问题转化为函数问题，并运用函数科学知识去合理解决现实生活中的一些问题。
（二）没有充分利用现代技术进行数形结合教学
很多初中数学教师知道图像法在函数教学中是三个表达函数关系的方法之一，是最为直观的表达方法，而数与形相结合的教学思想是函数教学最基本的思想，也是为了让学生去认知函数，通过数和形的相互变换将复杂抽象的函数问题变得更易接受、更易理解的重要途径。很多教师都是按照此类方法去教授函数课程，但有些教师在采用此法教学时，仍然采用“灌输法”，并不能按照新课改的要求，让学生自己开动脑筋进行自主式学习，也没有在课堂上留出一些时间，让学生自己去绘制函数图像，进行数形结合的学习活动。他们依旧认为让学生自己动手绘制函数图像是浪费教学时间。这种陈旧的教学模式不利于学生增强函数学习的印象与记忆，不利于学生通过函数图像数形结合思想培养与提高抽象思维能力，不利于学生从自己绘制函数图像中更加形象、直接地理解与掌握函数性质，不利于学生快速理解与掌握函数值范围、自变量取值范围，以及变化规律等理论知识。
三、初中数学函数教学的策略
（一）应充分认识函数知识在初中数学中的重要性
初中数学教师应充分认识到函数是数学知识中相当重要的部分，应充分认识函数知识在初中数学中的地位和作用。在这个变化较快的新时代，初中数学教师应把握函数知识的教学重点，应根据新时代的民众生活、学生环境的变化，改变教学思想，不再沿用陈旧的教学实例，而应更新教学设计，更新教学方案，有意识地运用函数的定义、函数的概念，运用函数的思想、理论，将更新鲜、更贴近生活的、更与时俱进的一些问题、一些教学实例转化为函数问题，并运用函数科学知识去合理解决这些问题、去分析研究这些教学实例，去激发学生对函数知识的兴趣，使他们愿意去思考生活中的这些数学问题，愿意去找寻解决这些数学问题的途径，进而提高他们的学习能力。
（二）应充分利用现代技术进行数形结合教学
初中数学教师都应认真钻研数形结合的教学思想和教学方法，改变传统的灌输式教学模式和方法，在教授函数知识时，应主动预留教学课时，分利用现代技术，让学生自己动手绘制函数图像，进行自主式学习，让他们通过数和形的相互变换去认知函数，进而更易接受与理解函数性质，更易接受与理解函数值范围、自变量取值范围及变化规律等，更易理解复杂抽象的函数问题。
总之，要有效开展初中数学函数教学，提高初中学生函数学习能力，教师必须改变教学观念，转变教学模式，结合教学实例，同时应转换教学角色，把课堂交给学生，并充分利用现代科学多媒体技术加强演示教学，尽可能安排学生自己动手操作，使有限的教学课时达到最佳教学效果。
参考文献：
关键词： 实变函数；教学改革
中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1006-4311（2012）07-0207-01
0引言
实变函数是高等师范数学专业一门重要的基础专业课，它的内容广泛渗透到现代数学的各个领域，例如泛函分析、现代偏微分方程、分形理论等，学好实变函数有着重要意义。但在实际教学过程中学生常常对这门课程学习的积极性并不高，其原因主要有：首先实变函数中介绍的理论知识具有高度的概括性和抽象性；其次实变函数的知识在考研及以后的工作中很少能用到，学生多偏重于与就业或考研相关的课程；如果在教学中，教师过于注重数学本身的理论，必然导致学生越学越没有兴趣。因此，为了提高教学效果，本文结合教学实践中的经验，探索该门课程的教学规律，改革了教学的一些手段和方法，并在实践中取得一定的成效。
1在教学中加强数学思想方法的教育
1.1 教师应深入分析教材，挖掘教材内在的思想方法数学思想方法是前人探索数学真理过程的积累，但数学教材并不是这种探索过程的真实记录，它对完美演绎形式的追求往往掩盖了内在的思想方法，因此教师需要深入分析教材，挖掘内在的思想方法[1]。例如：①映射的思想。学生都会数数，但是很少会有人想到其所蕴含的数学思想，即建立了一个有限集合与正整数列的某一截段的一一对应。把一一映射的思想应用到无限集合上，就能够比较无限集合所含元素个数的多少，也正是一一映射的思想把有限集合的数与无限集合的基数统一起来了。②构造性思想方法。构造辅助函数，如利用可测函数f（x）构造简单函数列{φn（x）}，使得f（x）=■φn（x）[2]；构造开区间列、开集、闭集、构造开覆盖法、构造反例法等等。③数形结合的思想。如可积函数f（x）在E上的L积分等于函数正部与负部对应下方图形测度之差，由此还可以导出高维积分与低维积分之间的联系。④特殊一般思想，如L积分的定义，先由非负可测函数的积分，再来定义一般函数的L积分。还有公理化思想、符号化思想、互逆型思想方法等等。
1.2 在教学中适时的渗透数学思想方法知识是思想的载体，教师通过传授知识揭示其中的数学思想方法，启发、引导学生去思考。首先，教师应注重揭示新旧知识的内在联系，从而引导学生思考其中所蕴含的思想方法。如距离的概念，学生对距离固有的认识，即“两点之间线段的长度为距离”，而距离就是集合内部的一种结构，他们所认识的距离只是特殊的距离空间：欧氏空间，所对应的一种特殊的距离（结构），如果能很好的认识到这里特殊与一般的关系，也就能很好的理解距离的概念。其次，教师通过介绍问题产生的背景，带领学生经历探索的过程，逐步形成、掌握数学思想方法，激发学生的兴趣。最后，在教师的揭示和引导下，还可以组织学生积极参与教学过程，例如老师讲解完定理的证明后，可以让学生讨论总结证明的思路、及其中蕴含的数学思想方法。在教师的引导下，学生通过学习知识掌握其中的思想方法以后就会发现，虽然知识很少用到，但是其中的思想方法无论是在考研还是在中小学的教学里都会用到；通过数学思想方法的掌握，锻炼了思维能力，又能促进学生对知识的学习和领悟。
2教学中体现实变函数承上启下的作用
实变函数是一门承上启下的课程，它是微积分学的深化和延拓，又是泛函分析、概率论等课程的基础。教师在讲解过程中体现实变函数承上启下的作用，可以使学生觉得实变函数的引入是自然的、有用的，从而调动学习的积极性。
数学分析中的Riemann积分是在Jordan测度基础上建立的，主要有以下几点缺陷：①黎曼意义下可积的函数类范围太小。如Dirichlet函数这样的简单函数却不是R可积的。②R积分与极限可交换顺序的条件太苛刻。在数学分析中，交换函数列极限与积分的顺序，需要函数列一致收敛的条件来保证，而能够达到一致收敛条件的函数列并不多。③R积分运算不完全是微分运算的逆运算。法国数学家Lebesgue在Lebesgue测度基础上建立了Lebesgue积分，弥补了R积分的诸多不足。比较两种积分的定义，L积分正是将R积分定义中的分割方式稍做改变，从而得到新的积分，既保留了R积分的许多性质，又有许多自身的新特性，使得L积分的应用更加广泛。另一方面，实变函数又为后继课程：泛函分析、概率论等打下基础。将实变函数中的L测度提升到抽象测度后，概率本质上就是一种测度，L测度及概率只是抽象测度的两个特例而已，这样实变函数与概率论就统一在测度论下，为随机过程的学习打下基础。现代数学思想方法中分形几何的许多基本思想和方法都源自实变函数，如Cantor集中体现的分形自相似性和维数特性。
3体现专业培养特色，注重教学的实用性
我校属于师范本科院校，大部分数学专业学生毕业后要从事中小学教师这个职业。所以在大学教学过程中要注重他们的数学思维以及自身综合能力的提高，如教学能力，沟通能力等。反思数学专业各门课程的教学几乎都是采用“满堂灌”的教学方法,课堂基本上是老师一个人的舞台，学生没有机会参与教学过程，这种教学方式必定会影响到学生以后的职业生涯。因此在实变函数教学改革中应该改变这种传统的教学模式，注重与学生的交流、沟通，让学生参与教学。一方面，它可以改变学生被动学习的方式，激发学生的学习兴趣及创新意识；另一方面，在提高学生数学素养的同时，可以提高他们作为教师的职业素养。实变函数的内容总体上抽象难懂，但是也有一些简单的概念、定理，如L积分的定义，在R积分定义的基础上就很容易理解。像这些比较简单的内容就可以通过让学生小组讨论、自己讲解、老师补充的方式来组织教学。又如一些定理证明思路的总结、数学思想方法的总结、章节的总结，都可以让学生自己完成。或者，在上课之前，让学生通过查阅资料，了解知识的背景，并以报告的形式完成。在内容上加强与中学数学的联系：如集合论的知识、距离的概念、集合的测度等等。又如什么是曲线？曲线能填满空间的一块吗？这些中学中有可能遇到的问题，通过实变函数的学习能够帮助学生清楚的认识这些问题。
本文总结了实变函数教学改革中的一些思路，并在教学实践中取得了较好的效果。当然这些改革思路还有不完善的地方，在教学中不断会有新的问题出现，还需要我们继续探索、完善，与时俱进，不断创新。
参考文献：
【关键词】初中数学 函数教学 有效性分析
一、进行初中数学函数教学有效性分析的重要意义
在初中数学教学过程中，帮助学生形成函数思维意识，让学生把握住数学学习的规律，才能够提升初中生解决函数问题的能力。针对这样的情况，需要在初中数学教学过程中，充分结合学生的实际特点，不断研究总结相应的函数教学方法，提升初中数学函数教学效率，为提升学生的数学能力打下基础。
二、初中数学函数教学存在的问题
1.函数教学针对性不强
传统的初中数学函数教学，数学教学目的不明确，制定的初中数学函数教学方法和学生实际学习情况脱节。在初中数学函数教学过程中，学生数学学习兴趣难以得到有效保证，影响到初中数学教学效率的有效提升。
2.初中数学函数教学连贯性不足
作为初中数学的重要组成部分之一，初中数学函数知识具有很强的串联性和系统性，如果能够充分把握住这一特点，就可以提升初中数学教学效率。但是，在目前的初中数学教学，并没有对初中数学函数教学的基本内容进行串联分析研究，数学函数教学内容难以形成一个整体，导致初中数学学习过程沦落为机械地学习过程，学生难以真正理解初中数学知识的精髓，导致学生学习到的数学知识只是表面上的皮毛，并没有掌握完备的数学学习思维理念。
3.初中数学函数知识点把握不够精确
截至目前，函数考察仍然是初中数学教学的重头戏，这就要求在初中数学函数教学的过程中，充分重视教学方法有效性的总结研究。但是，初中数学函数知识点的把握不够精确的问题，依然存在。只有重视初中数学函数教学“有效性”，以学生的实际特点为依托，才能促进初中数学函数教学效率的提升。
三、初中数学函数教学有效性分析
1.合理选择函数教学内容
在初中数学函数教学的研究中，要充分结合初中生的实际特点，制定合适的初中数学教学方法并在教学的过程之中贯彻“以学生为核心”的教学精神，合理选择教学内容的插入时机。
例如，可以在“数轴”的教学过程中，向学生展示不同数值在数轴上的位置，提升学生的学习积极性和兴趣度。通过这样的教学方式，既不偏离教学的中心目标，也可以有效提升学生学习数学知识的兴趣，帮助学生更加有效地掌握数学知识的基本运用能力，促进初中数学教学效率的提升。
2.合理规划初中数学函数教学结构
为了保证初中数学函数教学的教学效率，在初中数学函数教学方法设计的过程中，要充分结合初中数学知识的具体知识点分布构造，开展初中数学函数教学策略的研究：首先，要保证数学课程教学内容可以合理地串联在一起；其次，要保证数学课程教学内容和教学大纲紧密结合在一起；最后，要保证规划好的初中数学教学结构可以有效提升初中数学教学效率。
例如，在初中数学复习的过程中，教师就可以利用多媒体技术手段，在PPT课件上建立一个一整册初中数学知识的知识架构图，并在课堂上带领学生进行数学知识的分析研究工作，让学生自己动脑对这些知识点的关系的进行分析。通过这样的教学方式，既可以防止学生在学习的过程中死记硬背，又可以让学生形成初中数学知识的总体认知，进而有效促进初中数学教学效率的提升。
3.构建初中数学函数课堂讨论氛围
在初中数学函数教学的过程中，要充分考虑函数教学方法的实际需要，通过师生之间的互相讨论，高效提升促进初中数学教学效率。
例如，在“绝对值”的教学过程中，可以就绝对值在数轴上的范围开展课堂讨论。并让学生对绝对值的大小进行交流，通过学生之间的相互讨论，提升学生对于数学知识理解。
结语
综上所述，通过对传统数学教学方法存在问题的研究，结合初中生的实际特点，制定进行相应初中函数教学方法，对初中数学函数教学效率的提升有着一定的促进作用。
【参考文献】
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关键词：函数教学；函数问题
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）07-0194-02
函数思想就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题得到解决。函数思想的建立，使数学从常量数学转入变量数学，使数学能有效地揭示运动变化的规律，反映事物间的联系。20世纪以来，我国的科学技术得到飞速的发展，数学教育教学也已迈入课改时代了，数学教学更注重运用数学知识和数学思维方法解决实际问题了，初中函数在解决此类实际问题中起到最重要、最关键的作用，从而彰显出初中函数教学重要性。我从事初中数学教学二十几年来，发现学生学习函数时总会遇到这样或那样的困难。
1.学生学习初中函数的困难
1.1 函数概念理解不深、模糊
例1、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）.
【考点】函数概念
【错解原因】有学生选B。错答原因就是不清楚函数定义"在某一变化过程中，如果存在两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一的值与之对应，那么x是自变量，y叫做变量x的函数。"其中的"对于x的每一个值y都有唯一的值与之对应"理解不深。故D图不能用函数式表示出来。
例2、（2012年北京市）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=4x（x>0）的图象与一次函数y=kx-k的图象的交点为A（m，2）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点， 且满足PAB的面积是4，直接写出点P的坐标.
【考点】 反例函数与一次函数的交点问题，曲线上的点的坐标与方程的关系
【不会解答原因】 本题涉及到函数图象概念及求直线解析式时灵活用其图象上的点的坐标来求解的方法，但有的学生不理解函数图象概念而解答不出来。
1.2 函数性质理解不透彻。初中函数只有"一次函数、反例函数、二次函数"三种，掌握它们各自的性质
例3、一次函数y=x+3的图象不经过的象限是【 】
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【考点】一次函数图象的性质
【错解原因】学生选C ，显然是不知道一次函数y=x+3交y轴于正半轴，交x轴于负半轴，没有灵活掌握一次函数y=kx+b（k≠0）有关k和b的性质特征要点。
例4、 抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的两个正确结论（直接采用已知数据的结论除外）
【考点】二次函数的图象，结合图象可读出对称轴方程、抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
【不会解答原因】不知道通过计算推理可得到：c=3，b=-2；因而从关系式、图象两方面，可得正确结论：①图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）；②解析式为y=-x2-2x+3；③方程-x2-2x+3=0有两个根x1=-3，x2=1；④抛物线的顶点坐标为（-1，4）；⑤该二次函数的最大值为4；⑥当x>-1时，y随着x的增大而减小；⑦若二次函数y≥0，则有-3≤x≤1等，任选两条均可.
1.3 对实际问题转化为函数问题缺乏经验
例4、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：
（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【考点】待定系数法求一次函数解析式和利用二次函数性质求实际问题的最大值或最小值。
【不会解答原因】不知道利用二次函数性质求实际问题最大值或最小值的一般步骤：①设出自变量x和因变量w求出函数解析式和自变量的取值范围②配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值③检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内
即
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元。
2.克服学习函数困难的对策
针对以上学生学习函数障碍，我认为在平时的函数教学中要重视函数概念、性质理解和掌握以及函数应用意识的培养，重视"数学用于现实"的思想教育，在具体的教学中，重视影响数学能力的诸多因素如数学语言、阅读理解等的有计划、有针对性的训练和培养，具体地讲，要抓好以下几方面的教学。
2.1 加强对学生理解函数概念、性质的培养。初中函数"一次函数、反例函数、二次函数"都各自有特点的，而其函数图象又各具特征的，但记忆这三种函数的性质都可以采取"数形结合法"去理解记忆的。如记忆一次函数的性质：当 时，如图1所示，函数图象是"一、三方向"，"当 时，直线交y轴于正半轴，当 时，直线交y轴于负半轴， 时，直线经过原点（此时变为正比例函数）"，"直线是向上型（增大型）的，即y随x的增大而增大"；当 时，类似。
2.2 强化阅读理解能力的培养，并使学生学会"数学地"阅读材料、理解材料。通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力的培养和自觉能力的培养；通过数学阅读，有助学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出："数学教学也就是数学语言的教学"，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也须重视数学阅读。作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生退赔效的数学有效阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处，从而在兴趣及利益的驱动下，自觉主动地进行数学阅读。
具体地讲，强化阅读理解能力的培养，教学时要注意以下几个方面：⑴让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目所提供的信息条件、现象过程、解题思路及应采用的规律方法，等等。教学中可让学生通览全题说题目要素；也可以让学生剖析字句，说题目条件；还可以让学生形成解题思路后，说解题步骤。⑵组织适当的课堂讨论。课堂讨论常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级形式围绕议题发表见解、互相讨论。实践证明，课堂讨论为师生之间、同学之间的多向交流提供了一个很好的环境。讨论时学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集资料、统计数据等多种活动，并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的的理解和掌握。因此，课堂讨论不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣、增进对知识的理解。⑶创设写数学的机会。让学生"写数学"，就是要学生把他们学习数学的心得体会、反思和研究结果用文字的形式表达出来，并时行交流。例如，可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文，等等。这样做不仅可以提高学生的数学写作、阅读和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学学习水平与探索研究能力。
2.3 加强学生用函数建数模解决实际生活问题的自信心的培养。一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代的必备心理素质，基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此在平时教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信。
例如，我让曾经让学生分组做这样一个实验：用一个长度为T的细铁丝围成一个矩形，怎样的围法可以使矩形的面积最大？学生通过实际操作并用二次函数求最大值的性质得出正确的结论。证法如下：设矩形的一边长为x ，矩形面积为s，依题意可得
由二次函数最大值的性质可知，当x=14T时，s有最大值，最大值为116T2
因此，学生们得到一结论：周长为定值的矩形，当矩形变形为正方形时，其面积最大。 这个实验让学生非常感兴趣，激起了学生强烈的好奇心和求知欲，并得出了规律写出了实验小论文。 从这个例子中可以看出，教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验函数在生活中应用，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣、培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。
综合上述，解决学生学习函数的困惑，关键是要理解掌握函数性质，其次要培养学生利用函数建数模能力，即把实际问题转化为纯数学（函数）问题的能力，使学生对函数学习有深厚的兴趣，而要达到这目的，需要教师平时对这一问题加以重视，在了解学生的基础上，用恰当、正解的方法来引导学生。
【关键词】局部探究；幂函数；由一般到特殊；数形结合
《笛Э纬瘫曜肌分赋觯航淌Σ唤鍪强纬痰氖凳撸而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量，因此，教师不应该按部就班地照抄教材、教参或者一些教辅材料，要结合学生的实际，将教学内容安排得更加丰满、有趣.下面以幂函数为例，谈谈笔者对执行新课标、实施新课改的一次尝试.
一、创设情境生成概念
有下列5个函数：（1）y=x；（2）y=x12；（3）y=x2；（4）y=x-1；（5）y=x3.
（1）上述5个函数都是什么函数类型？
（2）观察形式上的共同点，能否用一个式子概括出？
（3）这是不是我们学过的函数呢？
（4）这和我们学过的函数有什么区别？
设计意图说明：教师类比指数函数图像的研究过程，引出研究新函数的一些思想方法：类比思想；由特殊到一般.引导学生主动想到需要研究特殊的幂函数，然后归纳总结出一般幂函数的规律.本节重点是在分析函数性质的基础上，能绘制幂函数的图像，再通过图像归纳一般的性质，以图促性.所以，应侧重图像教学，应详尽地展示过程，关注课堂生成，留足时间给学生自主探究幂函数的图像和性质.
二、合作探究总结规律
探究一：注意到所有的幂函数图像都不经过第四象限，并且都经过第一象限，这是偶然吗？
探究二：在（0，+∞）上哪些函数是增函数，哪些函数是减函数？规律是什么？
探究三：在第一象限内，递增的幂函数中，幂指数的范围对函数递增的速度有什么影响？
探究四：哪些函数是奇函数，哪些是偶函数？
设计意图说明：让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，注重生生、师生之间的有效互动，让学生一层一层地总结出结论，而且还能总结出思想方法：特殊到一般；类比思想；分类讨论；数形结合.
三、规律生成师生共议
幂函数的图像画法.
（1）先求定义域；
（2）再画出幂函数在第一象限的图像，分三种情况：
当α>0时，递增：
如果α>1，增加的越来越快；
如果0
当α
（3）根据奇偶性，判断是否对称到其他象限
设计意图说明：通过前面的四个探究问题，学生完全可以自己总结出一般幂函数的图像和性质，实现了认识上的一次飞跃.学生在经历了之前的观察、分析、思考与讨论、抽象概括后，在这一环节相互交流、相互补充完善结论.体现了教师引领着学生体验思维的发生与发展过程.
四、回归情境运用新知
例1：讨论函数y=x23的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
练习：讨论函数y=x13的定义域、奇偶性，作出它的图像.在第一象限内，它与之前我们画过的y=x3的图像有什么关系？
例2：比较下列两个代数式值的大小：
（1）（a+1）1.5，a1.5；（2）（2+a2）-23，2-23.
设计意图说明：学生已经有了用图像研究函数性质的意识，也要知道利用函数的性质来辅助作图，体现了数学上数形结合的思想.学生独立探究，当幂指数互为倒数时，在第一象限，他们互为反函数，图像关于直线y=x对称.习题的设计补充了幂指数的其他情况，对于学生全面了解幂函数的图像和性质大有裨益.
五、梳理小结双管齐下
好的课堂小结对一堂课能起到画龙点睛的作用，是针对课堂教学内容的概括和升华.传统教学中，教师包办式的总结极易忽视对思维方法和数学思想的提炼，只注重对知识点的总结，不利于学生温故知新，也不利于学生提升思维.
教师启发式提问：这节课我们学到了什么？
1.幂函数的定义.
2.幂函数的图像和性质.
3.经历并感受了研究新函数的思想方法：特殊到一般；类比思想；分类讨论；数形结合.
六、论文线索创新培优
1.幂指数α对幂函数图像和性质（定义域、奇偶性和单调性）的影响，要注意整理幂指数α（既约分数）所有的情况.
关键词：高中数学；函数；教学方法
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）08-0171-01
1.把握函数基本性质，理解函数核心概念
高中数学二次函数教学对于学生而言，的确是一个难点。就函数概念而言包括定义、定义域、值域、反函数等。函数的性质包括单调性、奇偶性以及周期性。
1.1 教学初步，认识函数概念与性质。数学函数概念的提出，应该结合教学实际，提出问题、创设情境。通过例举与概念相符、直观性较强的例子，让学生在学习抽象的函数概念时，能够形成较为感性的认识。在以往的教学中，课堂教学方法虽然能很好地界定函数概念的内涵与外延，可是由于函数本身过于抽象，函数教学初步计划中，学生对函数基本概念的认识过于简单。比如，函数基本三要素： 定义域、值域、对应法则的理解。定义域是函数自变量的取值范围； 对应法则则是函数最直接的发现方式。
1.2 教学深入， 理解函数概念与性质。在挖掘函数概念与性质的基础上理解概念和性质是对已经认知的概念的发展与完善。新课程标准中要求学生要体验数学概念与性质的产生过程，理解与掌握的基础上能够真正运用其概念与性质。函数教学中，函数单调性与周期性的研究是函数课堂教学一直涉及的问题。比如指对数函数的单调性教学中，要根据函数的底数的范围（ 0，1） 或者是（ 1，+ ∞ ） 来判断其单调性，还有函数的单调性则要根据函数图像的拐点来划分单调区间。
二次函数的三种基本形式：1： 一 般 式：y=ax2+bx+c（a ≠ 0，a，b，c 为常数 ）， 则称 y 为 x 的二次函数。顶点坐标（-b/2a，4ac-b2/4a ）；2：顶点式：y=a（x-h）2+k 或y=a（x+m）2+k，顶点坐标为（h，k）或（-m，k）；3：交点式（与 x 轴）：y=a（x-x1）（x-x2） 重要概念： a，b，c 为常数，a ≠ 0，且 a 决定二次函数图象的开口方向，a>0 时，开口向上，a
高中阶段对二次函数定义是：从一个集合 A（定义域）到集合 B（值域）上的映射？：A B，使得集合 B 中的元素y=ax2+bx+c（a ≠ 0，a，b，c 为常数 ） 与集合 A 的元素 X 对应，记为？（x）= ax2+bx+c （a ≠ 0，a，b，c 为常数 ） 这里ax2+bx+c 表示对应法则，又表示定义域中的元素 X 在值域中的象，为了让学生掌握函数值的记号，我们可以作如下处理：
①：已知 f（x）= 2x2+x+2，求 f（a），f（a+1）这里不能把f（a+1） 理解为x=a+1 时的函数值，只能理解为自变量为a+1 的函数值。
②：设f（x+1）= x2-4x+1，求 f（x）这是个复合函数问题，求对应法则。一般有两种方法：解法 1：把所给表达式 x+1 作为一个整体进行配方：f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6， 再 用 x 替 换 x+1 得f（x）= x2-6x+6解法 2：换元法：这是常用的方法对一般函数都适用。令t=x+1，则 x=t-1f（t）=（t-1）2- 4（t-1）+1=t2-6t+6 从 而 ？（x）= x2-6x+6。这样处理后对二次函数的定义就有了较清晰的认识了。
2.紧扣函数主导思想，解放单一解题模式
2.1 数形结合，巧妙解题。数学解题过程中，会涉及到一道题目有多种解题方法的现象。特别是一些关于参数的问题，可以从几何学角度来考虑。数形结合思想是数学教学的重要思想之一，"以形助数，以数解形"的思想能够使抽象的题目变得直观化、简单化。如例题： 如果函数 f（ x） = | 4x - x2| + a 的函数与 x 轴有 4 个不同交点，求参数 a的取值范围。如果用数形结合的函数思想来解决该问题会有意想不到的效果，观察上式可知，函数的图像是由二次函数经过翻折变换，再平移而得，则本题可看作 y = - a 与 y = |4x - x2| 的图像相交公共点的个数即可讨论 a 的范围。
2.2 分类讨论，化繁为简。凡是数学结论，其必有使其成立的条件，数学方法的使用也没有完全的绝对性，也必有其适用范围。数学研究的很多问题中，它们的结论也不是唯一确定的。将繁复的理解过程分解为几个类别，再按照不同情况进行讨论研究这就是数学教学中的分类讨论思想。面对结果不明问题或者参数问题都可以运用分类讨论思想。一方面分类讨论思想可以将复杂问题分解成简单的小问题，另一方面也可避免漏解，从而提高学生解题能力与严谨的数学素养。
3.结束语
函数虽然是高中数学教学中的重难点，但是并非是不可攻克的。只要掌握正确的教学方法，让学生认识函数、了解函数进而喜欢函数和应用函数。函数作为一项重要的工具，将会为学生解决很多问题，数理化中遇到的很多问题，都可以用函数的方法解决。当学生在其他学科学习中，发现函数的用处，会切身体会到函数的用处，从而自主自觉的用心学好函数。函数的学习能够帮助学生建立起初步的建模思想，这是以后学生在深造的过程中需要具备的重要的解决问题的思想。在高中时期学好数学也是为日后深造打好基础。
参考文献
[1] 王呼. 高中函数教学研究[D].西北师范大学，2006.
