一、函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值的动态演示
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.
3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.
图1
二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.
图2
3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.
4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-1
三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示
1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.
2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.
3.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出对称轴，并作出线段EF，再过F作y轴的垂线段（虚线）.将点E、F的标签改为x，f（x）.
关键词：数学；应用；导数
在数学学习中，对导数的考查主要是针对“三次”函数，下面就利用导数求“三次”函数的最值问题的步骤进行分类解析。
一、利用导数求最值的一般步骤
求可导函数在闭区间[a，b]上的最值的主要步骤：（1）求y=f（x）在开区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；（2）将y=f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
例1：函数f（x）=2x3-3x2-12x+5在区间[-2，3]上最大值与最小值分别为（ ）
A.1，-4 B.12，-15 C.12，-4 D.-4，-15
解析：先求导数，得f ′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），
令f ′（x）=0，即6x2-6x-12=0，解得x1=-1，x2=2。
导数f ′（x）的正负以及f（-2）=5，f（2）=-4，如下表：
从上表可知，当x=-1时，函数有最大值12，当x=2时，函数有最小值-15，故选B。
点评：从上面的解答看，利用导数求函数的最值的过程相对较繁，是不是可以在此基础上进行简化呢？请同学们看下面的分析。
二、利用导数求最值的简化步骤
根据例1的解答可以看到，利用导数求函数的最值，实际上就是将函数的导函数对应方程f ′（x）=0根对应的函数值与端点的函数值进行比较，整个过程无须判断极值为极大值还是极小值。此时利用导数求最值的步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）求方程f′（x）=0的全部实根；（3）求出f ′（x）=0的根对应的函数值及端点的函数值，并进行大小比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值。
例2：求函数f（x）=x3-2x2+1在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
解析：f ′（x）=3x2-4x，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=，
则f（0）=1，f（）=-，同时f（-1）=-2，f（2）=1，
比较上述四个函数值的大小知，当x=0或2时，函数f（x）的最大值为1，当x=-1时，函数f（x）的最小值为-2。
点评：从上面两个的解答可以看到，求导函数对应方程f′（x）=0有实数根。至此有学生会问了：如果方程f′（x）=0没有实数根，那又如何进行解答呢？是否也有步骤可寻？请继续往下看。
三、利用导数确定单调性求最值的步骤
如果导函数对应方程f ′（x）=0无实数，此时导函数的符号就确定了，函数在整个定义域上就具有单调性，即函数的最值就是定义域的端点处取得。其解法的一般步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）考查f ′（x）=0根的情况，若有根，则按例2的方法求解，若无实根，则首先判断f ′（x）的符号，进而判断函数的单调性；（3）按单调性与函数最值的关系求最值。
例3：求函数f（x）=x3-3x2+6x-2，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
解析：f ′（x）=3x2-6x+6，令f ′（x）=0，方程无解。
因f ′（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3，所以函数f（x）在x∈[-1，1]上是增函数，
当x=-1时，函数f（x）的最小值为f（-1）=-12，
当x=1时函数f（x）的最大值为f（-1）=2。
点评：本类题型实际上表现为函数在整个定义域上具有单调性，但不具有极值，因此不必去确定极值，其解题步骤得到了简化。从上面的三个例子可以看到，函数除含有未知数外，没有其他的变量了，因此我们不难想到，如果对函数含有其他参数，那么又该如何操作呢？下面我们继续分析。
四、利用导数求含有参数的函数最值的步骤
利用导数求含有参数的最值时，一般步骤：（1）求导函数f ′（x）。（2）对导函数对应方程f ′（x）=0进行讨论，主要涉及三类讨论：①对首项系数的讨论；②对判别式的讨论；③对方程根的大小的讨论。（3）根据f ′（x）的符号确定函数f（x）的单调性。（4）根据函数的单调性确定函数的最值。
例4：已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）。求f（x）在区间[0，2]上的最大值。
解析：f ′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）。令f ′（x）=0，解得x1=0，x2=。
当≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f（x）max=f（2）=8-4a。
当≥2，时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f（x）max=f（0）=0。
当0
从而f（x）max=8-4a 0
综上所述，f（x）max=8-4a a≤20 a>2。
点评：本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f′（x）=0的根含有参数，对其根0与的大小进行了讨论。同时还可以注意到本题解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的。上面几例都是求函数的最值情况，现在我们进行逆向思维，即如果已知函数的最值情况，而求参数问题，那该如何处理呢？
五、已知函数的最值求解参数值的步骤
已知函数的最值求参数的值是一类逆向思维问题，解答的主要步骤：（1）求导函数f ′（x）；（2）确定方程f ′（x）=0的根，可能时要注意讨论；（3）确定函数的最值；（4）根据已知的最值与所求得的最值建立方程（组），由此可求得参数的值。
例5：已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a。若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
解析：（Ⅱ）由f ′（x）=-3x2+6x+9=0，得x=-1或x=3，则由x∈[-2，2]，得f（-2）=a+2，f（2）=a+22，f（-1）=a-5。
比较知f（2）=a+22=20，解得a=-2，
所以，函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为
f（-1）=-2-5=-7。
关键词：三角函数最值 配方转化 有界性转化 单调性转化
三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.
下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.
1.配方转化
经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.
二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.
感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.
2.有界性转化
三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.
感悟：求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值.针对高考中题目看，还要强化变角训练，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个角的三角函数关系式，这也是高考的重点.由此题可见，灵活运用三角函数的有界性，能使问题的求解直接明了！
关键词：导数；函数单调性；中值定理；极值；凹凸性
Abstract: according to the related theorem and calculus concept, the enumeration methods from derivative definition and function of the monotonicity and differential mean value theorem, extreme value theory and bump of summarizes the calculus knowledge in inequality proof of commonly used techniques and methods, reveal the inequality proof the basic ideas and methods.
Keywords: derivative; Functional monotonicity; Mean value theorem; Extreme value; convexity
中图分类号： O172 文献标识码：A文章编号：
1.引言
不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系。在高等数学中，不等式是证明许多定理与公式的工具。不等式表达了许多微积分问题的结果，而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等式。不等式的求解证明方法很多，本文用微积分的一些定理及性质来说明不等式证明的几种方法与技巧，以便更好地了解各部分内容之间的内在联系，从整体上更好的把握证明不等式的思想方法。
2.微积分在证明不等式中的应用
2.1 用导数的定义证明不等式
从导数、微分、积分定义出发处理不等式，是容易被忽略的，但这种最原始的方法有时又是一种非常有效的证明方法。
导数定义：设函数 在点 的某个邻域内有定义，若极限 存在，则称函数 在 可导，称这极限为函数 在点 的导数，记作 。
证明方法：
(1)找出 ，使得 恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究。
适用范围：
用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。
2.2 利用函数的单调性证明不等式
函数单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函数，通过对所设辅助函数求导，借助导数符号来判断函数的单调性，从而解决问题。
定理：若函数 在 可导，则 在 内递增（递减）的充要条件是：
.
定理：设函数 在 连续，在 内可导，如果在 内 （或 ），那么 在 上严格单调增加（或严格单调减少）.
定理：设函数 在 内可导，若 （或 ），则 在 内严格递增（或严格递减）.
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.
证明方法：
（1）构造辅助函数 ，取定闭区间 ；
①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；
②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；
③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）。
(2)研究 在 上的单调性，从而证明不等式。
实用范围：
利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处 的值为0，然后通过在开区间内 的符号来判断 在闭区间上的单调性。
2.3 利用Lagrange中值定理证明不等式
应用Lagrange中值定理求解极限就是将极限当中符合条件的函数值增量处理为自变量增量与导数之积的形式再进行讨论，此时一定要注意：(1)应用Lagrange中值定理必须符合定理本身的条件，否则可能使结论不成立；(2)在随后的极限的求解中一定要论证ξ的变化趋势。
拉格朗日中值定理：若函数 满足下列条件：（1） 在闭区间 上连续；（2） 在开区间 内可导，则在 内至少存在一点 ，使得 。
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系。
证明方法：
①辅助函数 ，并确定 施用拉格朗日中值定理的区间 ；
②对 在 上施用拉格朗日中值定理；
③利用 与 的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式。
适用范围：当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明。
2.4 利用极值理论证明不等式
证明方法根据极值的充分条件定理。
定理：（极值的第一充分条件）设 在 连续，在 内可导，（i）若当 时， ,当 时， ,则 在 取得极大值；(ii) 若当 时， ,当 时， ,则 在 取得极小值。
定理（极值的第二充分条件）设 在的某领域 内一阶可导，在 处二阶可导，且 ， ,(i)若 ，则 在 取得极大值；(ii)若 ，则 在 取得极小值。
极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑。若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值。极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。
证明方法
（1）构造辅助函数 ，并取定区间。
①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；
②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；
③当不等式形如 （或 ）（ 为常数）时，可设 为辅助函数。
(2)求出 在所设区间上的极值与最大、最小值.
①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.
②最大、最小值的求法：（1）闭区间 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点 处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间 内可导函数的最大值、最小值的求法：若 在 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点。
适用范围：（1）所设函数 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式。
2.5 利用凹凸性证明不等式
证明方法根据凹凸函数定义及其定理和詹森不等式。
定义：设 为定义在区间I上的函数，若对于I上任意两点 和实数 ，总有 ,则称 为I上的凸函数，若总有 ,则称 为I上的凹函数.
定理：设 为I上的二阶可导函数，则 为I上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I上 。
命题：（詹森不等式）若 在 上为凸函数，对任意的 且 ,则.该命题可用数学归纳法证明。
函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系。
证明方法：
①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数 ，并讨论 在所给区间上的凹凸性.
②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.
适用范围：
当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式。
3.总结
微积分是人类智慧最伟大的成就之一，是数学上的伟大创造，它现在广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。以上我们通过举例，归纳总结了微积分的若干概念、定理、性质等内容在不等式证明这一方面的应用。在学习微积分的过程中，我们可以利用它来解决一些初等数学的问题，将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来，从而在整体上更好地理解有关数学知识。
参考文献
［1］同济大学.高等数学［M］.上海：同济大学出版社，2003.147-149
关键词：初中数学；二次函数；多角度；区间
二次函数求最值类的问题千变万化，然而只要掌握一定的技巧，学会多角度分析，定能找到解题思路，以不变应万变，顺利解决难题。本文以二次函数求最值问题的题型为基础，进行了解题模式的探讨。
一、确定区间，结合图象性质
数形结合是解决数学问题的有力武器，在解决二次函数求最值的问题中也不例外，通过结合图象性质，快速准确地确定区间，开辟出解题思路。
1.定轴定区间，直接判断
当二次函数所给的函数区间固定，对称轴固定时，我们可以通过做出函数图形，清晰直观地判断和计算出函数的最值。这类题型比较简单，所以我在教学中，主要教会大家准确地做出函数图形，从而解决问题。
比如，对于定轴定区间函数求最值问题：求函数y=-x2+4x-3在区间[1，4]的最大值及最小值。首先我们分析二次函数的表达式，二次项系数小于零，说明函数图象开口向下，函数的对称轴为x==2。然后我们根据区间范围，函数的对称轴，开口方向可以做出该二次函数的草图。通过观察这一函数的图象，我们可以得出二次函数的最大值应在对称轴处取得，二次函数的最小值在端点x=4处取得，通过将x轴的坐标轴代入函数表达式，即可求出相应的最大值与最小值，从而得解。
讲完例题后我向学生强调了这类题型的易错点。定轴定区间类的二次函数求最值问题相对来说是最简单的求最值问题，然而学生因为粗心大意也会发生错误，比如画错开口方向，大家一定要记住二次项系数大于零开口向上，二次项系数小于零开口向下。然后端点处和对称轴处的函数值只要将对应的x值代入函数表达式，便可准确地求出，进而做出函数图象。
在这部分知识的教学中，我通过强调做函数图象的细节，引导学生在做题时通过直接地观察，准确地得到最值，提高了课堂的效率。
2.定轴动区间，相对位置
定轴动区间类的二次函数其对称轴确定，然而闭区间是不确定的。这类问题考查的是对称轴与函数区间的相对位置关系，当函数区间发生变化时，随着与对称轴的相对位置发生变化，函数的最值也可能会发生变化，所以学生要掌握分类讨论的思想，讨论不同情况下的函数最值。
例如，求函数y=x2+2x-1在区间[t，t+2]上的最大值与最小值。这道题的类型属于定轴动区间类问题，首先我们确定函数的对称轴为x=-1。随着t的取值不同，我们发现可以将这一问题分为三种情况进行讨论，一是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数右侧时，二是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数内时，三是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数的左侧时，进而可以将t的值也划分为三个范围进行讨论。在第一种情况下，t+2
在上述例题的教学中，我通过引导学生进行分类讨论，将问题分为各种情况然后求出最值，思路清晰，条理明确，能够完整准确地确定该类二次函数的最值，取得了很好的教学效果。
3.定区间动轴，考虑变量
对于定区间动轴类的二次函数问题，由于区间固定而对称轴不确定，因此函数的最值也会随着对称轴与区间的相对位置变化而发生变化，因此解决这类问题同样需要进行分类讨论，与定轴动区间类最值问题相似。
例如，求二次函数y=x2-ax+1在区间[0，2]上的最小值。我引导学生依照定轴动区间问题的求解思路，将该问题分成三种情况进行讨论。通过计算，可得到二次函数对称轴为x=，当区间范围内的函数位于对称轴左侧时，即a>4时，函数在区间[0，2]内是单调递减的，因此二次函数在x=2处取得最小值，为5-2a。当对称轴包含在区间范围内的函数时，即0≤a≤4，由于该二次函数开口向上，所以在对称轴处取得最小值，为-+1。分析到这一步的时候我向学生强调了求最大值的做法，这道题仅让求最小值，而恰好对称轴处为最小值，若这道题还要求求出最大值的话，学生也应按照定轴动区间类问题中这种情况下的解题思路再次进行分类讨论。当区间范围内的函数位于对称轴右侧时，即a>0时，函数在区间[0，2]内是单调递增的，因此，二次函数在x=0处求得最小值1。
在上述问题的教学中，我通过引导学生利用定轴动区间类最值问题的求解技巧与思路，顺利地探求出动轴定区间类问题的求解方法，通过这样类比与分类的讨论思想，让学生成功地理解与学会了这部分数学知识，高效地完成了教学目标。
二次函数的对称轴位置、函数区间都会对二次函数的最值造成影响，学生在解题时，一定要看清题目对对称轴和区间的要求，多角度分析问题，采取正确的解题策略。
二、含有系数，字母视为常数
有时求最值问题所给的二次函数的系数是用字母表示的，对于这类问题的求解方法是将字母视为常数，并根据字母所表示的系数的位置不同，可能需要进行分类讨论。
二次函数的表达式可写作y=ax2+bx+c，当所给函数的常数项用字母表示时，自然将其视为常数处理。例如，求二次函数y=x2+2x+a在区间[0，1]上的最大值。二次函数在[0，1]上单调递增，x=1时函数的最大值为3+a。当所给函数的一次项系数用字母表示时，这类问题就是上述所讲的动轴定区间类问题，将字母视为常数，再结合自变量的范围，按照分类讨论的思想进行求解。当所给函数的二次项系数用字母表示时，例如，求二次函数y=ax2+4x-3（a≠0）在区间[1，3]内的最大值。对这一例题进行分析，a的大小首先影响的是开口大小，因此首先分为a>0和a
在上述教学中，我通过教授学生将含有字母的系数视为常数的思想，引导学生攻克了含有参数的二次函数求最值问题，加深了学生对二次函数的理解与运用。
三、实际应用，正确列函数式
二次函数在实际生产生活中也有很广泛的应用，通过利用二次函数求最值的方法，我们能够解决最优化问题。对于二次函数在日常生活中的应用问题进行分析，正确列出函数表达式是非常关键的步骤。
例如，某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台。为了响应国家“家电下乡”政策，商场决定降价。冰箱售价每降低50元，平均每天能多售出4台。那么每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润为多少？求解这道题，我们首先应当确定冰箱的利润y与每台冰箱降价x的函数表达式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我们可以做出该函数的图象，对称轴为x=150。
然后结合自变量x的取值范围，我们可以求得二次函数在对称轴处取得最大值，也就是说，当冰箱降价150元时，商场的利润最大为5000元。然后我对二次函数应用题进行了总结，这类问题学生首先应该读清题意，确定正确的函数表达式，然后应用定轴定区间二次函数求最值的求解方法，即可求得应用题中的最优结果。
在上述教学中，我对如何将实际生活问题转化为数学二次函数极值问题的处理方法进行了讲解，引导学生学会有效地结合函数图象进行解题，应用二次函数的性质，成功地求解出应用题的正确答案，进一步加深了学生对二次函数知识的掌握。
多角度分析是促进思维、加快解题速度的一种好方法。综上所述，学生只要切实掌握确定函数区间的技巧，把握住含有系数的二次函数与二次函数的实际应用解法，就能成功地克服部分二次函数难题。总之，从多角度分析和解决问题，有助于迅速找到解题思路，提高学生的数学素养。
参考文献：
[1]徐薇.浅谈初中数学二次函数最值问题的求解[J].数理化解题研究：初中版，2015（13）：26.
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.
例1求函数y=3+2-3x的值域.
点拨根据算术平方根的性质，先求出2-3x的值域.
解由算术平方根的性质，知2-3x≥0，
故y=3+2-3x≥3.
所以函数的知域为［3,+∞).
点评算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性.
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法.
二、配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例2求函数y=x2+x+2的值域.
点拨将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求.
解由y=-x2+x+2,可知函数的定义域为x∈［－1，2］.
此时-x2+x+2=-(x-12)2+94∈［0,94］.
所以0≤-x2+x+2≤32,函数的值域是［0,32］.
点评求函数的值域不但要重视对应关系的应用,更要注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.
三、判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域.
例3求函数y=2x2-2x+3x2+x+1的值域.
点拨将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域.
解将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0.（）
当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0，
解得2
当y=2时,方程（)无解.所以函数的值域为(2,103］.
点评把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负实数，可求得函数的值域.常适应于形如：y=ax2+bx+cdx2+ex+f及y=ax+b±cx2+dx+e的函数.
四、中间变量法
若函数只含x2项或只含sinx,cosx项，可借助x2≥0,0≤|sinx|≤1（有界性）解决.
例4求函数y=x2+4x2-1的值域.
解由y=x2+4x2-1得x2=y+4y-1.又由x2≥0得y+4y-1≥0，解得y≤-4或y>1.所以函数值域为(-∞,-4］∪(1,+∞).
五、图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.
例5求函数y=|x+1|+(x-2)2的值域.
点拨根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象.
解原函数化为y=-2x+1
3
2x-1(x≤1),
(-1
(x>2).
作出它的图象（略）.
显然函数值y≥3,所以，函数值域为［3，+∞）.
点评分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法.
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域.
六、单调性法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.
例6求函数y=4x-1-3x(x≤13)的值域.
点拨由已知的函数是复合函数，即g(x)=-1-3x，y=f(x)+g(x),其定义域为x≤13，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域.
解设f(x)=4x,g(x)=-1-3x(x≤13),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x
在定义域{x|x≤13}上也为增函数，而且y≤f(13)+g(13)=43,因此，所求的函数值域为｛y|y≤43｝.
点评利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域.
七、换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.
例7求函数y=x-3+2x+1的值域.
点拨通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域.
解设t=2x+1(t≥0),则x=12(t2-1).于是
y=12(t2-1)-3+t=12(t+1)2-4
≥12-4=-72.
所以原函数的值域为［-72,+∞).
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x(50-x)，故函数关系式为：S=x(50-x)。
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。否则思维缺乏严密性。
二、函数最值（极值）与定义域
函数的最值（极值）是指函数在给定的定义域区间上取到最大（小）值（极大（小）值）的问题。如果不注意定义域，将会导致最值（极值）的错误。如：
例2：求函数y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。
解：y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4
当x=1时，ymin=-4
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照定义域为R，求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生了变化。
对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：
（1）当-■q时，y=f(x)在[p,q]上单调递减，函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）当p≤-■≤q时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，数形结合才可以解决问题。
解决求函数极值问题，情形类似，不再赘述。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：x∈-■,■,求函数y=2sin(2x+■)的值域.
错解：值域y∈[-2，2]
正解：设t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2
函数值域为[-■,2]
剖析：如果没有分析定义域，不注意换元后变量的取值范围，很容易出现错误。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，单调性是函数的局部性质，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间。
解：先求定义域：
x2+2x>0,x>0或x
函数定义域为(-∞，-2)∪(0,+∞)．
令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，
在x∈(0,+∞)上时，u为增函数。
又f(x)=log2u在[0，+∞）是增函数，
函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数。即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(+∞,-2)。
本题需要在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，否则就是对函数单调性的概念一知半解，没有理解。教师在指导学生做练习或作业时，不能只套用同增异减原则，而不去让领会解题方法的实质，否则学生的数学思维很难打开。
五、函数奇偶性与定义域
笔者在教学中总结函数奇偶性的判断时，总是强调“一个前提”：考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。如：
例5：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
解：2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]
定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称
函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数。
如果不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) 函数y=x3,x∈[-1,3]是奇函数．
一、分段函数概念理解
1.定义：在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称之为分段函数。
2.注意点：①分段函数是一个函数，而不是几个函数，它是由各段上的解析式（对应法则）用符号“{”合并成的一个整体；②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；③解分段问题应突出“对号入座”、“先分后合”思想。
二、分段函数题型
1.作分段函数的图像
例1：已知函数f（x）=2x（x≥0）x（x＜0），作出这个函数的图像。
解：由于分段函数有两段，所以这两个函数图像应由两条线段组成，其一是一段抛物线，其二是一条射线，画出图像如图1所示。
说明：分段函数有几段，其图像就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同部分分别由表达式作出其图像。作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意间断函数图像每段端点的虚实。
2.求分段函数的函数值
例2：已知f（x）=（x≤-2）π（-2＜x＜2）x-4x（x≥2），
求f{f［3］}的值。
解：由3∈［2，+∞），所以f（3）=3-4×3=-3
又-3∈［-∞，-2），所以f［f（3）］=f（-3）=×（-3）=-
而-∈（-2，2），故f{f［f（3）］}=f（-）=π
说明：求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后找相应的对应法，则求出函数值。
3.求分段函数自变量的取值问题
通常先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的解。
例3：函数f（x）=x+3（x≤-2）x（-2＜x＜4）3x（x≥4），
若f（x）=3，则x的值是?摇?摇?摇?摇?摇 ?摇。
解：（1）当x≤-2时，f（x）=x+3≤1＜3，
故此时方程f（x）=3无解；
（2）当x≥4时，f（x）=3x≥12＞3，
故此时方程f（x）=3无解；
（3）当-2＜x＜4时，f（x）=x∈（-8，64），
由f（x）=3，得x=3，解得x=.
综上可知：x=.
点评：求解此类问题时，一般先假设所求的解在分段函数的定义域的各部分内，然后相应地求出在各部分定义域内的解，需要注意的是定义域内各部分的范围对解的限制作用。
4.分段函数的值域问题
分段函数的值域的求解方法是分别求出各段函数的值域，再取其并集即可。
例4：求函数f（x）=x+1（x≥0）-x（x＜0）的值域。
解：因为当x≥0时，x+1≥1，
当x＜0时，-x＜0，
所以原函数的值域为（-∞，0）∪［1，+∞）.
点评：求分段函数的值域，要先根据定义域求出在各定义域内部分的值域，然后取其并集。
5.分段函数的最值
分段函数的最值的求解方法有：数形结合法和逐段分析、再综合法等。
例5：函数f（x）=x，x∈（-1，2］x+2，x∈［-3，-1］的最大值是?摇?摇?摇?摇?摇?摇，最小值是?摇?摇?摇?摇?摇?摇。
解：易知函数y=x，x∈（-1，2］的最大值是4，最小值是0，值域是［0，4］；函数y=x+2，x∈［-3，-1］的最大值是1，最小值-1，值域是［-1，1］.
综上，函数f（x）在定义域［-3，2］上的最大值是4，最小值是-1.
6.分段函数的表达式问题
例6：动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，y表示PA的长度，求y关于x的表达式。
解：如图2所示，当P点在AB上运动时，PA=x；当P点在BC上运动时，由RtPBA求得PA=；当P点在CD上运动时，由RtPDA，求得PA=；点P点在DA上运动时，PA=4-x.
所以y关于x的表达式是：
y=x，0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤34-x，3＜x≤4.
