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[关键词]探索性教学 研究 类型
著名心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线。”教师引导学生探究，激发他们的求知欲，能增强学生主动探索能力。它的理论依据来源于布鲁纳的“发现学习”，就是以培养探究性思维的方法为目标，以基本教材为内容，使学生通过发现的过程来进行学习。布鲁纳将探索、发现和学习融合在一起，他认为，学生要使呈现在他面前的知识成为自己的知识，必须亲自去体验发现的过程。我们的教学对象是初中学生，他们的逻辑推理能力、思维能力、对事物分析综合的能力在不断发展，敢于求异，创造性思维和发散性思维的倾向更为明显，喜欢在教师诱导下自己去探索、发现规律，更希望知道的是产生现象的原因，并通过自己的思考、分析加以判断归纳，甚至提出不同的看法。探究式教学过程正是顺应了学生这种心理的需求。
一、探索性问题的研究过程
1.创设情境。在学习动机中，最有效的就是兴趣。要激发学生学习数学的兴趣，教师要精心设计，创设问题情境，这是学生探知的动力。创设问题情境的方法主要有三种：语言的描述；利用多种教学媒体创造富有形象、直观的问题情境；利用实物或数学模型。如《三角形全等判定（一）》这节课，教师没有提问什么是角、边、角，而是从实际出发，设计了一个富有启发性的问题：一块三角形的玻璃碎成两块，要去配制一块同样大小的玻璃该怎么办？从而引起学生的兴趣，激发学生的求知欲望，开启思维的“大门”。根据教师的问题，学生势必要去寻找有关“画一个三角形”的几个条件，此时，教师应与学生一起来回忆，帮助他们找到画一个三角形应满足的三个条件，这样才能有的放矢，扫除他们思维的盲目性，教师的定向作用也有了一定的发挥。
2.点拨诱导。在学生进入积极的思维状态后，教师应及时引导学生主动去寻找解决问题的有效方法。这时，要把学生作为一个主体，给他们提供足够的思维时间和空间，同时让他们在群体的影响下，通过积极讨论，在探究过程中对数学知识进行构建。在第一阶段教师创设的特定情境中，学生已提出很多解决配玻璃的方案。经过分析，归纳到需要满足三个条件，教师对学生的反馈进行及时诱导，再放手让学生去探究，学生运用分析、综合、比较、推理等发现三角形全等的一些条件，教师很顺利归纳出三角形全等的条件ASA。此时老师一点拨，学生很快发现三角形全等的另一个条件AAS，由于学生始终以主人的姿态参与学习的全过程，学生与学生，学生与教师通过多向交流、讨论，最后取得了解决问题的各种方案，学生的主动性得到了充分的发挥。此时，有些学生想出第3种乃至第4种三角形全等条件。这时，教师及时诱导学生沿着刚才的思路去探究已知条件中只告诉1～2个条件、还有1个条件是隐藏的一些思考题，学生的情绪再一次达到高潮，学生学得也很扎实，这是因为学生经过不断地自我学习和交流讨论，一步一步渐入佳境。
3.变式训练。由于第二阶段，学生已经不满足于现状，需要巩固、深化，教师组织交流变式训练是达到这一目的十分有效的手段。因为，学生都已经掌握必须满足ASA，AAS三角形全等的条件，不管是已知，还是隐藏的，三个条件缺一不可，教师变式安排顺序：已知2个条件，需补1个条件已知1个条件，隐藏1个，补1个条件通过变形找条件，补条件，这样由简单到复杂，从找一个角、找一边、找二角、找一边一角，由易到难，学生的创造思维得到发挥和提高，从而培养了学生获取动态信息和分析、归纳、解决问题的能力，这样的变式训练学生得到的结论不一定是唯一的，可以求同存异。
二、探索性问题的基本类型
1.存在型探索。“存在性”的探索问题是探索性命题的热门形式，而且是一类综合性强、覆盖面大的题型，它着力要求学生根据题设条件，把握特征，对“是否存在”做出准确的判定和正确的推断，可以提高学生的判断能力和演绎推理能力。一般有肯定型、否定型和讨论型三种。
例如：已知抛物线y=-2x2+2与x轴交于A、B点，与y轴交于C点，求：抛物线上是否存在一点P（P与C不重合），使SABP=SABC。
解：如图可知，ABP与ABC有相同的底边AB，要面积等，只需高等，即点P的纵坐标的绝对值等于点C的纵坐标的绝对值，分析可知，P有两种可能性，且纵坐标为-2，可得横坐标为+ ，即：P（ ，-2）或（ ，-2）。第三步：讨论结论（引出公式）。
对于公式的证明，笔者提出疑问，引导学生观察探索：能否将（a+b）2转化为多项式的乘法；然后用多项式的乘法计算，比较发现结论正确，用多项式的乘法证明是易于学生理解和掌握的。
2.逆向型探索。逆向思维探索，能使学生思维突破传统习惯的框架，在解决问题时能做到化难为易。
例如：将一抛物线向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得抛物线y=（x-1）2，求原抛物线的解析式。
分析：若按正向思维方法，设原抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再按平移规律求解，非常繁琐。但若按逆向思维探索，将 “新”抛物线y=（x-1）2向左平移5个单位，再向下平移4个单位，即得“老”抛物线的解析式为y=（x-1+5）2-3=（x+1）2-4。可见，逆向思维探索在百思不得其解时能起到“柳暗花明”之功效。
3.变换型探索。这类题型的特点往往是对已有的条件进行演变，它着力要求考生善于用运动与变换的观点去加以观察、探索、发现、猜想，科学地分析，严谨地论证，从而解决问题，这对发展学生思维的发散性和灵活性大有益处。
综上所述，探索性问题的教学切合学生实际，符合学生认知规律。注重知识形成的过程、学生思维的发展及学生能力的培养，它改变了过去单纯的“传授知识”的教学方式，实现了“以学生发展为本”的目标，符合素质教育的要求。探索题对培养学生的观察力、想象力，逻辑推理能力、综合分析能力和灵活运用数学知识解决实际问题的能力的发展都有积极作用。
关键词：全等三角形 教法 理解
全等三角形是研究平面几何的重要工具之一，也是学习平面几何的入门篇。其判定及性质为我们证明线段相等和角相等提供重要的依据，是进一步学习四边形、多边形及圆的重要基础。因此，学好全等三角形对学生进一步学习平面几何有着非常重要的意义和作用。全等三角形一章的教法及学法也就成为了我们不断探索的方向。《大纲》对“全等三角形”这部分内容的教学要求是：“了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。”现就该章的教学教法及学法讨论如下。
一、以多种形式让学生历经探索两个三角形全等的条件的过程。
在探索的过程中，要以激发学生的学习兴趣为主，充分调动学生解决问题的欲望，引导学生动手实验、操作，发现数学规律，体验知识的生成过程。教学中，充分利用纸片裁剪，几何画板等工具把全等三角形的探究融入情境创设、例题、活动设计及作业的布置，同时加强学生在现实生活中应用全等三角形解决问题的意识。
1.变“静”为“动”，有效运用纸片裁剪三角形并进行图形变换探索三角形全等。
《课程标准》要求我们关注学生的操作能力与创新能力的发展，学生在小学对图形平移、对称、旋转等变换已有初步的认识，八年级的学生具有好动、富于想象的个性，纸片是学生所熟悉的易于取到的原材料，在了解全等三角形时，学生通过动手折叠、平移、旋转手中的三角形，感受全等的涵义，同时要求学生能迅速找到对应边、对应角。使学生初步建立常见几种位置的全等三角形模型。
在探索判定三角形全等的条件的时候，引导学生体验“作图裁剪比较归纳应用拓展应用”的学习过程，充分利用好纸片进行折叠、平移、旋转等图形变换的操作，以培养学生的观察能力，动手能力，想象能力。
2.教学中，教师要利用好几何画板动态演示图形的变化及度量功能，进一步帮助学生探索三角形全等的条件。
在学生探索三角形全等的条件的过程中，教师可以利用几何画板特有的动态和度量功能帮助学生进一步探究三角形全等的条件，如在“边角边”判定的探究过程中，一方面我们可以由几何画板的平移等功能将三角形裁剪并移出，同时改变图形大小并利用度量功能让学生感受数学从特殊到一般的思想方法。另一方面，根据裁剪纸片对三角形进行折叠、平移、旋转等图形变换，我们可以设计几组常见简单位置如下列图形的三角形全等的模型图，让学生在几何画板动态演示或学生操作纸片的过程中去寻找公共边、公共角等图形隐含条件使之满足三角形全等的条件，以充分发展学生的几何直觉。
3.为学生探索三角形全等搭建适当的平台。
首先，在情境创设方面可以与生活紧密联系，激发学生解决问题的欲望，如在“边角边”的引入中，可以利用多媒体幻灯片播放超人在保卫战中不小心打碎了学校的玻璃，展示两块破碎的三角形玻璃，问学生带其中的哪块去装饰店可以配成原来大小形状一样的玻璃。这样，在调动学生观察、猜测的同时，也渗透了环保意识教育。其次，注意给学生提供独立探索及合作学习的空间，如每次探索出全等三角形的判定条件后，纸片可以可由部分学生上黑板摆放不同位置的两个三角形，并给定部分条件，其余学生练习寻找对应边、对应角。这样，既培养了学生合作学习的能力，又为学生学习编题打下了基础。
二、关注学生证明思路的形成及证明格式的书写
1.推理及格式书写的学习历程应是一个简单到复杂的过程。
全等三角形的学习是学生在学完直线、射线、线段，角，平行线的判定等基础后对证明命题的首次学习，学生刚开始接触推理论证的学习方法，要求学生准确地表达推理过程是比较困难的，对证明的推理及格式书写的训练，可以按“多梯度，小步走”的原则，先培养学生对图形的观察能力，再训练口头表达，最后进行书写格式的练习。
2.合理安排推理论证方面学习的教学内容。
对学生推理论证方法的学习在不同的时期应有不同的安排，依然是按照从简单到复杂的过程安排，基本可以分成三个阶段，同时也要重视数学思想的渗透。第一阶段应以培养学生观察能力为主，要能找到常见的简单位置的两个三角形全等的条件，并能口头推理，会简单书写。第二阶段，会利用三角形的全等证明角和线段相等的相关问题，能掌握简单的综合法证明格式书写，体会执果索因及综合法的思考方法。第三阶段，融入角平分线、平行线等相关概念及性质，让学生进一步体会综合法分析问题。学有余力的部分学生可以练习位置比较复杂的图形推理。
三、加强全等三角形在生活中的应用意识
1.在课堂教学中适时地渗入全等三角形在现实生活的应用实例。
教学中，在情境创设或例题中可以设计与学生生活背景紧密联系的例子，用全等三角形可以说明实际测量的道理，如在“边角边”的教学完成后，拓展应用中可以讲述在抗日战争中一个战士为炸掉敌人的碉堡，先利用帽檐、视线作为工具看碉堡，再调整帽檐与视线看可以步行到达位置的树木，从而测量出与敌人碉堡的距离，是为什么？这样，在讲故事的同时就调动了学生积极地利用全等三角形去思考问题。又如测量池塘两端的距离，测量河两岸的距离，测量旗杆的高度，测量内槽的直径等。可以选适当的内容作为课外作业，让学生去实际操作、测量，进而感受数学在现实生活中的应用。
关键词：微课；微课件；数学；观察的范围；情境探索学习模式
中图分类号：G434 文献标识码：A 文章编号：1671-7503（2015）13/15-0127-03
一、微课及微课件
微课又称为微型视频课例，其核心资源是微型教学视频片段，包含与所教学的知识点或教学环节相配套的教学设计（微教案）、素材课件（微课件）、练习测试（微练习）、教学反思（微反思）、师生评论（微点评）、学习反馈（微反馈）等辅教与学内容[1]。
微课作为教育信息化教学资源的一种新形式，它既可以用于正式学习的辅助教学资源，又可以作为非正式学习的自主学习资源。同样，微课中的素材课件（即微课件，以下统称为微课件），既可以作为正式学习的辅助教学资源，也可以作为非正式学习的自主学习资源。与传统课件的“时间冗长”、“缺乏知识针对性”、“缺乏学生互动”等缺点相比，微课件具有时间凝练、知识点针对性强、能够在传统媒体平台及各种新媒体平台（智能手机、平板电脑）上播放等特点，适宜表现多媒体内容，有着良好的交互性，具有呈现教学内容、控制学习流程、提高学习兴趣等功能[2]。
二、情境探索学习模式
情境探索学习模式是探究性学习的课程实施模式中比较典型的模式，其核心思想有两点：（1）为不同类型学生设置适合于他们知识水平和心理特点的特定情境，引导他们进行积极的探索，并在探索过程中自主地选择适当的辅导内容和辅导方式；（2）通过在一系列精心设计的情境中进行探索，学生不仅能够获得基本知识和基本技能，而且还能够掌握有效学习的方法、发展创新意识和实践能力[3]。
三、微课件在情境探索学习模式中的应用
笔者通过对微课及微课件和情境探索学习模式的阐述，尝试将微课件作为一种探索情境，用于学生学习六年级上册《观察的范围》，通过创设“观察的高度不同，观察的范围不同”的情境，充分调动学生学习的主动性和创造性，使学生通过自己动手操作微课件，自主地获取观察的高度与观察的范围的关系，并在获得知识的同时，发展解决问题的能力和学习能力，有效地将“教师讲、学生听”的传统教学模式转变为学生自主探究的教学模式，使教师从“知识传授者”转变为“知识探索指导者”。
四、本课例应用环境及对象
使用的教材：北师大版六年级数学上册。
教学内容：观察的范围。
教学目标：结合生活实际，经历分别将眼睛、视线与观察的范围抽象为点、线、区域的过程，感受观察范围和观察角度的变化。
教学对象：小学六年级学生。
需要解决的问题：桃树下落了一地桃子，小猴子在墙外的树上向里张望。小猴在树上A处时，看到墙内离墙最近的点为A’。
请你分别画出小猴爬到B处和C处时，看到墙内离墙最近的点B’和C’。
小猴爬得越高，看到的桃子越___。
使用时机：在学生自主探究阶段，用于学生的观察和思考。
在学生自主探究阶段，学生打开微课件，前面的问题以微课件为载体，以情境化的课件方式进行呈现。学生通过微课件去观察、感受随着猴子高度的改变所产生的观察点、观察角度的变化。通过观察感知、发现新知。
五、微课件的设计
1.需求分析
界面：在本课例中，需要呈现猴子、树、墙及满院的苹果。另外，需要呈现“清屏”按钮。界面设计效果图如图1所示。
图1 界面设计效果图
功能：当鼠标在猴子上面移动时，猴子要随着鼠标移动，移动的范围不能离开树。猴子在树上移动时，从猴子的眼睛处到墙的边界形成一条“视线”，以模拟猴子所看到的范围。这条线要随着猴子所在高度的变化而变化。“视线”的长度从猴子眼睛处开始，到地面结束。为了对比不同高度的“视线”，当鼠标单击时，可以保留当前的“视线”，在屏幕上绘制这条“视线”。单击“清屏”按钮时，可以清除所有已经绘制的“视线”。
2.微课件设计
建立的元件：小猴（实例命名为monkey）、墙、苹果、树、草地。
所用的函数：
自定义函数function moveHandle（e：MouseEvent）{ } ，用于处理舞台上鼠标的移动事件，对鼠标的移动进行处理，绘制“视线”；
自定义函数function copyHandle（e：MouseEvent）{}，用于处理鼠标的按下事件，将显示的“视线”在屏幕上保留下来；
自定义函数function resetHandle（e：MouseEvent）{}，用于清除屏幕上已绘制的“视线”。
六、微课件的开发
开发环境选择Flash CS6，开发语言使用ActionScript3.0。
1.技术实现中的难点分析
（1）如何判断鼠标在猴子上，并且猴子在树上？仅判断鼠标在猴子上容易实现，但又保证猴子移动时只在树上移动，就不易把握。
处理技巧：先将树放置在舞台中，记录下树的横坐标范围，在处理鼠标移动事件时，先判断鼠标的横坐标是不是在这个范围内，再进行改变猴子的位置。这样猴子就只在树上才能发生移动。
部分示例代码：
if（this.mouseX>-360&&this.mouseX
monkey.y=this.mouseY；//鼠标的移动在树的范围内，改变猴子的高度。
}
（2）如何动态绘制猴子的“视线”？这条视线有特点，必须从猴子的眼睛处发出，结束于地面，中间穿过墙的上边界，实现必须精确，而且猴子的高度改变这条“视线”必须随之改变。
处理技巧：在建立“猴子”元件时，将猴子的眼睛置于元件的中心点，从而保证“视线”从眼睛处发出。并记录下墙的上边界坐标，保存在变量wallX，wallY中。根据鼠标的位置this.mouseX， this.mouseY，得出过两点的直线方程公式。通过这个公式，便可以计算出该直线与地面（Y=0）的交点，也就是要绘制的“视线”的终点坐标（endX，endY）。 endX=-wallX/（ this.mouseY-wallY）*（ this.mouseX-wallX）+wallX；
endY=0；
有了“视线”的起始坐标（this.mouseX， this.mouseY）与终点坐标（endX，endY），通过函数moveTo（this.mouseX， this.mouseY）与lineTo（endX，endY）即可实现直线的绘制。
（3）如何只保留一条“视线”，而不是鼠标每次移动就新增一条？
处理技巧：在鼠标移动处理函数的前面调用showshape.graphics.clear（）来清理之前绘制的“视线”，这样就可以实现只保留一条“视线”了。
（4）如何实现单击鼠标时记录下当前的“视线”？
处理技巧：出现单击鼠标事件时，通过事件处理函数绘制一条“视线”，该“视线”的绘制方法同前所述，并调用addChild（）方法将新绘制的“视线”添加到舞台中。
2.实现代码如下：
import flash.events.MouseEvent；
import flash.display.Sprite；
var tag：Boolean=false；
var tag2：Boolean=false；
var tag3：Boolean=false；
var wallX：Number=-175，wallY：Number=-103；//定义墙的边界
var showshape：Sprite=new Sprite（）；//显示直线的元件
//在舞台中添加监听鼠标移动事件，对鼠标移动进行相应的处理
stage.addEventListener（MouseEvent.MOUSE_MOVE，moveHandle）；
//该函数的主要功能是处理鼠标移动事件，当鼠标在树的范围内移动时，开始绘制猴子的“视线”
function moveHandle（e：MouseEvent）{
showshape.graphics.clear（）；//每次绘制开始前清除之前的线条
//通过直线方程公式计算出终点坐标
var endX：Number=-wallX/（ this.mouseY-wallY）*（ this.mouseX-wallX）+wallX；
var endY：Number=0；
//判断鼠标是否在树的范围
if （this.mouseX>-360&& this.mouseX
showshape.graphics.lineStyle（2，0xFF0000）；
//绘制直线，先改变起点，再移动至终点
showshape.graphics.moveTo（this.mouseX， this.mouseY）；
showshape.graphics.lineTo（endX，endY）；
monkey.y= this.mouseY；//改变猴子的高度
addChild（showshape）；//添加到舞台当中
Mouse.cursor=MouseCursor.HAND
//改变鼠标指针形状
}
else
Mouse.cursor=MouseCursor.ARROW；
//恢复鼠标指针形状
}
var copyshape：Sprite=new Sprite（）；
//在舞台中添加鼠标按下监听事件，对其进行处理
stage.addEventListener（MouseEvent.MOUSE_DOWN，copyHandle）；
//该回调函数的主要功能是根据鼠标单击时的位置，绘制
//出猴子的“视线”，并将它添加到舞台中，不作清除操作，便于学生观察对比。
function copyHandle（e：MouseEvent）{
var endX：Number=-wallX/（this.mouseY-wallY）*（this.mouseX-wallX）+wallX；
var endY：Number=0；
var color：Number=0xFF6600；
color=Math.floor（color）；
if（this.mouseX>-360&& this.mouseX
copyshape.graphics.lineStyle（2，color）；
copyshape.graphics.moveTo（this.mouseX， this.mouseY）；
copyshape.graphics.lineTo（endX，endY）；
addChild（copyshape）；//添加“视线”到舞台上
Mouse.cursor=MouseCursor.HAND
//改变鼠标指针形状
}
else
Mouse.cursor=MouseCursor.ARROW；
//恢复鼠标指针形状
tag=true；
reset.addEventListener（MouseEvent.MOUSE_DOWN，resetHandle）；
function resetHandle（e：MouseEvent）{
copyshape.graphics.clear（）；
}
}
3.最终效果（如图2）
图2 最终运行效果图
（1）猴子可以在树上随鼠标移动。
（2）猴子眼睛处形成一条通过墙壁边界的“视线”，终止于地面。
（3）在猴子上单击鼠标时可以保留当前的“视线”，便于对比。
（4）点击“清屏”按钮所有保留的“视线”消失。
七、结束语
1.微课件的作用
通过本微课件，给学生提供了一种近似于真实的学习情境，便于观察和对比，为学生分析和解决问题提供了便利。同时，也有利于学生在真实的情境中运用所学知识，自主探究，提高学习兴趣。
2.良好的平台支持
为了使微课件在多种平台下可运行，采用了flas技术开发实现，只要能使用Flash播放器，都可以正常播放。可以支持智能手机、平板电脑、Web浏览器及普通PC等设备，真正实现了随时随地可学可用。
参考文献：
[1] 胡铁生.中小学微课建设与应用难点问题透析[J].中小学信息技 术教育，2013，（4）：15-18.
[2] 吴军其，齐利利，胡文鹏，袁永波.微课件的学习活动设计[J].中国 电化教育，2012，（9）：106-109.
[3] 百度文库.探究性学习[EB/OL].http：///link？url= 8fk9kXLW8Z CLjtrb8GJhGSyi4hPezYA93IT2i5zkgqQN6y
CdNjasrt_-1vZoMDi6y3X9-yoK7VkZ34MolkfQAK.
木板钻孔实验 器材:一块木板;工具:一把小锥子;要求:给木板钻孔并总结方法. 结论:先在一面钻,有困难了,把木板翻过来,选准位置再钻,还有困难,再把木板翻过来钻,直至把木板掏通.
证明题就相当于在已知与求证之间形成的无形木板,证明过程也就是用工具(定义、定理)把它打通(找到从已知到结论的因果关系)的过程. 先从题设出发,看看由条件能得到什么;再从结论出发,看看要证明这个结论就是要证明什么,还有什么条件没有考虑到,与结论有什么关系. 如此反复,最终找到二者的切合点,这就是分析的一般思路,也就是通常所说的“两头凑”.
1 “熟悉工具”――分析的前提
要给木板钻孔必须先熟悉工具的性能和使用方法. 同样,要学会分析,就必须掌握定义、定理的特征及适用环境,这是学会分析的前提.
掌握定理不等于就会应用定理. 要能够应用定理必须明确定理的条件特征、结论特征、图形特征,只有明确了不同定理的各自特征,才能在分析问题时有的放矢,突破难关.
人教版初中教材中三个定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半,都有相同的结论特征,因此涉及到有关线段的几倍问题就常常要考虑这三个定理,但究竟用哪个定理还要结合题目看图形特征和条件特征.
角平分线的性质定理、等腰三角形的“三线合一”定理……,这些定理学生老绕弯子,常常不能自觉使用,而是再证明,原因在哪里?这些定理的题设往往是几个条件,只要让学生注意到这样的组合条件特征,稍加留意,还是能直接运用的. 平常可以要求学生养成把条件标在图中的习惯,更容易看出组合条件.
证明两条线段相等的方法有多种,但是不同的方法都有不同的图形特征. 如果两条线段有公共端点,“等角对等边”是首选;如果两条线段分别在不同的三角形中,全等三角形是常用的工具;如果两条线段是某个四边形的对角线我们就应该考虑运用矩形的性质. 看看湖南2009年的一道中考题,如图1,ABC中,AB=AC,AD、AE分别∠BAC是和∠BAC外角的平分线,CEAE.求证:(1)DAAE.(2)试判断AC与DE是否相等?并证明你的结论. 只要学生明确了矩形对角线相等的图形特征,想到应用矩形对角线相等解决这个问题应该是很自然的.
2 “运用工具”――分析的方法
要给木板钻孔,必须会运用工具,变换手段,排除障碍. 要学会分析,必须能克服困难,不断变换分析的角度和方法.
2.1 “借果索路” ――逆向思维的分析方法
问题的结论正是我们要证明的内容,显然是不可以作为条件应用的,但是当我们的分析无法继续进行的时候,我们可以借助结论来探寻分析的思路,也就是假设结论成立,看看能得到什么等价结论,通过分析等价结论探索到解题的思路.
在和学生分析证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的时候,普遍的障碍就是想不到通过证明两个角相等来证明直角,老师在和学生分析的时候可以借助要证明的∠ABC是直角,提出这样一个问题,如果∠ABC是直角(图2),你能得到什么结论(∠DCB=90°,从而∠ABC=∠DCB)?那么如果能证明了∠ABC=∠DCB,能不能证明∠ABC是直角呢?这样学生就可以想到通过证明两个角相等来证明直角. 在这里就是把要证明一个直角转化为证明一个与之等价的∠ABC=∠ACB,从而分析可以继续进行. 在遇到各种证明比较困难的时候,可以尝试这样的“借果索路”法.
2.2 “由点探路”――特殊到一般的分析方法
著名数学家G•玻利亚说过:“直线是用两点确定的,类似的,很多新的结果是通过在两个极端情况之间的一类线性插值的方法得到的”. 他告诉我们的就是可以通过特殊情况的研究探讨出解决问题的一般思路.
例1 如图3,∠XOY=90°,点A、B分别在射线OX、OY上移动,∠ABY和∠BAO的平分线相交于点C,求证:∠ACB是定值.
处理这个问题,可以设计一个很简单的计算:若∠BAC=40°,求∠C. 通过这个问题的思考,学生很自然想到假设∠A=m°(只是把40换成了m,思路步骤基本一样),探索到∠ACB的定值.
在几何问题中,从特殊情况出发,探讨出一般结论的方法是随处可见的. 特殊情况尤其是赋予了具体的数值,比较容易探索,由此向一般情况的探讨,由易到难,符合学生的认知规律. “一个想法使用一次是技巧,经过多次使用就可成为一种方法. ”指导学生分析几何问题时如能经常使用,学生自然能养成这样的思考习惯.
3 “升级工具”――分析的捷径
在给木板钻孔的时候,如果能够有个更好的工具(如电钻),那就简单了许多. 同样,在分析几何问题时如果有更多的定理可以运用,就能提高探索思路的速度. 初中生目前能用的只是有限的几个定理,引导学生在平常的学习中要注意“升级工具”,提高分析的能力和速度.
有些证明段落、证明模式、组合图形经常要用到,如果能够把整个板块装在脑子里,等于拥有了“先进的组合工具”,跨越了思维细节,提高了分析的速度.
如我们经常会遇到这样的证明模式:两角互补,那么他们一半的和就是90°;两组直线垂直,就能通过互余证明相等的角;平行线遇到角平分线就有等腰三角形……,这里给出几个图形(图4,5),图形尽管是千变万化的,但证明模式却是一样的.
例2 (人教版八下102页第六题)如图6,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连结CD. 求证:四边形ABCD是菱形. [TP35e.TIF,Y][TS(][JZ]图6[TS)]
这个问题中,由AE∥BF,AC平分∠BAD,可得BA=BC; 由AE∥BF,BD平分∠ABC,可得AB=AD. 这样一眼就看出AD=BC. 留意这样的基本图形,留意这样的组合条件,分析问题就好像走上了“高速公路”.
4 “活用工具”――分析的技巧
4.1 “先来后到”――选择思路的原则
给木板钻孔的时候,需要选择一个合适的位置下手,才易于打通. 同样几何证明题也存在这样的问题.
在分析探究证题思路的时候往往会出现多个可以选择的设想,如要证明一个四边形是平行四边形就有五种方法,要证明一个四边形是菱形有三种证法,如果从四边形说起的话就有十多种. 我们不可能每条思路都去试验是否可行,凭解题的经验和感觉选择思路就是一个基本技能. 在考试的时候因为某一个几何问题而耽误很多时间的情况是很常见的,这通常是掉进了“美丽的陷阱”,走进“死胡同”,最终考试结束都没能走出来. 而有的同学却能在很短的时间内突破障碍解决问题,思路的选择是决定性的因素,这里提供一个选择分析思路的原则――“先来后到” 的原则.
几何图形的发生,几何题目的叙述都有先来后到,往往最后出现的几何元素的条件是最少的,我们一般不考虑选择他们作为解决问题的突破口,这就是“先来后到” 的原则.
例3 如图7, RtABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,∠ABC的角平分线BE交AC于E,交AD于F, EGBC, 垂足为G, 连结FG, 求证:四边形AFGE是菱形.
在这个问题的叙述过程中描述了图形发生的先后顺序,对于四边形AFGE来说,边FG是最后连接而成,因此涉及到与FG有关的边和角的条件往往是比较少的,一般不考虑通过涉及到FG的关系(如FG=AE,FG∥AE, ∠FGE=∠A等)来证明,甚至可以在图形中擦掉这一条线段,这样就排除了好多方法,少走了弯路.
“先来后到”的原则虽说不能让学生一下子知道怎么做,但至少可以回避不该走的弯路,节约了思考时间,避免掉进陷阱而出不来.
4.2 “究竟是谁惹的祸”――探究思路的诀窍
当我们翻过木板到另一面钻孔的时候,需要找准对面的那个位置,才易于打通,同样几何证明题也存在这样的问题.
在综合分析问题的时候有好多的条件,这些条件又能得到更多的结论,常有学生从考场出来后会说:“我怎么没有想到利用这个条件呢?” ,这样的情况往往是忽略了或没有重视某个条件,尤其是需要重复使用的条件和隐含条件.
那么究竟怎样在众多的条件中寻找关键条件,怎样不至于遗忘某个条件,又怎样挖掘出隐含条件呢?我提供一个挖掘关键条件、探究分析思路的诀窍――“究竟是谁惹的祸”.
例4 如图8,点E是正方形ABCD的边AB的中点,连结DE,将ADE沿DE翻折得到DEH,延长EH交DC的延长线于点M,探究CM∶CD的值.
这里的条件很多,隐含条件也很多,学生普遍不知从何下手,这时候我们可以问这样一个问题:究竟是什么影响到CM∶CD的值?不难发现就是EH的位置决定了M的位置,从而决定了这个比值,就是EH“惹的祸”,而EH的位置取决于∠DEH,这样就挖掘出隐含条件(∠DEH=∠AED),也是解决问题的关键条件,得到EM=DM, 设CM为x,若正方形边长为1,在DHM中利用勾股定理解决问题. 这就是探究思路的诀窍.
5 “气功态” ――分析问题的最高境界
气功态又称入静,气功书籍定义是练功者在练功过程中,在意念集中和神志清醒的情况下出现的高度安静的一种练功状态.
条件结论二者兼顾,各种方法同时运用,猜想推理融为一体 ,调动脑中的所有“内存”,汇聚题中一切信号,这时候就会有一种感觉――出来了,出来了!这就是解题时的“气功态”.“气功态”是分析问题的最高境界,一旦进入“气功态”,几乎没有解决不了的问题. 那又怎么引导学生进入“气功态”?
5.1 适时提问 引领思考
先让学生自己思考,观察表情,如果学生无法自己展开思索,教师适时、适度(难度)、适量提问,这条题目已知了些什么呢,又要证明什么呢,怎么会这样呢……,每一个问题前后都要观察学生的表情,一切问题都要让学生可以有所思索,鼓励学生自我提问,教师可以连问多举,问而不答,只是创设情境,制造矛盾,置学生于混沌、苦恼、矛盾之中,要让问题成为学生不解不快的问题,这样引领学生思考,让每个学生成为矛盾的设计和制造者,而不是思维活动的旁观者.
5.2 分解难度,培养信心
如果观察到学生还有难度,展开艰难,这时学生容易再次退出思考,教师可以通过多种手段分解难度,培养信心.
可以语言引领:你在想什么?你要干什么?你还少什么?还有什么条件没有考虑到?究竟是谁“先来后到”?究竟是谁“惹的祸”?
可以分解图形:提示升级工具,提示有没有什么条件特征、图形特征(组合图形),教师只是在旁边画出来,不必多说,只是给学生信息. 也可以提示学生自己画图,寻找各个条件之间的联系
在引导学生进入状态的过程中,教师的引导只能是含而不露,指而不明,开而不达,引而不发,他可以是一种启迪,为迷路的学生恰当地辨明方向,也可以是一种激励,为畏难的学生点燃精神的火炬.
5.3 心理暗示,点燃激情
观察学生的思考状态:学生的表情、动作,笔在图形中的记号等等,如果发现学生开始进入状态,及时鼓励.
“你可以想到了”、“你完全有这个能力”、“快了”――点燃学生的激情,这时鼓励学生自言自语,鼓励学生手舞足蹈,继续通过启发性语言旁敲侧击,引导学生沿着不同的方向和途径去思考,学生的大脑呈现出一种扩散状态的思维模式,同时考虑已知与求证,这时就学生处于一种开放的思维状态――气功态.
关键词：高三复习课；选编；习题；课堂教学；出彩
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661。2015）22-075-02
在数学复习课中，如何真正做到精讲精练，提高复习效率，是每位老师都要面对的现实课题。课堂习题的讲练效果，决定着教学的成败。要增强习题的讲练效果，就必须在习题的选编上狠下工夫。近期，笔者有幸观摩了我校一位高三教师复习“直线的方程”一节课，其独到的选编习题的做法，让笔者感触颇深。
一、课堂实录（节选）
教师：昨天高三有位同学在做作业时，发现有一道练习题由于印刷原因而残缺不全，只看到其中的一部分文字：“过定点P（3，2）的直线L……求直线L的方程”，你们中谁能帮助该同学补上这一漏印的条件，使问题可解呢？
生1：因为两点确定一条直线，故可添加“直线L过另一个定点，如A（4，0）或B（0，3）或Q（2，1）
生2：因为过一定点及已知直线的斜率确定一条直线，故可添加“直线 的斜率为-2”
生3：也可添加条件：AOB的面积，其中A，B分别为直线L与X轴、Y轴的交点。
生4：也可添加条件：点P为AB的中点；
生5：也可添加条件：│PA│+│PB│的值；
生6：也可添加条件：AOB的周长；
生7：也可添加条件：斜边AB的长；
生8：也可添加条件： 两轴截距相等；
生9：也可添加条件：倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍；
生10：也可添加条件：三角形两直角边之和；
…………
此时，课堂呈现出热烈的气氛，同学们个个争先发言.
教师：同学们今天思路开阔，思维活跃，充分发挥和展示了你们的聪明才智.你们编制的许多问题，老师课前都没有想到，很了不起！我今后还要向同学们学习。
教师：由于时间关系，有许多同学的成果还没有得到展示，可留着课后继续探讨.希望同学们在以后的学习中也能像今天这样自己提出问题，正如著名科学家爱因斯坦所说“提出问题比解决问题更重要”。
教师：为了便于课堂交流，老师把全班同学分成若干组，然后选择前面学生所编制的若干典型问题，。如过两点，斜率，倾斜角，面积等问题）在班上进行交流讨论。以上同学们所编问题主要归纳以下几类：
1、求过点P（3，2）与A（4，1）的直线L的方程。
2、求过点P（3，2）且斜率为-2的直线L的方程。
3、求过点P（3，2）且倾斜角为直线y=3x倾斜角的的2倍的直线L的方程。
4、求过点P（3，2）且在两轴的截距之和为10的直线L的方程。
5、求过点P（3，2）且在两轴上截距相等的直线L的方程。
6、过点P（3，2）的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，求AOB面积最小时的直线L的方程。
以上各题，同学们进行分组讨论、求解。
二、点评
这是一堂自主式的探究课，教师不再是教学活动的中心，而是学生学习的组织者、辅导者和合作者。 改变“满堂灌”的复习方式，强调学生形成积极主动的学习态度，让学生主动参与学习活动，并在活动中感悟知识的产生、发展与变化.学生是整个教学活动的中心，课堂组织围绕学生的“学”展开。课堂内容围绕直线方程这一主线展开，在授课教师颇具亲和力的教学语言环境下，学生挑战自我，自行归纳知识点，编题、合作交流。体现出在新课标下，将学生置于开放、多元的学习环境，获取更多的学习方式与渠道的具体探索的过程，贴切新课标学生自主、合作、探究的学习方式要求。
这堂开放课的教学方式体现出：探究―引导―归纳的过程.在同学讨论过程中，教师起到了很好的把关作用，做到不勉强，多鼓励，巧引导，注重实质，深化形式.渗透新课改理念于各个教学环节中，是一堂普通校中很成功的示范课.通过教师精心设计开放性问题，合理选择典型问题，适时引导学生反思问题，把学习过程中对知识的构建，对问题的发现探究、研究等活动凸现出来，使学习过程更多地成为学生发现问题的过程.
三、感悟
要全面提高学生的数学素质，就要在教学中既重视数学内容的形式化、抽象化的一面，又重视数学应用，数学发现、创造过程中具体化、经验化的一面，而后者对于数学的基层教育显得更为重要。
本节课，教者从一道练习题出发，引出看似平淡无奇却内涵丰富的直线方程问题，精心设计了一堂师生共同参与、互动对话的“自主、合作、探究”的成功课例，使学生在编题、合作交流中体会成功，在创新探索中享受快乐，从中笔者也受到了如下启发：
1、高三复习要有效选择例习题
在新课程背景下，数学教学要合理使用教材和资料，有效选择例题和习题，高三复习也不例外。不能因为教学的对象是高三学生，而在选题上片面注重“高、大、全”，追求“新、奇、难”，从而忽视了对学生进行基础知识和基本技能的强化。本节课教者所选的题目出自练习，虽然形式简单，属于基础题，但由于其独特的开放教学方式和多方位的思考视角，符合学生实际，为学生提供了丰富的思维空间和展示平台，充分体现了高三数学复习要“面向全体、降低重心”的原则。
2、一题多变是数学创新教学的重要途径
本节课教者从练习题导入，引导学生多角度、多层次地对原题进行有机变更，紧扣原题结构特征，循序渐进，层层深入，合理编拟，既强化了学生的基础知识和基本技能，又渗透了转化化归、数形结合的数学思想方法，使“变式教学”在课堂中更显针对性、综合性、发散性和创新性。这“一题多变”对于提高学生的认知水平、强化学生的探索能力以及摒弃题海战术，都是十分有效的，是数学创新教学的重要途径。
3、数学学习过程是个主动探索、生动活泼的过程。《普通高中数学课程标准（实验）》中说到：数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。在这学习过程中，既要体现学生是学习的主体，又要有效地发挥教师的主导作用。在本节课的教学过程中，既有教者恰到好处的分析、诱导、点拨和补充，又有学生生动活泼的自主探索和编拟，正是这种良好的教学情境，极大限度地激发了学生浓厚的学习兴趣，从而促使学生能够愉悦地、积极地进行探索和编拟。于是，整个教学就在教者的从容把控下，在学生的积极参与中，取得良好的效果。
总之，编拟课堂例习题时要精选精编。在学生自主探究编拟的过程中，如遇障碍，教者应给予必要的点拨、示范，同时学生的探究活动也要放得开、收得拢。只有在教学实践中不断地改进和总结，数学教师才能提高自己选编课堂习题的能力，提高自己课堂的把控能力，从而提高自己的课堂教学效果。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003
常见的开放探索性问题一般可分为三类：（1） 探索结论的开放性问题；（2） 探索条件的开放性问题；（3） 探索规律（或策略）的探索性问题.
一、 结论开放的探索性问题
解决这类问题时，要注意联想类比、特例归纳、等价转化、数形结合等思想方法的运用.
例1 已知α,β是实数，给出下列四个论断：
（1） |α+β|=|α|+|β|；（2） |α-β|≤|α+β|；
（3） |α|＞22,|β|＞22；（4） |α+β|＞5.
以其中的两个论断为条件，其余的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题： .
解析显然，（1）与（2）等价，它们的含义均为：α,β同号.而在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以正确的命题有：（1）（3）（2）（4）和（2）（3）（1）（4）.
点评解这类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题时，应该回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想，然后在给定的情境中，去假设，去尝试，去调整方法，去确定结果.
图1
例2 如图1，请在正方体ABCDA1B1C1D1中，找出一个过顶点A的平面，使该平面与该正方体的12条棱所成的12个角都相等： .（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）
解析正方体的12条棱可分为3组，每组的4条棱相互平行，所以只需考虑与过同一顶点的三条棱所成的角相等的平面.
正方体是我们较为熟悉的基本图形之一，不难知道，平面ACB1符合条件（与BA，BC，BB1所成的角相等），平面ACD1，平面AB1D1也都符合条件.
例3 若一个四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积可能等于 .（只需写出一个可能的值）
解析由于四面体的棱长没有一一给出，于是首先需要探求和设计符合题意的几何图形，再“按图索骥”，得出结论.
本题只要求写出一个可能的值，所以我们可以尽量构造相对简单、易求体积的图形.如：使底面边长均为1，侧棱长均为2.不难算得此时体积为1112.
延伸我们来考虑所有符合题意的图形.
由于三角形的任两边之和大于第三边，所以组成该四面体四个面的四个三角形或者是一边长为1、另两边长均为2，或者是三边长全为1.
如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑该四面体的三条侧棱长，共四种情况：两条长为1，一条长为2；一条长为1，两条长为2；三条长全为2.不难知道只有最后一种情况可能.
如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则该四面体只有两种可能的情况：一组对棱长为1，其余棱长为2；一条棱长为1，其余棱长为2.
综上，共3种情况.
图2
如图2所示，其体积分别为1112,1412,116.
点评解本题时，一方面，当然要最快地找到一个可能的结果，另一方面，如果能抓住条件中的影响结果确定性的动态因素，全面地考察问题的各个方面，则不仅可以训练思维的全面性，而且可以纵观全局，从整体上对相关知识有一个更好的理解.
二、 条件开放的探索性问题
解决这类问题时，常采用分析法，从结论和已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件.
例4 在四棱锥PABCD中，四条侧棱长都相等，平面ABCD是梯形，AB∥CD，AB＞CD.为保证顶点P在平面ABCD上的射影O在梯形ABCD的外部，梯形ABCD需满足条件 .（写出你认为正确的一个条件即可）
解析条件可以给我们以启示.由于四棱锥的四条侧棱长都相等，所以顶点P在平面ABCD上的射影O到梯形ABCD四个顶点的距离都相等.于是梯形ABCD必须有外接圆（圆心是点O）.显然，梯形ABCD必须为等腰梯形.
结论要求点O在梯形ABCD的外部，于是我们只需找出这个结论的一个充分条件.
图3
如图3，点B，C应该在外接圆O的直径AE（过点A）的同侧.不难发现当∠ACB＞90°（等价于∠ADB＞90°）时,可满足题意.
点评本题结论明确，需要寻找使得结论成立的充分条件.
例5 把下面这个不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于 对称，则g(x)= . （填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
答案 若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)=-3-log2x；
若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，则g(x)=3+log2(-x)；
若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于原点对称，则g(x)=-3-log2(-x)；
若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)=2x-3.
当然，还有更复杂的对称轴和对称中心，这里不一而足.
点评若把条件开放型问题和结论开放型问题统称为一维开放型问题，则兼有这两个类型特点的问题，即条件与结论同时开放型问题可称为二维开放型问题.求解这类题目时，有着更为广阔的探索空间，注意要驾轻就熟，避繁就简，回答自己最熟悉的情形，从而提高解题的准确度与速度.
例6 已知函数f(x)=log12(x+1)，当点P(x0,y0)在y=f(x)的图象上移动时，点Qx0-t+12,y0
(t∈R)在函数y=g(x)的图象上移动.
（1） 求函数g(x)的解析式；
（2） 当t＞0时，试探求一个函数h(x)，使得f(x)+g(x)+h(x)在限定定义域为［0,1)时有最小值而没有最大值.
解 （1） 设Q(x,y)在y=g(x)的图象上,
则x=x0-t+12,y=y0,即x0=2x+t-1,y0=y.
而P(x0,y0)在y=f(x)的图象上，所以y0=log12(x0+1).
将上式代入，得y=g(x)=log12(2x+t).
（2） h(x)=log121-x2x+t，或h(x)=log1232-x2x+t等.
证明如下：当h(x)=log121-x2x+t时，f(x)+g(x)+h(x)=log12(x+1)+log12(2x+t)+log121-x2x+t=log12(1-x2).
因为1-x2在［0,1)上单调递减，所以1-x2∈（0，1］，故log12(1-x2)∈［0,+∞)，即f(x)+g(x)+h(x)有最小值0，但没有最大值.
点评在探求h(x)时，要考虑以下因素：① h(x)在［0,1）上必须有意义（否则不能参加与f(x)+g(x)的和的运算）；② 由于f(x)和g(x)都是以12为底的对数，所以构造的函数h(x)应是以12为底的对数，这样进行与f(x)+g(x)的和的运算便可转化为真数的积的运算；③ 以12为底的对数函数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数才能取到最小值；④ 为方便起见，可以考虑通过乘积消去g(x)中含有的参数t；⑤ 乘积的结果可以是关于 x的二次函数，该二次函数的图象的对称轴应在直线x=12的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了）.
三、 探索规律（或策略）的问题
取特例、观察、归纳、类比、猜想、假设、证明等是解决探索性问题的重要思维策略.也是高考考查的热点.
例7 给出下列不等式：23+53＞22×5+2×52，24+54＞23×5+2×53,252+552＞22×512+212×52，….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 .
解析由“23+53＞22×5+2×52”,“24+54＞23×5+2×53”,“252+552＞22×512+212×52”,可得推广形式的最基本的印象：应具有“+＞×+×”的形式.
再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a+b＞a・b+a・b”的形式.
再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am+n+bm+n＞ambn+anbm(a,b＞0,a≠b,m,n＞0).
点评本题是填空题，只须探索结论，无须说明理由.故类比推理是最好的解决方法.
例8 在y轴的负半轴上任取一点A(0,m),过点A作抛物线y=ax2(a＞0)的切线，切点为C，交x轴于点B,设F为该抛物线的焦点.
（1） 证明：B为线段AC的中点；
（2） 问：是否存在实数λ，μ，使得（λFA+μFC）・AC=0.
解析（1） 略.
（2） 由题意，得F0,14a，C±-ma,-m，
不妨取C-ma,-m，又A(0,m)，则FA=0,m-14a，FC=-ma,-m-14a，AC=-ma,-2m.
假设存在满足题意的实数λ,μ,则λFA+μFC=μ-ma,λm-14a-μm+14a,
则(λFA+μFC)・AC=m(λ-μ)・12a-2m=0.
又因为m
点评先假设，再求值.
例9 已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为a，a，b∈N*，且a1
（1） 求a的值；
（2） 若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am+3=bn，求b的值；
（3） 甲说：一定存在b，使得2an＞b2n对n∈N*恒成立；乙说：一定存在b，使得2an
解析（1） 过程略，a=2.
（2） 过程略，b=5.
(3) 假设甲的说法正确，即存在b（b≥3且b∈N*）,使得22+(n-1)b＞b2・22n-2，也即22+(n-1)(b-2)＞b2对n∈N*恒成立.
当n=1时，有22＞b2，故b无解.
所以甲的说法不正确.
再假设乙的说法正确，即存在b（b≥3且b∈N*）,使得22+(n-1)b
当n=2时，有2b
所以乙的说法也不正确.
点评先假设，再用特例推出矛盾.
1 若符号“*”表示求两个实数的算术平均数的运算，即a*b=a+b2，则对任意3个实数a，b，c都能成立的关于a,b,c的两边均含有运算符号“*”和“+”的一个等式可以是 .
2 已知曲线C1和C2的方程分别为F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，则点P(a,b)C1∩C2的一个充分条件为 .
3 已知命题A：底面为正三角形，且顶点在底面上的射影为底面之中心的三棱锥是正三棱锥.则命题A的等价命题可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥.
4 已知元素为实数的集合S满足下列条件：① 1，0S；② 若a∈S，则11-a∈S.若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测.
5. 如图4，过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.
图4
(1) 求椭圆x25+y2=1的“左特征点”M的坐标；
(2) 试根据(1)中的结论，猜测椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.
6. (1) 证明：当a＞1时，不等式a3+1a3＞a2+1a2恒成立.
我校为了迎接市四项达标检查，先由县教科所组织专家组第八周对我校教师材料及上课进行考查与评定，我有幸上了《全等三角形折叠问题探索复习》这节课，为了能更好地体现新课程课堂教学中的开放性探索，我围绕"会一类、通一片的目的"这一主题备好了课。
随着"课改"的推进，学生开放性主动探索课堂教学已成为教学中考复习的热点。动手实践、自主探索、合作交流成为数学主要的学习方式，情感、态度、价值观已成为数学教学的重要目标。课堂教学中培养学生的思维，已成为数学学习的主要目的，那么如何更好地培养学生的思维，需要教师在教学过程中，以学生自主学习为主，充分调动学生的积极性，加强学生的自我提问和自我反思。做到人人参与数学，理解数学，这需要教师在教学过程中发挥主导作用，对问题要精心设计，层层深入，逐级递增。
本节课引导学生开放性探索全等三角形判定定理，全等三角形性质，然后演示两个三角形通过平移、旋转、折叠得到全等三角形，最后探索矩形中三角形折叠问题，让学生经历观察、操作、猜测、想象等活动，充分发挥学生的自主性，数学复习是对已学习过的知识、思想和方法的全面回顾，合理重组，综合运用和创新，进而从中优化认知结构的过程。
二、 情境描述
[教学片段1]
师：同学们在七年级学过全等三角形的知识，到现在对已学的知识掌握怎样，现在马上来考考你。
① 如图1，条件为AB=DC，请你添加一个条件，使得ABC≌DCB，并说明理由。
师：观察所画图形的形状，你有什么发现？
生齐：公共边BC。
师：加上所给条件AB=DC，说明什么？
生齐：已知两边。
师：需添加一个什么条件？用到全等三角形哪个判定定理？
生1：添加∠ABC=∠DCB；（SAS）
生2：添加AC=BD；（SSS）
师：其他同学还有没有呢？（见没有补充，教师继续启发，学生相对来讲比较难想到）
生3：添加∠A=∠D=900；（HL）
生4：添加∠A=∠D；（SSA）也可以
（这个问题提出：出乎我的意料之外，全等三角形判定没有这个定理，但学生又说行，我只好顺着学生的思路向下讲，先证明ABO≌DCO，证出OB=OC与OA=OD，再证出∠ACB=∠DBC，最后证出AC=BD，转回到SSS定理中，教师给予这个学生充分肯定。）
②如图1，条件改为∠ABC=∠DCB，请你添加一个条件，使得ABC≌DCB，并说明理由。
师：条件已知什么？
生齐：一边一角。
师：再添加怎样一个条件？两个三角形就全等。
生齐：添一条对应边或一个对应角。
生5：添AB=CD，（SAS）；添∠A=∠D，（AAS）；添∠ACB=∠DBC，（ASA）
（教师将学生所述的全等三角形的判定定理：SAS，SSS，AAS，ASA，HL，一一板书，写在黑板上，作为提纲。）
③ 师：全等三角形除的以上判定方法外，还有哪些性质？
生：对应边相等，对应角也相等。
师：除的边、角对应相等外，还有什么会相等？通过演示两个三角形重叠过程。
生：全等三角形面积、周长也相等。
师：同学们对以前学过全等三角形的判定和性质掌握得还很好。
板书部分课题：全等三角形（ ）复习
[通过开放性教学方法探索全等三角形的判定定理，既调动全体学生的学习积极性，
让课堂中人人都能参与，实现"不同的人在数学上得到不同的发展"，梯度、难度适中，又巩固了知识点，基本技能，基本思想方法，培养了学生思维的广阔性，灵活性，也为研究其他数学问题提供了方法，为今后的发展奠定了思维基础。]
[教学片段2]
过渡语：全等三角形指几个三角形？（2个），教师以剪好了两个三角形放在黑板上
不同位置，然后让学生演示过程。
师：问通过怎样判定这两个三角形全等？
生齐：通过平移。
师：改变两个三角形不同摆设位置。
生：通过旋转、折叠。
（教师将学生演示及所述的一个三角形通过平移、旋转、折叠的方法与另一个三角形重合，得到两个三角形全等，板书黑板，今天主要来探索以上三种情况中之一三角形折叠问题。）
补充完课题：《全等三角形折叠问题探索复习》
[让学生通过亲自动手演示两个三角形重合过程，再通过动脑、动口回答问题，体现了学生是学习的主体，课堂的主人。教师要根据教学需要创设合乎实际的教学情境让学生积极参与过程。]
[教学片段3]
1、 在矩形ABCD中，沿对角线折叠。
师：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，如图2，问1：在折叠过程中，你可以马上找
出一对全等三角形吗？
生：ABC≌ACE。
师：问2：你还可以再找一对全等三角形吗？并上黑板
说明理由。
生：AEF≌CDF，学生讲解条理比较清晰。
[让学生走上讲台，从自己的角度分析问题，讲解
自己的思考过程，其他学生参与讨论和点评，从而让
学生用自己的语言，将内容表述出来，充分体现学生
的主体地位，使教师更好地了解学生的实际情况，
帮助学生更好地发展数学语言表述能力] （图2）
2、在矩形ABCD中，折叠让点落在对角线上。
师：折叠矩形ABCD，让点B落在对角线AC上，如图3，若AD=4，AB=3。问①求
CF的长度。②求CE的长度。
①师：图3中，求CF的长度与哪些线段有关系？
生：线段AC与线段AF。
师：线段AC与AF能用什么方法求出长度吗？
那么CF的长度等于多少？
生：用勾股定理得AC=5，AF用三角形折叠全等得到
对应线段与AB相等，AF=3，所以CF=AC－AF=2。
②师：CE在哪个三角形中？EF与BE关系怎样通过什么？
BE又与CE怎样关系？
生：在RTCEF中，EF=BE通过折叠，BE＋CE=BC=AD=4。 （图3）
师：怎样求CE的长度？
生1：由勾股定理设CE=x，BE=EF=4－x，CF=2，x2=（4－x）2＋22，解方程x=2、5。
生2：由勾股定理设BE=x，CE=4－x，CF=2，x2＋22=（4－x）2，解方程得x=1、5，
4－x=4－1、5=2、5。
[教育学家第斯多惠说过："科学知识是不应该传授给学生的，而应该引导学生去发现它们，独立地掌握它们"。叶圣陶先生说："教者，盖在设法引导启迪，使学生自奋其力，自致其知，非所谓教师滔滔讲话，学生默默聆听。创设思维情境，想方设法引导学生去观察、发现、探索和研究，优化思想是指面临多种选择时，对更简明、更科学的问题解决方案的一种判别追求，正因如此，才有学无止境的动力，才有集思广益的行动，才有集体智慧的结晶，才有讨论交流的乐趣。]
3、在矩形ABCD中，折叠让点落在边上
过渡语：有大胆的猜想，才有重在发现，上面折叠后都与对角线有关，那么下面折叠会让点落在哪里？
生齐：落在边上。
师：将矩形ABCD沿着AM折叠后，使点D恰好在BC上，如图4，已知折痕AM=，
sin∠D′MC=。问：①请你们也当一回教师，请你提出与D′点有关问题？②求M点的坐标。③求折痕AM所在直线与x轴的交点。
①结论开放，让学生通过观察、估计、猜想去发现。
生1：求B D′的长。
生2：求A D′的长。
生3：求tan∠BD′A的值。
生4：MD′C∽BD′A
......
②师：求M的坐标，必须建立什么？
生齐：直角坐标系 （图4）
师：选什么点作为坐标原点？
从优化思想考虑呢？
生齐：B点或C点，优化B点。
师：通过建立直角坐标系，
如图5，如何求出的坐标？
生：在RtMD′C中，由sin∠D′MC=，
设D′C=4x，得D′M=5x，由勾股定理得，
CM=3x，然后由折叠得AD′M≌ADM， （图5）
DM=D′M=5x，矩形CD=AB=8x，
最后由MD′C∽BD′A中，∠D′MC=∠AD′B，求出AD′=10x，再由勾股定理得：
BD′=6x，M（10x，3x），在RtMD′A中，（10x）2＋（5x）2=（）2，x2=1，
x＞0，x=1，M（10，3）。
③师：怎样求折痕AM所在直线与x轴的交点？
生：求经过A与M两点的一次函数，设解析式为y=kx＋b。
师：A的坐标为多少？解析式怎样建立。
生：A（0，8）， 10k＋b=3①解方程组得k=，所以解析式为y=x＋8。
b=8 ②
师：x轴的交点有什么特点？
生：令y=0，0=x＋8，x=16，与x轴交点为（16，0）。
[这个综合题，牵连知识点比较多，例如：有函数、方程、坐标、折叠、全等三角形、相似三角形、勾股定理等相关知识结合，经过讨论、探索，学生对所学知识达到融会贯通，并学会探究问题的方法，培养学生发散思维能力，这既有利于调动学生的学习兴趣，又有利于提高学生的创新意识和发现问题、解决问题的能力，从而帮助学生真正学会"会一类、通一片的目的"]
三、 反思与评价
本节课一开始就营造了一种轻松愉悦的课堂气氛，引领学生通过条件开放复习对已学
习过的知识、思想和方法的全面回顾来探索出全等三角形判定定理，课堂中各个环节设计围绕"会一类、通一片的目的"进行的，让学生积极探索矩形中三种不同的三角形折叠问题，使学生可以合作交流，也可以动手实践，学生在整节课堂显得生动活泼，轻松愉快。课后听课教师及上课学生都对这节课表达了良好的感觉，本人也从中获得了良好的情感体验。
以上的这个案例也引发我的思考：
1、 精心设计条件开放构架进行复习，要精选探究习题
用条件开放构架进行复习，要认真研究《数学课程标准》和教材，创造性地使用《数学课程标准》和教材，要有打破教材结构的勇气，深刻反思和总结教学中相近或相邻的知识，从知识体系和知识结构上去把握初中数学教学内容和教学要求，应根据所复习的内容，精选习题，有利于条件开放的探索，并对复习内容提供有针对性，同时要选习题的梯度。本节课以条件开放添加一个条件来探索全等三角形判定定理，具有较强的针对性，产生探索复习知识欲望，突出数学学习内容的现实性、价值性。伟大科学家爱因斯坦曾说过："提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正的进步"。
2、 精心设计"会一类、通一片"构架进行复习，要让问题贯穿始终
要选择好问题的起点与终点，要认真建构所要复习内容的生长过程，精心设计好问题的探索路径，创造性地提炼知识的生长链，充分展示横型变化、结构变化、背景变化、深度变化、复杂变化的关系，将纵向与横向变化结合在一起，既注意如何变化，又注意多种典型变化，要注意揭示变化中的不变性的规律，章显数学变式的魅力，先讲解某一种模型或某一种变化，而后紧接着进行典型变式。本节课以"探索矩形中三种不同的三角形折叠问题"为轴心，展示并拓展了课本知识复习，由浅入深，逐级递增，自始至终学生都能参与，都有体验成功的机会。
3、 加强自身反思
以前。我一直存在着困惑，怎么样才算上一节好的复习课。通过这节课的教学，笔者有所感悟，有所提高。精心设计"会一类、通一片"的核心构架进行复习，不断钻研教材，日积月累知识，通过条件开放，结论开放问题吸引学生去思考，激发学生学习兴趣。
总之，教师的成长，离不开实践的锤炼，而实践后的反思能提高实践水平。精心设计变换构架，无疑是促使学生有效复习。
参考文献：
【关键词】探究；问题；解法；策略
波利亚说：“解题的成功要靠正确的解题思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒”.说明解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式.在教学过程中如何培养学生探索、猜想的思想和方法，是值得每一位数学教师探求的教学问题.
通过网络资源了解，数学探究是新课程改革竭力倡导的一种研究性学习方式，近年来，高考明显加大了对学生直觉猜想、观察发现、归纳类比等重要的科学发展和科学研究方法的考查力度，由归纳得到猜想，由类比发现新知等试题都有较高的能力要求，具有一定的难度，通过抽象函数、高等数学背景、研究性问题等为命题的素材，考查学生的阅读理解能力、抽象思维能力和代数推理能力以及归纳猜想、类比发现等创新能力和进一步考查学生后续学习的潜能，以提高试题的区分度.
探究性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手.近年来，探索性问题在高考试题中经常出现，主要分为两类：一类是猜想型，即结论未给出，解题时需要首先探索结论，然后再加以证明，另一类是判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立.
这种题型对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，从而也有利于考查学生的探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等各方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程，因此，在备考和教学中要加以重视.
一、猜想型探究问题
分析 本题属于猜想型探究问题，考查了等差数列的概念、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念、等比中项、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法
评注 正确解答本题除了掌握相关的基础知识外，还需要具备一定的观察、分析、归纳、猜想等能力，（Ⅰ）问难度不大，符合考纲中能根据递推关系写出数列前几项的要求；（Ⅱ）问要先通过归纳、猜想得到an和bn的表达式，然后再用数学归纳法进行证明，对于这类问题，关键在于归纳和猜想，如果猜想的结论正确，一般证明也较易解决，如果猜想结论不正确，当然也就证不出来了.
二、判断型探究问题
例2 （2010年安徽卷，19题）已知椭圆E经过点A2，3，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=12.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求∠F1AF2 的角平分线所在直线l的方程；
（Ⅲ）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，
请找出，若不存在，说明理由.
评注 本题考查椭圆的定义及标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的点斜式方程与一般方程、点到直线的距离公式、点关于直线的对称等基础知识，考查解析几何的基本思想，综合运算能力，探究意识与创新意识.
本题的（Ⅲ）问属于判断型探究问题，即题目没有给出明确的结论，但给出了结论的可能范围，对存在性问题，常以“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出现，“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在，问题就算解决了；“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某已知条件或符合某种性质的对象，这类问题一般需要推理证明，经常用反证法；“是否存在”结论有两种可能，存在与不存在，若存在，则需找出来；若不存在，则需说明理由.解决这类探索性问题，常假设结论的某一方面成立，进行计算和推理，若推出矛盾，则否定先前假设，若推出合理的结论，则说明假设正确.
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