摘 要：离散数学作为一门高度抽象的计算机专业课，为了激发学生的学习兴趣，本文系统地介绍了其关系理论中的实验设计，意在培养学生理解理论知识的同时锻炼学生的思维构架和计算机语言操作能力。
关键词：离散数学；关系理论；实验设计
中图分类号：G642 文献标识码：A
1 引言
离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要学科，它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，所涉及到的一些概念、理论和方法被大量地应用于其他学科中。例如，数理逻辑在应用于人工智能理论研究的同时，着重培养了学生的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力；图论和集合论不仅为数据结构和算法科学奠定了数学基础，同时也为软件工程和数据库提供了抽象和描述的重要方法。
然而，由于这门课程具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，学生普遍反应难于理解掌握，同时由于学生知识面的局限又导致学生认为该门课程对专业知识无用，致使学生学习兴趣不高，教学效果不理想等现象。因此，激发学生的学习积极性和主动性，培养学生的创新意识和创新能力成了离散数学教学的当务之急。而在离散数学的教学过程中适当的引入一些实验设计，不仅是对离散数学的基本理论的很好验证，也锻炼了学生计算机语言的操作能力，同时也为其他课程的学习做了一个很好的铺垫。
本文将以关系理论为基础，深入探讨离散数学实验设计的可行性。
2 关系理论的实验可行性
在离散数学中，关系理论是其一个重要的组成部分，它的知识点主要包括关系的性质、关系的复合、逆运算和闭包运算、关系的划分和覆盖，以及等价关系、相容关系、序关系几种特殊的关系，这些内容都可以建立在矩阵的基础上，因此本文以关系理论为基础，设计了一个系统的模型，在加深学生对理论理解掌握程度的同时，也有效地锻炼了学生的编程操作能力，激发了学生的学习兴趣[1][2]。
3 设计模型
离散数学中关系的表示可以采用矩阵法，矩阵在计算机中可以以二维数组来存储，而数组的建立和存储在计算机语言中都有介绍，因此这一部分在本文中将不再赘述，而以算法的实现为讨论的重点。这里，假定关系R1、R2均是集合X上的二元关系，其中X中有n个元素，将R1、R2的关系矩阵设为M1、M2。
3.1 关系性质的算法设计
关系的性质主要有自反性、对称性、传递性、反自发性、反对称性，其中除了传递性外，其它四个性质的判别方法都比较简单且易于实现[1[2]]，因此，这里主要给出传递性的判别方法。从矩阵关系图上是不能直接得出的，因此可以通过求关系的传递闭包来实现传递性的判断，而传递闭包的实现需要借助于关系的复合运算，因此可以先给出关系的复合运算和闭包运算的算法设计。
3.2 关系的复合运算算法设计
给定关系R1、R2，计算R1和R2的复合关系R的关系矩阵M：
(1) 置i=1, j=1；
(2) 按逻辑乘和逻辑加计算 ；
(3) j=j+1，若j≤n，转(2)，否则转(4)；
(4) i=i+1，若i≤n，转(2)，否则停止。
3.3 关系的闭包运算算法设计
从关系的已知理论可以方便地计算出一个关系的自反和对称闭包，因此我们这里重点给出传递闭包的算法设计。
若 ，则R具有传递性。这里， 表示R的i次复合运算。由此，可以通过调用关系的复合运算来实现。
(1) 置MR=M, M1=M, M2=M, i=1；
(2)，调用3.2中算法计算M，按逻辑加计算；
(3) 若 , 置 ，转(2)，否则转(4)；
(4)为 的传递闭包，同时若 ，则 具有传递性，否则 不具有传递性。
3.4 等价关系与划分的判定算法设计
由等价关系的定义可知，等价关系具有自反、对称、传递性。其中，自反、对称性的判定可以直接通过矩阵得出，传递关系可以通过调用3.3算法验证。当验证了一个关系是等价关系后，就可以由该关系得到相应的划分。已知等价关系和划分是一一对应性的，因此可以通过等价关系来判断划分。设集合 上有一个等价关系 ，把与 的固定元 有等价关系的元素放在一起做成一个子集 ，则所有这样的子集就是由关系确定的一个划分 。具体算法如下：
(1) 设X中有n个元素，xi是X中第i个元素，置i=1,；
(2) 令 ， ；
(3) 若 ，则 ；
(4) j=j+1,若i≤n，转(3)，否则置 ，转(5)；
(5) 若i≤n，则置i=i+1，转(2)，否则结束；
3.5 相容关系与覆盖的判定算法设计
相容关系具有自反、对称性。因此一个关系是否是相容关系可以参照3.4中算法判定。
3.6 序关系中各个特殊元素的确定
一个偏序集合 ，且 是 一个非空子集，则 上一定有极大元、极小元，但最大元、最小元却不一定存在。设 中有 个元素，下面给出这几个元素的判定算法：
极小(大)元的判定：
(1) 设bi是B中第i个元素，置i=1；
(2) 令j=1；
(3.1)若 或( 且 )，则 ，转(3.1)，否则转(4.1)；
(3.2)若 或( 且 )，则 ，转(3.2)，否则转(4.2)；
(4.1)若 ，则 ，转(2)，若 ，则 是 中极小元。
(4.2)若 ，则 ，转(2)，若 ，则 是 中极大元。
最小(大)元的判定：
(1) 设 是 中第 个元素，置 ；
(2) 令 ；
(3.1)若 且 ，则 ，转(3.1)，否则转(4.1)；
(3.2)若 且 ，则 ，转(3.2)，否则转(4.2)；
(4.1)若 ，则 ，转(2)，若 ，则 是 中最大元。
(4.2)若 ，则 ，转(2)，若 ，则 是 中最小元。
4 小结
本文以关系理论为基础，重点讨论了其各个知识点的算法设计并给出了具体的算法设计思想。通过本文的算法练习，可以培养学生的想象能力、探索能力和知识迁移能力，使学生的思维具有发散性，激发了学生的学习兴趣，实验设计的成功也给了学生一定的成就感，同时使得学生在练习计算机语言操作的同时加深了对离散数学中理论的理解，可谓一举两得。
参考文献
[1] 涂建斌，周小强．离散数学课程教学改革初探[J]．数学理论与应用，2001，(11)，41-42.
[2] 何锋．离散数学教学中的命题符号化难点讨论[J]．计算机教育，2007，(9).38-40.
[3] 左孝凌．离散数学[M]．上海科学技术文献出版社，1998.
[4] 徐凤生．离散数学及其应用[M]．北京：机械工业出版社，2006.
Systemic Experiment Design of Relation Theory in Discrete Mathematics
YU Hong-bin
(School of Computer and Information technology, Henan Normal University ,Henan Xinxiang 453007)
Abstract: Discrete Mathematics is a height abstract of the calculator professional lesson, give tremendous pressure when student's study it. In order to string up student's interesting, a systemic experiment about relation theory is introduced in this paper introduced, to toughens student's thinking frame and develop the ability in operate computer language, at the time to train students’ comprehension of theories knowledge.
数量关系是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的揭示某些数量之间的本质联系，并以数量关系式来表示这种联系。它能为小学生解决同类数学问题指出方向，提供基本方法，形成一种策略，是一种有数学价值的解决问题的模式。
在解决问题教学中让学生搞清楚题中的基本数量关系是十分重要的。应用题的数量关系千变万化，但总有一定的规律。我们在教学中可从解题思路入手，引导学生掌握一些常见的数量关系，帮助学生总结解题规律，提高学生的思维能力。通过数量关系运用的教学，可以使学生经历从具体的现实情境中抽象出一般的数学问题，并选择和运用相关的数学运算解决问题的过程。
一、数量关系在解决问题中的重要地位
新教材依据新课标的要求不再设有“应用题”的专门编排和教学课时，要求教师取消这部分内容的集中教学，期望教师通过现实生活情境的创设，把数量关系的运用问题渗透到平时的日常教学之中。这种追求本身并没有错，只是教师不太适应这种融合渗透的教学方式，导致课堂教学中现实生活情境泛滥，缺乏的却是结合情境的教学过程来渗透数量关系的运用问题。特别是对数量关系适时抽象概括与专项训练更是重视不够，导致学生对解决问题望而生畏，乱猜乱撞解题方法，学生的认识和思维只能停留在具体情境上。
实际上，重视数量关系的训练是传统应用题教学的重要经验之一。基本的数量关系是学生形成解决问题模型的基础，只有掌握了基本的分析综合的方法，积累了基本的数量关系和结构，才能使学生在获取信息之后迅速地形成解决问题的思路，提高解决问题的能力。
由此可见，分析数量关系在解决问题过程中占有重要作用，是解决问题的根本，我们要把创设情境、沟通生活联系与分析数量关系、形成解题模型并重。因此，小学阶段数量关系运用的教学具有十分重要的基础性地位。
二、小学数学解决实际问题的呈现形式
根据儿童心理学和教学论的有关原理，教材中解决实际问题的呈现既要体现教学过程，又要符合儿童学习的心理特征。每部分解决实际问题基本上是按照“复习、例题、做一做、巩固练习”的顺序呈现。低年级有些例题前会安排一道与例题的数量关系相同的操作性的例题，使学生通过操作初步理解数量关系，降低思维的难度。
还可通过复习旧知识引入新知识，教学新知识后，通过做一做及时反馈学生的学习情况，再通过练习巩固所学知识。
三、解决问题教学中如何分析数量关系
解决问题的教学在数学教学中有着重要作用，它既是发展学生数学思维的过程，又对培养学生应用意识和创新能力上有一定的教育价值。解决实际问题的教学过程应是：创设情境，收集、整理信息，借助已有经验独立解题、提炼思路、反思解题过程。教学时应突出提炼思路和反思的过程，逐步帮助学生形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展数学思维。
1.解决简单实际问题的教学策略。
一步计算的简单实际问题和四则运算的意义是紧密联系的，教学策略是在激活学生生活经验的基础上，抓住四则运算的意义，让学生理解具体情境中的数量关系。教学时，教师应在学生利用生活经验解决实际问题之后，有意识地引导学生对源于经验认知的方法进行比较、分析，让学生体会四则运算意义的本质，构建数学模型，逐步提高解决实际问题的能力。在教学时不能把注意力放在一个个具体问题的解答上，应将学生根据生活经验解决问题的方法适当提升，从运算意义的角度分析普遍的数量关系。教学解决简单的实际问题时，还要注意培养学生养成良好的读题习惯、从数学的角度提出问题的意识、对解题过程能够进行完整回顾的意识等，为逐步提高解决实际问题的能力打好基础。
2.解决两步计算实际问题的教学策略。
目前师生人际关系中普遍存在着教师中心主义和管理主义倾向，严重地剥夺了学生的自主性，伤害了学生的自尊心，摧残了学生的自信心，由此导致学生对教师的不满和抵触情绪，师生关系时常处于冲突和对立之中。现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那些只有教学的形式表现而无实质往发生的"教学"是假教学。试想一下，经常处于冲突和对立之中的双方如何能产生正常的交往,又如何能产生真正的互动教学呢。《数学课程标准》提出:“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。”教学活动的本质应该是一种沟通、一种合作。学生才是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者和引导者。教学活动的教与学不仅形成了教师与学生之间的关系,也形成了学生与学生之间的关系、教师与学生群体之间的关系、学生与学生群体之间的关系等多重的网状关系,而整个教学过程就是在这网状关系中进行的。教学分析表明:教育者与受教育者的关系是交互主体性的合作伙伴关系,教学过程既不是单纯的学生的事情,也不是单纯的教师的事情。教师和学生都是教学的中心人物。那么,怎样提高师生交往的有效化,学生学习的积极性呢?
《基础教育课程改革纲要(试行)》指出:“教师在教学过程中应与学生积极互动,共同发展,要处理好传授知识与培养能力的关系。”师生的交往互动,是教学过程的本质属性。没有师生的交往互动,就不存在真正意义的教学。互动是教师的教与学生的学的有机结合。交往是双方或多方的接触、往来、对话、沟通,教学中交往的意义远远超过了它原始的语言学的意义,它已成为人们存在与发展的基本方式。《找规律》一课。我精心创设了一个快速记忆比赛环节，有效激发了学生的学习兴趣,从而感知规律。找规律重在“找”，找到规律的价值是帮助学生解决问题。把教学的重点放在“找规律”和利用规律解决问题上。素材精选了生活中按规律摆放的桌椅、彩灯等，把学生的注意力集中到对不同物体摆放的规律观察上，引导学生通过观察,分析,比较,交流,经历探索规律和解决问题的过程。并让学生说一说生活中的一些周期现象，星期，月份，四季，生肖等等，拓展规律，丰富了学生对规律的认识。再通过师生玩一玩游戏，引发学生的思考,揭示游戏里就蕴含着周期规律，鼓励学生在玩游戏的过程中开动脑筋感悟规律，创造规律。在“找规律”的过程中，教师充分关注学生的生成资源，突出了学生探索规律中的数学思考，增强了学习数学的兴趣，收到了较好的教学效果
改进评价方法,力求使每个学生的学习积极性都有所提高,学习更有自信,更有兴趣。对数学学习的评价要关注学生学习的结果,更要关注他们学习的过程;要关注学生数学学习的水平,更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识自我,建立信心。”关注课堂教学中的评价行为,是提高课堂教学效果的重要途径。在教学实践中,存在评价缺失和评价不当的现象。如只重视教师对学生的评价,忽视学生对教师、学生对学生的评价;只重视评价学生的知识掌握情况,忽视对学生的情感激励和价值观的引导等。只重视评价学生的学习结果,忽视评价学生的学习过程,等等。在小学数学课堂中,如何全面、科学、合理地进行课堂教学评价,真正发挥评价的作用,这是值得研究的课题。评价要具有激励性、导向性、客观性，课堂评价不应拘泥于形式，要应因人而异，因时而异，因地而异，教师应全身心投入，创造性地对学生的学习活动进行评价，用我们的评价激活学生的思维，让每一个学生在评价中获得自尊和自信，获得一种成功的体验，从而对数学产生一种积极的情感和态度，形成良好的学习品质和习惯。
正如世界上没有两片相同的树叶一样,每个学生都有其独特的个体特征,表现在认知方式和思维策略的不同、认知水平和学习能力的差异等方面。尊重个体差异,满足学生多样化的学习需求，教师要及时了解并尊重每一个学生的个体差异,特别是对那些学习困难的学生,既要给予及时的关照与帮助,又要鼓励他们主动参与数学学习活动,尝试用自己的方式去解决问题,发表看法人的全面发展始终是教育追求的理想。新教材强调教师要引导学生质疑、调查、探究，在发展中学习，在实践中学习，富有个性的学习，以便为发展学习而学习，为终身继续学习而学习。从教育发展的整个态势来看，教育民主化已日益成为当代教育的主要趋势。教育民主化主题之一即教育的平等，包括接受教育的平等性和个性发展的平等性，尤其是个性发展。因此，保证每个学生的潜能得到充分的发展，是课程改革的重要目的之一。
总之,教与学的方式的改变要求教师不断地形成新的基本技能,不能再以知识形态来呈现教学,而要以行为的方式来呈现,所以我们要不断地更新观念,不断地探索研究, 教师与学生的关系是教育教学中最基本的人际关系，是构成学校教育教学的基础，只有建立良好的师生关系，才会有良好的教育教学效果。才能高质量地完成对学生的塑造和培养。教育教学过程是师生共同参与的过程，因此，它的顺利进行，不仅取决于教师，也取决于学生，能否充分调动二者的积极性，在很大程度上又受师生关系好坏的影响。在教育教学过程中，我们都有这样的经验：对于学生来说，凡是和自己关系好、感情深的教师所给予的教育教学影响，即使是较严厉的批评，他们也认为是老师对自己的关心和爱护，因而能愉快的接受。反之，假若师生关系不好或者没什么感情，同样的教育教学影响，学生往往不理不睬，没有参与教育过程的积极性和主动性。同样，师生关系好坏对教师工作也有很大的影响师生关系好，教师工作起来心情愉快，教师会更加努力，并从工作中体会到一种特殊的幸福。相反，教师会感到内心失衡，影响教育教学工作的进程。所以，良好的师生关系是我们顺利完成教育教学任务的必不可少的前提。
关键词：和谐 幽默 形象直观
课堂教学环境是否愉悦和谐，影响着师生交流的广度和深度，并制约着教学效率的提高。知识往往要借助情感这个媒介才能更好地被学生接收，如何让数学知识中那些单调符号，繁复的公式，抽象的原理被以具体形象思维为主的小学生所接收，是小学数学教师值得认真考虑的问题。英国教育家斯宾塞于1854年就提出了“快乐教育”的思想，他认为求智如果能给学生带来精神上的满足和快意，即使无人督促，也能自学不倦。这是符合心理科学的。和谐愉悦的课堂教学中应有疑问，有猜想、惊讶、笑声、争论，有联想，更有巧妙的比喻，这种和谐的课堂气氛和师生关系应该是我们教师毕生追求的目标。
一．小学数学教学过程的特点
1 以学龄儿童为认识主体，以基本数量关系和空间形式为认识对象
小学数学教学工程中的认识主体是学龄儿童，他们的思维正处在以具体形象思维为主要形式，逐步向以抽象思维、逻辑思维为主要形式过渡的阶段。他们对生动具体的事物认识较清楚，但对抽象概括的知识理解和掌握却往往感到困惑。从认识对象来看，小学生在数学学习中所认识的主要是客观世界中的一些最基本的数量关系和空间形式，这些内容虽然反映的是人类在认识数量关系和空间形式方面的早期成果，但与其它学科相比较，他们仍然具有高度的抽象性和严密的逻辑性等特点。
认识主体和认识对象的特殊性决定了小学数学中的认识工程的个性特征。首先，认识主体思维的具体形象性和认识对象的抽象概括性决定了小学生在数学学习过程中对感性材料的依赖性。这就要求教师在教学中必须加强实际操作和直观教学；其次，认识对象严密的逻辑性决定了学生认识过程中不可逾越的阶段性和严格的顺序性。这就要求教师在教学时严格遵循儿童的认识发展顺序和小学数学教材结构的逻辑顺序。
2 以发展初步逻辑思维能力为核心
小学数学教学过程要求学生在扎扎实实地掌握数学知识的基础上，提高计算能力、初步的逻辑思维能力和空间概念，用所学数学知识解决简单实际问题的能力，培养良好的思维品德和行为习惯。学科特点决定了学生数学知识的掌握和思维品德的养成都市与良好的数学能力分不开的。而计算、空间概念和用数学知识解决司机问题的形成又是以初步的逻辑思维能力为基础的。因此，小学数学教学过程是一个以发展初步逻辑思维能力为核心的促进学生全面发展的过程。这是小学数学教学过程有别于其它学科教学过程的一个重要特征。
二．小学数学的教学过程的构成
1教学目的
小学数学的教学过程是一种有着特定的教学对象和具体的教学内容的学科教学过程，它是一种有计划、有步骤的活动过程。因此，整个过程及其过程中教师的活动和学生的活动都必然有其明确的目的，没有目的或目的不明确的师生活动既不能称之为教学活动，更不能构成一个完整的教学过程。小学数学教学目的是构成小学数学教学过程必不可少的一个基本要素，它不像教师、学生、教材等要素那样客观、具体，它是以观念的形式预先存在于师生头脑里的活动结果和追求目标。
2 教师和学生
教师在整个小学数学教学过程中始终处于主导地位，是教学过程的组织者和调控者。因此，小学数学教师是构成小学数学教学过程的一个核心要素。片面强调学生的主体作用而忽视教师的主导作用，是对小学数学教学过程本质的一种歪曲。小学数学教学过程的本质属性决定了教师在其教学过程中的主导地位和作用。但对学生来说，教师的指导和帮助归根结底只是一种外因。唯物辩证法认为“外因是变化的条件，内因是变化的依据，外因通过内因而起作用。”学生的发展最终要通过他们自身的主管努力才能实现，无论是数学知识的掌握，还是数学能力和良好思想品德的养成，从根本上来讲都不是教师教会的，而是在教师指导下学生自己主动学习获得的。再从小学数学教学过程的诸要素来看，如果离开了学生这个主体，教学目的的导向作用、教师的主导作用、教材内容的中介作用以及教学手段和教学方法的价值，不仅无法体现出来，而且也没有存在的必要。
三．和谐师生关系的构建
要推进教育民主，课堂上和谐师生关系的构建是非常重要的。对数学学科来说这是一项艰苦的工作，需要教师在日常的教育教学中积极地研究和探索。
1在课堂上使用幽默的语言
小学生在课堂上搞点小动作或回答错误是很平常的一件事，教师可以通过幽默的语言，巧妙化解，既不让学生感到尴尬，同时又提醒了学生自己出现的问题。比如在一节混合运算课上，一个学生口算题的后面莫名其妙的加上了单位名称元，老师笑着说：你是不是就想买东西吃呀？结果学生们会心地笑了。相信这样和谐的气氛会比严厉的指责取得的效果好的多。
2形象直观，激发学生学习数学的兴趣。
人们常把小学教师称为“孩子王”，是因为小学与其他学习阶段的教师最大的不同就是他们始终与孩子摸爬滚打在一起。兴趣是让学生发展最实际的动力，例如在教学“圆锥的认识和体积”时，可采用自然课中的实验法，分小组让学生用圆锥容器装满黄沙倒入等底等高的圆柱容器中，从中得两者间体积的关系。这种方法符合学生爱玩的心理特征，使学生在动手操作中获得了新知识，严肃中不乏轻松愉悦，紧张之下充满热情。
3让学生在课堂上做老师
一、引导学生获取，就要培养学生的获取意识
在平时上课的时候，学生总是精神集中，思维活跃，兴趣盎然。说实在话，我最害怕的就是学生在上课时死气沉沉，沉默寡言，无动于衷。我把课堂气氛，看作是课堂教学的温度计。活跃是获取意识强烈的表现，而呆板又往往是被动参与的标志。因此，在长年的教学中，我形成了一个习惯，那就是不论哪堂课，我都要反复研究如何开场，其目的是为了创造出一个最佳的教学时机，点燃起学生的求知欲望。
例如，在教学循环小数时，是学习小数除法这一单元临近结束时引进的一个概念。教学时，我先出了三道题让学生来计算。学生一看都是除法题，自然也就感到非常简单。第一题是，被除数能被除数整除，学生计算起来当然没有问题；第二题，虽然不能整除，但是可以除尽，学生刚刚学过，也感到容易；第三题却一反常态，无论怎样计算，也得不出一个精确的商。水平高的学生，首先遇到了这个问题。他们中有的人问我：“第三题是不是出错了？”我也就装作很认真的样子，看看教案，再看看黑板，很客气地对他说：“我没有出错，请看看是不是你抄错了？”他们只好又投入到计算之中。中等水平的学生，也被第三题难住了。他们问我：“第三题得计算到哪辈子？”我指着计算速度慢的学生说：“你看他多么认真，遇到问题别着急。”水平最低的学生，面对第三题也计算不下去了，他们说：“这道题我不会。”
好了，最佳的教学时机出现了。学了多年的除法，居然还有处理不了的问题，这究竟是怎么回事？如何去解决？这种想学、要学的心理，也就是获取的意识。他们有了需要，也就有了兴趣，有了动力。这是上好任何一节课都不可缺少的。
二、引导学生获取，还要创造有利于获取的条件
我所说的条件，主要是指有利于学生的认识，由感性阶段上升为理性阶段。不论是从现象到本质，也不论是从个别到一般，认识上的升华总是需要一定条件的。为学生创造出这些条件，就是教师发挥主导作用的一个重要任务。
例如，教学能被3整除的数的特征时，一方面，我考虑到要排除能被2、5整除的数的特征的干扰；另一方面，我还考虑到其特征要易于学生发现。首先，我要求学生随便说出一个能被3整除的数。
学生说：“9就能被3整除。”
我说：“对极了。谁能再说一个大点的，也能被3整除的数。”
学生又说：“27能被3整除。”
我先肯定他回答的正确，然后又要求：“谁能再说一个大点的，譬如说个三位数。”
学生回答的速度慢下来了，他们需要思考。过了一会儿，他们说：“123也能被3整除。”
我说：“好极了，123这个三位数确实能被3整除。”同时我还把这个数板书在黑板上。指着黑板上的“123”说：“看着你们说的这个数，我一口气可以说出好几个，能被3整除的三位数。”我说：“132，213，231，312，321这些数，都能被3整除。”
学生用怀疑的目光看着我，我把这些数板书出来，让他们计算一下。我指着黑板上的两组数，让他们观察一下，各有什么特点。他们发现，每一组里的数，都是由三个同样的数字组成的，不管怎样变化，这三个数字始终不变。我又问：“组成这些数的数字不变，仅仅是数字在排列上有变化。那你们还能进一步发现有什么特点？我又引导他们去计算一下各个数位上的数的和。计算的结果一组是6，另一组是12。有的学生高兴得一下子站起来了，他们已经发现其中的奥妙了。结论得出来了，他们沉浸在靠自己取得成功的欢乐之中。
三、重视处理好过程和结果的关系
过程和结果之间的关系，首先是“结果”以“过程”为基础，其次是“过程”以“结果”为目的。它们之间应当像瓜熟蒂落，水到渠成，是认识上的自然升华。
[关键词]解决问题 数量关系 数学教学
从最近对不少一线教师的访谈中笔者发现，对于传统“应用题”教学与新课程“解决问题”教学两者关系的认识不清是他们深感困惑的问题。一方面，从过去我们熟悉的以培养学生解题能力为目的的“应用题”教学到新课程以发展学生综合数学能力为核心的“解决问题”的教学，许多教师面对教学目标、内容体系、编排呈现方式的巨大变化而感到无所适从；另一方面，由于没有准确把握教材的编排体系，不少教师在“解决问题”的教学中缺乏全局意识，导致了教学的“脱节”、学生解题能力的下降。而作为曾经是“应用题”教学核心的“数量关系”教学，自课改开始就备受关注，“解决问题要不要突出‘数量关系’?”“在解决问题教学中如何看待数量关系的作用?”“传统数量关系教学的优势如何在当前的教学中发挥其应有的功能?”笔者就这些问题，进行了以下思考：
一、对数量关系的剖析――数学化的必由之路
《数学课程标准》强调：数学教学要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。这个过程就是数学化的过程，而让学生具有数学化的能力便是“解决问题”教学所要达成的目标之一。
1 重视解决问题过程中的两次转化。
《小学数学教育》(2009.3)刊登了北京师范大学周玉仁教授关于“解决问题”教学若干问题的思考，其中第一个观点就足以让我们静下心来认真审视当前的教学。文中指出，小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了两次认识上的转化，第一个转化是指从纷乱的实际问题中收集、观察、比较、筛选出有用的信息从而抽象出数学问题；第二个转化是根据已经抽象出的数学问题，全面分析其中的数量关系，从而探索出解决问题的方法，进而在实践中进行检验和运用。这两个转化是相辅相成、缺一不可的。传统应用题教学的一大弊端就是过于重视第二次转化而忽视了学生发现问题、提出问题的过程；而课改后的教学又将关注的重心过多地放在对信息的收集、整理上，对数量关系的形成与分析显得比较单薄，导致教学从“生活情境”直接走向“应用”，忽视了“数量关系形成”这个重要的数学建模的过程。这样的教学，势必会削弱学生解决问题时的思考过程，缩小学生的数学理解的空间，这与新课程要求“解决问题”教学所要达到的目标相去甚远。因此，作为一线的教师，我们应该清晰地看到，新课程中对解决问题的教学改革，数量关系的教学仍是重要环节，它承载着学生的认知“由表及里”、“由浅入深”的质的飞跃。
2 重视数量关系形成过程和运用过程的有机统一。
在以往的数量关系教学中，由于教师过于重视学生对运用数量关系解决问题的牢固掌握，就把课堂教学的大部分时间让学生进行辨认题型以及解决问题的操练，以使学生在短期内形成熟练的解题技巧。但是，现实生活中，不可能出现问题情境正好与应用题体系的某个题型完全匹配的现象，也正是基于现实的需要，新课程才将“解决问题”渗透于数学教学始终，并降低了对信息素材的加工程度，还原数学问题的生活原貌，力求通过让学生经历对新情境中数学问题的解决过程，发展他们的数学意识和数学能力。因此，传统应用题教学留下“熟悉类型――识别类型――套用解题方法”的基本模式，以现在的眼光来看，是有很大局限性的，类似这样机械的数量关系教学并不可取。很多研究表明，在良好的教学情境下，学生解决问题时不是把问题和类型相联系，而是将情境中的问胚与运算意义相联系。因而。我们必须将数量关系的形成过程和运用过程有机地结合起来，在从“现实情境”抽象出“数学问题”的数量关系形成过程中，不必要求学生在语言表述上作过多精致的表述，而应该提供相对真实的现实情境，让学生在解决实际问题的过程中动态探索、理解感悟数量关系。这种明显带有个体“数学思考”成分的数学活动是学生运用数量关系解决问题的关键所在，理应被广大教师所重视。因此，数量关系的教学不能厚此薄彼，重“运用”轻“形成”。而应将它们有机地统一在解决问题的教学过程中。
二、对数量关系的提炼与概括――结构化迁移的重要环节
1 注重基本数量关系的原始积累。
新教材编写的一大特色就是将“数与运算”融入生活问题情境中，在解决问题过程中引导学生理解运算意义，掌握算法。同时，又通过对解决问题过程的回顾，进一步促进学生对运算意义的内化。因此，四则运算的意义在解决问题中的作用是举足轻重的，是数量关系最为基本的模型。教师要充分领会教材编写循序渐进的原则。引导学生将情境中的问题与运算意义相联系，充分经历思考与体验的过程。例如，同样是教学加法，一年级教材通过多种不同的呈现方式让学生感知：一上教材40页“3个男生和2个女生在浇花，浇花的一共有多少人?”――两部分合并(静态)，“3个人在浇花，又来了2个人，现在有多少人?”――在原有的基础上增加一部分(动态)；二上教材26页的“红花片有11个，绿花片比红花片多3个，绿花片有几个?”――在“比较”情境中求较大的量等。只有以各种方式不断拓展对运算本质的理解，才能逐步完善学生对运算意义的建构。在此过程中，学生也会有意识地思考情境中的问题与数学意义的联系。基本数量关系的教学也得到潜移默化的渗透，如：部分量+部分量=总量、较小量+相差量=较大量等，这种原始的积累，为学生解决问题能力的发展奠定了坚实的基础。
2 注重常见数量关系的抽象概括。
数量关系除了有按加、减、乘、除意义的基本数量关系，也有密切结合某些实际素材的常见数量关系。如“单价×数量=总价”、“工作效率×工作时间=工作总量”等。这些数量关系的得出，都必须经过一个梳理和归纳的过程。而运用数学语言来提炼数量关系是此项过程中不可或缺的重要环节。面对一个问题情境，教师应鼓励学生基于自己已有的知识经验自主构建“原生态”的数量关系，在此基础上，教师可以引导学生进一步转换思维视角，从而获得更为简约、更为概括的数量关系模型，进而通过对这一数量关系模型的变式运用，实现数量关系结构化迁移。例如面对这样一个问题情境：“做一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体纸盒，至少需要用多少平方厘米的纸板?”学生在理解长方体的特征基础上独立探索并尝试用自己的语言表述数量关系：长方体相对的两个面面积相等，所以只要先求3组相对的面的面积，再相加。即长×宽×2+宽×高×2+长×高×2；在教师的进
一步引导下，学生可以转换思考角度，将长方体的6个面分为相同的2组，先可以求出每组相对的面中的一个面的面积，相加后乘上2。由此产生了新的数量关系。即(长×宽+宽×高+长×高)×2。两种数量关系的形成都从不同的角度反映了数量之间的本质联系。像这样，让学生经历从多角度思考问题，对发展他们的数学思维、提高思维的灵活性和敏捷性会起到很大的作用。由此可见，新课程并没有舍弃数量关系的抽象，而是要求创新数量关系的教学方法，强调在发展学生数学理解的前提下进行数量关系的抽象概括。
三、分析数量关系的基本方法――解决问题的基本策略
在数学教学中，发现和利用数量关系是解决实际问题的途径，通过整理信息明确把握数量关系。既是可操作的方法，也是解决问题的策略。当然，解决问题的策略是多种多样的，有些适合于解决常规问题，有些适合于解决一些特殊问题。教师应鼓励学生通过感悟、体验不断形成具有个性的解题策略，鼓励学生创新，但同时也应重视学生对一些基本解题策略的掌握。
1 分析数量关系的基本方法需熟练运用。
对数量关系的分析，传统应用题教学中仍有许多经验值得我们借鉴。例如，分析法、综合法、作图法等等，这些对提高学生思维能力和解决问题能力十分有帮助。并且，这些基本的方法有别于针对解决某类典型题的单项技能技巧，具有广泛的基础性、迁移性和普适性，是解决任何问题都需要具备的最基本的能力。因此，在教学中。我们仍要重视让学生运用“综合思维”及“分析思维”对一些常规问题进行比较完整的“说理训练”，即结合对数量关系的分析说出解题思路，通过这种“出声的思维”来暴露学生的思维过程、强化思维成果，从而发展思维能力。由于上述两种思维模型都是对事物之间本质联系的把握，为学生指明了思考问题的方向，因此，学生解决问题就有了最基本的方法。
2 分析数量关系的基本方法应与解决问题策略相互渗透。
[关键词]：数学 形式 内容
“内容决定形式，形式服从于内容”，这是教学辩证法，初中数学课堂教学也不例外。在初中数学课堂教学设计中，要注意使初中数学的教学形式服从于教学内容，为此，教师必须处理好以下几个关系。
一、处理好数学课程改革中继承的关系
数学课程改革不仅是“课程内容的变化”，更注重的是“新教育理念的推进”。改革不是推倒重来，而是对传统的教学内容在继承基础上的发展与扬弃，我们强调学生的主体作用不是否定教师的主导作用，而是在尊重教师主导作用的同时，更加注重培养学生的主动性、开放性，鼓励学生的创造性思维，从而把学生的学习主体与教师的主导作用统一起来。比如对于教材的使用，新课程要求教师不是教教材，而是用教材教；教材只是“蓝本”，而不是唯一的标准，教师可以根据课堂教学的实际情况，对教材有针对性地进行补充、延伸、拓宽、重组，并注重做到教材、生活和学生经验的联系和融合，同时鼓励教师、学生对教材的质疑和超越。只有这样，才能提高教材的利用率，实现“用教材教”而不是“教教材”，从而提高课堂教学的质量。
二、处理好课堂学习方式与教学内容的关系
确定课堂教学方式不能一味地标新立异、求活求趣，而应从每一节特定的课堂教学内容出发来选择最恰当的教学方式。如在教授“分式通分”这一内容时，就应设计“自学自悟―类比发现―启发讲解―强化训练”的教学程序来引导学生进行学习；而教学“三角形中位线”的内容时，恰当的教学流程应该是：动手实践（画图度量一感知新知，剪图重组―发现新知）―自主探究（证明结论）―交流评价（达成共识，形成结论）―变式运用（巩固新知）―自主小结（积累经验，升华思维），这样设定的教学方式就与教学内容相适应。
另外，心理学研究表明，不经过学生亲自探索和发现，就想把已知的真理变成学生的真知是不可能的。为此，教师必须把教材中的数学知识转化为具有探索性的数学问题，在课堂上鼓励每个学生动手，动口，动脑，参与数学的学习过程，在数学知识的学习过程中，实施积极有效的体验。比如，在学习数学截一个几何体这部分内容时，我们可让学生利用马铃薯做成的立方体自己来切一切，看一看，这样在真实的体验中学生对知识的认识会更加深刻。
初中数学形式服从内容很重要，我们要注意正确处理好其中的几个关系，唯其如是，我们在初中数学教学设计中，才能取得好的效果。
一、主体与客体的关系
学生是主体，教师是客体。教师必须以学生为主体，在传授知识时记住自己只能在引导、点拨、拓展上狠下功夫，要设法充分调动起学生求知的积极性、主动性。如果教师一味地以自己为中心，把课堂完全当成自己独有的舞台，只在乎自己表演得是否完美，按照“讲知识讲例题——总结——练习——讲评——布置作业”的模式唱戏，就会造成学生学的死忘得快的局面。如在运用平方差公式进行整式的乘法运算时，由于变式题很多，学生掌握起来很是困难。教师在教学中应循序渐进，让学生在探索中逐步领悟各种变式。教师可先让学生自学平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，教师解疑答难后让学生计算（x+y）（x-y），学生观察后会很快发现x、y分别相当于公式中的a和b，故有（x+y）（x-y）=x2-y2，在此基础上教师逐步提出以下变式让学生计算。
变式一（2x+y）（2x-y），变式二（x+3y）（x-3y），变式三（2x-3y）（2x+3y），变式四（x2+y2）（x2-y2），变式五（2xn+y3）（2xn-y3），变式六（-2x+y）（-2x-y），变式七（-2x-y）（2x-y），变式八（x+y+z）（x+y-z），变式九（x+y-z）（x-y+z）。
每一个变式均让学生在自主、合作、探究的氛围中发现问题、解决问题，教师只着重引导学生观察式子的结构变化。学生在逐步解决这些变式的时候，会感觉像是在变戏法，从而兴趣被提起，雄心被激起，在快乐中轻易掌握了所学知识。
二、批评和鼓励的关系
教师在传授抽象的数学知识时，必须不急不躁，轻批评重鼓励。在学习新知识时，学生尚处于懵懂之中，尤其是初中的学生已有些爱面子，有唯恐说错遭人嘲笑的心理，如果教师重批评轻鼓励一定会把学生的思想扼杀在摇篮中。长此以往，学生就会由怕回答到不回答、由积极动脑到不动脑——静等答案，这样学习必然会事倍功半。如学生在初学几何证明题时，一般都写不好证明步骤。这时如果教师过于急躁，一味地批评学生，必然会使学生学的吃力、迷茫。而教师如能抓住学生步骤中的个别闪光点进行鼓励，加以引导，学生的自信心就会猛然增强，兴趣高涨地集中精力主动去思考、探究，这样当然会事半功倍。
三、讲与练的关系
讲与练的关系实际就是知与用的关系。用是为了巩固知、深化知、升华知，所以，对于初中生学习数学而言，练比讲更重要。只讲不练，讲的再多再好也显得空洞、抽象、难懂。
讲不必多，但要准且重难点突出。对于一些规范的解题步骤，教师应把重点放在易出错的地方并加强督查。对于一些数学概念或法则，最好能引导学生总结成口诀，这样学生就能听的明白记得牢靠。例如 “两数相乘，同号得正异号得负”，学生只要看一遍就会领悟的很准。把去括号添括号法则总结成“正不变负全变反”、因式分解的方法总结成“一提二套三分四查”则易懂易记。
面对学困生，切忌把问题讲的太神秘，使学生望而却步。有些“例外”情况，需要“讨论”，刚开始最好不要提，待学生熟练后，再引导学生“深入”。如果开始教师就强调全面、严谨，这样对于那些“例外”较多的问题，必将会加上一大堆的限制条件，文字叙述也会很长，这样就会喧宾夺主，造成学生思维混乱，一点也记不清。而如果先讲少点，把“汤”先煮好，再慢慢往里加“料”，往往效果会很好。如在讲一元一次方程的解法时，一般式ax+b=0（a≠0）中 a和b的取值情况对于方程根的影响不应过早拓展，应在学生熟练掌握一元一次方程的解法后再引导学生分类讨论，这样才能体验到水到渠成的乐趣。
精讲多练，练会再讲，一次比一次深入、完整，才能由表及里、由浅入深、引人入胜，这要比企图一次性地解决问题有更好的效果。
四、基础与提高，知识与能力的关系
没有基础就不可能有提高，没有知识就不利于能力的培养。只有扎扎实实地打好基础，学好知识，才能由量变到质变，促进能力的提高。因此教师在教学中必须注重学生基本技能的培养——大量基本习题的常规解法。俗话说 “熟能生巧”，学生只有先熟练掌握大量习题的常规解法，才可能有灵活运用与一题多解的可能，也才可能脱离题海战术举一反三。若常规解法学生还没熟练，就大讲特讲灵活、技巧，那只能是“拔苗助长”。
在培养能力方面，应着重抓好计算能力的培养。计算贯穿于整个数学的学习中，数的计算和式的计算随处可见。如果计算能力不行，即使会做也会经常算错，这样失分点就会很多，所以必须培养好学生的计算能力。当然，在抓计算能力培养的同时也不能忽视运用数学思想解题等其他能力的培养。
五、课本习题和课外补充题的关系
教师应注重“以本为本”。课本习题共有四类，例题、跟节练习、习题和复习题。每一类都是专家精挑细选下来的，例题是最具有代表性、最典型的，有的例题有几百年甚至上千年的历史。跟节练习是最基础的题目，是用来及时巩固这一节的基本知识的。习题则是稍加提高，复习题是针对全章的重要知识点再次进行巩固、深化。在课本习题还未熟练掌握时就去补充课外习题，无疑是舍本逐末搞题海战术，学生必然会学的半生不熟。所以，只有在熟练掌握课本习题的基础上再适当补充课外习题，才会有较好的效果。
