某节市级数学评优课，课题是《用方程组解决问题》（第一课时），有位老师是这样做的：他自编了三道题并用当前最火的动画片《喜羊羊和灰太狼》中的灰太狼和红太狼的一段对话，串起三道应用题，让一名同学戴上灰太狼的头套扮演灰太狼，一名同学戴上红太狼的头套扮演红太狼，每逢问题的呈现，两位同学就站起来学着灰太狼和红太狼的声调来对话，并引出问题，凡是答对问题的同学都能得到老师精心准备的奖品，结果全班同学学习积极性大增，纷纷举手要求发言，课堂气氛也非常热烈。请对该课例作出分析。
【案例分析】教学有法，教无定法，贵在得法。在新课标背景下，数学课堂教学设计总体应当具有以下步骤：创设问题情境；提供知识背景；暴露思维过程；培养数学能力；提高数学素养。
教学情境设计应当紧扣教学目标，切忌喧宾夺主，随意编造，应当贴近学生生活，切忌舍近求远，生搬硬套，应当讲究教学效益，切忌故弄玄虚，花里胡哨，应当根据实际需要，切忌乱用媒体，追求新潮，应当注意整体贯通，切忌有头无尾，穿鞋戴帽。
本节课以《喜羊羊与灰太狼》中的一些故事情节为线索，创设问题情境，在课堂上让几位学生装成灰太狼和红太狼，不时地表演喧染，这样会使学生的重心整节课都放在对故事的回味与想方设法表演上，不断地受到故事情境的影响和感染，情绪总是处于一种激动、亢奋的状态，学生的整体几乎都会被精彩、诱人的故事情境所吸引，而对课堂正在学习和探究的内容毫无兴趣和激情，从而对于课堂本该学习的内容和应该掌握的数学思想和方法的探究都将会被红太狼与灰太狼的对话和表演所取代。总之以《喜羊羊与灰太狼》中主角的对话和表演作为《用方程组解决问题》的情境，极易引发学生对于故事情节的想象，也将学生的思维主体移离课堂。因此，创设这样的问题情境，有悖新课标理念，不利于学生对于本课主要内容的学习和探究，不利于对学生学习兴趣的激发，问题意识的养成以及思维品质的优化。
课堂教学的本质就在于充分调动学生学习的积极性，主动性和创造性，就在于教会学生学习，提升学生的问题意识和思维水平。课堂上教师应当努力创造和谐、民主、愉悦的师生关系与学习情境，特别应当创设能够吸引学生主动学习、积极探究、合作交流的课堂情境，不要刻意追求问题情境形式上的优美，更应重视有利于本课新知探究与后续内容学习的问题情境，应当想方设法激起学生强烈的探究欲望和饱满的学习激情，重视对于学生积极探究新知的精神激励和鼓舞，多让学生带着浓厚的兴趣和极想解决的问题投身数学课堂，努力构建能够引领和促进学生自主学习的合作探究的课堂氛围。真正能够把学生的思维吸引到课堂上来，这样才会产生良好的课堂效果。
【案例二】（源自2013年习水县（初中）数学教师考学试卷）
有位老师复习《概率》一课时，上课开始，教师提问一位同学：“请你说一说，你在这堂上能被老师提问的概率是多少？”学生回答：“五十分之一。”（注：该班级共有50名学生）。听了学生的回答，教师说道：“很好，请坐下！这节课我们就来一起复习概率的有关知识。”请就教师的这一提问过程作出分析。
【案例分析】研究可能条件下的概率，必须通过多次的、反复的实验，往往才能大致判断某个事件发生的概率的大小。
课堂提问具有很强的人为因素和一定的偶然性。有时，老师为了深入了解某个同学对于所学相关知识的掌握情况，极有可能会对该同学多次、反复地提问或追问，而对一些成绩优秀、知识基础扎实的同学就有可能不去提问或者很少提问。课堂上的提问，老师还需考虑问题的难易程度以及所能涉及知识点的多寡，而分类别、分时段地加以提问。对于一些成绩基础薄弱的学生，可能就会设置一些简单、浅显的问题，通常不会提问难度较大的问题。班上现有50位同学，而在每堂课上，老师总会设计50个、100个等恰好是50的整数倍的问题来吗？其次，一堂课上如果问题的数量太多，极有可能对学生的思维产生前摄仰制与后摄抑制。而且问题过多，其质量也就难以保证，学生思考问题的时间就会受到限制，就会出现许多无意义、无价值甚至冲淡课堂重点的问题。
由此可见，如果每一位同学都被提问一次（仅限一次或都是相同的次数），则这位同学被提问的概率为50分之一或50分之n（n为自然数），其实这是不现实的。现实课堂上有可能有的同学会被多次提问，而有的同学甚至多数同学被提问的机会一次没有，这样，有一位同学被提问，其他同学未被提问，他被提问的概率就不等于50分之一。
【关键词】初中数学；案例教学；步骤分析
案例教学是初中数学教学课堂中经常运用的一种教学方法，而在初中数学教学中，采用案例分析，能够举一反三地分析与知识点相关的其他案例，也能够使案例中某些知识点的运用进行详细讲解，似与手把手教育学生运用知识点一样，使学生在案例教学中能够一步一步的追随教师的脚印，认真的学习知识，从而使学生的学习效率与教师的教学质量得到提高。
一、对初中数学案例教学的步骤分析
1.制定教学案例
在初中数学教学之初，教师应该有针对性的对案例进行教学备课，像对于初中数学而言，由于知识点较多，而且知识点之间都会有相应的联系，其中错综复杂的关系，致使教师在进行案例的教学备课时，应该选择一些简单的有针对性的案例来作为教学的主要内容，再对其知识点进行相对应的教学。比如，对一元一次函数进行教学，需要进行知识点的案例教学的有：一元一次函数的表示方法、变量之间的取值与其性质等知识点，对于这些知识点的教学，教师可以使用一个案例，把知识点归结于一个案例中进行教学。举一个具体的实例来看，像y=kx+b这样的一次函数，可以作为教师案例进行教学分析，一次函数的图像可以从k、b的正负值判断，同样的，此函数的值的范围，也可以通过这两个系数进行判断。相应的，通过对一元一次函数的案例分析，也可以对正比例函数、反比例函数与二元一次函数进行相对应的拓展性的教学分析，使教学案例得到充分的利用。教师不仅要在教学知识点之初，对知识点进行案例备课，在学生解题的过程中也需要对复杂的案例进行分析备课，因为学生在解题的过程中，不是简单对一个知识进行解答，而是对一些知识进行整体的运用，而这样的做题方式，常常使用在题目中，主要是考核学生是否能够灵活的运用数学知识，因此，教师应该对一些难度系数比较高的教学案例进行分析，而如何制定这些教学案例呢？教师应该选择一些学生常错的题型，或者是学生在做题时，常出现问题的地方，进行重点的案例教学，而这样针对班级中存在的数学问题，进行初中数学教学案例备课的方法，可以使学生一步步的进步。
2.对教学案例进行课堂讲解
对初中数学知识点进行课堂案例教学，无外乎听讲式的教学模式，还有视频教学。采用听讲式的教学方法，一直是使用于初中教学课堂中，但如果学生长期处在这样的教学模式下，学生的思维开始变得麻木，而采用视频教学就不一样了，采用视频教学不仅能激发学生的好奇心，也能吸引了学生的眼球，而且在教学的过程中，采用一些制作中的声音，能够及时敲醒学生短路的思维，使学生能够跟随教师的脚步走，在不知不觉中，深入案例教学中。同时，这样的教学方法，能够为教师教学带来不少便利，也能够带给学生不少便利，教师可以通过拷贝文件给学生，使学生能够随时随地的进行案例教学的听讲，加深学生对案例的映象，使视频教学中的案例教学能够充分的利用起来。
3.布置相应的案例题目
巩固与学习是教学中必不可少的步骤，教师在教学案例之后，对学生应该进行教学知识的巩固，最好的巩固方法就是给学生布置相应的作业。像在教学全角三角形的判定定理的时候，由于全角三角形在判定的过程中，需要运用三种判定定理，未免学生对这三种判定定理混淆，需要在平时的作业中，加强练习。同时教师在布置作业的时候，应该根据题目的难易程度进行均匀分配，最好是在学生对知识点熟练之后，给学生相应的布置几个扩展性的题目，让学生对知识点，进行深度的思考。
二、初中数学案例教学的意义
初中数学案例教学已经成为初中数学教学中的一个主打教学模式，因为在这样的教学模式下，教师的教学质量在不断的提升，学生的学习效率也在增高。而初中数学案例教学，主要存在于课堂教学与作业练习中，教师在视频课堂教学中使用案例教学时，既能够激发学生学习数学的兴趣，也能够方便教师进行有效的课堂纪律管理，学生在视频教学中，也是针对性的对某些案例进行巩固的学习，加深学生对知识点的映象，同时案例教学存在于作业练习中，使学生的数学思维能够在练习中得到巩固，因此，初中数学案例教学不管从什么方面，都是使教学质量在不断上升，由此可见，在初中数学教学中，使用案例教学的重要性。
结语
本文通过对初中数学案例教学步骤的分析，可以得出结论，案例教学存在于课堂教学中与课外教学中，使学生不管在课外还是课内，都能够通过案例教学学习到新的知识点，巩固新的知识点，同时在案例教学的不断深入中，不断培养学生的数学头脑，而且通过对初中数学案例教学的意义分析，也能得出初中数学案例教学的重要性，致使在初中数学教学中不能放弃对这种教学方法的使用。
【参考文献】
[1]朱利红.浅析初中数学课案例教学法优化运用[J].读与写•下旬刊，2016.
关键词：应用；初中数学；案例
初中数学是在学生已有的数学基础上进行进一步的拓展。此时的数学除了继续注重基础知识之外，还尤其注重对学生思维能力的培养。案例教学就是现在一种新型的教学方式，是指给学生一些案例阅读，让他们先对案例进行讨论和研究，之后在由教师进行引导，将案例中涉及的理论知识引申剖析出来。但案例教学之前主要应用于商学和法学这一类的学科上，要将其运用在数学上尤其是初中数学上有一定的难度性。因此，教师要把握住初中数学的特点，先选择合适的案例，之后在合适的时机用合适的方式将案例应用到教学中。本文主要探讨案例的选择和案例在课堂的运用。
一、案例的选择
教师在对案例进行选择时，首先要注重案例与理论的相关性。一个和理论没有任何关系的案例，不论它是多么精彩对于教学都是毫无作用的。因此，教师在选择案例的时候，要先对案例进行研究分析。最好还能对案例进行各种推论研究，这也对提高教师在课堂上对案例讨论结果的掌握能力，有助于教学的连贯性，也有助于教师帮助学生进行知识网络的构建。而且案例的选择最好具有实践性，这样才能够让学生更好地理解理论知识。当然，案例的选择最好还应带有一定的趣味性，能够提高学生的学习兴趣。如果能够找到的案列较多，教师还可以挑选一些具有叠进性的案例，有利于学生进行循序渐进的学习。人教版教材的一大特点就是附带很多案例，而且兼具趣味性、理论性和实践性，是很好的案例教学的材料。教师可以有选择性地拿去使用。以最新一版七年级上册有理数一章为例“填幻方”为例，教师在进行书上的例子前，可以要求学生先观察：下列这个三阶幻方（1）中，有哪些相等的关系？每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？之后进行书上案例的探讨学习。这样一来，书上案例的切入就不会显得突兀，而且有了此案例的引导，之后学习的连贯性、理论知识点的导入性就会强很多。
二、案例在课堂中的运用
（一）明确教学目的
教师要想案例教学能在课堂中有效地被运用，心中一定要有明确的教学目标，就那上文“填幻方”的案例来讲，教师在使用这个案例时一定要在心中明确使用这一案例的目的是为了教授学生有理数加减法，所以要将学生尽量往这一方面引导。如果教师不能明确教学目标，自然也就不能明确自己想要达到的教学效果，对课堂节奏的把握上也会大打折扣，这对提高课堂效率也会起到相反的作用。而且学生在经过多次讨论，如果教师在此时不能给出明确的目标方向，学生很容易偏离主干线，也达不到让学生通过讨论加深对知识的记忆，反而会让他们产生记忆的混乱。
（二）注重学生在课堂中的参与性
关键词：初中数学 教学案例
教学案例是教师在教学过程中，对教学的重点、难点、偶发事件、有意义的、典型的教学事例处理的过程、方法和具体的教学行为与艺术的记叙，以及对该个案记录的剖析、反思、总结。案例不仅记叙教学行为，还记录伴随行为而产生的思想，情感及灵感，反映教师在教学活动中遇到的问题、矛盾、困惑，以及由此而产生的想法、思路、对策等。它既有具体的情节，过程，真实感人，又从教育理论、教学方法、教学艺术的高度进行归纳、总结，悟出其中的育人真谛，予人以启迪。可以说，教学案例就是关于某个具体教学情景的故事，既有故事发生背景，又有故事发展情节。在叙述这个故事的同时，常常还发表一些自己的看法――点评。所以，一个好的案例，就是一个生动、真实的故事加上精彩的点评。
一、教学案例的特点
1、案例与论文的区别
从文体和表述方式上看，论文是以说理为目的，以议论为主；案例则以记录为目的，以记叙为主，兼有议论和说明。也就是说，案例是讲一个故事，是通过故事说明道理。
从写作的思路和思维方式来看，论文写作一般是一种演绎思维，思维的方式是从抽象到具体；案例写作是一种归纳思维，思维的方式是从具体到抽象。
2、案例与教案、教学设计的区别
教案和教学设计都是事先设想的教学思路，是对准备实施的教学措施的简要说明；教学案例则是对已经发生的教学过程的反映。一个写在教之前，一个写在教之后；一个是预期达到什么目标，一个是结果达到什么水平。教学设计不宜于交流，教学案例适宜于交流。
3、案例与教学实录的区别
案例与教学实录的体例比较接近，它们都是对教学情景的描述，但教学实录是有闻必录，而案例则是有所选择的，教学案例是根据目的和功能选择内容，并且必须有作者的反思（价值判断或理性思考）。
4、教学案例的特点是：
――真实性：案例必须是在课堂教学中真实发生的事件；
――典型性：必须是包括特殊情境和典型案例问题的故事；
――浓缩性：必须多角度地呈现问题，提供足够的信息；
――启发性：必须是经过研究，能够引起讨论，提供分析和反思。
二、数学案例的结构要素
从文章结构上看，数学案例一般包含以下几个基本的元素。
（1）背景。案例需要向读者交代故事发生的有关情况：时间、地点、人物、事情的起因等。如介绍一堂课，就有必要说明这堂课是在什么背景情况下上的，是一所重点学校还是普通学校，是一个重点班级还是普通班级，是有经验的优秀教师还是年青的新教师执教，是经过准备的“公开课”还是平时的“家常课”，等等。背景介绍并不需要面面俱到，重要的是说明故事的发生是否有什么特别的原因或条件。
（2）主题。案例要有一个主题：写案例首先要考虑我这个案例想反映什么问题，例如是想说明怎样转变学困生，还是强调怎样启发思维，或者是介绍如何组织小组讨论，或是观察学生的独立学习情况，等等。或者是一个什么样的数学任务解决过程和方法，在课程标准中数学任务认知水平的要求怎么样，在课堂教学中数学任务认知水平的发展怎么样等等。动笔前都要有一个比较明确的想法。比如学校开展研究性学习活动，不同的研究课题、研究小组、研究阶段，会面临不同的问题、情境、经历，都有自己的独特性。写作时应该从最有收获、最有启发的角度切入，选择并确立主题。
（3）情节。有了主题，写作时就不会有闻必录，而要是对原始材料进行筛选。首先需要教师对课堂教学中师生双方（外显的和内隐的）活动的清晰感知，然后是有针对性地向读者交代特定的内容，把关键性的细节写清楚。比如介绍教师如何指导学生掌握学习数学的方法，就要把学生怎么从“不会”到“会”的转折过程，要把学习发生发展过程的细节写清楚，要把教师观察到的学生学习行为，学习行为反映的学生思想、情感、态度写清楚，或者把小组合作学习的突出情况写清楚，或者把个别学生独立学习的典型行为写清楚。不能把“任务”布置了一番，把“方法”介绍了一番，说到“任务”的完成过程，说到“掌握”的程度就一笔带过了。
（4）结果。一般来说，教案和教学设计只有设想的措施而没有实施的结果，教学实录通常也只记录教学的过程而不介绍教学的效果；而案例则不仅要说明教学的思路、描述教学的过程，还要交代学生学习的结果，即这种教学措施的即时效果，包括学生的反映和教师的感受等。读者知道了结果，将有助于加深对整个过程的内涵的了解。
（5）反思。对于案例所反映的主题和内容，包括教育教学指导思想、过程、结果，对其利弊得失，作者要有一定的看法和分析。反思是在记叙基础上的议论，可以进一步揭示事件的意义和价值。比如同样是一个学困生转化的事例，我们可以从社会学、教育学、心理学、学习理论等不同的理论角度切入，揭示成功的原因和科学的规律。反思不一定是理论阐述，也可以是就事论事、有感而发，引起人的共鸣，给人以启发。
三、初中数学教学案例主题的选择
新课程理念下的初中数学教学案例，可从以下六方面选择主题：
（1）体现让学生动手实践、自主探究、合作交流的教学方式；
（2）体现教师帮助学生在自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验；
（3）体现让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，采用“问题情境――建立模型――解释、应用与拓展”的模式教学的成功经验；
（4）体现数学与信息技术整合的教学方法；
（5）体现教师在教学过程中的组织者、引导者与合作者的作用；
关键词： 初中数学教学变式理论 变易空间 变易维度
变式理论是我国数学教学传统的一项重要内容。在数学教学中使用变式教学是一种非常普遍非常频繁的现象，数学教师几乎没有不用变式进行教学的。然而，变式中“变”的含义是什么？为什么要“变”？为什么变式教学在数学学科中得以广泛应用？变式通常被用在数学教学的哪些方面？怎样在变式理论的指导下开辟变式教学的新渠道？这些方面的问题，可能有些老师不清楚，甚至未曾思考过，只是凭经验在使用变式教学。
我国的变式理论与瑞典著名教育家马飞龙（F.Marton）创立的变易理论十分相似，一脉相承。两者相比，只是变易理论的视野更开阔些，为变式理论的解读提供了依据，变式理论可视为变易理论的特殊情形。无论是变易理论，还是变式理论无不透露出这样一个理念，即对事物的认识也好，概念的获得也好，都涉及一个“变”字。这个“变”字指的是“无关特征或非本质特征的变化”。那么，为什么要“变”呢？因为“当一个现象或一个事件的某一方面发生改变，而另一方面或其他一些方面保持不变时，发生变化的方面将被识辨”。（Bowden & Marton语） 因此教学中给学生呈现变式对他们的学习至关重要，“教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面”，甚至提出“教学即变易空间的构建”理念。（F.Marton语）
数学学科中使用变式教学享有得天独厚的优势，原因是什么呢？那是因为数学中充满了“变”，研究的却是变化中的不变。变量与常量是数学中很重要的两个概念，变换是数学中非常重要的数学方法和思想，而不变量与不变性才是变换的本质特征。变式教学最终也是为了通过变化，让学生掌握变化中的不变。
我国传统意义上的变式教学，主要指概念性变式，目的是对概念的多角度理解，其次是习题教学中的一题多解，目的是解题的多样性。国内较早较系统地研究变式教学当属顾泠沅教授领导的青浦数学教改实验小组，他们进行了长达15年卓有成效的研究（1977―1992年）。顾教授依据数学对象的两重性（结构性与过程性）将变式划分为概念性变式与过程性变式，是变式理论的一次突破性进展。其中过程性变式，就是对给定的概念或规则的形成性变式、操作性变式，主要的目的当然不再仅仅是加深对该概念或规则的理解，而是诱发或促进新概念或规则的产生。
在新课程改革的背景下，怎样与时俱进，将变式理论这一传统发扬光大，使之焕发勃勃生机，大面积提高教学质量呢？我结合具体的数学教学实例，谈谈如何创造性开展变式教学。
【案例1】三角形中位线情境导入片断［苏教版八（上）教材］
新课程改革背景下的数学课堂基本模式是“问题情境―建立模型―解释、应用与拓展”。其中设置恰当的问题情境则是学生有效探究的必备条件。许多研究表明，每一个学生都有自己的情境，而课本中设置的问题情境仅适合一般水平学生。
变式一：主要提供给平时成绩最差的一类学生，属于准现实情境。
问题1：如图是按照某种方式堆放的木头，请在观察的基础上先完成下表。
问题2：图（1）中3是2、3、4的中位数，图（2）中4是3、4、5的中位数，图（3）中5是3、4、5、6、7的中位数。（注：铜山区已连续两年调整教学顺序，本章节内容是放在第六章数据的集中程度之后教学的）根据你对中位数的理解请在下列图中画出梯形中位线EF。
根据上表中的数量关系，请你猜测梯形的中位线EF和上底AB、CD的关系（数量关系和位置关系）。
问题3：若上述问题中，点A、D按照图示的方向运动成三角形（如图）。
（1）根据你的理解，请画出三角形的中位线EF。
（2）请你猜测中位线EF和BC的关系（数量关系和位置关系），并验证。
设置这一情境，从规则堆放木头梯形三角形，逐步引导学生形成对情境意图的觉察。
范式：即课本上提供的问题情境，主要提供给成绩中等的一类学生，属于准数学化情境。
问题1：下图是一张三角形纸片。请在三角形上剪一刀，使之分成的两块正好拼成一个平行四边形。（注：这里综合了两类不同范畴的元素，一类是生活化的：纸片与剪刀，另一类是数学化的：三角形和平行四边形，故称之为准数学化的问题。）
（2）若上图中剪下的位置，我们称之为三角形中位线，一个三角形有几条中位线？
（3）你能通过图形给出三角形中位线的定义吗？
问题2：通过观察，你能发现中位线和第三边的关系吗？（包括位置关系和数量关系），请求证你的发现。
设置这一情境，借助剪拼，学生经历了三角形平行四边形三角形中位线情境序列，学生受剪拼的启发会作出辅助线求证三角形中位线的性质。
变式二：设置的问题情境来自数学内容中，是抽象了的情境，主要提供给成绩优秀的一类学生，属于数学化情境。
问题1：依据例1题目改编，如图，在任意四边形ABCD中，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,并依次连接起来。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
当学生解决问题1遇到困难时，建议先尝试解决下面的问题2。
问题2：类似于范式问题，这里不再赘述。学生再借助三角形的性质，连接AC、BD构造三角形解决问题。
这一情境从中点四边形的形状三角形中位线的性质。设置这一情境，对于认识水平较高的学生具有挑战性，能激发起学生探究的冲动。
本案例力求根据认知水平低、中、高设置不同层次的情境，即准现实情境、准现实情境、数学化情境，实施分层教学使不同类型的学生从不同起点开始自己有效的探究历程。
【案例2】直接开平方法的教学片断［苏科版九（上）教材］
第一层次：研究范式方程x=2，并且命名为“直接开平方法”。接着，引导学生分析这个范式方程的特点：等号左边是未知数的平方，右边是大于0的数。
第二层次：研究变式1
这三道题要用直接开平方法就需经过移项、合并同类项、二次项系数化为1将方程变形。
第三层次：研究变式2
这三道题要用直接开平方法，就需用整体思想或换元法进行转化。例如方程：先设①A=x+1,求得A=±7,再用x+1=±7求解。
第四层次：研究变式3
相对于“范式”方程，变式1需经过变形转化。变式2中底数除未知数外还有其他数字，需搭建“换元”这个桥梁。变式3中，一是未知数的平方等于0，另一是未知数的平方小于0，而“范式”方程则是未知数的平方大于0。上述教学片断通过变式较好地涵盖了一元二次方程用直接开平方法求解的各种情形，使学生对直接开平方法的适用范围有一个较全面较深入的认识。经历了这样的变式学习，学生的类比、迁移能力将会得到提升，就能较好地解决学完了例题仍不能解决与例题稍有偏差的习题这一普遍存在的问题。
【案例3】一道基本几何题的变式［苏科版七（上）教材］
学生在独立解决问题时表达出来的思路狭窄、应变能力差，往往与教师讲解时习惯于就题论题，缺少变式、缺失拓展不无关联。下面以一道基本几何题谈如何变式。
基本题：如图（1），在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数。
变式1：如图（2），在ABC中，∠ABC,∠ACB的两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于O点，∠A＝40°， 求∠BOC’的度数。
变式2：如图（3），在ABC中，∠ABC内角，∠ACB的一个外角、∠ACD的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠B0C’度数。
变式3：由图（1）、（2）可发现∠BOC与∠BOC’之间有怎样的数量关系，
若∠A＝100°，图（1）、（2）中∠BOC与∠BOC’之间还有这样的关系吗？若∠A＝n°呢？为什么？
变式4：由图（1）(3)可发现∠BOC与∠BOC’之间有怎样的数量关系，若∠A＝100°，图（1）（2）中∠BOC与∠BO’C之间有怎样的数量关系，若∠A＝100°呢？若∠A＝n°呢？为什么？
这道几何题变易空间的构建方法如下：
变易维度1：
两条角平分线的夹角（1）两条内角平分线的夹角度数（2）两外角平分线的夹角度数（3）一条内角平分线、一条外角平分线的夹角的度数
变易维度2：
探索两夹角关系时∠A的度数（1）特殊值40°、100°（2）一般值n°
在学生认知能力可及的情况下，教师要有目的、有计划地对习题变通，构建变易空间，使学生从不同角度、不同层次、不同背景下重新认识数学问题，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的规律，帮助学生融会贯通所学的知识，帮助学生把能力、思想引向纵深。
变式理论内容丰富，实施途径形式多样。本文仅是我对变式理论及变式教学实践的粗浅认识，有待进一步深入、进一步完善。
参考文献：
［1］郑毓信.中国学习者的悖论，2001.
［2］徐汝成.马登理论及其对数学教学的启示，2002.
［3］鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究，2003.
［4］聂必凯.数学变式教学的探索性研究，2004.
［5］王静.变易理论教学研究，2006.
关键词：初中数学；情景教学；教学模式；案例反思；教学思考
一、初中数学问题情景式教学存在的问题反思
近十年来情景教学的教学理念和教学模式，在初中数学的教学课堂上得到了广泛的应用，同时也取得了显著的成效和良好的反响。然而，情景式的数学问题在创设上还存在着一定的问题，需要广大初中数学的教职工作者们反思，并在具体的情景式数学问题的方面进行改进。
（一）情景式数学问题的创设与教学目标相脱离
首先，部分初中数学教职工作者在创设情景式数学问题的过程中，往往忽视了教学问题与教学目标的统一性。情景式数学问题的创设，需要以最终的教学目的为出发点和归宿，引导学生向着教学目标上进行思考，使课堂上学生们的思考方向始终在正确的大方向上。一旦情景式数学问题与实际的教学目标相脱离，那么不仅很难在初中数学的教学课堂上缺乏预期的效果，还会影响正常的教学进度。譬如，在学习多边形的课程，如果所构建的情景式问题目的性和针对性不强，缺乏对学生思维方向的引导，就容易导致学生们过度的发散思维，一节数学课后学生收效甚微。
（二）情景式数学问题的创设与实际生活相脱离
其次，部分初中数学教职工作者在创设情景式数学问题的过程中，往往忽视了教学问题与实际生活的统一性。数学作为一门对逻辑性、思维性要求较高的学科，数学问题往往比较抽象；同时数学也是一门源自生活、应用于生活的学科，与生活实际的联系在理论上相对紧密。因此，情景式的教学问题的创设与实际生活的联系就显得尤为重要。与生活实际相关联的数学问题，可以让抽象的数学知识更有立体感和画面感，更容易对学生产生启迪，增强课堂的生动性。一旦数学问题与生活实例相脱离，那么学生对数学的理解就会形而上。譬如，在学习解方程的课程单元上，情境式的教学问题和生活的联系就显得十分的重要。
（三）情景式笛问题的创设缺乏情感性
最后，部分初中数学教职工作者在创设情景式数学问题的过程中，往往忽视了教学问题与情感融入的统一课堂。在部分初中数学的课堂学习上，部分教职工作者所创设的情景式数学问题往往过于苍白，缺乏情感的融入，导致感染力不强，很难引导学生们的思维融入既定的情境中。根据部分地区对初中学生数学课堂学习的情况调查显示，情感在数学问题的融入是学生们对数学知识接受程度的重要影响因素之一。这就要求广大教职工作者在创设初中数学问题的过程中，注重融入情感因素，使初中课堂更为生动和鲜活，改变传统初中数学课堂中枯燥、乏味的学习氛围。
二、初中数学问题情景式教学的实践性思考
所谓实践是检验真理的唯一标准，情景式数学问题的创设是否可行、是否科学、是否合理，在课堂的具体实践中可以得到良好的检验和反馈。因而，广大初中数学教职工作者在对情景式数学问题的创设上，应注意对其实践性的思考。
（一）确定教学目标，切入相关课题
如题，初中数学情景式问答的构建要注重问题的实践性。情景式初中数学教学问题的构建，首先要确立正确的教学目标，这样才能够使接下来的课题设计按照预期的教学成果操作。笔者将结合自身在初中数学教学课堂上的具体实践经验，讲述如何构建有实践性的初中数学情景式问题。以学习方程为例，首要的教学目标是通过情景式教学问题，引导学生理解字母与数字之间的关系，进而体会建模思想，让学生在具体的问题中体会数理知识。
（二）构建情景问题，创设实践情景
在掌握了教学目标的基础上，接下来就是情景式初中数学问题的构建。顾名思义，情境性的数学问题需要在一定的情境中进行构建，因而广大初中数学教职工作者应该注重初中数学问题情景式教学的实践性，这就对实践情景的构建提出了一定的要求。根据新课程标准理念的指导，问题情景应联系实际生活，并与具体的教学目标相结合，这样才能够更好地启迪学生，让学生在具体的生活时间情境下，加强对数学知识的学习和理解，最终达到甚至超过预期设想的教学成效。
（三）案例描述
本次案例的教学目标在上文已有提及，因而就不再过多的赘述。案例所应用的模式，既是情境性的教学问答，偏重初中数学问题和学生生活实践的联系，锻炼学生的发散性思维和实践能力，提高学生对梳理知识的掌握程度以及学生对数学同生活实践之间的关联的理解；其次本次案例注重培养学生在生活实践中，自主探究数学规律的能力，从抽象到具体，再从具体到抽象的过程，最后没问次案例描述的是初中数学课堂上的情景式数学问题，是本人多年来从事初中数学的经验成果，如果存在着不足与需要改进的地方，欢迎读者的指正。
（四）问题设计
教师问题：相信大家都熟知从A到Z合共26个字母的读写，接下来在我们对函数知识的学习中，也将应用到这些字母。这些字母在初中数学知识体系中发挥巨大的作用，下面请问各位同学，你们知道它们除了自身的本意外，在生活事件中还有哪些意义象征么？
学生活动：通常情况下学生的发言不会踊跃，陷入沉思这时教职工作者们将情景问题抛出，引导学生思考的最佳时机。
教师问题：下面请大家看投影仪（条件允许的情况下也可用黑板或者教师宣讲的形式代替）上的题目，思考一下这些字母字在生活中的具体含义。
（1）M和N周末去新华书店阅读《小S励志故事》，请问该教学情境中，请问这里M、N、S的所代表的是（ ）
（2）我国医疗卫生事业多年来取得了巨大的发展和突破，A病毒和B病毒得到了有效地控制，请问这里A和B所代表的是
（ ）
（3）游乐场中新增添了A项目、B项目和C项目，在三种项目中，B项目收到了大量学生的支持，这里A、B、C所代表的（ ）
（4）六一儿童节到了，大量小朋友在家长的陪同下前往KFC就餐，这里的KFC所代表的是（ ）
学生活动：通常情况下学生会踊跃的发言，教师可以对回答正确的同学进行表扬，对回答错误的同学进行鼓励，正确答案分别是：（1）人物名称；（2）病毒名称；（3）游戏项目名称；（4）游戏项目名称。
设计成果：通过学生们所熟知的生活实践情景的代入，可以让问题更通俗易懂，也可以引导学生更好地按照教学思路思考，最终为学习方程夯实基础。
三、初中数学问题情景式教学的趣味性思考
趣味性是情景式初中数学问题构建所必须要考虑的因素之一，据调查显示，很多学生认为数学史枯燥的、抽象的、乏味的。如果教职工作者所构建的情景教学问题缺乏趣味性，那么很难调动起学生们学习的积极性们甚至产生负面的效果，这是广大教职工作者们需要思考的。
（一）确定教学目标，切入相关课题
同样的，初中数学情景式问答的构建要注重问题的趣味性。如上文所述数学教学问题的构建，首先要确立正确的教学目标，这样才能够使接下来的课题设计按照预期的教学成果进行操作。在趣味性的情景教学问题的构建上，笔者将以多边形为例进行论述。用趣味性的情景式教学问题引导学生学习多边形，首要的教学目标是通过情境式教学问题的构建，引导学生区别不同图形之间的区别和联系，进而融会贯通，让学生在不同的请教教学中感受数学的魅力。
（二）构建情境问题，创设趣味情景
其次，是情景式初中数学问题的构建。如，上文所述情境性的数学问题需要在一定的情境中进行构建，因而广大初中数学教职工作者应该注重初中数学问题情境式教学的实践性，这就对实践情境的构建提出了一定的要求。根据新课程标准理念的指导，问题情景应联系实际生活，并与具体的教学目标相结合，这样才能够更好地启迪学生，让学生在具体的生活情境，加强对数学知识的学习和理解，最终达到甚至超过预期设想的教学成效。
（三）案例描述
多边形这一学习单元学习的内容所学习的知识相对较多，是对学生逻辑思维与绘图能力的双向考察。如果单出的向学生灌输知识，不利于学生通过课堂上有限的学习时间掌握全部内容，这时情境式教学问题的构建将会为学生学习多边形知识提供巨大的帮助。
（四）问题设计
教师问题：今天我们将学习多变性这一章节，请同学们分成若干个小组，准备好的剪刀和彩色纸和我一同操作。
学生活动：通常情况下学生们自发的在小组中选出小组长，向不同的同学分配只做任务，同学们对手工制作普遍具有浓烈的兴趣，学生的学习热情得到充分的激发。红色彩纸的同学制作正方形，蓝色彩纸的同学制作三角形，黄色彩纸的同学制作题型。
教师问题：各个小组的同学比对蓝色、红色和黄色三种彩纸剪出的形状的差异和关联，各组小组长统一汇报。
学生活动：小组长发言汇报：（1）三角形有三条边，正方形有四条边，梯形有四条边；（2）三角形是正房面积的一半，两个三角形和一个正方形可以组成一个梯形。
设计成果：趣味性的情境问题的设立，既可以锻炼学生们的团体协作能力，又可以锻炼学生们的动手操作能力，同时趣味性的问题也可以持续为课堂带来愉快。
设情境式的数学教学问题，可以为学生带来愉快的视听享受，也可以帮助学生更好地理解抽象的数学知识。当然情境式的数学教学问题的构建还有许多需要思考的因素，需要在实践的探究中不断完善和改进。
参考文献：
关键词： 初中数学教学 问题案例 学习能力
“教是为了不教”，教师教学活动的根本目的在于教会学生学习的技能，培养学生良好的学习能力.学习能力培养，是新课改下初中数学学科教育教学的“目标”和“核心”，是初中数学有效教学活动开展的出发点和落脚点.新实施的初中数学课程标准指出：“坚持‘以生为本’教学理念，创设适宜的教学情境，要重视学生探究能力，创新思维能力，以及互助合作能力等学习能力的培养和发展.”由此可见，学生学习能力培养，已成为新课改下初中数学有效教学的重要任务和要求之一，也成为衡量教师课堂教学效能的重要标尺之一.问题案例作为初中数学学科知识内涵及其内在联系的生动概括，自然也承担新课改能力培养的要求和任务.通过对问题教学活动的分析，可以发现，问题案例已成为锻炼和培养学生良好学习能力水平的重要载体和途径之一.广大初中学生在观察问题、分析问题、解答问题的进程中，探究、实践、创新等方面的学习能力得到了有效的锻炼和培养，问题案例的能力培养功效已经充分显示.下面我结合近年来在问题案例教学活动的实践体会，对如何培养初中生的学习能力进行阐述.
一、让初中生在感知问题案例生动特性过程中，树立自主学习情感。
自主学习情感是学生良好学习情感的重要内涵和外在表现.初中生处在青春发展期，其心理和心理发展上，具有显著的特殊性，既有能动的积极情感，又有畏惧的消极情态.而教师作为教学活动的“总策划”，具有引导和指导作用.问题案例作为数学学科内涵要义的外在表现和生动展示，自然也具有数学学科的丰富情感“要素”.因此，初中数学教师在问题教学活动中，要善于挖掘数学学科的生动情感因素，通过设置现实生活问题、趣味数学问题等手段，将学生的“注意力”引导到探析问题案例中，对初中生的情感进行有效激发，从内心树立自主学习情感.如在问题案例教学活动中，教师要有意识地设置一些生活性的问题案例，让学生感受“数学源于生活，服务于生活”的显著特性，激起学生探析问题的积极情感，使其树立积极向上、主动能动的学习情感.
二、让初中生在探析问题案例策略过程中，提高探究实践能力。
问题：如图，已知：平行四边形 ABCD中，∠BCD的平分线CF交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G，.求证：AE=DG.
学生组成合作学习小组，在探析问题条件及关系基础上，认为该问题解答是需要运用平行四边形的性质及三角形的相关性质内容.
学生解题过程如下：
证明：四边形ABCD是平行四边形（已知）
AD∥BC，AB=CD（平行四边形的对边平行，对边相等）
∠GBC=∠BGA，∠BCE=∠CED（两直线平行，内错角相等）
又BG平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知）
∠ABG=∠GBC，∠BCE=∠ECD（角平分线定义）
∠ABG=∠GBA，∠ECD=∠CED
AB=AG，CE=DE（在同一个三角形中，等角对等边）
AG=DE
AG-EG=DE-EG，即AE=DG.
教师引导学生根据探析的解题方法及解题过程进行总结归纳，总结出该问题类型的解题策略为：“抓住平行四边形性质，构建等量关系，进行等量替换.”
以上问题教学过程中，教师将问题解答的过程变为学生探析实践过程，通过学生的自主实践的“探”和教师的有的放矢的“导”，实现教学合一、教学相长，既提高了初中生的探究能力，又提高了问题解答的效能.由此可见，初中数学教师在问题案例教学中，不能“直接灌输”解题策略，而应让学生经历“直接经验”获取的过程，成为问题探析的“主人”，让学生通过探析手段获取解题策略和方法，实现“真理”在实践探究中“获取”，能力在实践探究中提高.
三、让初中生在找寻多样解题途径过程中，提高创新思维能力。
教学活动中，经常出现同一知识点内容，可以通过不同问题案例进行有效展现，同一数学问题可以采用不同的解题策略和方法.数学问题的发散性特征，为锻炼和提高学生思维的灵活性、全面性和灵活性提供了有效载体和平台.加之新课改下，创新思维能力是初中生必须具备的三大学习能力之一.因此，教师可以将发散性数学问题作为创新思维能力培养的重要抓手，设置一题多解、一题多变或一题多问的开放性数学问题，鼓励学生从不同角度、不同途径进行问题有效解答，提高思维活动的灵活性、严密性.
如在“已知一次函数的图像经过点（1，5），（-2，-3），求此函数的解析式.”问题案例教学活动中，学生通过该问题案例的解析认识到“一次函数与二元一次方程组”之间的深刻联系.此时，教师根据“一次函数与二元一次方程组”之间的深刻联系设计了“已知方程组y-2x+3=02y+3x-6=0的解为x=■y=1，则一次函数y=3x-3与y=-■x+3的交点P的坐标是多少？”、“过x轴上的点C（3，0）作y轴的平行线CB交一次函数y=kx+4的图像于点B，若x轴、y轴，线段CB与一次函数的图像围成梯形的面积为9，求这个一次函数的解析式.”等不同形式、不同要求的一题多变的问题案例，让学生进行巩固练习活动.学生在解答这些发散性问题案例过程中，对一次函数与二元一次方程组之间的问题案例解答的方法和策略有了深刻理解和灵活运用，有助于思维创新能力的发展.
四、让初中生在辨析评判解题活动过程中，强化反思辨析能力
关键词：新课程 初中数学教学 案例研究 解题
中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.194
案例教学以其丰富性和实际性以及对学生掌握课堂内容的重要作用受到教育界和广大教师的亲睐，并被越来越多地应用于各级各科的课堂教学中，收到了良好的成效，提高了课堂教学整体水平。初中数学因为其学科本身的较强理论性和抽象性，更需要案例教学通过提高教师教学示范性和数学理论应用性来帮助学生更好地掌握课堂内容。
1 初中数学教学案例研究的意义和价值
初中数学教学案例，就是生活中的某个情景所包含的一个或某个疑难问题需要以初中数学课堂上的某一个或者某几个理论来解决的案例。初中数学教学案例一般由学校管理者和初中数学教师从自身的角度出发进行设计和描述，初中学生按照学校或教师设定好的方案解决相关问题，从而学习、掌握和巩固课堂内需要学生当堂掌握的重要内容。教师通过引入案例、讲解基本理论、利用基本理论解决案例包含问题的基本案例教学步骤，可以培养学生发现问题、分析问题和解决问题的逻辑思维和理论应用于实践的素质和能力，也能够促进素质教育示范性教学的落实，促进改革课堂教学背景下科学有效课堂教学策略的有效实践。[1]
2 初中数学教学案例研究方法及案例类别
按照案例的制作方式、设计内容以及不同案例比较方式的不同，案例研究包含很多方法。按照案例形式、内容的不同可以将案例分为不同的类别。
2.1 初中数学教学案例研究方法
按照不同的分类标准，案例研究方法可以有不同的类型。按照案例制作方式的不同，案例研究包括课堂实录与分析点评方式、访谈问卷调查与统计分析方式、定性分析与定量分析相结合的方式、理论与实践相结合的方式；按照案例设计内容的不同，可以分为概念教学、定理法则教学、数学知识应用教学、专题教学、综合实践教学等多种方式；按照案例研究对比方式的不同，可以分为设计同一内容的不同案例比较的同课异构和对同一案例进行不同比较和研究的同课同构两种模式。由多位初中数学教师对初中数学教学某一理论或某一环节案例采用不同方式进行设计和研究就是同课同构模式。
2.2 初中数学教学案例类别
数学教学案例应用于我国初中数学课堂教学不久，因此在我国的研究还不够全面，对其分类尚没有确定的标准。按照案例形式的不同，数学教学案例可分为描述性案例和可视案例两种。所谓描述性案例，是将数学教学的某一环节或过程描述成相关的文章，可视案例是指将某一理论或数学专题的名师教学案例制作成音像制品，以便更好地传播和应用。按照其内容不同，可以将数学案例大致分为片段案例和完整课型案例两类。顾名思义，片段案例是指关于某一教学情境或环节的案例，包括情境引入、问题解决、思维发展、合作交流和课外活动等多种类型；完整课型案例是就某一数学专题的完整教学内容，包括概念、复习、应用、探究等多种课型。应用课型方面又因为涉及内容的不同分为公式法则应用、实际问题应用两种；探究型课型包括数学知识探究、解题方法探究以及实践应用探究等。[2]
3 初中数学教学案例制作要求
3.1 案例制作的基本步骤
案例制作包括案例主题或案例背景、情景描述、问题讨论、诠释与研究、案例分析点评等基本步骤。具体来讲，主题既包括当堂数学课堂教学的相关内容，还包括一定的教育主题和教育思想。主题是案例制作的立足点和出发点，背景是引入课堂教学的学生学习状况和学教冲突。作为初中数学教学的重要案例必须具有一定的主题，也必须考虑相关背景；情景描述是对说明问题实质的具体教学过程的描述，要求明确、详细、客观、详略得当，具有示范功能；问题讨论主要是案例作者通过比较过去教学与当前教学的异同阐述某一问题的认识过程。比较需要详实、可信。诠释与研究是指把一把数学问题升华为教育思想和教育理论，并通过研究和反思得出更高、更深、更丰富的数学见解，以现代数学理论和语言概括和诠释所得理论的过程。这一过程是案例教学产生作用的重要环节，也是案例教学的精髓。案例分析点评是案例教学的关键环节，主要是对案例中的教学方法特点阐述、与传统教学相比优劣比较分析以及对通过案例得出的新见解进行证明和总结。[5]
3.2 初中数学教学案例举例
3.2.1 案例主题与背景
平行线的性质。希望学生通过本节学习掌握平行线性质相关定理，并能应用定理进行证明和解题，让学生在观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括、证明中形成数形结合的数学思想，提高建模能力和探索精神，使学生在亲自参与研究的过程中提高学习热情和学习数学的兴趣。
3.2.2 情景描述
本内容的学习采用“引导发现”和“动像探索”两种方法，应用多媒体课件和三角板、量角器等学具，通过屏幕投影进行展示和讲解。[4]
3.2.3 问题讨论
通过数形结合，对平行线性质进行探讨，并得出结论。要求学生动手，任意画两条平行线，并画一条与两条平行线相交的截线，引导学生寻找同位角并通过运用量角器进行度量，学生通过度量得出“两条线平行，同位角相等”的结论，教师运用《几何画板》课件验证学生的猜想。以同样的方法引导学生得出平行线的另外两条重要性质。
3.2.4 诠释与研究
教师总结平行线性质：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；两条直线被第三条直线所截，内错角相等；两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
参考文献：
[1]徐素娟.初中数学新课程的实施与思考[J].希望月报（上半月），2007，（2）.
[2]钟振权.数学新课程中初中数学学习方法指导[J].当代教育论坛（教学版），2010，（3）.
[3]王炼.基于新课程的初中数学课堂特征的案例研究[D].重庆师范大学，2012.
