一、在引入概念的过程中培养学生思维能力
概念教学就其内容而言学生常常觉得枯燥而不感兴趣。这样,在教学中如何运用恰当的教学手段巧妙而自然地引入概念就显得十分重要。一是可以运用直观教具引入新概念。由于小学生以具体形象思维为主,因此我在实际教学中常常运用直观教具来引入新概念,特别是学习几何知识中的有关概念时这种引入方法更为有效。如:在教学“三角形的稳定性”时,我用木条制作一个三角形,通过直观演示使学生自然而然地体会出了“三角形的稳定性”。运用直观教具引入新概念,不但有利于培养学生观察、分析、解决问题的能力,同时对培养学生的抽象思维也大有益处。二是可以利用已知概念引入新概念。以旧引新是数学教学中一贯倡导的原则,在教学新概念时同样可以采用以旧引新的方法。如:教学“乘法交换律”时,在加法交换律的基础上,可以运用加法交换律的特征直观引入乘法交换律的特征并讲情二者的区别。
另外,不能是单纯地让学生死记硬背概念的内容,应把重点放在使学生理解概念的内涵和外延上,这对于学生思维能力的培养是十分有益的。所谓概念的内涵,就是指该概念反映的客观事物的本质属性;所谓概念的外延,就是指该概念所反映的客观事物的一切属性,也可以说是概念的适用范围,。如:锐角的概念,,它的内涵是“小于90°”这个本质属性,它的的外延是5°角、15°角、89°角……都是锐角。
二、在理解概念的过程中培养学生思维能力
从2009至2013年，江西卷的现代文考查形式为：2013年“病毒”；2012年“联觉”；2011年《文化时间》；2010年“竞技庆典”；2009年“诗人的想象”；它们皆属于科普说明文，以单选（3题）的形式出现。
二、考点设置
在考查考生能力和考点设置上，近3年的分布比例为2:1的模式，（即“理解”2道，“分析综合”1道，2012年以此类推），2010年1:2的比例和2009年出现的2:2的比例（即“理解”1道，“分析综合”1道，“理解”与“分析综合”混合考查1道）。相较而言，可以说近年来，此类命题对学生“理解”能力的考查与培养的力度有所加大。（“理解”指1.理解文中重要概念的含义2.理解文中重要句子的含义；“分析综合”指1.筛选并整合文中的信息2.分析文意结构，把握文章思路3.归纳内容要点，概括中心意思4.分析概括作者在文中的观点含义。）
三、答题技巧
综合起来看，在考查考生“理解”能力的时候，主要要求学生做到准确定位、细心甄别，“分析综合”能力要求考生做到筛选整合、理顺文脉、理解文意、概括中心。把握住了命题人对于这类题型经常采用的“招数”，便是掌握了答题的技巧。以下是根据江西卷所归纳出的答题技巧，可归纳为六个切忌：
一忌丢三落四（指给定的选项只属于文中内容的一部分，常见为丢下了概念前提、特定环境等限制性条件。）二忌以偏概全（指给定选项中的概念较文中内容而言，将部分视为全部、特殊视为普遍等现象，相反亦是。）三忌说无成有（指给定选项中的概念在文中并没有提及，或指文中有提及但与内容不符。）四忌相反颠倒（指给定选项中的内容与文中内容相反，出现因果倒置、“你”“我”互换等颠倒现象。）五忌偷换概念（指给定选项中的概念在文中存在，只是选项中的某个词或句子被换做了别的概念。）六忌生拉硬套（指给定选项中将“貌似”的概念套用过来当做问题所问的答案。多用于“分析综合”题。）
建议考生在阅读文本的时候，尽量的概括各段的大意，以便在答题时快速定位。在答题时，锁定句子之后考生要逐字逐句比对，防止片字之差导致截然相反的答案。另外，做阅读一定要仔细审题，切忌“看一题，答一题”，要懂得全篇审题，探究题与题之间得暗示。部分考生做阅读题喜欢不看文章就直接看题目，然后针对题目来在文章中找答案，这样做由于没有对文章的整体感情基调，作者意图有一个宏观的把握，使作答往往是片面的，文章中的很多暗示根本就看不到，这也是失分的根源。
四、复习策略
首先，握命题规律。其次，题海战术。初步训练，求精不求快，服盲目作题的作题方法，要对题干有一个理性的把握。在平时的复习中要做到“三读”。第一遍“通读”，在这一遍中先通读全文，划出不认识的字和不懂的句子以及感觉表情达意重要的语言，章法和有特色的句子，获取对文章的一个整体感觉。第二遍“逐段阅读”，在这一遍中要理清层次主体，对每一段都可以提炼出一个意思，将段意概括出来，提炼出主题的感情基调。在结合前两读的基础上“三读”，这一遍中，因为在前两读中已经对文章有了整体的把握，所以考题都在能够理解的范围之内，只有个别的题目稍加分析即可得出准确答案，由此培养答题思路及语感。最后，模拟考试，熟能生巧。
五、反思
“授之以鱼不如授之以渔”，如何让考生在现代文阅读题上做到稳操胜券，避免出现全军覆没的现象？在我看来，最好的办法是让考生尝试着“换位思考”，这里的换位思考指的是考生站在命题人的角度去思考如何命题，当考生掌握了命题的套路，探索明白了命题的规律，选择出正确的答案便容易了许多。在这种情况下再去采用题海战术，选择好文、良文让考生在亲身实践中验证规律的有效性，打开现代文阅读题大门的金钥匙自然会掌握在考生手中。恰如“掘井溯源”，把握了源头自会泉涌不断。
【关键词】中学数学教学创新思维学生
中学数学教材所呈现给学生的是“概念定理例题习题”模式,是具有确切的概念、最少的公理和经过严谨的论证方法加工的纯数学系统,而对数学中基本概念的产生、形成、发展直至完善是如何走过来的,数学定理的发现、证明思路的猜测和证明方法的尝试等思维活动是如何进行的,因种种局限谈及不多,可这些往往是最能够引发学生学习兴趣,促进学生探索发现和发展学生思维的重要环节,是中学数学教学不可忽视的。要发展学生的思维能力,教师必须精心重组教学内容,充分暴露数学思维活动过程,以“有待建立的形式”为学生创设问题情景,设计一条“再发现”的道路去探索和发现事物变化的起因与内在联系,引起学生的认知冲突和构建,激发起学生的探究思维。
暴露数学思维过程,就是要暴露数学概念、性质、法则、公式、公理、定理提出的过程,暴露解题、证题思路探索的过程,暴露数学知识应用的过程,暴露数学知识结构的建立、推广和发展的历史过程。
一、数学概念的教学
要重视概念引入的必要性。引入概念教学时,可以从实际问题出发,对感性材料进行深刻分析,逐步概括抽象出概念来;或者是通过所学概念与学生认知结构中的某个适当概念实现同化来学习概念。如能结合生产和社会实践,甚至结合数学史去讲解,将对培养创造性思维起到促进作用。比如,为什么有理数域要扩充到实数域,再要扩充到复数域,为什么是这样的扩充办法,这样做的合理性在什么地方,又是怎样想出来的,经历了哪些主要坎坷,对数学的发展起了什么作用等。这样教学,使概念教学不仅解决“是什么”的问题,还要解决“是怎样想到”的问题,以及这个概念对以后建立、发展理论所发挥的作用的问题,把概念的来龙去脉和历史背景弄清楚,从而深刻理解数学概念。
二、数学定理的教学
在数学定理的教学中,应遵循“寻求、发现、推证、运用”的思维过程进行教学。(1)寻求。教师创设教学铺垫,在分析新旧知识间的本质联系与区别的基础上,确定同化(顺应)模式,安排猜想寻求过程,在关键步骤上放手让学生猜想寻求,给出定理的条件,或编制一些变换结论,缺少条件的“藏头露尾”的题目,让学生通过分析寻求一些结论,寻求解题的方向,寻求由特殊到一般的可能,寻求知识间的有机联系。(2)发现。对寻求的结论用特殊的值去验证,看结论与实际是否吻合,发现特殊性的问题。(3)推证。当实践的结果与寻求的结论符合时,想办法从理论上用自己前面学过的知识把结论推证出来,得出符合一般性的定理。(4)运用。把定理运用具体的解题当中,再次加深对定理的理解。
如在等腰三角形有关重要线段定理教学时,引导学生在定理的条件(结论)不变时对结论(条件)从不同的角度去猜想寻求,发掘出定理的纵横联系,强化学生对定理的理解。命题“(A1)等腰三角形两底角平分线的交点,(B1)必在底边的中垂线上”,让学生猜想,条件(A1)不变,如何对结论(B1)进行变换?换成(B2):“必在顶角的平分线上”;结论(B1)不变,条件(A1)进行变换,换成(A2):“等腰三角形两上中线的交点”,换成(A3)“等腰三角形两上高的交点”,换成(A4)“等腰三角形两上中垂线的交点”,经过验证就得出(A1)=>(B2),(A2)=>(B1),(A3)=>(B1),(A4)=>(B1)四个新定理,通过条件发散和结论发散,引导学生多向思维,培养创新求异思维品质。
在数学定理的教学中,要引导学生弄清定理来源,反映数学创造和建立的过程。例如:三角函数这一章公式繁多,很多学生抓不住头绪,其实公式虽多,其最基本的只有两个sin(α+β)和cos(α+β)。在深刻理解这两个公式后,其它公式的产生、证明和体系构建就清晰了,学生就可以在教师引导下自己去发现sin(α-β)和cos2α的推导过程,教师要引导学生观察它们与sin(α+β)、cos(α+β)的联系与区别,要为学生的发现创设情景和环节,引导学生走进数学创造和建立的过程。
三、数学证明的教学
在寻求数学证明中,首先,要分清定理的条件和结论,要证明的结论是什么,怎样叙述的,对这样的叙述完全了理解吗,要证明的例题还有没有另外的叙述方法;等概念的结论各包含哪些事项,它们的关系怎样;明晰已知什么、求证什么。其次,要思考由什么样的前提才能推出要证明的例题,即由给定范围内的哪些已学过的命题(定义、公理等)可以推出这个命题。在利用综合法寻求证明的起点比较困难时,必须借助“倒推法”,即分析法才能找到证明的起点。有时是综合法和分析法双管齐下,从条件、结论推理去寻求二者呼应。例如,几何证明题,从ABCD顶点向形外的任意直线MN引垂线AA′,BB′,CC′,DD′,垂足分别A′、B′、C′、D′,求证:AA′+CC′=BB′+DD′。
分析:此题结论比较复杂,所以要从条件、结论去寻求二者呼应。
特点:四条线段都与直线MN垂直;
联想:四条平行线段是否可构成梯形?
猜想:欲证线段“AA′+CC′”和“BB′+DD′”的关系,梯形中有定理涉及两底边和的,让这四条线段作为梯形底边,可否解决问题?
验证:要构成梯形AA′C′C和梯形AA′C′C,从而,作辅助线连结AC,BD交于点O。
再联想:要使四条线段是梯形上下底,其和只能与梯形的中位线有联系。
问题:如何做中位线?O点有什么意义?
验证:作OO′垂直线MN,可证出OO′是两个梯形的共用中位线,进而AA′+CC′=BB′+DD′被肯定。在几何证明中经常是这样从条件探索结论,从结论求因至条件,或是同时从条件和结论两边探索达到吻合而得以求证。
孙 莉 刘 军
沈阳市第七中学 辽宁沈阳 110000
摘要：物理概念的建立以及概念建立过程中对学生思维能力的培养，一直是初中物理教学中的重点问题，也是焦点问题。笔者以压强概念的建立为例提出了概念建立的基本环节以及在各环节中对科学思想方法的挖掘等教学策略，从而提高了课堂教学效率，也提高了学生的思维能力。
本节课的教学设计总体上分为三个环节：
一、创设概念建立的背景
丰富的感性认识是概念建立的基础。引导学生寻找身边的感性素材——第一类是压力很大，压力的效果不一定明显。如：胸口碎大石、穿着滑雪板的人等。另一类是压力不大但压力的效果很明显。如蚊子、萤火虫、蝉等, 它们的口器能够用不大的压力产生明显的效果。
如图1，让学生亲自经历：用两只手的手指抵住铅笔的两端（一端尖另一端粗），感受两手指的疼痛感觉。两只手抵住气球，左手用手掌，右手用手指，观察气球的形变程度。唤起学生已有的感性认识，并发现单纯的压力大小不能准确的表达压力效果，因而需要建立一个新的物理量来科学的表示压力的效果。为压强概念的建立奠定丰富的感性认识基础，并挖掘其中蕴含着转换法的科学方法。
图1
二、概念建立的过程
①通过实验探究压力的效果与哪些因素有关，通过一系列问题的探究过程让学生的思维不断深入：
问题一：怎样反应压力的效果？引导学生观察利用受压表面的凹陷程度这一转换的科学方法；
问题二：猜想压力的效果与哪些因素有关，怎样分别展开实验？引导学生利用控制变量的思维方法。见图2。
图2
②学生经历实验后，利用实验的探究结果解决实际问题。这样通过一系列问题引发学生不断深入思考，模拟像科学家一样经历概念建立的过程：
问题一：受力面积均为S=2m2，两个物体对地面的压力分别为F1=200N F2=100N，哪个对地面的压强大？
问题二：压力均为F=200N，两个物体与地面接触面积分别为S1=2m2 S2=3m2，哪个对地面的压强大？
学生利用前面的实验结果能顺利找出解决问题的方法：受力面积相同比较压力；压力相同比较受力面积。
教师给予学生肯定的同时进一步提出：
问题三：F1=80N，F2=90N，S1=2m2，S2=3m2 的两个物体，哪个对地面的压强大？
这样引发学生去发现知识冲突，鼓励学生寻找更具普遍性的比较压强的方法——一部分学生会想到用通分的方法让受力面积相等而比较压力，或用通分的方法让压力相等去比较受力面积。也有学生想到比值法（这里应经过分析前面的实验结论，推理出应该用除法）。这时候学生通常会有两套思维方式F/S 或S/F。以上都蕴含了数学方法，同时继续依赖控制变量的方法。
问题四：哪个方法是科学的反应压力效果的最佳方案？展开充分讨论后，找到F/S 是最佳的判断压强的方法。从而得到压强概念的数学表达P=F/S。这样，压强的概念建立过程也成为了学生运用科学方法的过程，也是在学生头脑中形成概念的过程。见图3。
图3
以上问题的解决过程运用了比较法，最终选出最佳方案，这一过程还用到分析、综合、归纳的科学方法。
三、巩固对概念的理解和认识
现在压强的概念在学生头脑中仍是抽象的语言，通过应用知识帮助学生从抽象概念上升到具体概念，也鼓励学生经过思考检查一下自己对概念的理解是否正确，即在头脑中把抽象概念转换为具体形象，是通过以下一连串的问题引发学生思考的：
问题一：如果我们就是历史上最早建立了压强概念的科学家，并且得到了压强概念的数学表达式，接下来应该做什么？——确定单位。在此基础上介绍帕斯卡，并引导学生感受1Pa 的大小。（联想以前学过的赫兹、牛顿等单位想到应找一位在这一领域做出杰出贡献的科学家，将他的名字作为压强单位，蕴含了类比的科学方法。）
问题二：铁轨为什么要铺枕木？大型货车为什么装那么多车轮？刀刃为什么要磨的锋利？而刀把为什么做得很宽？知道小小的萤火虫怎样吃掉蜗牛吗？
问题三：去超市买了好多东西，拎着很勒手，有什么解决方法吗？
这样压强的概念越来越具体化了。
[关键词]课堂教学 生态观 教学模式 多媒体
矩阵是线性代数课程的一个重要概念,在生产活动和现实生活中,我们常常用数表示一些量或关系。司空见惯的如工厂商店中的产量销量统计表,车船的价目表,等等。更有甚者,大量应用研究也反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,同样最终归结成矩阵问题。这使矩阵成为一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为线性代数的一个主要研究对象。
矩阵内容作为一种新的概念,从运算对象看,对学生都是非常新颖的,从运算律看,也是学生首次遇到在乘法运算中不符合交换律的一种运算。它与许多数学内容有着密切的关系,解线性方程组需要,用向量研究几何时需要,讨论几何变换同样需要。总之,它在用数学方法解决实际问题中有很好的应用价值。
一、生态化教学的概念
生态学的精髓是普遍联系与和谐发展。生态化课堂教学就是在课堂教学中,从生态学的观点出发,把教学看作一个整体,用生态的眼光来审视课堂教学,树立一种和谐理念,使课堂教学走可持续发展之路。课堂教学具有生态系统中的整体性、协变性、共生性、动态平衡性和有序性。课堂生态系统是教师、学生和课堂生态环境构成,他们相互影响,相互作用。任何一方的变化都会影响另一方。数学家、哲学家和教育理论家艾尔弗雷德•诺思•怀特海认为,重视学生因素,课堂教学要张弛有度,形象生动,这样才有利于教育质量的提高。生态课堂的构建遵循教育生态的原理和规律,依据的理念正是“以人为本”的理念,生态课堂是人-人的课堂,教师的作用即使发挥到极致,最终仍然是促进者,教师是不能取代学生而发展的。因此,生态教学强调教学要“为了学生的需要”,要因循学生的发展需要来组织和实施课堂教学。
为了学生的需要,体现在教学中就是要从学生的需要出发组织教学活动,不能完全沿用传统模式进行知识的传授,也就是以学生为本的重要体现。在生态教学角度看来,根本在于教学活动必须以学生需要为出发点,那么,怎样的课堂教学才有利于以学生为中心,注重学生创新精神和创造能力的培养呢?如何有效突破传统教学手段,更好地把握上述课堂教学内容是我们教师要精心思虑的。
二、生态视野下多媒体教学的运用
数学传统的黑板加粉笔这一教学模式,对与应用联系紧密地《线性代数》课程来讲,极不相称,不仅严重妨碍了教学信息量,也直接影响了学生的学习兴趣和学习效果。因此,我们在课堂教学中,适时地介绍概念的实际背景意义有助于帮助学生理解。
在教学中,经典的教科书一般是用几个实例引入矩阵概念的。
例1.某居民第一季度每个月水(单位:m3
)、电(单位:KW)、天然气(单位:m3
)的使用情况,可以用一个三行三列的数表表示为:
例2.若某种物质有m个产地,n个销地,现将m个产地的该物质销往n个销地,列出一个交通运输方案。
例3.某地区甲、乙、丙3家商场同时销售两种品牌的家用电器,如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量(单位:台),用B表示两种家用电器的单位售价(单位:千元)和单位利润(单位:千元):
由于概念比较抽象,例题板书需要占用时间较大,所以课程设计从实际出发,要联系实际,使用多媒体就保证了信息量及时而迅捷有效,提炼出数学概念,同时,鼓励学生思考实际生活中还有很多类似,活跃课堂气氛,使学生积极的参加进来,促进学生的思考和接受知识的速度。
我们知道,在数学课的理论教学中,注意引导学生分析运算的发展过程的初衷,通过对实际问题的提出,采取创设情境问题,可以很大程度上活跃学生的学习气氛和提高学生的学习兴趣,培养学生的思维能力,交流能力和理论联系实际的能力,同时会达到锻炼同学们逻辑思维的能力,并教会同学们独立解决问题的能力。多媒体使教学内容环环相扣,无须教师多费口舌,重点明显突出,难点轻松解决。
教师再一次强化深化概念,从那些实际问题出发,引出矩阵概念,培养学生的归纳和思维能力,学生顺着这个思路在内心初步建立矩阵是可以运算的朦胧思想,进一步提出问题。
问题1:求某居民家前两个季度水电煤用量;
问题2:求 2次运输每种货物的总量表;
问题3:求这3家商场销售2种家用电器的每日总收入和总利润。
根据这些问题,可以简单地概括下矩阵的运算法则。
可以发现通过问题 1、2的提出,解决矩阵的加法运算和数乘运算,通过问题3的提出,解决矩阵乘法运算。在引进矩阵的运算之后,进一步讲解有关的矩阵运算律。在讲解过程中,注意与实数四则运算法则进行比较记忆。
注意到学生的矩阵概念掌握后取得初步成功后,在多媒体上及时对比问题的结果,尤其是问题3的解决过程,一定要精细分步展现出来,对比不同型的两个矩阵的数字相乘的示意图,便于后续归纳乘法运算法。
问题3具体答案具体由多媒体反复演示出。
用矩阵C=表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润,那么C中的元素分别为:
其中,矩阵C中的第i行第j列的元素是矩阵A第i行元素与矩阵B第j列对应元素的乘积之和。
注意启发学生,上述矩阵C是如何成型的,以便归纳矩阵乘法公式。要充分利用多媒体有得天独厚的演示功能强化学生的感官刺激。
在矩阵教学中,还要理解一些深刻理会反映变换的代数形式――矩阵,矩阵作用在向量上可以得到一个新的向量。这里的矩阵就是映射,即二阶矩阵把平面上的每一个点都变成唯一的点,要熟悉用矩阵来刻画熟悉的几个常见的几何变换,并明白矩阵变换也具体的几何意义(可以展示几个多媒体下的图片显示上述变换)。然后,要讨论矩阵和矩阵之间的关系,也就是变换和变换之间的关系,也就是在数学上表示成矩阵的乘法。即变换也可以复合,矩阵的乘法运算就能很好地表示这种变换的复合。这时,不妨用几个例子快速帮助学生了解。
问题4在解析几何中考虑坐标变换时,如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴),那么,平面直角坐标变换的公式为:
(1)
其中,θ为x轴与x′轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系,通过公式中系数所排成的2×2矩阵:
(2)
矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵。
请学生尝试推广到空间的情形,保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式也就很容易被学生发现。此时,点击多媒体给出答案,学生会心满意足的微笑。
最后,从多媒体的生动演示上看到一些变换,发现有的有逆变换,这种逆变换就对应矩阵的逆矩阵,变换的逆和矩阵的逆本质上体现了一一对应的思想。这是后续章节内容的伏笔,为的是潜移默化地做好逆矩阵的顺利讲解。
三、生态数学教学中的多媒体使用体会
在教学的准备和实施中,多媒体课件的设计和使用并非一个简单的事情。首先,要有对教材和学生具备很强的把握功底。其次,它涉及到教育学、心理学、教学设计等多方面的知识。多媒体课件的实用性、适应性和适时性成为设计和使用中应特别注意的问题。
学科数学作为一门逻辑性很强的学科,教师绝不能被多媒体所左右,影响了自己的教学风格和能动性发挥,制约了师生的情感交流,影响了教学效果。如果现代多媒体教学只是花里胡哨地凑热闹达到满足教学手段多样性,那这样的多媒体教学宁可不要。多媒体辅助教学基本是为了完成教学任务而赶时间,对学生用信息化手段填鸭式教学,也不可取。课件演示速度不要太快,要结合黑板用语言解释来升华多媒体图片,要注意内容适量,速度适当,及时听取反馈意见,否则极易造成学生精力不集中的情况出现。同时,我们要坚决杜绝多媒体辅助教学基本是教师的单口相声表演。坚持灵活性教学,让每一个学生都有思考、理解的环节并与教学能够同步,多媒体教学不能忽视教师在教学中的主导地位,更不能忽视学生的主体地位。
总之,多媒体教学只是一种教学手段,成败关键在于根据具体学科内容做到恰当应用。不同学科有不同的特点,需要使用媒体之处也不同,甚至有时不需要使用,必须依据学科特点,在生态教学理论指导下,实现课程内容与多媒体的有机整合,挖掘本学科大学生对多媒体教学接受特点,探究本学科的多媒体教学方法。无论何种形式的多媒体教学,都需要在教师的不断探索中完善,过分崇拜和依赖多媒体教学,将削弱教师的作用与魅力,更容易直接影响学生在课堂上的学习积极性、创造性,非但发挥不出多媒体教学优势,还有可能适得其反。
参考文献:
[1]郭思乐.教育走向生本[M].北京:人民教育出版社,2001.197.
[2]同济大学编.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007.
关键词：可视化；概念图；傅里叶变换；教学案例
作者简介：李良（1974-），男，河南焦作人，河南理工大学电气工程与自动化学院，讲师；高娜（1977-），女，河南洛阳人，河南理工大学电气工程与自动化学院，副教授。（河南 焦作 454002）
基金项目：本文系河南省教育科学“十二五”规划课题（课题编号：[2011]-JKGHAD-0283）、河南理工大学电气学院2012年教育教学改革研究项目（项目编号：2012DQJG10）的研究成果。
中图分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）05-0072-02
可视化是指通过可以觉察的视觉方式将思维进行外化呈现的过程，研究的是视觉表征在改善两个或两个以上人之间知识创造和传递中的应用。它能够大大提高学习者思维认知的表现。在伍国华和李克东的研究中，根据主要功能将知识可视化教学工具分为两类——概念关系图与思考步骤图，前者包括概念图、知识地图与语义网络，后者包括思维导图与认知地图。这两类知识可视化形式都能对学习产生积极的效果。[1，2]本文以傅里叶变换为例绘制了概念图，并将其运用于教学设计和讨论，使学生对基本理论的核心概念有了更清晰和深入的认识。
一、概念图
概念图又称为概念地图、心智图等，通常是将有关某一主题不同级别的概念或命题置于方框或圆圈中，再以各种连线将相关的概念和命题连接，形成关于该主题的概念或命题网络，从而以形象化的方式表征学习者的知识结构以及对某一主题的理解。作为可视化教学工具，它可以帮助教师构建教学模型，表达自己教学模式中的内在要素与相互关系，起到对教师教学经验抽象表征的作用，同时也便于师生及时交流信息，促进学习者的相互理解。
概念图由概念节点和带有标签的连线组成。节点用于表示某一命题或知识领域，节点之间的连线表示概念之间的内在逻辑关系。连线上可以用箭头表明概念之间的逻辑关系方向，连线上的标签表示概念之间是如何或者通过什么方式建立联系的。概念、命题、交叉连线、层级结构是概念图的四个图标特征。[3]
二、教学案例设计
傅里叶变换是信号处理理论的核心内容，因此在信息类专业课程体系中占有重要地位。笔者在教学过程中发现，尽管学生在高等数学中已经学习过傅里叶级数的概念，而且在多门专业课程中也都运用傅里叶变换来解决工程问题，但由于遗忘或者在高等数学学习过程中对于该理论的用途不够明了，没有引起足够重视，因此对于各种不同形式的傅里叶变换仍然感到难以深入理解，学完以后对傅里叶变换的认识仅仅停留在“只是一个看不懂的公式”的程度。同时由于该课程概念抽象，公式繁多，课堂容量大，因此找到有效的教学方法对教师的工作也非常有必要。
针对傅里叶变换教学中发现的问题，用概念图设计教学方案如下。同时考虑到概念图工具在课堂中使用要遵循循序渐进和耐心施教的原则，[4]将概念图按照课堂教学的顺序逐步展开，由简到繁。
1.傅里叶变换的四种不同运算对象[5，7]
首先，要区分各种不同形式的傅里叶变换之间的关系，必须明确其处理对象的特点，因此根据连续性和周期性构建初步的概念图，如图1所示，星形框表示傅里叶变换，其处理对象分为时间连续和离散两种信号，根据信号周期性进一步分成四种，用树状结构表明其关系。图中圆角矩形框标明了四种不同信号的频谱，由此可以进一步找到规律，即时域和频域的对应关系为：一个域的连续性对应另一个域的非周期性，一个域的离散性对应另一个域的周期性。而时间连续信号与离散信号之间可以通过抽样进行转换，遵循奈奎斯特抽样定理。
2.有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）的引入[5]
由于这四种形式的傅里叶变换在时域或频域不都满足离散且点数有限的条件，不适合直接用计算机实现，因此引入了有限长序列的傅里叶变换，即DFT。将DFS限制在一个周期（主值区间）上进行，即有限长序列的离散傅里叶变换（DFT），这样既保持了原信号完整的频谱成分，又满足了计算机运算的要求。尽管是有限长序列，但它隐含有周期性。图1中用箭头和椭圆框标明了DFT与DFS的关系，并用计算机图标和云形框对其特点进行了注释。
在工程应用中，对于连续信号的傅里叶分析也可以用DFT逼近，但是逼近过程中必然会产生误差，这部分内容也用云形注释框进行注释。
3.傅里叶变换与拉普拉斯变换和z变换的关系[5-7]
电子信息类专业课程必定包含三种基本变换，即拉普拉斯变换，傅里叶变换和z变换，但很多学生不理解为什么要学习这三种变换以及他们之间有什么联系。
如图1中星形框所示，拉普拉斯变换用于分析连续时间信号，而z变换用于分析离散时间信号。
对于连续时间信号而言，尽管傅里叶变换能够对大部分信号进行频域分析，但也有一些连续信号，比如按指数增长的信号，当时其傅里叶变换的积分式不收敛，因此不能用傅里叶变换来分析。于是将这样的信号乘以衰减因子，重新代入傅里叶变换式中，就得到了拉普拉斯变换。反之，对于拉普拉斯变换来说，当S域的复变量限制在虚轴上时，实际上就是该信号的傅里叶变换，因此可以说，连续信号的傅里叶变换是一种特殊的拉普拉斯变换，而拉普拉斯变换则是更一般形式的傅里叶变换。
同理，z变换适用于分析离散时间信号，与离散信号的傅里叶变换之间的关系类似于连续信号的拉普拉斯变换和傅里叶变换，如图1所示。而z变换可以看做离散形式的拉普拉斯变换，两者之间的关系如图1右侧菱形框所示，即s域与z域的映射关系。两个域之间的对应关系用右侧的坐标平面表示，一目了然。此图的主要目的是为了帮助学生有效学习，不仅可以用于课堂展示，也可以作为学生自学的辅助材料，其网状结构能有效说明概念之间的联系，具有自明性，即使没有老师的讲解也容易看懂。本文从傅里叶变换入手逐步展开，顺次引出傅里叶变换的几种不同形式以及拉普拉斯变换和Z变换，在实际教学中也可根据教学内容选择合适的切入点，以便配合不同教材的编排顺序。
三、概念图教学案例应用
笔者做了两种形式的教学尝试。方式一：不使用概念图，按照教材编排顺序进行课程讲授和总结；方式二：运用概念图，依照由简到繁的原则，从一个中心主题开始（本案例从傅里叶变换引入），依次展开进行讲解。课堂讲授完毕之后，布置概念图作业，然后用概念图和学生进行交流讨论，共同修改完成总图。根据学生的反馈意见，采用第一种方式教学，学生对概念的理解比较困难，知识结构不清晰，机械记忆，容易遗忘。采用第二种方式教学，学生对知识体系的整体框架、相互之间的联系等都有较清晰的认识，且借助图形方式记忆更深刻，更容易理解。
由此可见，概念图对于帮助学生把握概念之间的联系及整体知识结构框架有明显的作用。尤其是对于已经完成阶段学习或者学完整门课程的学生，通过绘制概念图，不仅有助于重新梳理知识、整理思路，而且能够从中发现自己学习的薄弱环节，便于有针对性地复习。从学生对知识的表述情况来看，运用概念图进行学习，学生能够完整准确而清晰地表述概念，也就是将老师的知识变成了自己的知识，完成了隐性知识到显性知识的转化，做到真正地掌握和理解概念，实现了有效的学习。
笔者在授课过程中运用概念图，从一个中心概念节点出发，由点及面，逐步按照与其相关的定理、公式展开，拓展到下一个概念节点。这种方法更便于实现隐性知识的显性化，不仅教师能自己“意会”，而且能够向学生“言传”，使学生能够直观地“看到”老师的思维过程，同时老师能够根据学生现场的反应及时了解学生的掌握情况，把握课堂节奏。
在总结复习过程中布置概念图作业并用图形组织师生交流，也有助于老师及时了解学生接受知识的程度，便于调整教学内容，改进教学方法。
四、结论
对于大学教育来说，比传授知识更重要的是教会学生有效的学习和研究方法，在信息时代这一理念越来越受到重视，可视化教学方法对教学效果的提高作用在很多领域得到了证实。本文采用了概念图作为可视化教学工具，以傅里叶变换为例进行了教学设计。教学实践的结果证明，使用概念图教学更易于清晰展现教学思路，建立概念之间的相互联系，构建完整的知识网络。生动形象的可视化图形更便于学生记忆，提高学生学习的兴趣，不但对于学生来说是非常好的学习工具，而且可以作为师生交流探讨的工具，使教学从单向传输变成了双向互动，帮助教师了解教学实际效果，及时根据学生反馈的信息调整教学内容和方案，有的放矢，提高了教学效率。
通过实践发现，绘制和应用概念图时还应注意以下几点：概念图作为记录思维过程的可视化工具，其主要目的是通过图形方式传递和交流知识，因此要求自明性强，结构清晰，容易理解；将其应用于教学时，应从简到繁，逐步展开，条分缕析，也就是说，读图应该有合理的顺序，根据学习者的知识储备情况找到恰当的切入点；另外，概念图用于交流的效果比单纯读图要好，因此师生共同绘制和修改概念图，会对双方都有很大的促进作用。
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课题引入方法，概念形成过程
旋转是继平移、轴对称后的一种全等变换。通过旋转的学习，学生将更加系统地认识图形变换的研究过程，对图形变换的思想体会得更加深入。本节课是本章的第一课时，旋转的概念和性质既是全章的基础，也是全章的核心。此外，旋转的学习也是后继学习圆的重要基础；旋转的性质是画旋转后图形的依据。旋转和平移、轴对称一样，都是全等变换的一种，它们不仅在性质的内容上有很多相似之处，而且在性质的探究视角方面也有不少相似之处。
本节课的教学设计，通过类比平移和轴对称去研究旋转，向学生渗透类比是解决问题方法的重要途径，同时渗透获得定义的一种思想方法――从具体实例中归纳概括本质属性。通过类比平移、轴对称的概念与性质的研究内容、研究方法，引导学生探究旋转的概念与性质，培养学生的自主学习能力、小组合作学习能力和探究精神。教学中既要落基础知识，又要培养学生能力，将学习过程与学生发展终极目标进行整合，有利于实现学生的成长和发展。
平移、轴对称和旋转三种图形变换都是现实生活中广泛存在的现象。本节课从生活中的旋转现象抽象出旋转的定义，让学生真正体验到数学来源于生活。开课伊始，通过欣赏漂亮的图片，让学生直观形成了知识的表象，为新课教学做了良好铺垫。教学中利用课件动画演示，引导学生先利用荡秋千（点的旋转）、刮水器（线的旋转）探索旋转的三要素，再上升到图形的旋转（面的旋转），由浅入深，循序渐进，引导学生观察、分析、归纳，由感性认识上升到理性认识，自然突破教学重难点。鼓励学生用简洁的语言概括旋转的特点，在学生头脑中形成旋转的概念，最终抽象出旋转的定义；引导学生抓住“定点、方向、角度”三个关键词，使学生理清旋转变换概念的本质，掌握旋转变换的三要素。在这个过程中，学生经历了直观感知、抽象概括、形成概念、剖析概念四个环节，积累了数学活动的经验。
性质的探究方法和小结的方式
本节课利用课件动画演示旋转变换的实际操作，帮助学生理解旋转的定义及性质；通过精心设计探究活动，通过动手操作，观察猜想、独立思考、合作交流等活动探究，发现、归纳旋转的性质，注重学生对所学知识的理解；通过恰当的习题，将复杂图形的旋转最终归为点的旋转；引导鼓励学生积极思考，激发好奇心，将题目进行变式拓展，引导学生从不同的角度、从不同的层次进行分析问题、解决问题，从而突破难点。
学生知识的获得建立在思考的基础之上，使其在数学思考、问题解决、情感态度等方面都得到发展。教师设置一些相应的习题，使学生加深理解，促进巩固。教师在创设探究情境、探究载体、探究方法、探究途径等方面加以关注，针对不同类型的数学性质特点，创设丰富多样的探究情境，提高学生的探究兴趣和积极参与的热情，让每一个有探究价值的数学性质的学习都成为学生经历知识发生、发展、探究的过程，从而潜移默化的提升学生的探究能力。
本节课通过表格对比平移、轴对称、旋转的相同点和不同点，引导学生总结本节课的主要内容，体会类比的学习方法；帮助学生进一步形成图形变化的知识体系，建立知识间的整体认识，发现联系，关注联系，使学习更系统。
新课程标准中课程目标包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三位一体的综合目标。课堂小结也应紧扣目标进行，教师进行课堂小结设计时重点关注以下几方面内容：①梳理所学新知识，形成知识网络；②总结梳理本节课所渗透的数学思想及方法，深化学生思维；③纵横综合联系所学内容，抒发学习感受；④注重经典习题的小结。总之，教师把数学课堂小结重视起来，利用课堂小结，让学生梳理知识，体验过程与方法，升华学生思维。
数学思考方法与指导
本节课采用单元整体教学模式，将平移、轴对称和旋转三方面内容整合在一起，通过类比引导学生探究旋转的概念与性质，培养学生的自主学习能力、小组合作学习能力和探究精神。其中探索环节以学生动手为主，多媒体课件动画演示作为重要辅助，从点的旋转到图形的旋转，从特殊到一般，使学生经历观察、归纳、猜想、验证的数学学习过程，发展了学生的合情推理能力和抽象概括能力。三角形绕点旋转的作图环节，通过小组合作交流完成，让学生体会了分类的方法。
数学有自己的思考方法，学生在数学学习中培养起来的思维方式和逻辑思维能力，能在解决各种问题中发挥作用。教学中，教师以数学内容为载体，注重学生思考方法的培养，不仅使学生获得系统性知识，而且学会探究的方法，提升学生的数学思维能力。
一、注重基础知识的教学
初中的数学内容较小学教学内容更系统和深入，涉及面更广。因此，教师在教学中应该注重基础知识的教学，帮助学生打下厚实的基础，以利于学生以后的数学学习。首先应该摆正师生关系，在中国的教育当中一直强调着“师道尊严”。教师在课堂上一般都是居高而上，普遍都是教师在讲台上讲，学生在下面埋头“消化”教师讲的知识点。教师掌握着上课的节奏，这样学生显得很被动。在初中不等式教学当中涉及很多的知识点，学生仅仅知道一些公式而不会运用是教学的一种失败。基础知识在教学当中就显得尤为重要。不等式的解题方式多样，内容丰富，技巧性较强并且要依据题设、题的结构特点、内在联系、选择适当的解题方法，就要熟悉解题中的推理思维，需要掌握相应的步骤、技巧和语言特点。而这一切都是建立在学生有夯实的基础之上的。学生的基础知识不扎实的话，在解不等式题时就步履维艰。
夯实的基础来源于学生对不等式概念知识的掌握和运用，而概念的形成有一个从具体到表象再到抽象的过程。对不等式抽象概念的教学，更要关注概念的实际背景和学生对概念的掌握程度。数学的概念也是数学命题、数学推理的基础，学生学习不等式知识点也是从概念的学习开始的。所以在不等式教学探究中教师应注重学生的基础。
二、注重学生对知识的归纳和整理
提高初中数学不等式教学效果，首先要培养学生主动探索数学知识的精神，通过寻求不同思维达到解题效果来激发学生对数学学习的兴趣。引导学生主动去对数学不等式知识进行探究，通过结合所学的数学知识来形成一个完整的知识网络，以帮助学生完成更深入地数学知识探究。同时初中数学不等式知识点的学习对学生归纳能力提出了较高的要求。灵活使用概念能够帮助学生熟练地运用数学知识，对不等式这一章节知识点的掌握归纳和整理进行综合的运用从而能够成功地解题。例如，在含有绝对值的不等式当中：解关于x的不等式2+a0时，解集是；（2）当—2≤a0时，解集为空集；（3）当a—2时，解集为。当学生对知识点进行归纳和整理后，学生也就不会马失前“题”。
三、 开发学生的解题技巧，培养学生独立思考的能力
