三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.
一、如何掌握三角函数公式
掌握三角函数的基本公式是最重要的，同学们在学习过程中，由于随着学习的深入，前面的公式掌握得不够牢靠，导致了后边的学习跟不上，这就是由于三角函数最基础的公式掌握不够造成的.如何弥补这个缺陷，最重要的还是要牢记公式，没有别的办法，只有熟记公式，才能在以后的深入学习中不至于被动.
倍角公式、半角公式、和差化积公式以及积化和差公式，是需要花时间和精力去掌握的，并且要经常练习，才可以达到运用比较熟练的地步.
二、掌握基本的解题规律
三角函数的题目有其基本的解题思路和过程，要掌握这些基本的方法，在高考中，三角函数的题目也无非就是这些内容，不会偏离了这些基本的解题思路.对于题目，首先应该观察题目的基本叙述，了解清楚后，看适合于哪类三角函数的公式进行解题，在解题过程中，对于自己运用公式的熟悉程度是一种考验，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
对于常用的解题方法要熟练掌握，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等.通过对这些方法的研究，使得学生不仅掌握这些方法，而且能够举一反三，同时，在应用这些方法应用时，可以做到综合的运用，而不是单一的、片面的掌握.
举例来说，学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的限制，如一次函数y=ax+b，a不为0.定义域优先应该说所有的老师都明白，但是应用的时候就可能会忘记.事实上在方程与不等式的研究中也应该有“定义域”优先的原则，缺少了定义域就不是完整的函数的定义了.而函数的值域是由解析式与定义域唯一确定的，所以一般不写，但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的方法不一样.
三、比较法的学习
通过对函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、图像变换等的理解和掌握，把握三角函数的这些基本性质，与其他函数进行比较，以达到比较法的学习.函数的概念、性质的相同、相似点以及它们之间的差异会给学生在学习中留下较深的印象.通过比较法的学习，会加深对三角函数的理解和应用.
三角函数具有自身的特点，要从两个方面加以注意：一是三角函数的图像及性质.函数图像是函数的一种直观表示方法，它能形象地反映函数的各类基本性质，因此对三个基本三角函数的图像要掌握，它能帮助你记忆三角函数的性质.此外还要弄清y=Asin（ωx+φ）的图像与y=sinx图像的关系，掌握“A”“ω”“φ”的确切含义.对于三角函数的性质，要紧扣定义，从定义出发，导出各三角函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性及奇偶性等.二是三角函数式的变换.三角函数式的变换涉及的公式较多，掌握这些公式要做到如下几点：一要把握各自的结构特征，由特征促记忆，由特征促联想，由特征促应用；二要从这些公式的导出过程抓内在联系，抓变化规律，这样才能在选择公式时灵活准确.同时还要善于观察三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个方面的差异，根据差异选择公式，根据差异确定变换方向和变换方法.
四、有条理的归纳总结
三角函数的公式看起来非常多，甚至有些杂乱，让初学者往往无从下手，也令很多学生在过了一段时间后，会忘记这些基本的公式.但仔细研究三角函数会发现，其基本的公式是我们必须掌握的，任意角的转化，掌握了诱导公式，就可以将任意角的计算转化为0°～90°间角的三角函数.从这方面看，三角函数的特点在于认真地归纳总结，即将一种较为复杂的状态转化为基本的状态，或者将较为简单的状态进行解决的过程.具体来说，我们表示函数习惯于用y=f（x）表示，其中x表示自变量，y表示函数，f表示对应关系.那么我们注意到：学习三角函数的过程中，初中就学习了三角函数，但是没有说什么是自变量，什么是函数，只是在直角三角形中，定义了锐角α的正弦、余弦、正切.
三角函数的工具性有所减弱，平面向量、导数的工具性作用替代了三角函数在原教材中的工具性作用．但三角函数作为指数函数、对数函数之后的一类重要函数，重点学习了函数的奇偶性和周期性，使函数的概念和性质得以进一步深化．
因此，在高考中把三角函数作为函数的一种，突出考查它的图象与性质，尤其是形如函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质．对三角公式和三角变形的考查，或与三角函数的图象与性质相结合，或直接化简求值．在化简求值的问题中，不仅考查考生对相关变换公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角变形公式为素材，重点考查相关的数学思想和方法．
重视基础知识的教学，把握好习题的难度
近几年的高考试题降低了对三角恒等变形的要求下，逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能考查上来，加强了对三角函数图象与性质的考查力度．这启发我们三角函数的复习要立足课本、抓好基础、控制难度．在复习中，应立足基本公式，寻求题目条件与结论之间差异，建立联系，以达到消灭差异的目的．“变”为主线．三角变换包括角的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换等，在复习中强化“变”的意识是三角复习的关键，但题目不宜太难，特殊技巧的问题坚决不做，2006年三角题只能作为个别现象．建议各位老师在二轮复习中将教材习题进行归类分析比较，帮助学生进一步熟悉解决三角问题的一般规律性方法，达到举一反三的目的.
重视三角函数问题中四类问题的训练
（1）应用常规方法和技巧解决三角式的化简、求值、证明问题，主要掌握三角函数的求值问题；
（2）在掌握函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=Asin(ωx+φ)，特别是正弦函数的图象与性质的基础上，研究一些三角函数的性质，解题策略一般都是将所要研究的函数化归为只含有一个、一次的三角函数形式；
（3）三角形中的三角函数问题；
（4）三角函数与其它知识交汇融合的问题．
关注2007年新考试大纲的变化
据说新考试大纲将“理解y=Asin(ωx+φ)中的A、ω、φ的物理意义”改为“理解y=Asin(ωx+φ)的物理意义”，体现了与物理等知识的联系；新大纲还有如下变化：将“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义”增加为“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”，将“正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”由了解变为理解．
注意对三角形中问题的复习
由于教材的变动，有关三角形中正弦定理、余弦定理、解三角形等内容提到了高中来学习，加上近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，所以对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，复习中要重视正弦定理、余弦定理在解三角形问题的作用，但挖掘不要太深．
重视三角函数与其它知识的结合
三角函数与其它知识，特别是与向量等内容的结合可能成为新的命题热点，在复习中要加强训练．
客观题考点分析
【关键词】正弦型曲线 五点法 教学探讨
【中图分类号】G718.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0178-02＼
一、正弦型曲线在中职数学课的地位
正弦型曲线是全国中等职业技术学校通用教材《数学？电子电工类》（第五版）第一章1.3正弦型曲线与正弦量其中部分内容。作为函数，它是已学过的正弦函数及其诱导公式的后继内容，也是三角函数的基本内容，因此，本节在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
正弦型曲线是在学生掌握了三角函数的定义、诱导公式、五点作图的基础上的一节新授课，是学生对所学内容的巩固以及五点作图熟练程度的加深和三种图象变换的熟练应用，是一节函数图象探究的重要范例，也是提高学生识图能力、画图能力、数形结合思想等的一次锻炼。通过本节课要求学生熟练掌握五点作图和三种图象变换。
另外，正弦型曲线是代数与几何的有机结合，又为电工专业课中正弦交流电电压、电流波形图的学习打下基础，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁，同时在日常生活中应用广泛，如简谐运动、机械波等。因此，本节课的学习十分重要。而怎样的教学能让学生真正掌握本节课的知识？本人就这个问题进行探索研究，积累了一些做法，收到了积极效果。
二、正弦型曲线的教学策略
（一）理清重点。本节课的学习目标是熟悉用“五点法”作正弦型函数的图像、了解函数的图像可由正弦曲线经过三种变换得到。
函数及其图像历来是学生的弱项，尤其是三角函数。“五点法”作图作为描绘函数图像最基本、最重要、最具操作性的方法，是每个学生必须掌握的基本技能，是学生能否成功得出图形变换规律的关键所在。因此“五点法”作图应为教学重点之一，目标是让学生理解和掌握作图的要点，并能够画简单函数的图像。其次是正弦型曲线的画法及其变换关系。用五点法画出函数图像，并得到图像规律后，应运用多媒体课件或学生课堂演练对得到的规律进行考察和检验，并加以练习，指出“五点法”和“图形变换法” 之间在画图上的联系与区别，体会图形变换的奥妙，才能达到本次课的教学目标。
（二）适当简化。首先，明确教学对象是一年级的中职生，教学时间为第一学期。学生的基本情况是只在初中粗略学过正余弦函数及其图像性质，能画出函数草图的寥寥无几，了解“五点法”作图的几乎为零。对于一般画图步骤：列表―描点―连线，许多学生感到茫然。针对这种情况，除了要补充必要的基础知识外，教学中还要适当简化问题，让学生有充裕的时间循序渐进掌握知识。例如，从初中正弦函数的画法（如图1），观察图像得到特殊“五点”便是简化问题的体现。又如从正弦曲线获得“五个特征点”时，学生不难得出此五点分别是一个周期内的“起点、最高点、中点、最低点和终点”，但要获得一般正弦型曲线y=Asin（ωx+φ）五点的一般坐标
，0，
+
，A，
+
，0，
+
，-A，
+T，0，还需要将问题简化。这里涉及两点内容：起点是否在原点、五点与周期之间的关系。因此，可以先简化问题，将正弦型曲线的起点设定为原点（即y=Asin（ωx），学生则容易根据正弦函数的五点坐标得出此时五个特征点分别为0，0，
，A，
，0，
，-A，T，0，并总结方法，巩固练习之后再学习起点不在原点的正弦型曲线。这种化繁为简，步步为营的方法不仅学生易于接受和掌握，同时可以发挥学生的主观能动性，让学生动脑、动手，从探究中获得知识。
（三）整合知识。
1根据需要整合课本前后知识。正弦型曲线的教学可将后续即将学到的正弦量三要素，以及周期、频率和相位提前讲解。这样正弦型曲线的解析式呈现在学生的面前就不仅仅是字母与数字，学生能在理解函数解析式的情况下研究各个变量对其图像的影响，明确目的，做到有意义学习。尤其是对于解析式中周期T的公式求法，将有利于学生理解正弦型曲线的周期性，以及根据解析式准确求出五点的坐标。
2根据需要整合专业课程知识。数学因其知识的抽象性、应用的广泛性才从专业课中分离出来，与专业课程相辅相成，共同发展。但实际教学中仍要主动考虑专业需求，结合专业内容整合教学，扩大专业学科向数学的渗透，填补教材中知识的短缺。本节课教学可以引入电工电子技术基础中的各种电路模型、基尔霍夫定律、正弦交流电、三相交流电（如图2）等，这样既能使原本零碎夹杂在专业课本中的数学知识，归入到数学体系中，又能对原本教学内容进行扩充和加深。这种要求强调把知识作为一种工具、媒介和方法融入到教学的各个层面中，通过多种学科的知识互动，培养学生的学习观念和综合实践能力，促进师生合作，实现以学生为主体的课堂理念。
（四）“数形分家”。 课本根据y=Asin（ωx+φ）的三个参数A、ω、φ、按照列表―描点―连线―得出规律的思路设置了三个探究。这无疑是一个巨大的挑战，学生如若没有牢固的作图基础，根据不同条件画图都将是一个难题，更别说在一次课中就经历三次完整的数形结合循环：公式图形规律，尤其是程度处于中下水准的学生，更是难于操作，课后也记不住。
因此，本次课的教学可以采用将代数与几何暂时分离的方法，第一节课的教学主要是根据原点是否在起点分开求解两种正弦型曲线的五点坐标公式，并让学生用公式求解给定正弦型函数的“五点”坐标以巩固知识，并不画图。第二节课则让学生根据上节课所求得的“五点”坐标严格按照描点―连线的步骤画图，并研究三种图像规律。这样的教学将原先三段式教学降为两段式教学，既可以让学生的知识结构系统化，同时也能让学生深刻体会“以数解形” （即借助于数的精确性来阐明形的某些属性）和“以形助数” （即借助图像的直观阐明数之间某种关系）的数学思想，体会到数形结合的魅力。
三、结语
本节内容学生要掌握“五点法”作图、理解并三个参数对函数图象的影响，方法不唯一，知识密度大，理解掌握起来相对困难。因此，教师在教学过程中要能精读教材、钻研教材和处理好教材，根据学生的具体特点，运用恰当的方法精心教学，并不断反思总结，慢慢积累经验，渐渐把握规律，化难为易，逐渐优化教学效果，提高教学质量，让学生实现全面身心发展。
参考文献：
[1]陈智明，易振兴.关于正弦型曲线的教学探讨[J].《数学通报》，1998年02期
摘要： 尝试用数学实验教学方式，是一种新的教学方式的探索，但是目前广大数学教师对它的认识还较少，在中学数学教学中开设数学实验课值得探索。本文通过对点关于点或直线对称变换的探索和验证，进一步探索直线关于点或直线对称变换的规律，再通过函数图象来验证.用这种方式对培养学生的创新意识和实践能力具有意想不到的效果。
关键词：对称变换；实验；归纳；函数图象
中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）05-0166-02
数学实验就是运用计算机、几何画板等相关软件的信息技术工具解决数学问题，在中学，数学实验就是学生利用计算器或计算机等信息技术工具，自己动手学习和解决数学问题。
在近几年的探索中，笔者逐渐摸索出来实验过程中的方法和步骤。首先，应该有指导思想，即教师创设恰当的问题情景，或直接利用教科书中的数学实验题，引导学生通过操作计算机，主动、积极、审慎地思考问题，创造性地解决问题，培养他们的探索意识和能力；其次，要有实施实验的具体步骤，主要包括以下一些内容：实验课题、实验背景、实验目的、实验工具、实验方法、实验过程、对实验结果的分析猜想、对实验结果的证明、结合实验结果进行问题讨论、结论的拓广等。以下就“函数图象的对称变换的验证”为例探讨实施数学实验教学的一般方法。
实验课题：函数图象的对称变换的验证。
实验背景：初中学生学习一次函数知识的时候，学习过一个点关于坐标轴或原点对称时，对称的两个点坐标的变化规律。学生学习的过程中，对抽象函数符号表示的函数y=ax+b的研究，一直以来是学习的难点，特别是在给定条件时研究该函数的性质，更是感到困难重重，通过研究特殊而推知一般的方法在这里就可以起到帮助学生理解抽象问题的作用.对称变换是其中一种重要的变换，通过研究点的对称变换的结论可以猜想函数图象的对称变换规律，并且用它解决实际问题，经过类比可以探求其他变换的规律.对培养学生的主动探究和知识拓展有重大的指导意义.此外，经过学生的亲身实践，不仅可以体验数学过程，还能提高学习数学的兴趣。
实验目的：利用几何画板探究一个函数的图象关于一个点或一条直线对称的规律,寻找函数表达式的变化与图象对称性之间的关系.探索一般性结论。
实验准备：预习点关于坐标轴、直线y=x以及关于原点对称坐标的变化规律。
实验工具：计算机，几何画板软件。
实验过程：
(1)在计算机上打开几何画板，建立坐标系，在坐标平面内任取一点A，度量点A的坐标,A（2，3），作出点A关于x轴的对称点A1（双击x轴或先选中x轴，在[变换]菜单栏中选择"标记镜面"，然后选中点A，在[变换]菜单中选择“反射”即可得对称点A1），再度量点A1的坐标，A1（2，-3）.观察A和A1两点坐标的关系。
(2)作出点A关于y轴的对称点A2，再度量点A2的坐标，A2（-2，3），观察点A和A2两点坐标的关系.(3)作出点A关于原点（双击原点将它标记为中心，选中点A后，在[变换]菜单栏中选择“旋转”，在对话框“固定角度”中输入180o）的对称点A3，再度量点A4的坐标，A3（-2，-3），观察A和A4两点坐标的关系。
(4)作出点A关于直线y=x（因为几何画板不能对函数图象进行操作，所以直线要通过取直线上两点来画，在[图表]菜单栏中选择“绘制点”，将点（1，1）的横、纵坐标分别输入再按确定即完成描点，然后通过原点和点（1，1）画直线即得直线y=x）的对称点A4，度量点A4的坐标，A4（3，2），观察A和A3两点坐标的关系。
(5)作出点A关于直线y=－x的对称点A5，再度量点A5的坐标，A5（-3，-2），观察A和A5两点坐标的关系。
(6)拖动A点，观察A点和其各类对称点的坐标，并填入下表1：
(7) 归纳总结出各类对称点的变化规律： (1) 点A（a,b）关于x轴对称点的坐标为A1（a,-b）,即关于x轴（横轴）对称，点的横坐标不变；（2）…… (因为有些学生可能对规律的叙述方法不是很熟练，故可根据实验学生的情况给出适当的提示).
(8)你能用学过的知识证明上述结论吗？
证明：如图1，设点P（a,b）为坐标平面内任意一点，过点P作x轴的垂线段PM，垂足为M，延长PM至P`，则由轴对称的定义知，点P`为点P（a,b）关于x轴的对称点.易知，这两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.（同理可证关于y轴对称的情况）对于中心对称的情形，连结PO并延长至P``，过P``作P``M`x轴，垂足为M`，易知OPM≌OP``M`，可得MP=M`P``，OM=OM`，且方向相反，所以，点P``的坐标为（-a,-b）. （提示：利用三角形全等可以证明另外两种对称）
(9)将上述实验过程中的点A改变为一条直线，例如直线y= 2x+4（这条直线的作法与作直线y=x类似，取直线上的两个整数点，即横、纵坐标均为整数的点）,分别作出它关于x轴、y轴、原点、直线y=x、直线y= -x的对称图形，观察对称图形的位置，求出这些直线的方程（选中直线，点击鼠标右键选择方程）.填写下表2：
观察对应的两个函数解析式之间的关系，能否得出一般性的结论？并试着进行证明.
实验结论： （1）函数y= ax+b的图象关于x轴对称的图象的方程为y= -ax-b; (2) ……
(10)用学过的相关知识证明上述结论。证明：先证明关于x轴对称的情形，设点M (x,y)为函数y= ax+b的图象关于x轴对称的图形上的任意一点，则它关于x轴的对称点P`(x,-y)在函数y= ax+b的图象上,P`(x,-y)的坐标满足方程y= ax+b，即- y= ax+b，也就是y= - ax-b.同理可以证明关于y轴、原点对称的情形.关于直线y=x、y= -x对称的情形,过程从略。
关键词：三角变换 图像平移 解三角形 基本知识 基本技能 转化与化归
中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.117
三角函数是中学数学中一种重要的函数，它的定义和性质涉及的知识面广，并且有许多独特的表现，所以它是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，三角函数又和代数、几何有密切的联系，因此，它又是研究其他知识的重要工具，在高中数学中有着广泛的应用，三角函数在高考中既有选择题、填空题，一般也都有一道解答题，因此，我们既要注重它的基础性和工具性，又要兼顾它的灵活性和新颖性，注意培养应用三角工具解题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力。
下面以2013年新课标全国Ⅱ卷（文、理）三角函数试题为例做粗浅解析。
1 原题再现
①（文4）ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，b=2，B=[π
6]，C=[π
4]，则ABC的面积为多少？
②（文6）已知sina2α=[2
3]则=cos2（α+[π
4]）=？
③（文16）函数y=cos（2x+）（-π≤≤π）的图像向右平移[π
2]个单位后，与函数y=sin（2x+[π
3]）的图像重合，则=__？
④（理15）设θ为第二象限角，若tan（θ+[π
4]）=[1
2]，则sinaθ+cosθ=__？
⑤（理17） ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求ABC面积的最大值.
2 试题解析
①这道解三角形的考题，以小题形式出现，属容易题。解三角形问题主要指求三角形中的一些基本量，即求三角形的三边、三角、面积等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序。本题考查的知识点有：正弦定理，面积公式，诱导公式和角正弦公式。
②这道题属于利用三角恒等变换求三角函数值的类型，三角函数化简的通性通法是从函数名、角、运算三方面进行差异分析，再利用三角变换使异角化同角、异名化同名、高次化低次等。求解此类问题的关键是能根据问题的特点发现差异（观察函数名、角运算间的差异），寻找联系（运用相关三角函数公式，找出差异之间的内在联系），合理转化（选择恰当的三角函数公式，促使差异的转化）。尽管此题属一道容易题，但是学生对于掌握升降幂公式历来都是一个难点，常常犯错。因此，我们在教授此知识点时，一定要让学生大量练习，灵活掌握。教材在这部分内容上给出了大量的习题，目的也在于此，所以高考备考复习时要抓纲务本，重视基础。
③这道图像变换题作为填空题的压轴题出现，对于文科学生来说还有一定难度，难度一：函数名、角不同；难度二：图像平移变换；难度三：正、余函数间的相互转化（利用诱导公式）。高考对三角函数的图像变换主要考查两种类型：先作周期变换、再作相位变换；先作相位变换、再作周期变换。
④这道题中，角的范围限定，属于容易题，但也有一定的综合性，因为集知识性、思想性、方法性于一体，不失为一道好题：a.考查和角正切公式；b.考查方程思想和化切为弦的转化思想；c.考查同角三角函数关系。
⑤解三角形问题是三角函数问题的姊妹题，在高考中与三角函数具有同等重要的位置，近几年新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主。在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角两角和与差的正三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值。这道题作为解答题的第一个门槛，学生需要一定的知识储备和灵活的逻辑推理能力。它以考查正弦、余弦定理及三角形面积公式为载体，以边角转化思想与和角正弦公式为纽带，以基本不等式放缩为技巧，带有一定的综合性和灵活性，属于中档题，且有一定的难度，这道题困扰学生思维的地方有：第一，化边为角的转化思想（正弦定理）；第二，角A正弦转化为角B+C正弦的转化思想；第三，运用基本不等式放缩求最值的技巧。像这种体现基本知识、基本技能和基本技巧于一身的优秀考题，我们在今后的备考复习中应多加训练，融会贯通。解答如下：
（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB ①；
又A=π-（B+C），故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC ②；
联立①，②和C（o，π）得sinB=cosB.由于所以B（o，π），所以B=[π
4]。
（Ⅱ）ABC的面积S=[1
2]acsinB=[ [2]
三角函数在每年的高考中都是必考的知识点，重要性不言而喻，如何解决学生在三角函数运算部分出错率高的问题，将是一个很重要的课题。那么，学生在三角函数运算方面出现解题错误的原因主要有哪些？我们在今后的教学活动中应该怎么做才能有效解决学生出错率高这一问题？
一、关于符号问题
使用同角三角函数关系式、诱导公式、二倍角公式等，都易在符号上发生错误，分析原因，主要是学生对观察原角所在象限来决定符号的实际意义理解和掌握得不够深刻具体，应当引导学生在领会三角函数的基础上，能够据以使用这角终边上的点的坐标的符号来判定，就以使用带有根号的半角公式为例运算的步骤是首先求出这个单角的余弦，然后再考虑根号前正负符号的选择是取决于这个半角所在象限内原函数应具有的符号，对此，对使用这个公式所决定的符号可总结如下：
1.若没有给出决定符号的条件，则在根号前应保持正负两种符号
例1.已知cosα=■，求cos■的值。
由二倍角的公式变形得cos2■=■（1+cosα）
cos■=±■
2.如果给出了角α的大小，应当先求出■的大小，然后按照 所在象限原函数的符号决定公式的根号前应有相同的符号
例2.已知cosα=■，且α∈（0，π），求cos■的值。
由二倍角的公式变形得cos2■=■（1+cosα）
α∈（0，π），■∈（0，■）
cos■=■
3.如果给出的角是某象限角时，则依角的终边所在可能的象限来判断符号
例3.已知cosα=-■，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值。
α是第二象限角且cosα=-■
sinα>0，tanα
sinα=■，tanα=■
二、关于运算的准确问题
应用三角函数关系公式进行运算时，学生容易发生错误。
1.明确公式的用途
只有当学生理解了所学公式的用途和适用范围，才能在使用时目的明确，熟练稳准。例如，讲同角三角函数关系式后，通过练习题演算，使学生了解这些公式的应用范围包括以下几个主要方面：
①已知一个角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值
②用一个角的一个三角函数表达出该角的其他三角函数
③化简三角函数式
④证明三角恒等式
在三角函数的教学中，应发挥单位圆和三角函数的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象和基本性质。
2.加强运算中的检验
在数学教学中，随时都应注意对学生的运算加以严格的要求，更需要让他们养成检验的习惯，除了在运算时应当有演算底稿，运算的步骤规格要一致外，还要为检验创造良好的条件。在三角函数中还可以引导学生利用概念与公式间的联系，加强这种训练。例如开始应用诱导公式运算时，出错率较高，我们可以引导学生用三角函数线或三角函数定义来验证所取的符号，以后也可以用两角和差的三角函数进行检验，等到学生有了检验的习惯以后，再进一步培养他们选择简捷而有效的检验方法。
三、使学生明确公式间的活用
新课标要求，能运用公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明。能灵活运用公式进行简单的恒等变换，我们要求学生掌握公式要做到两用，两用就是“能正面用，也能反面用”。只有这样，才能在解决实际问题时做到灵活应用。如：倍角的余弦公式中倍角的形式是2α，而这个形式，对于4α，则可以写成2（2α），而有
sin4α=2sin2αcos2α
Cos4α=cos22α-sin22α
=1-2sin22α=2cos22α-1
同样，α也可以写成2（■），■写成2（■），如果引导学生仔细观察一下，发现等式两端的角的量数始终保持着“2”对“1”的关系，抓住这个规律，就不会僵化地死记这个公式，同时倍角的余弦：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，又可变形为：cos2α=■（1+cos2α），sin2α=■（1-cos2α）
前者是由单角表示倍角的三角函数间的变形，用它可以使三角函数式中某些项升幂；而后者是由倍角表示单角的三角函数间的变形，用它则可使三角函数式中某些项降幂，这些对三角函数式的恒等变换和解三角方程很有帮助，也扩大了公式的活用范围。
四、使学生运算时注意总结规律
三角函数问题中我们应随时注意引导学生善于对所用知识与练习题进行分类归纳，总结方法，探寻规律，以不断提高他们思考、推理和判断的能力。例如，刚接触三角函数性质综合题时，学生常感到不知道怎样在开始时引用公式，或恰当地选择公式。在最初练习中，我们有必要给予一些指导、提示或是演示。
已知函数f（x）=sin2x+asinxcosx-cos2x，f（■）=1，求常数a的值及f（x）的最小值。引导学生先利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f（x）=Asin（？棕x+？渍）的形式，然后借助三角函数的图象及性质去研究f（x）的相应性质。通过在三角函数教学中对学生运算问题的研究，在解答题中，要注意先利用三角恒等式进行化简，再研究函数的图象和性质。
关键词：初中 数学 几何画板 强化 掌握
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1674-2117（2014）10-0133-01
1 争做几何画板的“应用者”，远离“开发者”的困扰
有些初中数学教师在学习几何画板的过程中，好高骛远，尤其是看到一些大师级的优秀作品，更是热血沸腾，也幻想着开发一些这样的“神作”。但教师应明确学习几何画板是作为应用者，是以此来辅助数学教学，促进学生掌握数形关系和几何规律，提高课堂教学效果的，并不是定位于“开发者”。
2 强化数学教学实践，快速掌握几何画板操作技巧
2.1 学会点、线、圆基本绘制图形方法
几何画板是以点、线、圆为基础元素，按照某种几何关系进行绘图，再进行相应的变换、测算、动画等。这是几何画板的基础操作部分，需要数学教师打好坚实的绘图基础。教师可在讲解图形的基本认识、相交线与平行线、三角形时，充分利用几何画板功能，绘制出规范的几何图形呈现给学生，尤其是探究相应绘制图形的几何定理或规律时，数学教师要有效利用几何画板的功能，约束好相应点线面的关系，规范作图，不可马虎应付。提倡数学教师在可能的情况每节课都用几何画板细心临摹教材上的图形，总结各种基本图形的绘制方法和技巧，这样有利于大幅提升几何画板操作的基本功，为后期复杂图形的绘制和变换打下扎实基础。
2.2 掌握应用构造、变换绘制复杂作图技巧
对构造菜单和变换菜单的学习，可实现复杂图形的绘制，而是一些复杂曲线的绘制，需要综合运用数学思维和知识能力，才能巧妙地绘制出来。例如，绘制一个矩形，就应用到平行线和垂线的数学知识；绘制一个椭圆形就需要构造轨迹满足“平面内，到两个定点的距离之和等于定长的点的集合”条件；绘制函数系、曲线系等，这都需要数学教师强化教学实践，转化数学思维，通过几何画板把所要讲解的数量关系和几何规律表现出来，让学生去学习探究、讨论总结，从而掌握数学知识。
又如，讲解全等三角形、对称中心图形等数学知识时，都可以通过几何画板的变换菜单实现复杂动态演示效果，通过这些样例，可大大提升几何画板变换操作技能，如旋转对象、平移对象、缩放对象、反射对象等。尤其是几何画板中复杂的迭代和自定义变换功能，数学教师仍然可以通过教材中的相关数学拓展知识或实际问题解答来得到充分学习、练习、提高。只要数学教师用心挖掘数学课本教材中的几何画板演示资源，每个例题、习题、定理、图形、作业都可以成为提高几何画板操作技能的素材。
2.3 熟练函数图像绘图技巧
几何画板的强大坐标系和函数绘图功能，为探究一次函数、反比例函数、三角函数、二次函数等函数图像规律和性质，提供了强有力的支撑平台。例如，y=ax^2+bx+c这个函数图像要是手动描点作图是比较困难的，但通过几何画板的简单操作就可快速画出函数图像，并通过这个函数图像得到它的定义域、值域，函数性质等。通过参数、计算可以动态控制a、b、c生成动态值，还可创建函数系更进一步对比观察函数性质等，通过这些数学知识点的讲解与运用，相信相关的几何画板操作，也得心应手了。
2.4 精通动态生成性、交互性的几何画板作品
几何画板带有参数、计算、操作类按钮、跟踪等动态性、交互，可创建复杂的辅助教学课件。例如，在讲四边形时，数学教师可轻松绘制出三角形，从三角形入手进一步研究四边形性质，那如果拓展到五边形、六边形呢？这就需要绘制出一个带有参数和操作按钮控制的正N多边形的复杂图形，通过这样一个综合样例的操作练习，可提高初中数学教师应用几何画板分析、解决数学问题能力，进一步把运用几何画板处理数学问题，探索几何的奥秘变成一种教学艺术的享受。
2.5 熟练利用自定义工具，拓展设计应用技巧
经过多年中国板友的开发与积累，几何画板的最新版本汇集了一大批实用的样例和主定义工具，初中数学教师可有效利用这些自定义工具，拓展应用设计，减少开发时间周期和精力成本。例如，要绘制正十二面体，在立体几何的自定义工具列表里就有绘制菜单选项，我们直接选择就可以绘制出任意正十二面体，非常方便快捷。在精力和时间允许的情况下，也可以打开自定义工具的源文件，研究其实现原理和细节，可以拓展功能，积累经验，打造自己个性化的自定义工具。
3 拓展课外探索，强化工具应用技巧
几何画板是数学学习的终身工具，不仅限于数学教学课堂内应用，还可拓展至课前备课、课外拓展、习题作业、竞赛题型解答、考点分析等。例如，可结合每年中考几何证明题，创建几何证明题库；可创建初中函数图像库，对比初中所有函数性质和图像等。教师通过大量的实践积累，在技能飞速增长的同时，不仅可以汇集大量个性化的几何画板辅助课件，形成独具特色的资源库，同时，也为学生自主探究学习提供了平台，可谓一举两得。
综上所述，初中数学教师通过结合自身数学教学实践，转化成几何画板的数学思维，加强几何画板实践练习，从而提高几何画板数学设计思想和发散思维水平，可快速提高几何画板操作能力，熟练应用几何画板提供的数学教学环境，巧妙运用丰富方便的数形创造功能，高效提高初中数学课堂教学质量。
（山东省邹城市太平中学，山东 邹城 273500）
参考文献：
[1]罗凌燕.对几何画板在初中数学教学应用的探讨[A].教育技术应用与整合研究论文，2005.
摘要：弄清平移的实质、平移的方向是解决向量平移问题的关键. 在教学中可以通过点的平移，利用数形结合及由特殊到一般的方法推导出平移公式，引导学生理解和掌握平移的本质，再把它拓展到函数平移问题进行解决.
关键词：向量平移问题；平移公式；平移本质；函数平移
向量平移问题是高中数学教材的重要内容之一，也是高考的常见考点之一. 利用向量平移公式可有效地解决平面上点的平移问题及函数的平移问题. 它涉及的三个量――平移前的坐标、平移后的坐标及平移向量可以通过平移公式联系起来. 而弄清平移的实质、平移的方向是解题的关键，也是正确运用平移公式解决问题的前提条件. 粤教版教材在处理此问题时体现了入口大，坡度高的特点，给学生的学习带来了一定的困难. 因此，教学设计中要根植于教材、用好教材，而不拘泥于教材，要引导学生把握平移的本质，不断深化对数学思想方法的理解和掌握，拓展思维空间，提高思维水平.
教学目标为:（1）理解向量平移的概念. （2）理解向量平移的实质，弄清向量平移方向与图象平移方向两者之间的关系. （3）理解平移公式中各个坐标的意义. （4）进一步领悟特殊与一般及数形结合的思想方法.
教学重点为：（1）向量平移的实质. （2）平移公式及其运用.
教学难点为：运用向量平移的实质及平移公式求向量平移中的坐标、函数解析式等.
教学过程中的问题引入需要设计问题，激发兴趣，提出问题，引发学生思考.
问题1 请大家思考下列问题，看看能否用图示方法求出点的坐标及向量.
（1）在直角坐标系xOy中，将点A（-2，3）向左平移2个单位，再向上平移3个单位到B点，求B点的坐标. 本题中的向左平移2个单位，再向上平移3个单位能否表示为向量a=？
（2）在直角坐标系xOy中，将点A（x，y）向右平移3个单位，再向下平移2个单位到点B（4，-2），求A点的坐标. 本题中的向右平移3个单位，再向下平移2个单位能否表示为向量a=？
（3）在直角坐标系xOy中，将点A（-2，3）向左或向右平移a1（a1＞0）个单位，再向上或向下平移a2（a2＞0）个单位到点B（4，-2），求a1，a2的值. 本题中的平移能否表示为向量a=？
点评 设计一个好问题，建立数与形的结合，让学生参与课堂教学活动，开展自主探索与合作交流，从中发现规律及问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程.
[⇩]向量的平移公式及平移向量的实质
1.问题导学 拓展问题，深入思考，探索及发现规律，把握本质.
问题2 用图示方法解决此类问题虽然直观、好理解，题中的数也都是整数，容易看出来，但它们的坐标关系能否用一个关系式表示其本质？另外，由以上三个例子，你能发现平移向量a的实质吗？
点评 学生在观察、操作、归纳、猜想、验证、推理等活动中体验数学，并通过设计的一串问题促进思维发展.
2. 探究与发现 通过解决问题，让学生感知知识的生成过程及对知识进行意义建构.
问题3 在直角坐标系xOy中，将点A（x，y）按向量a=（a1，a2）平移到点B（x′，y′），求B点的坐标.
解析 将问题1一般化，让学生探究三个坐标的关系. 向量平移公式为向量加法的三角形法则，即+a=. 平移向量a的实质：可以把平移看做是分两步完成的，先向左或向右平移横坐标，再向上或向下平移纵坐标. a1＞0表示将点向右平移a1个单位长度，a1＜0表示将点向左平移a1个单位长度；a2＞0表示将点向上平移a2个单位长度，a2＜0表示将点向下平移a2个单位长度.
[⇩]求解点的向量平移问题的方法
1. 知识运用与巩固 学以致用，巩固新知识，弄清平移前后的坐标关系，掌握解题方法，并注意题目的类型.
问题4 用什么方法求下列各题的坐标？
（4）在直角坐标系xOy中，将点A-
，2按向量a=（2，-1）平移到点B，则点B的坐标是 .
（5）在直角坐标系xOy中，将点A（x，y）按向量a=（1，-2）平移到点B（-4，3），则点A的坐标是 .
（6）将点A（-3，-4）按向量a=（a1，a2）平移到点B（5，4），则a= .
点评 通过由特殊到一般，再由一般到特殊的思想方法，运用平移向量的实质及平移公式解决问题.
2.师生互动预设
生：（4）题是已知平移前点的坐标及平移向量求平移后点的坐标，可用平移向量的实质或平移公式解决.
（5）题是已知平移后点的坐标及平移向量求平移前点的坐标，可用逆向思考向量平移的实质解决，也可用平移公式解决.
（6）题是已知平移前后点的坐标求平移向量，可用平移向量的实质解决，也可用平移公式解决.
师：由以上解法可知，解决这类问题最基本的方法是使用平移公式，但必须弄清平移前后的坐标及向量坐标.
[⇩]函数图象的向量平移
1. 问题拓展 变式探求新知，深化对向量平移实质的认识，巩固平移公式及其应用.
问题5 函数图象是由满足一定条件的点集合而成的. 在（4）（5）（6）题中，把A点变换为函数，平移向量不变，又如何解决？它们又是什么类型题？例如：
（7）把y=cosx的图象按向量a=（2，-1）平移后得到函数y=f（x）的图象，则y=f（x）的解析式是.
（8）把y=f（x）的图象按向量a=（1，-2）平移后得到函数y=ex-2+3的图象，则y=f（x）的解析式是.
（9）若函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到函数y=f（x+2）－3的图象，则a=.
点评 函数图象的向量平移实质是点的坐标平移，也就是说平移的实质不变，平移公式同样适用.
2.师生互动预设 学生合作交流讨论后说结果（以下相同）.
生：（7）题是类型1，也就是给出平移前的函数解析式及平移向量，求平移后函数的解析式. 可用方法1（向量平移的实质）和方法2（向量的平移公式）进行求解.
3. 探究与发现 在问题的解决中发现规律，把握本质.
问题6 对于（7）题，能不能把它推广到一般情况？结果是什么？能发现什么规律？
生：能. 把函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到的函数图象解析式是y－a2=f（x－a1），也就是把原来的函数y=f（x）中的x换成x－a1，y换成y－a1，可以将其表示为[y=f（x） y－a2=f（x－a1）][平移向量a=（a1，a2）].
师：正确啊！这是运用了由特殊到一般的思想方法，也就是通过认识一道题来深刻理解和掌握这一类型问题的解法及其规律. 同学们同样可以用这种思维方法解决（8）（9）两题.
生：（8）题为类型2，也就是给出平移后的函数解析式及平移向量，求平移前的函数解析式. 解决的方法如下.
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方法1（向量平移的实质）；方法2（向量平移的公式）；方法3（逆向思考向量平移的实质）：把y=ex-2+3看成原函数，按a=（1，-2）的相反向量-a=（-1，2）平移，则可得所求函数. 即把y=ex-2+3的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，即y=f（x）=ex-1+5.
方法4（逆向思考向量的平移公式）：把y=ex-2+3看成原函数，按a=（1，-2）的相反向量-a=（-1，+2）平移，设A（x，y）是函数y=ex-2+3图象上的任意一点，平移后函数图象上的对应点为B（x′，y′），由平移公式得x′=x－1，
y′=y+2， 即x=x′+1，
y=y′－2 . 代入y=ex-2+3得y－2=e（x+1）-2+3，即y=ex-1+5. 故y=f（x）=ex-1+5.
问题7 对于（8）题，能不能把它推广到一般情况？结果是什么？能发现什么规律？
生：能. 把原函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到的函数图象的解析式是y=g（x），求原函数y=f（x）的解析式. 则y=f（x）就是y+a2=g（x＋a1）. 也就是把函数y=g（x）中的x换成x+a1，y换成y+a2即得结果，即[y+a2=g（x+a1） y=f（x）][平移向量a=（a1，a2）].
师：正确啊！这也是运用了由特殊到一般的思想方法，也是通过认识一道题来深刻理解和掌握这一类型问题的解法及其规律. 同学们同样可以用这种思维方法解决（9）题.
生：（9）题为类型3，也就是已知平移前后的函数解析式，求平移向量. 解决的方法如下.
方法1（向量平移的实质）；方法2（向量的平移公式）；方法3（逆向思考，即上面的方法3及方法4）.
问题8 能不能把（9）题推广到一般情况？结果是什么？能发现什么规律？
生：能. 把已知的原函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到的函数图象解析式是y=f（x＋h）＋k，h，k∈R且为常数，求平移向量a=？则y=f（x＋h）+k就是y′－k=f（x′＋h），与平移前的函数解析式y=f（x）比较可得y=y′－k，
x=x′+h， 即x′=x－h，
y′=y+k与平移公式比较得a1=－h，
a2=k.平移向量a=（-h，k）.
即[y=f（x） y′-k=f（x′+h）][平移向量a=（a1，a2）]，则y=y′－k，
x=x′+h .这就是平移关系式，也即
a1=－h，
a2=k .
师：完全正确！在学习中我们要善于从特殊中发现共性的东西，再尝试将其推广到一般性，从中发现规律.
点评 问题（6）、问题（7）、问题（8）引导学生多联系、多联想、多反思、多类比，在变式教学中学会归纳类型、总结规律，把握问题的实质.
4. 反馈练习
（1）按向量a将点（2，－3）平移到点（1，－2），则按向量a将点（－2，3）平移后的点是（）
A. （－3，4） B. （－1，2）
C. （4，－3） D. （2，－1）
（2）把y=x2+4x+5的图象按向量a经过一次平移后得到y=x2的图象，则a为（）
A. （2，1） B. （－2，1）
C. （－2，－1） D. （2，－1）
（3）若直线2x－y+c=0按向量a=（1，－1）平移后与圆x2+y2=5相切，则c的值为（）
A. 8或-2 B. 6或-4
C. 4或-6 D. 2或-8
（4）点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）. 设开始时点P的坐标为（-10，10），则5 s后点P的坐标为（）
A. （－2，4） B. （－30，25）
C. （10，－5） D. （5，－10）
（5）把函数的图象按向量a=－
，3平移后得到函数y=sin2x的图象，则原函数的解析式是（）
A. y=sin2x+
+3
B. y=sin2x-
－3
C. y=sin2x+
－3
D. y=sin2x-
+3
5. 课堂小结
（1）向量平移公式.
（2）求点的向量平移问题：三种类型及其解题方法.
（3）函数图象的平移问题：三种类型的解题方法以及规律.
（4）基本思想方法：①数形结合的思想；②一般与特殊的思想.
（5）通过例题的变式教学学习，让学生从中学会分析问题、解决问题，并发现规律.
本节课的主线：点的平移平移向量向量平移公式点的坐标按向量平移的三种类型函数图象按向量平移的三种类型及其解题方法按向量平移前后的函数解析式的变化规律.
这节课就围绕这条主线设置问题，以问题的形式对教材进行整合，并适当引申. 教师授人以“渔”，让学生学会思考. 实践证明，这样的设计更能激发学生的学习兴趣、探究问题的意识和思考能力，促进他们数学能力的发展.
[⇩]教后反思
教是为了不教. 教学过程是促进学生思维发展的过程. 只重视知识的传授，而忽视能力、智力等方面综合发展的教育已不能满足现实需要. 学会思考，掌握解题规律才是我们追求的目标. 教学不仅是练，更要注意“变变变”，所以，教师应试图从一道题引出一类题. 从一题出发，不断地改变题中的条件，环环相扣，步步为营，逐层推进，加强逻辑性，提高效率. 同时注意总结反思，回顾经历了哪些过程才做出了这道题，还要做到层次分明，从而培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新潜力，形成探究意识，提高应变能力.
教学生“学会思考”及怎样从题海中解放出来. 学会思考和掌握解题规律同样是我们追求的目标. 学会思考不同于概念复习，属于默会知识，需要一个长期的过程.
培养学生的主要能力――知识运用能力、分析问题的能力、解决问题的能力. 老师不仅要过程，更要讲原理. 多让学生感到自然，并感到没有强加于他们，尽可能（不是全部）使学生觉得，老师能想到的，他们也能想到，使学生真正理解问题的所在. 要“鱼”“渔”都给学生，重视思想方法的复习，从源头上解决问题.
没有把解题的各种方法作为本课的重点，而是要将求向量平移的坐标作为本课的重点，把解决问题思考的出发点作为本课的核心内容. 通过变换题目的条件与结论，使学生遇到求向量平移问题时，学会思考问题，知道如何下手，而不是利用各种方法进行简单、机械地操作.
怎样实施解题教学？解题规范包括审题规范、语言表达规范、答案规范. 解题教学不仅是练，更要注意“变变变”. 教师试图从一道题引出一个话题，通过开放一题达到复习一片的目的. 在设计本课时，从一题出发，不断地改变题中的条件，环环相扣，加强逻辑性，提高效率. 同时培养学生的发散思维能力，挖掘出学生的创新潜力，让他们形成一定的探究意识，从而提高他们的应变能力.
解决教学必须注意总结反思，回顾经历了哪些过程做出了这道题，做到层次分明. 条件用在哪里？结论合理吗？多问几个为什么. 通过解剖一个个小问题，达到提高学生分析问题和解决问题的能力. 一定要做好题后反思，哪怕只有一句话，也必须在质量上下工夫，而不仅仅是数量.
