关键词： 初中数学 课堂教学 案例教学
案例是学科知识内容精髓的生动“代言”，是教材学习要求的有效“承载”，更是教师教学目标意图的重要“展现”。案例教学是初中数学课堂教学的重要环节，也是教师课堂教学的重要任务。案例教学看似对数学问题的讲解活动，实际需要综合多方面教学要素，结合学与教的实际情况，因地制宜，科学施教，是一项系统性的教学工程。近年来，随着新课程改革的深入推进，初中数学案例教学的要求和标准随之发生与时俱进的变化。案例教学更关注学与教之间的互动，更关注学生能力素养的培养及情感情操的培树。笔者以为现行初中数学课堂之中的案例教学活动，将视野放置案例教学的整个全过程，渗透以生为本思想、体现能力培养是第一要务。鉴于上述感知，现简要论述对初中数学课堂实施案例教学活动的认识及思考。
一、教材要点要义融入其中，体现案例教学的针对性
案例教学是为数学教材教学服务，案例应是数学教材要义的深度概括体和集中展现体。数学案例教学的目的是帮助学习对象巩固强化对所学数学知识、所获解析技能的认识和理解。初中数学教师实施案例教学活动时，要将设计数学案例作为首要工程、基础性工作，把教学意图、教材内涵等融入数学案例之中，设计的数学案例要具有很强的针对性和代表性，使初中生通过数学案例这一“镜子”窥探教材知识点的深刻内涵及教学目标要求，从而让初中生获得更直观、更深刻的数学知识内容要义，感受更真切的数学教学目标要求。
如“等腰三角形”一节课案例教学时，教师在案例预设环节根据该节课“经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形”、“能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质”教学目标及“等腰三角形的性质”、“等腰三角形的判定”等知识点的深刻内涵，在此基础上充分结合以往初中生在该节课学习认知中的实际情况，设计出“如图所示，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数”等数学案例。该数学案例的意图是考查初中生对“等腰三角形的性质，等腰三角形的判定”等数学知识点的掌握和利用情况。初中数学教师通过上述针对性数学案例的有效运用，能够有效帮助初中生深刻理解和掌握数学知识点内涵，并对其使用注意事项有较为准确的理解和掌握。
二、双向互动交流渗入其中，体现案例教学的互动性
案例教学作为数学课堂教学的关键部分和重要环节，自然秉承数学课堂教学的双向互动特性。任何学科的教学活动，不是教师或学生“独自为阵”的单边个体行动，而是相互贯通、相互配合的协作互动活动。教师和学生只有深入其中，深刻互动、深度配合，才能实现学与教主体和主导特性的有效展现，才能使学与教活动效能的“最优化”。因此，在案例教学中，教师要体现互动特征，双向特性，将案例讲解的过程转化为师生互动的过程，组织初中生参与案例探析活动，与教师或其他学生个体围绕案例的解题思路及解答方法等重点环节进行深入讨论、交流、沟通等，促使初中生更深入地思考、研析，提升案例教学的实效。
问题：已知一次函数与反比例函数的图像交于点A（-2，3）、B（m，-2）.（1）求这两个函数关系式;（2）求该一次函数图像上到x轴的距离为5的点的坐标;（3）在这个反比例函数图像的某一支上任取点M（a1，b2）和点N（a1、b2），若a1
初中生个体之间感知问题条件的小组合作学习活动得到其认知体会：该问题主要考查一次函数与反比例函数的关系，特别关于反比例函数与一次函数的交点问题。
教师与初中生围绕解题要求，共同梳理题意条件关系和内涵，指出：一次函数与反比例函数的解析式可以采用待定系数法、观察图像的方法予以解决。在解决第三小问时要充分考虑两个点所在象限的异同情况。
初中生自主思考探知得到解题思路，教师予以强调，初中生进行思路完善，开展解题活动，过程略。
三、主体参与探析纳入其中，体现案例教学的发展性
案例：如图所示，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高。求证：OB=OC;如果∠ABC=50°，求∠BOC的度数。
初中生解析：结合问题条件及三角形全等的判定定理，可以通过证明三角形全等的形式，求证得到OB=OC。要求∠BOC的度数，可以通过三角形的内角和求得∠A的度数，然后通过四边形ADOE的内角和得到∠DOE的度数，从而得到∠BOC的度数。
教师点评：该问题主要是运用全等三角形的判定和性质及三角形的内角和定理等。
初中生修正解题思路，得到其思路为：根据题目已知条件可以先证明ABD和ACE全等，得到条件进而证明BOE与COD全等，从而得到OB=OC。再利用等腰三角形的性质及三角形内角和得到∠A的度数，然后通过四边形ADOE的内角和得到∠DOE的度数，从而得到∠BOC的度数。
教师组织初中生合作探析归纳解题方法：通常可通过证明三角形全等证明线段相等，计算角度时一般都会利用三角形或者四边形的内角和性质。
在上述教学活动中，初中生成为案例教学活动的实际践行者，学生的主体地位得到了尽情的“释放”，深度参与到了案例讲解的全过程，其探究数学的能力、分析思考的能力及推导归纳的能力等得到显著提升和发展。
由此可见，初中生参与其中的案例教学，贯彻和落实了新课程标准提出的“学生永远是第一核心，能力永远是第一要义”的教学要求。教师在具体讲解进程中将初中生学习技能锤炼和培养渗透于案例讲解中，既要提供初中生进行案例感知、探析、解答的亲身实践活动机会，又要重视初中生探究过程的指导和点拨，保证其探究活动的效果，针对他们解题中出现的认知疑惑、解析困难等情况，予以及时、科学的指导，在推动初中生数学解题进程的同时，实现数学探究分析效能的提升。
总之，初中数学教师在案例教学中只有始终遵循新课程标准，把学生放置于核心地位，凸显学习能力培养的第一要义，既注重主体的认知、解析训练，又强化过程的指导和讲解，实现案例教学效能的最佳目标。
参考文献：
关键词：思考；自然；客观规律
新冀教版初中数学教材将直角三角形的几条重要性质合为一节课，在八年级上17.2进行专门研究，除了比原来几种版本的呈现方式较集中外，更能显示出直角三角形的重要性和特殊性，也体现了新版教材编者的独具匠心。新教材中证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这条性质定理时，先通过折纸活动引导学生发现这个命题，再证明所发现的命题。具体证明如下：
在备课时，我感觉这种方法综合应用了学生目前学过的多条基本事实和定理，在解决问题的同时，又达到了复习回顾的目的，不过对于刚进入初二的学生来说，显得有点复杂。于是我就想：“能不能用其他方法证明这条定理呢？”带着这个问题，我进行了思考和探究，发现了以下解决方案：
1.仍然使用图2的辅助线，借助“经过三角形一边中点并且平行于另一边的直线，必平分第三边”这条定理，再结合线段垂直平分线的性质定理即可得证；
2.将图2所作的两条平行辅助线改为作垂直也能进行证明，方法与教材的类似；
3.利用中心对称构造全等三角形进行证明；证明过程如下：
5.利用矩形对角线的性质证明，也就是②原冀教版教材中这条性质的证明方法。证完以后，我认真比较了上述几种方法，感觉虽然每种方法都添加了辅助线，却也各有特点：方案1和方案5证法简单，不过缺点是现在学生还没有学到相关知识；方案3的方法较少使用，学生不易想到；方案4是遇到已知条件中有中线的题目时，经常使用的一种特殊条件下的方法；那到底哪种方法学生更容易理解和接受呢？在学了本节课之后，我又将方案3和方案4的方法讲给学生，学生们在比较之后，不少人认为方案3和4的方法简单，可也有一些学生发出这样的疑问：“老师，为什么要这样添加辅助线呢？”
是啊！为什么要这样添加辅助线呢？
为什么呢？继续思考，我发现自己之所以能够思考出方案1、方案4和方案5，是因为我拥有这样的学习经验，而方案3则是我从原冀教版教材中的证明方法中受启发，添加辅助线构造全等三角形进行证明，也是基于原有的知识积累。可是我们面对的学生却没有这些学习经验，如果我们硬生生的将这些添加辅助线方法教给（或灌输给）学生，从知识形成和解决问题的角度看是牵强的，从新课改的角度看也是应该摒弃的。再看教材的处理，先通过折纸活动引导学生发现这个命题，再受折纸活动中折痕的启发，引发了在折痕处添加辅助线的猜想，进而进行证明。整个过程自然流畅，顺理成章，不会让人感到辅助线的添加不自然，也不会显得突兀。这样一想，就不难理解教材的用意了。冀教版数学新教材在很多地方的处理都是重视知识的自然产生，重视知识间的内在联系，遵循人们发现问题、解决问题的客观规律，紧跟新课改的理念，是许多专家、学者和一线教师智慧的结晶。我们一线教师在实际教学中只有深刻理解新教材，紧密联系自己的教学实践，才能培养出适合时展的合格学生。
写到这，本该结尾了，可我脑中又产生了更深层次的思考：虽然证明这条定理时添加辅助线比较自然，但是整条定理在这里呈现却显得不那么自然。集中研究直角三角形没有错，但并不代表一定要把直角三角形的所有性质不分难易一股脑的研究。既然我们要重视知识的自然产生，遵循发现问题、解决问题的客观规律，既然这条定理用以后的知识证明起来更自然，更简单明了，那何不待到时机成熟时再行研究，水到渠成，何乐而不为？
一家之言，不当之处，还请方家指正。
参考文献：
[1]数学.八年级.上册/杨俊英编著.—石家庄：河北教育出版社，2012.7义务教育教科书G 第148页.
一、教学误区
1.数学思维的含金量不高
苏科版《义务教育教科书・数学》（以下称“苏科版”）八年级上册教材，在“等腰三角形的轴对称性”这一内容中，就探究“等腰三角形的性质”提供了下列教学素材：把等腰三角形纸片（图1）沿顶角平分线折叠，你有什么发现？
……
探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一内容，又提供了下列教学素材：剪一张直角三角形纸片，如图2（1）。
……
把纸片按图2（2）所示的方法折叠，再把纸片展开并连接CD（如图2（3）），你发现了什么？
……
教材的编写意图，显然是要让学生通过实验操作来获取等腰三角形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等一系列的结论。这种由操作到结论的方法，解决问题的入口宽，操作简便，不失是一种帮助学生探究问题的好办法。
教学中，如果将教材中的操作原封不动地呈现给学生，对于基础差一点的学生，运用这种方法，显然在激发学生兴趣的同时也获取了知识。而对于基础好一点、思维能力强一点的学生，让他们被动地按照上述的操作指令进行实验，即使得到有效结论，也只是在茫然中获取的。这种“指令性操作”，只有折叠的技术要求，没有思维的活动内涵，久之，势必削弱学生数学思维的含金量。如果只是用技术做实验，那么数学课与技术课、劳技课还有差别吗？建立在“指令性操作”这一层面上的实验与教学中一贯反对的“告诉式”、“注入式”教学有差别吗？这值得研究与探讨。
2.实验价值利用率不大
“苏科版教材”（八年级上册），在“多边形的内角和与外角和”这一内容中，提供了下列教学素材：
在小学里，我们曾经把一个三角形的3个角拼在一起，发现了“三角形的内角和是180°”的结论。（笔者以下称“拼角实验”）
如图3，在ABC的边AC所在的直线绕点A按逆时针方向旋转的过程中，直线AC与边BC的延长线分别交于点C1、C2、C3……
（1）在上述过程中，哪些角的大小发生了变化？
（2）度量∠BAC与∠ACB，并求它们的和;度量∠BAC1与∠AC1B、∠BAC2与∠AC2B、∠BAC3与∠AC3B……并分别求它们的和。你发现了什么？
（3）当直线AC绕点A旋转到AC′，使AC′∥BC′时，度量∠BAC′的度数，你发现了什么？（笔者以下称“转角实验”）
“拼角实验”主要是发现三角形内角和定理，并由拼角实验的启发，得到证明三角形内角和的辅助线。而在实际教学中，老师只开发出实验的发现价值，实验结束后，没有将研究的价值从拼角的过程中迁移到论证的辅助线的作法上来，这样就丧失了这个实验的教学价值。
同样，在“转角实验”中，其价值一是用“控制变量法”来研究三角形的内角和。即控制三角形中的一个内角∠B不变，通过变化∠BAC、∠ACB的大小，发现∠BAC与∠ACB的和不变，进而得到三角形的三个内角的和不变，是一个固定值，从而激发学生进一步的探究欲望。价值二是探究三角形三个内角和这个固定值是多少，发现三角形内角和定理。价值三是从实验的过程中，寻找到证明三角形内角和定理的辅助线的另一种作法，从而为证明三角形内角和为180°服务。在教学过程中，教师往往将转角实验单一地理解为发现三角形内角和定理，价值一、价值三被忽视了。
3.数学本质的迁移性不强
“苏科版教材”（七年级上册）有这样一道习题：
桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻转2只，能否经过若干次翻转使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻转3只，能否经过若干次翻转使7只杯子的杯口全部朝下？
教学中有不少教师让几位同学拿上7个纸杯到讲台桌旁进行实验，或者让学生预先准备好纸杯，上课时自我实验。第一次，翻动后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻动后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻动后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻动后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分钟过去了，两分钟过去了，四分钟过去了……时间一分一秒的流逝了，学生却随着时间变得昏昏沉沉，手忙脚乱，连翻动了几次也数不清，怎么也想不出来解决这个问题的思路。最后，教师不得不告诉学生，无论翻动多少次，杯口朝上的都是奇数不是偶数，所以无论翻动多少次都是不可能杯口全部朝下的，这才将本问题勉强解决了。究其原因，这是教师、学生看不清问题而造成的。
二、矫正方法
1.数学实验要在价值立意上作设计
数学实验的价值立意必须是建立在数学思维活动之上，如果离开了数学思维，将实验定位在按提供的实验程序进行机械的操作，那只能算是一个简单的技术活动，这样的活动只有动手没有动脑，已偏离数学的轨道，失去了数学味道，在数学教学上就没有意义了。
要凸显数学实验的教育价值，必须让其既具有科学实验的一般立意，又具有数学学科特有的思维魅力。即让数学实验也遵循科学实验“目的――实验――猜想――论证――结论”的一般规律。基于这样的认识，可以对文中提及的“等腰三角形的性质”的教学素材进行如下处理。
实验1：探究“等腰三角形的性质”
【实验目的】通过1次折叠1个等腰三角形形成2个全等的直角三角形的活动，发现等腰三角形的性质。
根据上述实验目的，教师可以设计下列活动，让学生进行数学思考。
（1）师：今天老师为同学们准备了一些等腰三角形纸片和直角三角形纸片，这节课就和同学们玩玩这些纸片，同学们有没有兴趣？
设计意图：用这样的开场白，来激发学生的积极性。
（2）师：如何将手中的1个等腰三角形纸片，通过1次折叠形成2个全等的直角三角形？
设计意图：提出这个问题，引发学生弄清折叠的要求，进而探寻折叠的方法。这个过程，就是教师层面上设计数学实验的过程，主要由教师站在数学背景的高度来提出问题，让学生探寻实验方案。
【实验活动】让学生根据教师提出的实验要求，在思维场景中去探寻折叠与相等、对称的关系，从而让学生进行数学思考，而不是让学生麻木地去折、去猜、去碰，最终形成学生层面上的实验方案，进而达到教材中折叠的技术要求。
方案1：根据“相等原理”形成折叠方案。即沿着“折叠（数学活动）――重合（数学观念）――相等（数学结论）”这一“相等”的思路，进行折叠。
方案2：根据“对称原理”形成折叠方案。即沿着“折叠（数学活动）――重合（数学观念）――对称（数学结论）”这一“对称”的思路，进行折叠。
学生经过这个思维背景再进行数学实验（折叠），不但验证了自己的想法（方案）可行可用，而且还锤炼了数学思维。对于思维层次不高的学生，让他们自主地构建上述活动显然有困难，这个困难主要是怎么设计出折叠的方案，而对于折叠的技术，他们在与其他同学讨论交流中，也能完成这样一个折叠操作，并且在这个活动中并没有降低课本对他们的基本要求。
【数学猜想】实验是表征，通过实验发现数学结论才是本源。为此，实验后，教师要让学生直逼数学本质。这个活动一般可运用下列方法来进行。
师：通过这个数学实验，你可以得到哪些数学结论？
设计意图：让学生通过实验的过程，得到“等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在的直线都是它的对称轴;等腰三角形的两底角相等;等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线重合”数学猜想。
【数学证明】实验得到的数学猜想，是基于直觉和简单逻辑下形成的，那么就有必要对数学猜想进行数学证明，因为数学的最高境界便是证明。为了实现上述目的，可以设计下列问题，引发学生证明。
师：你上述的猜想一定正确吗？
设计意图：引发学生进行理性证明。
【数学结论】通过折叠，辅之于观察、抽象、归纳、简单的推理等思维活动，形成了数学猜想;通过数学论证，即通过严格的数学推理、有力的数学证明，得到了绝对真理的数学结论。如何证明这个数学结论，是脱离数学实验，另辟蹊径;还是回归实验，探寻灵感？显然是要让学生透过实验现象，探求形成现象的本质，完成论证猜想的证明。所以在这个教学环节中，探究辅助线的作法，一定要让学生回归折叠的过程，不仅要让学生正确地引出辅助线，而且还要让学生体验辅助线诞生的必要性与合理性，这才能体现数学实验的本质价值。
【经验积累】任何一个数学活动，都要让学生形成活动经验。因为只有活动没有经验的过程，只能是一个执行命令的过程，它永远停留在重复别人想法的过程中，所以只有通过活动形成自己特有经验，才是一个将别人的想法内化为自己知识的过程，这才是学习的真正目的。这个实验活动，带给学生的经验主要有上述提及的“相等思维”和“对称思维”这两种思维方法，它既是设计折叠实验方案的基本思路，也是解决折叠问题的基本方法。
完成了探究等腰三角形的性质后，还可以用下列实验活动来探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的问题
数学实验2：探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
问题1：既然1个等腰三角形纸片通过1次折叠可以形成2个全等的直角三角形，那么可不可以将一个直角三角形通过2次折叠，形成2个等腰三角形呢？
问题2：从将1个直角三角形通过2次折叠，形成2个等腰三角形的实验中，你们又可以得到哪些数学猜想？
问题3：你准备如何来论证这个结论？
……
这三个问题链的设计，也是基于“目的――实验――猜想――论证――结论”的理念。有价值的思维永远不是建立在技巧上，而是体现在解决一类问题的通法上，因为它是教育规律在教学实践中的具体体现。
2.数学实验要在过程分析上作整合
在“等腰三角形的性质”中，已提及到数学实验要在其过程中吸取养分，下面再根据“三角形内角和定理”，重点谈谈这个话题。
三角形内角和的实验，其立意就是把三角形的三个内角，适当地“搬搬家”，组合变成我们熟知的180°的角。学生在学习此内容时，已有平角的度数是180°、邻补角的度数是180°、平行线形成的同旁内角的和是180°等知识诸备。就“拼角实验”而言，形成新角的过程一是形成平角，二是形成邻补角。就“转角实验”而言，形成新角的过程是平行线下的同旁内角。这三种拼角的过程非常重要，它是形成证明三角形内角和定理辅助线的关键，也是设计这个实验的价值所在，教学中不容忽视。
（1）拼角实验下产生的辅助线
①由拼成平角的实验（图4），可以构造出过点A引BC平行线DE的辅助线（图5）的证法。
②由拼成邻补角的实验（图6），构造出延长BA到E，并过点A引BC平行线AD的辅助线（图7）的证法。
（2）转角实验下产生的辅助线
由拼成平行线下的同旁内角互补的实验（图8），可以构造出过点A引BC平行线AD的辅助线（图9）的证法。
通过实验，可以得到三角形内角和为180°的假设，通过证明，得到了三角形内角和定理。看似这一过程比较圆满，在此建议增加一个对上述思维过程的反思环节。可以引导学生对上述实验活动进行研究反思，正因为三角形的三个内角的和是180°，我们才可以设计出“拼角实验”，才可以通过“拼角实验”顺利寻找出将三角形的三个内角拼成一个平角的辅助线、才可以顺利寻找出将三角形的三个内角拼成邻补角的辅助线来证明内角和定理;正因为三角形的三个内角的和是180°，我们才可以设计出“转角实验”，才可以顺利寻找出通过将三角形的三个内角拼成平行线形成的同旁内角的辅助线来证明此定理。
3.数学实验要在问题本质上作文章
数学实验与理性思维怎么处理，一直是数学实验关注的问题。物理、化学实验，常常是重过程现象，更重实验结果。而数学实验教学中，要关注的是动手思考的习惯，更注重的是实验过程中数学本质的揭示。一个好的数学实验，要能引导学生思考问题，在实验中抽象出一般的原理，用数学语言讲出数学故事。
文中所提及的“翻转杯口”的实验，如果教师看不清、看不准这个问题的数学本质，只能是引导学生机械地进行这个实验，学生必然得不到深层次的思考。这个问题的数学本质是将实验中的问题抽象为通过改变乘积中因数符号的个数，进而确定积的符号是否发生变化这样一个数学问题。基于这样的认识，就能找到这个问题规律化的结论。因此，可以将本问题作如下拓展。
结合上述解题经验，请探究：给定正面向上的扑克牌m张，每次翻动n张（m不能被n整除），试研究是否可以经过改变一张或几张牌的正反面，将桌面上的扑克牌全部反向。
我们不妨将正面向上的每张牌看成数+1，反面向上的每张牌看成数-1，每翻动一张牌，则桌子上所有牌所写的数的积就改变一次符号（由-1变为+1）。类似于，若一次翻动n张，就改变n次符号。因此，若n为奇数，由于奇数个-1的积为-1，桌子上所有牌所写的数的积就改变了符号;而若n为偶数，由于偶数个-1的积为+1，桌子上所有牌所写的数的积仍保持原来的符号。
当m为奇数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面向上，须改变积的符号。由上可见，若n为偶数，那是不可能做到的;而若n是奇数，则有可能做到，且翻动的次数必须奇数次。
当m是偶数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面朝上，不须改变积的符号。由上可见，若n为奇数，须翻动偶数次可达目的;若n是偶数，翻动次数可以是奇数也可以是偶数（如表1）。
数学实验随着课程改革的深入，越发显示出其强大的生命力，这是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在实施这一理念中教学行为上的一些偏差，我们期待更好更多的数学实验教学成果的涌现。
一、强化概念理解、公式与规律的运用、性质和法则的巩固，是为培养学生的计算能力夯实基础
例习题的选择要注重知识点的包容量大、有解题技巧、思维空间，从而达到复习是将问题的典型性和代表性、知识性和方法性、思想性与策略性的集中统一。比如，在分式一章的小结复习时，对于分式的运算部分，可让学生解答下面试题，从而加强学生对分式的意义、基本性质、运算法则等知识和方法更加掌握，形成解题的技能与技巧。
例1 先化简：，在任选一个你喜欢的数求值。
略解：原式=
=
=
简析：在化简得出式子后，有的学生将自己喜欢的一个数代入，出现了当x=0时，原式=-1；或当x=2时，原式=1；或当x=-1时，原式=等错误答案，其原因是忽略了-1、0、2这三个数都使原式无意义。这时教师“该出手时就出手”从学生不同的错角上所犯的不同错误进行质疑分析，便可加深学生在分式求值运算时，必须保证每一个分式都应有意义，从而增加解题的缜密性，提高解题能力，形成解题技巧。
二、注重知识的迁移和运用是培养和提高学生思维能力的重要手段
学生的思维是丰富的，但某些时侯又是有限的，如果教师能适时进行启发诱导、拓广探索，那么学生将会爆发出思维的火花，从而达到思维能力的培养和提高。比如，在对四边形一章的小结复习时，除了让学生对特殊四边形的定义、性质、判定有正确的理解外，还要能将这些知识进行综合应用、正确的进行分析和解决问题。
例2 如图1，在ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边ABD、等边ACE、等边BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形。
简证：ABD、ACE和BCF都是等边，∠DBA=∠FBC=∠ACE=60°，DB=AB=AD，FB=BC=FC，AC=AE=EC。∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，即∠DBF=
∠ABC。DBF≌ABC（SAS）。AC=DF，DF=AE。同理可得DA=FE。四边形DAEF是平行四边形。
在学生判定了四边形DAEF是平行四边形后，可让学生探究下列问题（只填满足的条件，不需证明）：
① 当ABC满足_______时，四边形DAEF是矩形？
② 当ABC满足_______时，四边形DAEF是菱形？
③ 当ABC满足_______时，四边形DAEF是正方形？
④ 当ABC满足_______时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在？
简解：①∠BAC=150°，②AB=AC≠BC，③∠BAC=150°且AB=AC，④∠BAC=60°或AB=AC=BC。
简析：由于矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，那么，在证得四边形DAEF是平行四边形后，来探索四边形DAEF是矩形、菱形、正方形成立的条件，不仅对矩形、菱形、正方形的判定进行了复习巩固和加深理解，同时也让学生了解到事物的发展变化是从“特殊——一般——特殊”这样的辩证规律，从而对学生思维能力的发散培养起到了积极的推动作用。
三、设计不同方案，解决同一问题是数学知识和方法在实际生活中的具体应用
数学来源于生活，又作用于生活。学生只有能将所学的数学知识和方法用来解决生活中的实际问题，学生才是学了有用的数学。比如，在锐角三角函数的一章小结复习时，可设计下面问题，帮助学生对三角形的有关知识和方法进行回忆，从而达到一题多解，提高解决问题的能力。
例3 如图2，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，怎样运用测量工具和所学数学知识来测算出A、B之间的距离？
学生经过思考、讨论，得出下列方案。
方案一：建立直角三角形，利用三角函数
如图3，在AB的垂线BD上取一点C，得直角三角形ABC，量出BC的长，测出∠ACB的度数。可计算出A、B的距离为AB=BCtan∠ACB。
方案二：建立直角三角形，运用勾股定理
如图4，在AB的垂线BD上取一点C，使C能直接到达A，得直角三角形ABC，量出AC和BC的长。可计算出A、B之间的距离为AB=。
图2 图3 图4
图5 图6
方案三：利用三角形的中位线性质
如图5，在平地上取一个可以到达A和B的点C，在AC上取一点D，使AD=CD；在BC上取一点E，使BE=CE，连接DE。量出DE的长，就知道A、B的距离为AB=2DE。
方案四：利用全等三角形的性质（SAS）
如图6，在平地上取一个可以到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=DC；连接BC并延长到E，使BC=EC，再连接DE。量出DE的长，就知道A、B的距离是AB=DE。
方案五：利用全等三角形的性质（ASA）
如图7，在AB的垂线BF
上取两点C、D，使CD=BC，
再定出BF的垂线DE，使A、
C、E在一条直线上。这时，量
出DE的长就是A、B的距离
（即AB=DE）。
简析：小结不仅仅是要对该
章知识进行概括归纳，而且要对
数学方法进行提炼和升华，同时
还要注意到知识的瞻前性和潜伏
性，才能使学生从系列学习上升 图7
到系统学习，这正是课程标准的要求和教科书编排的意图。
四、联系生活实际，留下深刻印象，是对学生进行情感教育的有效素材
复习的目的就是要学生对知识加深理解，印象深刻，久久不能忘怀。因此，只有贴近生活的数学，看得见、摸得着的素材，学生才有浓厚的数学学习兴趣，才能体会出数学的实用性。比如，在进行特殊四边形一节的复习时，可选这样的例子来加深理解矩形和平行四边形关系，同时教育学生要珍惜人们的劳动成果，结合教室里的门窗等生活素材来教育学生要爱护国家财物和个人财物，确保他人和自己的财产安全和人身安全等辩证唯物主义思想的教育。
例4 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
① 先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图8中的（1），使AB=CD，EF=GH；
② 摆放成如图8中的（2）的四边形，这时窗框的形状是平行四边形，根据的数学道理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③ 将直角尺靠紧窗框的一角，如图8中的（3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图8中的（4），说明窗框合格。这时窗框是矩形，根据的数学道理是：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
图8
简析：数学离不开生活，生活中无处不见数学，只要能真正理解教材，用教材教，学生在学习数学上定能收到事半功倍的效果。
1 显性的创设情境、联系生活、让学生感知数学美生成隐性的感悟数学文化、数学价值及激发数学学习兴趣和动机、提高审美意识
案例1：《黄金分割》教学片断
师：美是一种感觉，本应没有什么客观标准，但物体形状的比例提供了在匀称与协调上的一种美感参考，这个比例就是我们现在研究的黄金分割.
生：（观看课件演示，感受艺术美）
师：请大家展示课前收集的资料.
生1：矩形玻璃门窗长与宽的比；舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好.
生2：华罗庚教授的优选法；蝴蝶身长和翅宽的比.
生3：生活中人们最舒适的环境气温为22 ℃―24 ℃，也源于体温36 ℃―37 ℃与0618的乘积恰好是222℃―229 ℃.
生4：女士选择高跟鞋提高腿长与身高的比.
生5：还有课本上著名画家达・芬奇的名画《蒙娜丽莎》，画面中脸部被围矩形ABCD的宽与长之比.
……
师：同学们做得很好，那么什么是黄金分割呢？（课件演示）（利用工具度量并计算）比值约为0618，所以FABF与BFAB相等.
评析 本片段是数学与现实生活紧密联系的典范.表面上，是教师课前安排学生对资料进行查找和收集，课上教师引导学生通过建筑、艺术、生活上的丰富的实例来了解黄金分割这个数学概念，感知黄金分割的数学美.深层次地，教师是通过组织学生查找、搜集、感知、交流、审美、体悟等过程，引导学生深刻地体会到数学的文化价值，也让学生深深地意识到，数学就来源于我们的周围，从而对数学产生亲近感和热爱之情，也增强学生的实践意识、审美情趣.本例成功地做到围绕基本知识、基本技能等教学目标为主线，同时渗透情感等非智力因素，突显隐性教学目标.
2 显性的观察、猜测、归纳、证明等生成隐性的科学态度、科学方法、理性精神、缜密思维、推理能力
案例2：三角形的内角和定理
（1）利用手中的三角板用特殊角说明三角形的内角和定理；（直接材料）
（2）用硬纸作一个三角形，然后把它的三个内角剪开后拼在一起.看看是否拼成一个平角，进而概括出三角形内角和定理；（间接构建）
（3）用几何画板构造动态效果，把三个内角构造成一个平角；（精确测量）
（4）构造平行线，用几何证明的方法证明三角形的内角和定理.（理论证明）
评析 学生对各种学习材料的接受和理解是参差不齐的，对数学理论的认知水平也各不相同.为了让学生全面而深刻理解教师所要传授的知识，也为了让学生更多角度观察、更多层面思考问题的实质，教师们经常从不同侧面、用不同的方法、准备多种材料，让学生充分感知、充分经历、充分理解.本案例从“直接材料”“间接构建”“精确测量”“理论证明”四个方面来向学生充分展示三角形的内角和定理，教师采用一个理论多种求证的方法，从直接到间接、从具体到抽象、从特殊到一般，让学生充分经历观察、猜测、动手探究、理论证明的过程，由浅入深，螺旋上升地训练学生缜密的推理，明确证明的意义.显性的动手、观察、探究、归纳、抽象，渐进地培养隐性的推理能力、缜密思维和科学态度，同时让学生亲身感受身边的数学，增强学习的自信心，提高学习数学的内隐力.
3 显性的抽象、建立数学模型、经历数学化过程生成隐性的自主探究、数学思维、数学思想方法
案例3：探索多边形的内角和公式
目的：探索每个多边形能分成几个三角形，并发现多边形内角的度数之和的计算公式.
先画出四边形、五边形、六边形，并用对角线将他们分成若干个小三角形，如下图
完成下表
评析 现代数学教学观十分强调学生的数学学习应该以“问题情境―建立模型―解决问题―拓展应用”的模式加以组织.本案例就是基于这个模式进行的.为了抽象出多边形的内角和公式，先画出四边形、五边形、六边形、七边形、八边形等，通过连接对角线将多边形分成小三角形，找出三角形个数以及内角和度数，然后再通过列表，观察猜测，寻找规律，最后总结抽象出多边形内角和度数公式这个数学模型.但是，如果仅仅是为了得到多边形内角和公式这个结果，我们是完全没有必要设计这一系列的活动的.所以，此设计表面上是为了得出多边形内角和公式，实质则是通过学生动手、动脑、观察、抽象、建立数学模型的过程，让学生体会数学自主探索、发现的乐趣，从中体悟数学的抽象、归纳、推理的数学思维和从特殊到一般的数学思想方法.
4 显性的组织探究、分组活动、互相合作与交流等生成隐性的合作精神、团队精神、表达沟通能力、数学自信心
案例4：在教“一百万有多大”时，教师设计问题提出：刚才我们从不同的角度感受了一百万英镑有多大，接下来同学们自己动手，进一步感受一百万有多大.
小组活动：选择其中的一个问题进行研究，并写出活动报告.
1） 估计100万个字的书的厚度；
2） 估计100万步的长度；
3） 估计100万滴水的体积；
4） 估计100万粒大米的质量.
教师提供所需仪器：天平、量筒、米尺和大米等.各小组到学具展台上自主选择实验材料，然后展开积极的探索与实验.要求：10分钟以后，小组代表上台汇报研究结果.
最后，教师请同学们谈谈上完这堂课的感受.
附：下面是某一小组的实验报告单.
“100万有多大”实验报告单
实验目的 估计100万粒米有多重
实验工具 米粒、天平、计算器
实验步骤及过程 数出200粒米；
称出它的质量是4克.算出平均每粒米的质量4÷200=002.
100万粒米的总质量：
002×1×106=2×104=20千克
一般地，若三口之家一天吃15千克米，20÷15≈13（天）
估算结果 100万粒米可供三口之家吃7天
评析 当学生在教师的引导下初步体验了100万英镑有多大之后，求知欲渐强，急于知道100万到底有多大.此时老师适时地安排了这项以小组为单位的探究活动，让学生通过自己的操作来得到急于想知道的答案.在活动过程中，因为涉及到测量、数数、记录、计算、总结等多项工作，各小组学生必须通过合理的分工来展开活动，而这就激发了学生的合作意识和团队精神.通过交流探讨，各小组自主地确定实验项目、方案和步骤，选择实验工具，操作并收集证据，估算总结，共同完成了实验，得到了自己想要的答案，又增强了对数学的信心.所以说，教师安排的分组探究活动，不仅让学生得出了自己想要的答案，更重要的是学生得到了在实验操作中亲身体验的机会.活动中的分工、合作、思考、交流、沟通、实践及对合理答案寻求，使他们获得了丰富的数学活动的经验，提高了表达交流能力，体会到团队合作的乐趣.
5 显性的开放题设计、一题多解、变式训练生成隐性的开放性思维、批判性思维、创新意识、实践能力
案例5：请设计三种不同的分法，将直角三角形（如下图）分成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似（画图工具不限，要求画出分割线段，标出说明的必要记号，不要求证明，不要求写出画法）.注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同分法.
分法：
【关键词】动态生成资源；有效利用；数学教学
叶澜教授曾经指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”这个论述告诉我们：课堂教学是一个动态的不断发展、推进的过程，在这个过程中，除了“预设”和“预设生成”外，往往还会产生一些意料之外而又有意义的信息材料，即动态生成资源。有效利用课堂中的动态生成资源，注重课堂的动态生成是新课程对课堂教学提出的新要求。可在现实教学中仍有为数不少的教师只注意预设和预设生成的资源，而潜意识里排斥非预设性的生成，对学生的疑惑置之不理，对学生的错误恐惧有加，对学生的创新漠然处之……从而丢失了课堂的许多亮点，浪费了宝贵的课堂动态资源。那么，在教学中如何有效地利用动态生成资源，激发数学课堂的生命活力呢？本文着重通过几则案例谈谈这一方面的体会。
一、发挥教育机智，生成教育资源
课堂并不是一成不变的，时常会出现一些非常有价值的“生成性的教育资源”。但这些资源是隐性的，如果教师的敏感性不强，这些资源将“昙花一现”。作为教师，应发挥自己的教育机智及时捕捉、判断课堂教学中生成的、变动的各种有价值的信息，努力地将活的教育资源成为课堂教学中的“高潮”。
案例1：《全等三角形》教学片段
在得出“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”后，老师提出：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形会全等吗？生齐答会。这时有个学生在下面叫了起来：“老师，我和同桌的两个三角形不全等。”全班同学哗地一下议论开了。究竟是怎么回事？我一看明白了其中的原因，这是一个非常好的亮点资源，何不充分利用呢?我随即把他们所画的三角形画在黑板上：
学生们很快就找出了其中的原因，并深刻理解了“对应”的含义。在学生刚接触用“SSS”、“SAS”、“ASA”判定三角形全等时，我一直找不到合适的机会、合适的方法解释“对应”两个字，而学生也一直不甚理解。今天这次意外生成的亮点资源的及时捕捉，使师生一直困扰很久的问题得以圆满解决。
二、调控开放资源，挖掘资源价值
教学活动是个动态的过程，它必须通过教师和学生之间的信息不断交流和反馈才能实现控制和调节。虽然每一个例习题的设置，教师都有预定的目标和实施方案，但学生是灵动的生命体，他们思考问题的方法有时会大大出乎教师的意料，课堂上常常会出现一些学生偏离了教师预设的标准思路的现象，即动态生成的开放资源。一些教师为了顺利完成教学任务，往往会将这种动态生成的开放资源视为不和谐的噪音，用课后再交流等言语予以消除：而另一些教师则会采取有效的策略，审时度势地合理调控，充分挖掘和利用这种动态生成的开放资源中所具有的价值。
案例2：《圆的基本性质》作业讲评课
已知：如图：AB是O的直径，且OD∥AC，求证：
按教师原先设计的预案，本题比较简单，只要连结OC，利用平行线的性质得到两个圆心角相等就可得到两条弧相等。正想讲下一题时，有一个学生叫起来，不这样做也可以证明。我犹豫了一下，把时间让给了学生。结果学生的想法大大出乎我的意料。
生1：连结AD，利用平行线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到圆周角是圆心角的一半，就可证明。
生2：延长DO交圆上于点E，利用夹在两条平行弦间的弧相等及同圆中两个圆心角相等所对的弧也相等也可以转化得到。
生3：连结BC，利用直径所对的圆周角是直角、平行线的性质及垂径定理就可。
生4：不添辅助线，只要利用平行线的性质得到圆心角等于圆周角就可。
思考是数学学习的价值所在。对小学生来说，问题是其思考的动力源泉，有了问题，才会引发学生进行思考。然而，在当前的数学教学课堂中，为了提高课堂的效率和教学的流畅度，很多教师要求学生“快思”，学生思考的时间和空间很有限，学生无法“慢想”。在有限的时间内，学生才刚开启思考模式，教师却不等学生深入思考，很快就给出答案，形成学生无法快速回答问题的结果。殊不知，教师公布答案时，学生看似正在沉默，其实其内心正在快速运转。然而，大部分教师无法洞悉学生的这种思维过程，直接快速地公布答案，将学生独立思考的机会夺走，不利于学生思维能力的提高。因此，教师应确保学生的思考时间充足，让学生对问题进行深入思考，沉淀学生的思维。
因为课堂教学时间有限，所以教师可以在课前对将要学习的内容进行提问。以“三角形的分类”课堂教学为例，通常教师会让学生将三角形按照角的特点进行分类，以学生了解钝角三角形、直角三角形、锐角三角形和边的特点为基础，引导学生接触并认识等边三角形和等腰三角形。其实，教师可以以“分类”为问题的切入点，在课前列出以下问题，并让学生自主思考和解答：三角形按角来分可以分成哪几类？可以用不同的图形来表示三角形的类别吗？按边分类，三角形又该怎样分类？可否使用图形来表示？教师这样设计问题，学生在课前就已经对即将学习的内容进行一定程度的思考，并带着问题和想法进入堂学习，从而提高学生的学习质量。 二、教师加强对学生的点拨和指导，促进学生思维的发展
新课标倡导学生进行探究、合作或自主性学习，让学生掌握学习的主动权。当然，这样的理念并不意味着教师可以放任学生自主学习。新课标下，传统的直接性和全程性指导学生思考的方式已经失去其地位，教师通过组织学生在?n堂上积极发言，同时让学生认真听取其他同学的发言，当学生遇到困难时，教师应适时给予学生指导和点拨，避免学生因思考时遇到困难而放弃继续思考，也避免降低学生的课堂参与积极性。教师和学生一起分析和探讨问题，让学生在“学生教学生”的学习模式中进行思考，从而使学生的思维能力得以提高，也有利于提高学生的课堂参与力度和积极性，使教学质量有所提高。
在“三角形的分类”教学中，教师可以提出这样的问题：“钝角三角形和直角三角形只需要有一个角是钝角或一个角是直角即可，那么锐角三角形应该包含多少个锐角？”对于这个问题，学生可能一时间无法回答。此时，教师可以画出锐角三角形，并引导学生围绕“三角形的内角和等于180°”这一知识点进行思考，要求学生在思考后展开小组讨论。最终A同学表示：三角形的内角和为180°，如果两个角都是直角，那么三个角加起来大于180°，不符合条件。B同学认为：同理，两个角都是钝角的话三个角之和超过180°，也无法满足条件，所以锐角三角形三个角都是锐角。学生通过思考、讨论，将自己的想法表达出来，锻炼了学生的思维认知能力。 三、引导学生进行反思，促进学生思维发生质变
当今小学数学课堂上，大部分学生无法弄清自己的学习方法和思维方式，也很难发现自身存在的差错，只是按照教师的要求进行合作学习、自主探究等活动，自主性较差，受教师的影响较大。学生自主构建知识和主动性自我反思的能力较差，因此，教师应在小结时强调以下几点：学习了什么？通过什么方法习？在学习的过程中思考了哪些问题？是如何进行思考的？通过这类问题引导学生反思，有利于学生对知识点的巩固。
以“三角形的内角和”为例，教师可以让学生思考：“是不是任何一个三角形的内角和都等于180°？会不会存在三个角加起来大于或小于180°的情况？请自行思考并画出图形来验证。”学生进行思考，并动手画图，用量角器对图形进行测量，最终得出这样的结论：任何一个三角形的三个内角之和都等于180°，大于或小于180°则无法构成三角形。教师通过问题引导学生进行反思，让学生带着“解决什么问题？如何解决？”的问题与所学知识结合起来共同思考，并进行实际验证，让学生明确思维方向和方法，从而使学生的思考能力提高，甚至发生质的飞跃。 四、推迟教学评价，让学生进行深入思考
独立思考对于小学生来说很重要，而思考后的分享和交流也会对学生的学习起到很大的作用。通常教师在学生回答问题之后就立即给予评价，而其余学生对该问题答案的判断会受到评价的影响。因此，教师应适当延迟教学评价的速度，先引导学生进行思考，鼓励学生勇敢地将自己的想法表达出来，让学生相互分享和切磋，一起分析和讨论，不断深入思考和研究，提高解决问题的能力。
关键词： 新课序幕； 问题情境； 趣味性； 启发性
中图分类号： G623.5 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）（11-12）-0088-02
在数学课堂中，部分教师为能让学生在45分钟内尽可能多的获取知识，多做几个题，常常忽视甚至略去新课导入情境环节的教学，误认为导入情境教学会白白耽误学生时间，没有实用性。这种将缺乏情境化的知识直白地灌输给学生，虽然学生知识增多，成绩暂时高些，但数学兴趣伴随知识量的增长越发受到压抑，因为学习不是一种发自内心的愉悦需求，而是外部力量（考高分升学）强加的。如此下去将会直接导致“三维目标”中的情感目标的缺失，致使学生的发展出现畸形，有损学生身心的发展。
问题是数学的心脏，有了问题，思维自然就有了起点和方向。问题源于情境。问题情境是解决知识的抽象性和学生思维的具体性之间矛盾的常见策略。创设一个适宜学生“最近发展区”的问题为课堂教学的导入情境，是激活课堂教学气氛的起点，是激发学生探究新知的兴趣源泉。好的导入是课堂教学成功的一半。那么，在新课伊始，教师创设什么样的问题情境，能诱发学生发现问题和提出问题，使学生带着悬念于内心深处产生一种迫切地求知心态，进入有效的学习状态之中呢？
一、以生活化的问题为导入情境，拉开新课序幕
以生活中遇到的实际问题为背景，做为新课导入的素材呈现给学生，让学生想法去解决，而学生解决还有些理由的困惑，力不从心。由于学生心里怀有一种解决问题的念头，就会揣着问题去听课，自然学习就会产生一种内动力。以生活化的问题情境为导入拉开新课序幕，会使学生感觉所接触到的知识不是从空而降，而是来源于身边的生活，看得见，摸得着，反过来所学知识服务于生活，体验到这样的学习是有用的。因此，它不仅能极大地激发学生学习数学知识的兴趣，而且能增强学生自觉应用数学知识解决问题的意识。以生活中的素材为问题情境，不是一种目的，而要通过这种“生活”的启发抽象出数学模型。因此，这种创设应建立在学生熟悉的生活经验和已有知识经验的基础上，引导学生寻找到所解决问题和所学知识的“结合处”，明确问题中所蕴含的数学问题，为学生历经概念的形成及定理的探究指明方向。
案例1：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？
分析：问题的实质就是看这两块碎玻璃片中哪一块能够还原到原始的三角形。其中玻璃片（1）只具备原始三角形的一个角，而由前面的学习得知两个三角形具备一角相等时不会全等，而玻璃片（2）具备原三角形的两个角及其夹边，并且能还原到原始的三角形。玻璃片（2）留下三个已知元素，学生自然就会发问：两个三角形具备“角边角”的条件时，是否会全等呢？由此拉开全等三角形判定法“角边角”的序幕。
案例2：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC。倘若它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC一个底角∠C，请同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形重新画出来？
分析：由前面所学等腰三角形的性质可知：若AB=AC，则∠B=∠C，此时学生自然就会逆向思考：若∠B=∠C，是否会有AB=AC呢？由此拉开“等腰三角形判定”的序幕。
以上两个问题皆源于生活，这种生活化的问题情境的创设，能吊起学生胃口，激发学生主动参与课堂探究的积极性。
二、以游戏式的问题为导入情境，拉开新课序幕
初中生有着强烈的好奇心和旺盛的求知欲，不管什么事情总想刨根问底，好弄个究竟。然而，数学教学中有相当一部分内容学起来枯燥，教起来干瘪。教师若能将这些内容先经过加工改造后再以游戏方式呈现在学生面前，学生就会感觉到这些知识自然、生动、有趣，学生回答起问题来也会争先恐后，从而改善学生学的被动状态。游戏式的问题情境就是先由老师提出任务要求，让学生围绕这一任务给老师出题，和老师进行“挑战”。所谓难为老师，而老师对问题的结果却能脱口而出，因出乎学生的意料，学生感觉惊讶，为尽快弄清“谜团”，恨不得学会老师的“绝招”，由此拉开新课的序幕。
案例3：“一元二次方程根与系数的关系”一节的序幕拉开，我就采用了上述方式。首先，让同桌的同学相互给对方出一道一元二次方程求根题，之后我说：“请你把两根告诉我，老师能立刻猜出你解的那个一元二次方程，谁能试一试？”这时，有几个学生拿出自己的两根和老师“挑战”，结果我都能说出他们所解的一元二次方程，此时，学生兴趣盎然，但又感惊讶，老师这么快的说出，一定有什么“高招”吧。这时，有的学生猜测：既然知道两根，能求作一元二次方程，那么，方程的两根与方程的系数是否存在某种联系呢？学生因为有了“迷团”，思维自然兴奋起来，就会产生探求问题奥妙的神秘感，由此拉开了“根与系数的关系”的探究序幕。
游戏式的问题常会使课堂纪律乱些，所以老师设计游戏时，一定要紧紧围绕教学展开，要有明确的目的、规则和程序。游戏式的导课方式，会使学生学得生动一些、主动一些。
三、以操作式的问题为导入情境，拉开新课序幕
教育家陶行知先生说：“人生两个宝，双手和大脑。”动手操作是一个手脑并用的过程，是获取感性认识的主要途径，是学生学习过程中的创造性思维活动。然而，传统数学教学过分强调智能逻辑思维的训练，而缺乏动手操作能力的培养，致使长期以来学生动手能力差。为改变这种现状，教师应尽量为学生创设动手操作的条件和机会，使学生在动手操作中对数学概念、定理等获取感性认识，接着，通过加工、整理上升为理性认识。对教材中某些几何图形的性质、判定，教师若能引导学生折、量、画、拼、剪等途径来拉开新课序幕，则不仅能逐步养成学生勤于动手、主动观察和善于发现的良好学习习惯，还能积累数学活动经验。值得注意的是，在动手操作中，对于具体的操作和活动而言，不能让动手操作过程去替代了学生的思维过程。活动是一个载体，目的是让学生感悟、理解知识、实现知识的“再创造”过程。而提升思维最终要通过“活动的内化”去完成。
案例4：“等腰三角形的性质”一节就是先从一张长方形纸片对折后的图形中剪下一个重叠的直角三角形，将其打开，获得等腰三角形的动手中拉开新课序幕的，然后在教师引导下，通过学生自己观察、发现和归纳等系列活动去获得等腰三角形的性质。
案例5：如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
1.活动：通过图形将上述问题进行转化。作线段AB，取其中点P，过P作直线 ，在 上取点P1、P2，连结AP1，AP2，BP1，BP2。此时有两种可能：其一，如图1，AP1≠BP1，这样 与AB不垂直；其二，如图2，AP1= BP1，这样与AB垂直。
2.讨论：要使与AB垂直，AP1，AP2，BP1，BP2应满足什么条件？图2中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直，从而拉开了线段垂直平分线性质逆命题的教学序幕。
动手操作在代数教学中表现为一种数据尝试。尝试就是通过数据的“实验”探究，归纳出某个公式或法则，它蕴含着发现的成份。尝试充满着苦涩与甘甜。尝试中学生历经实验、观察、猜想、感悟及论证等系列数学活动，丰富了数学活动经验，久之，学生的科学素养自然就会增强。
四、以兴趣式的问题为导入情境，拉开新课序幕
其实质就是动机迁移。在今天学生普遍缺乏学习兴趣的情况下，教师可以利用他们喜欢游戏、爱听故事、好踢足球、打台球的兴趣，把它们迁移到学习上来，从而实现由间接兴趣向直接兴趣的转化。学生好动、好玩，是天性，又是活力，教师应鼓励学生在玩中动脑，玩出“学问”。当今媒体广泛，玩的东西也多，怎样借助这些东西让学生产生对学习的兴趣，值得我们数学教师在教学中不断地去思考。
案例6：“在直线上找一点，使它到这条直线同旁两点的距离和最短”，这是由教材中的引例建立起来的数学模型，我开动脑筋，抓住男生打台球的喜好，将教材中的问题情境进行了“置换”：
如图，四边形ABCD是长方形台球桌的台面，有黑白两球分别位于E，F两点位置上。试问：怎样撞击黑球E先碰撞台边CD反弹后再击中白球F？
学生对此兴趣浓厚，纷纷踊跃回答，但又都说不出理由，此时，学生急于想知道答案，正好处于欲进不得，欲罢不能的状态。然后，我说：“通过这节课的学习，问题就能解决了”。
案例7：某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示。请问用什么方法能复制该瓷盘？
分析：欲复制该瓷盘，需确定其圆心和半径。圆心到圆上各点的距离相等，因此，圆心必然在圆上任意两点连线的垂直平分线上，由此拉开了“过三点的圆”的序幕。学生对历史出土文物有一种好奇心，教师通过问题情境的创设，满足其好奇心，学生自然就会有一股“钻”的劲头。
五、以类比式的问题为导入情境，拉开新课序幕
类比是一种由特殊到特殊的推理，它具有广泛的迁移性。波利亚高度评价类比的作用，说：“类比是提出新命题和获得发现取之不竭的源泉”。但是必须注意，类比与不完全归纳一样，都是似真推理，类比猜想的结果必须要经过检验证明。
很多数学知识结构类似，探究方法也类似。若以类比式切入，学生易于接受，使学生不仅收获知识，更获取了思维的方法。
案例8：等腰梯形的性质与判定的序幕拉开就是以等腰三角形的性质与判定为类比，从中获取猜想。这是基于图形之间的内在联系，因为等腰梯形可从等腰三角形中截取，这是“形状”的类比。
案例9：在学完积的算术平方根的性质一节后，有的学生联想到和、差、商的算术平方根是否也有类似的性质，这时，我不失时机抓住学生类比猜想的机会，将其布置成课下作业，让学生借助数据自己尝试、验证其联想是否成立。这是“方法”的类比。
案例10：如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？
分析：这一模型为学生探究角平分线的作法提供了方法的启示。在问题的类比中，要注重引导学生发现问题和提出问题，因为学生们的提问往往会给教师创设新课序幕提供启发。从创新的角度讲，学生发现、提出一个富有思考价值的问题，往往要比解决一个问题更重要。
六、以特殊式的问题为导入情境，拉开新课序幕
唯物辩证法指出：“事物的普遍性和特殊性既相互联系，又相互转化”。对特殊的图形、式，学生易观察并发现其中的结论。这时，教师以此为起点，将其延伸到一般情形，从中探究是否也有同样的结论。以特殊性为导入，并推广到一般性，体现了循序渐进的教学原则，符合学生的认识特点。在这种方式中，对分类、联想、转化等学习活动的体验以及唯物辩证法观点的形成，学生都会受到一种潜移默化的熏陶。
案例11：“圆周角定理”一节就是由圆周角的一边经过圆心这一特殊性得出的结论为切入点拉开新课序幕的。以此为起点，再去探究圆周角和圆心的另外两种位置关系中的结论，最后做出归纳得出定理。
七、以逆向式的问题为导入情境，拉开新课序幕
正向思维、逆向思维是人类思维的两种方向。逆向思维是把问题反方向的探索，“反其道而行之”，体现了思维的灵活性，闪烁着创新的火花。事实上，数学知识本身就充满着正逆两方面的转化，如：乘方运算与开方运算，整式乘法和因式分解，命题与逆命题等。一般说来，学生习惯于正向思维，而忽视逆向思维，在学习中加强这方面的训练是十分必要的。几何图形中的一些性质和判定，往往存在着互逆性，运算公式、法则也往往存在互逆性。若运用逆向思维方式拉开新课序幕，则不仅能温故，还可以知新。
