摘要:笔者通过分析华师大版初中数学教材概率教学内容编排上存在的瑕疵和不足,认为初中数学概率教学内容编排上要正确运用逐步递进、螺旋上升原则,要正确把握概率概念的提出时机,要正确处理实验概率与理论概率的关系,遵循整体性原则、有序性原则、综合性原则、最优化原则。
关键词:编排结构 中心概念 实验概率 理论概率
在初中数学教学中,课程体系的编排应重点考虑以下方面:1.初中生的认知发展规律和数学学习特点;2.数学教学三维目标和现代社会飞速发展背景下基础数学教学发展特点;3.社会发展对学生数学能力素养的要求。只有充分考虑以上三方面,才能提高教学内容编排上的合理性。笔者试以华师大版教材(以下简称教材)为例,对概率内容编排的合理性作一番探讨。
一、要正确处理分步与递进、螺旋与上升的关系
从总体结构上看,教材在遵循《数学课程标准》所提出的重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则时,把握得欠全面,造成了“螺旋有余,上升不足”的格局。《数学课程标准》明确提出初中阶段(第三学段)概率的具体目标,比小学高段(第二学段)所要达到的具体目标高出不少,这就是初中阶段所要实现的上升幅度。针对概率的具体教学目标,教材采用分步达成目标的思路是正确的,但分步过多,分级过细。华师大版教材对概率教学内容的编排——七年级上:可能还是确定;七年级下:机会的均等与不等;八年级上:用概率估计机会的大小;八年级下:机会的大小比较;九年级上:概率的含义,概率的预测。这样造成了过多的重复,甚至与第一、二学段也有重复,缺乏层次感,缺乏递进性,使有些“螺旋”叠加缠绕在一起,其症结在于没准确把握逐级递进、螺旋上升的原则,割裂了逐级与递进、螺旋与上升的联系,出现了教学进程“又慢又费”的情况,不符合初中生的认知发展特点。对于这种贴近生活的概率及其思想其实设置两组、至多设置三组螺旋就可以达到目标,不必设置四组、五组,为“螺旋”而“螺旋”,为分步而分步。
另外,在运用螺旋上升原则时,一要有一种学科本身所具有的核心的东西(不妨称之元认知)统帅螺旋上升的教学内容,做到“形散而神不散”,如对概率,不妨把“研究随机性现象”“寻找随机性中的规律性”这一学科研究范畴作为编排主线。二要使每一组螺旋有头有尾,能自成较完整的体系,前、后组螺旋间要有联结的纽带。虽然新课程理念提出“不再首先强调是否向学生提供系统的数学知识”的思想,但这并没有否定提供系统的数学知识的必要性。现在教材以交叉编排方法为主,其实交叉编排方式仍是要顾及内容体系的,仍是讲究系统性的,只是为适应学生认知特点而采用交叉编排。如果螺旋结构不完整,前后螺旋衔接性差,反而会出现诸多干扰学生学习的因素,使一线教师无所适从,交叉编排方式也定会失去适应性和亲和力。还有,逐步递进、螺旋上升原则也不是绝对的,其成立是有条件的。合理地运用逐步递进、螺旋上升的原则,容易照顾到学生认识的特点,加深对学科的理解,如螺旋之间上升的幅度过小,会使学生感到厌倦,不利于学生保持学习的兴趣,可见,在编排教学内容时,刻意套用这一原则反而会适得其反。
二、要正确把握概率概念的提出时机
从概率概念的提出上看,教材延误了时机。教材到九年级上才提出概率的含义,真是令人费解。其实,现在的初中学生,即使学校里不学概率,已有“可能这样,可能那样”“某某同学有很大实力当选班长”等生活经验,也往往在媒体中接触过“概率”一词,何况,学生在小学阶段已学习了“不确定现象”和“可能性”的内容,所以在初中阶段,概率概念的提出不宜过迟,宜在七年级、八年级之交提出为妥。因为此时,学生处于认知能力快速发展阶段,并对概率的实质和实际背景已有了相当的了解、体验,这时就应不失时机地进行概率概念的教学。“课程内容的组织要考虑到:先让学生进行辨别,然后学习概念,在此基础上掌握规则或原理,最后把原理或规则用于问题解决”,可见,概念具有一定的统摄性,何况概率是一个中心概念,只有适时地进行概率概念教学,才能“一览众山小”,才能更深刻地了解“可能性”“机会”的含义。概念还是学生开展思维活动的要素,有了一定的概念,并不妨碍学生数学创造能力的发挥,照样可进行合情推理以及其他瞬间性思维活动。古人提出“不悱不发”,要求我们不可“不悱而发”,也不可“悱而不发”。这套教材在概率教学中却出现了“悱而不发”的情况,这样会妨碍学生数学认知能力的发展。
在义务教学阶段,概率概念教学在小学阶段,处于“犹抱琵琶半遮脸”状况,是很正常的,到了初中阶段,教材虽然“大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私语”,但迟迟未闻“大珠小珠落玉盘”,影响了教材编排
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上体系结构的和谐,不利于学生便捷地学习有价值的数学。
三、要正确处理实验概率和理论概率的关系
概率教学中,开展实验式的教学活动,只要教师发挥高明的组织者,高水准的合作者,高超的引导者的作用,并有良好的教学设备设施,的确能使学生成为学习的主人,让学习活动成为充满探索、思考和合作的过程。但教材太器重实验概率了,有过分强调实验概率之虞,且实验概率的实验缺乏新颖性,“抛硬币”一抛就是三年,“掷骰子”一掷也是三年。
其实,课程标准提出:教材内容呈现方式灵活,贴近初中生的真实世界,拓展活动和探索的层次及空间,增强概率教学的吸引力和亲和力。所以教材编排概率教学内容时,在拓展活动和探索的层次和空间上,还大有文章可做。在实验概率层面,可多创设与概率意义有关的新颖的情景,可创设一些新颖的试验;在理论概率层面,也要有机地渗透有关概率的思想和方法,以解决一些实际问题,从而使实验概率和理论概率完美结合。具体编排上,七、八年级宜以实验概率为主,九年级宜以渗透理论概率为主。如果教材一味用试验来呈现教学内容,某种意义上讲,也是教材内容呈现方式的不灵活。
另外,在课程内容的选择和组织方面,过于容易或过于困难的问题都会抑制学生学习的积极性,要为学生制定超出他们现有水平、同时又是通过努力能够达到的准则,这也要求在概率教学中,正确处理实验概率与理论概率的关系,增加概率探索性实验的形式,并在时机成熟时加强理论概率的渗透。
华师大版教材是出版较早的课改教材之一,其中存在瑕疵和不足是难免的,客观上,为编辑同类教材提供了不少经验和教训。我们一线教师认为编写或修订教材时,应力求避免以上种种缺憾。总之,教学内容的编排要遵循课程知识系统的结构原则,即整体性原则、有序性原则、综合性原则、最优化原则。自然,概率教学内容编排上也应体现以上原则。
参考文献:
1.施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[m].北京:教育科学出版社,1996.118~119,40
2.施良方.学习论[m].北京:人民教育出版社,1994.321~327
论文关键词：初中数学，模拟实验，求概率
纵观新课标人教版初中数学统计与概率章节，笔者始终感觉用键盘问题做数学模拟实验的教学载体，学生探究热情低调，究其原因主要是缺乏农村学生数学生活化的体验。通过几年尝试教学与改进，我们发现初中数学模拟实验求概率的设计与应用可从以下角度思考和探索。
一、初中数学模拟实验设计原则。
1、生活性。试验内容要贴近学生生活,有利于学生经验思考与探索，内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情景化与知识化的关系．课程内容的呈现应注意层次化和多样化，以满足学生的不同学习需要．[1]
2、广泛性。避免以点代面，全盘考虑初中数学论文初中数学论文，分点试验。让抽样结果尽可能反映是按研究对象的共性特征。
3、随意性。每次实验方案的实施不提前预设，围绕方案任意活动，并直接获得需要的数据。
4、活动性。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学活动的主体，教师是数学活动的组织者与引导者，通过活动“致力于改变学生学习方式，使学生乐意并有更多精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”，才能还学习真正动机――因活动而快乐，因快乐而学习．[2]
二、初中数学模拟实验的适用条件。
由于随机事件的结果具有不可预测性，往往解决相关实际问题难以从根本上把握。分清初中数学模拟实验的适用条件，是进行有效设计和准确应用的关键毕业论文格式范文期刊网。
通过对模拟实验相关事件的综合分析，以及与列举法求概率相关事件的对比，我们不难发现模拟实验求事件的概率适用条件包括每次实验的所有可能结果不是有限个或每次实验的各种结果发生的可能性不相等。[3]
三、初中数学模拟实验的设计程序[4]与过程
1、确定设计方案（如投飞镖、做记号、数数量、抛硬币、掷骰子、转转盘、等）。
2、拟定统计栏目（总数、频数、频率）。
3、统计相关数据, 计算频率与数据规律分析。
在做大量重复试验时，可事先根据概率要达到的精确度确定数据表中频率保留的数位。计算频率一般保留两位或三位小数。
4、估计事件概率，获得最有价值的数据（用频率估计概率）。
通常用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少，一般要求的概率精度达到一位小数就可以了。
四、初中数学模拟实验的应用拓展（举例）
例1求不规则物体的面积。（投飞镖）
设计方案：小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC，为了知道它的面积，小明在封闭图形内画出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷飞标初中数学论文初中数学论文，[5]且记录如下：
统计图表：
投飞镖总次数
50
100
150
200
300
投中物体次数
投中物体频率
[关键词] 概率与统计 新课改 思维过程 思维能力
一、现实背景
浙教版新教材大大地加强了统计与概率的内容与教学要求,这是因为在当今社会中,统计和概率起着越来越重要的作用。掌握统计与概率的思想方法和基本知识成为现代社会公民必需具备的素养;如何学好和教好统计与概率是广大教师所面临的一项新的挑战。概率与统计在课改后成为初中数学的一个重要分支,学生在统计与概率的学习中有较多的错误认识和理解偏颇,造成学习上的障碍。研究如何组织合理的教学是非常必要的,教师应该在教学方面:(1)用活动的方法有效开展教学;(2)给学生更多练习、实验的时间。因而在这部分教学中,应充分调动学生的积极性,强调学生的主体作用,明确基本原理,注重思维过程的分析,让学生在问题解决的过程中不断反思探索规律,体验成功,从而提升学生的思维能力。
二、课堂设计与实录片断
本节课的教学目标是体验概率计算在生产生活和科学研究中的广泛应用,能用初步的概率知识解决中奖预测、人寿保险等方面的问题。整堂课紧紧围绕四个主要例题,层层递进,让学生能灵活使用树状图和列表格的方法计算生活中的概率。
例1.九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计,在100辆私家车中,统计结果如下表:
根据以上结果估计抽查一辆私家车而它载有两个以上乘客的概率是多少?
该题意在使学生熟悉等可能事件的概率公式。但过程中出现插曲:
学生A:老师,这道题的概率为什么不是?
学生B:本题考察对象是私家车而不是人,样本容量是100,所以分母应该是100.
例2.在我校举办的“十佳歌手”比赛中,甲,乙,丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“待定”和“通过”的结论:
(1)写出三位评委给出A选手的所有可能结果。
(2)对于选手A,只有甲,乙两位评委给出相同结论的概率是多少?
(3)对于选手A,至少有两个通过,才能直接晋级,请问选手A晋级的概率是多少?
该题考查学生能否正确使用树状图解决概率问题。
例3.保险公司的生命表的问题。生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据,如下图是1996年6月中国人民银行的中国人寿保险经验生命表,(1990~1993年)的部分摘录,根据表格估算下列概率(结果保留4个有效数字):
(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率;
(2)某人今年31岁,他活到62岁的概率。
例4.有一种游戏,班级里每位同学及班主任的手中都有1点,2点,3点三张扑克,游戏规则一:每位同学任意抽一张,班主任老师也抽一张,如果同学抽到的点数和老师抽到的点数相同,那么这位同学就获得一份小礼物;游戏规则二:每位同学任意抽两张,班主任老师也抽两张,如果同学抽到的这两张点数和老师抽到的两张点数相同,那么这位同学获得一份小礼物。问:
(1)游戏规则一,每位同学获得小礼物的概率是多少?
(2)游戏规则二,每位同学获得小礼物的概率是多少?
本题的第一问,同学们利用树状图很快解决了,但是第二问经过小组讨论,方法层出不穷,同学们争先恐后地讲出了自己的方法,有些方法让人意外!
生1:如果同学抽到的这两张点数和老师抽到的两张点数相同,那么没有抽到的那张扑克的点数也相同。这样问题就转化为每位同学任意抽两张,班主任老师也抽两张,如果同学没有抽到的那张点数和老师没有抽到的相同,那么这位同学就可以获得一份小礼物。这样游戏规则二的概率和游戏规则一的概率完全相同。
师:这位同学能够从反面来思考问题,找出了游戏规则二的等价条件,并巧妙地转化为游戏规则一的情况,非常好!
生2:刚才那位同学的方法有着很大的局限性,如果扑克的张数超过3张,规则一和二的答案就不一样。现在我以1,2,3,4四张扑克为例,游戏规则一的概率为14,游戏规则二的概率我是这样计算的:假如老师抽到的扑克为1和2,我先抽到1的概率为14再抽到2的概率为13,这样概率就为14×13=112;同理先抽2再抽1的概率也为112,两者的和16就是学生获得小礼物的概率。
师:不错!这位同学利用了概率中的乘法原理和加法原理,这是高中概率学习的重点(同学们响起了雷鸣般的掌声)。
生3:老师,我的方法和生2的比较接近。我也以1,2,3,4四张扑克为例,假如老师抽到的扑克为1和2,我抽到1或2的概率为24,再抽一张和老师相同的概率为13,抽到两张扑克点数和老师相同的概率为24×13=16.
师:很好,你能想到这样的方法确实动了一番脑筋,老师相信只要肯动脑筋就一定会有很大的收获,你的方法是一种很好的计算概率的方法,它避免考虑抽到1和2的先后顺序,把生2的两种情况归结为一种情况考虑,是在生2基础上的再上一层楼。
生4:我班的绝大部分同学没有学过乘法原理和加法原理,如何利用已学过的概率知识来解决本题呢?我想出了这样一种方法:我以1,2,3三张扑克为例,任意抽两张,先把扑克分成(1,2)(1,3)(2,3)三种情况,抽到这三种情况中的任意一种都是可能的,然后列出树状图,就可以很轻松地解决本题了。四张扑克也可以用类似的方法来解决。
师:太棒了,生4先将数据巧妙地捆绑在一起,变成了另一种并且等价于游戏规则二的等可能事件,然后利用初中概率计算的主要方法列树状图,很快地解决了本题。
生5:初中学习概率的基本方法是列表法或树状图法,这道题目我们可以采取最基本的列表或树状图来解。以1,2,3,4四张扑克为例,学生抽到两张扑克的情况如下:
假设老师抽到的是1,2这两张扑克,则学生和老师相同的概率为212=16.
在初中阶段如何处理统计与概率的内容？怎样发挥统计与概率在提高学生数学素养方面的功能？下面就这些问题，谈几点粗浅的看法。
一、统计与概率改革的意义
统计与概率内容的改革，对促进初中数学教学内容的现代化、结构的合理化，推动教育技术手段的现代化，改进教师的教学方式和学生的学习方式等都有积极的作用。
1．使初中数学内容结构更加合理
现行初中数学教学内容主要包括代数、几何，统计含在代数之中。初中三年总课时大约500左右，代数约占258课时，统计约占14课时，几何约 占228课时。从课时分配上可以看出，代数和几何占有相当的份量，约占总课时的95%，统计仅占4%。代数、几何属于“确定性” 数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。统计、概率与现实生活密切联系，学生可以通过实践活动来学习数据处理的方法。
2．有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式
转变方式是学习统计与概率的内在要求。由于统计与概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法。这些活动以有效地导致教师与学生地位的根本改变，促进教师教学方法的改进和学生学习方式的改变。教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者；传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方式由被动接受变为主动探究。
二、处理统计与概率的基本原则
1．突出过程，以统计过程为线索处理统计与概率的内容统计学的主要任务是，研究如何以有效的方式收集和处理受随机性影响的数据，通过分析数据对所考察的问题作出推断和预测，从而为决策和行动提供依据和建议。统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析（包括概率）的完整过程。根据统计的这个特点，初中阶段的统计内容应该反映这个完整的过程，以过程为线索设计整个初中的统计内容。首先是数据的收集，然后是对收集到的数据进行整理和描述，最后对数据进行分析。在具体内容的处理上也应突出统计的基本过程，让学生经历收集数据，整理数据、描述数据和分析数据得出结论，利用结论进行合理预测和判断的统计过程。
2．强调活动，通过活动体验统计的思想，建立统计的观念
统计与生活实际是密切联系的，在收集数据、处理数据以及利用数据进行预测、推断和决策的过程中包含着大量的活动，完成这些活动需要正确的统计思想观念的指导。统计的学习要强调让学生从事简单的数据收集、整理、描述、分析，以及根据统计结果进行判断和预测等活动，以便渗透统计的思想，建立统计的观念。
3．循序渐进、螺旋上升式安排内容
统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程，这个过程中的每一步都包含着多种方法。例如，收集数据可以利用抽样调查，也可以进行全面调查；在描述数据中，可以用象形图、条形图、扇形图、直方图、折线图等各种统计图描述数据。对统计过程中的任意一步，教材不可能在一个统计过程中全面介绍，因此教材可以采用循序渐进、螺旋上升的方式处理内容，在重复统计活动的过程中，逐步安排收集数据和处理数据内容。这样安排内容不仅符合统计的特点，也符合学生的认知规律。学生对统计的过程是陌生的，这样螺旋上升式安排内容，可以使学生在重复统计活动的过程中，不断完善对统计的认识，逐步掌握统计分析的各种方法。
三、处理统计与概率时值得注意的几个问题
1．统计与概率宜分别相对集中安排
概率是刻画事件发生可能性大小的量，统计是通过处理数据，利用分析数据的结果进行预测或决策的过程。从统计学内在的知识体系看，概率是统计学的有机组成部分，在数据的分析阶段，可以利用概率进行统计分析，从数据中得出结论，根据结论进行预测或判断。因此，在初中阶段，可以把概率看成是统计过程的一个阶段。
2．使用信息技术，突出统计量的统计意义
信息技术的发展，使收集数据和处理数据变得更方便、更快捷。我们可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件制作统计表，绘制各种统计图以及进行概率实验，这是统计与概率在各行各业得到广泛应用的一个重要原因。在教材编写和实际教学中，应当提供使用计算机处理一些内容的方案，作为弹性处理，供有条件使用计算机的学校或学生选用。
3．淡化处理概念
虽然概率与统计的概念不多，但有些概念给出定义是困难的，教材不必追求严格定义，应将重点放在理解概念的意义上来。例如概率的概念，在中学阶段给出严格的定义是不可能的，也是没有必要的，因此在编写时，可以通过大量的例子来说明，让学生感受到概率是对随机现象中规律性的一种刻画，是对事情发生可能性大小的一种估计就可以了。
4．选材广泛，文字叙述通俗、简洁
统计（包括概率）的现实生活素材是非常丰富的，编写教材时应当充分挖掘，尽量从学生的生活实际出发来引出和呈现内容，通过丰富的素材处理内容。选材可以是学生感兴趣的生活实际问题、社会问题或人与自然的问题 等，突出现实性与时代感。
统计与概率的内容虽然有大量的图表，但也需要一定的文字语言解释说明。为不影响学生的阅读兴趣、分散学生的注意力，要避免大段的文字叙述。
[关键词] 美感；教学；领悟；感受新课标背景下，开展富有美感的初中数学教学，从初中数学教材、课堂讲解、内容灌输、优选习题、应用实践、开拓发展方面，开展富有科学美、创造美的初中数学教学方式，达到美化教学内容的同时，让学生们在美妙的课堂、愉悦氛围里，高效地掌握学科知识，全面提高课堂教学质量.
巧识教材，领悟数学教学的科学美
初中数学是一门系统、丰富、逻辑的学科，教师们应以美感的眼光审视初中数学教材，发现、梳理、总结教材中的科学美，并根据学生们的心理特点，引导学生们巧妙认知教材内容，美化学科知识，领悟初中数学的魅力.
巧识教材语言美，数学的概念和定义简洁精炼，仅用简单的一句话就阐述了一个抽象的定义，精炼的语言中，多一个字则多，少一个字则少，简练的语言却刻画了内容的本质，或者一个简单的符号就揭示了深刻的规律，足以说明数学的语言美. 例如，在“点、线、面及公式”学习中，指引学生们巧识教材科学美，如“两点之间，线段最短；sinα2+cosα2=1”，引导学生们熟读这句话，学生们会发现简单的一句话却蕴涵着深刻含义，另外简单的一个正、余弦定理却蕴涵着深刻的规律，体现了初中数学的语言美；巧识教材图形美，讲了点、线、面的概念后，引出点、线、面、体的章节中，利用多媒体教学播放出形象的正方体、圆柱体、球体、圆锥体的图形，并详细讲述这些几何体简称为体，是通过点、线、面的运动得到的，使学生们领悟了数学的奥妙，同时播放一些图片如喷泉、水面、地灯、星球等，这时指出“点动成线，线动成面、面动成体”的规律，学生们在生动的画面中，感受到知识的美妙与神奇.
以上巧识教材的科学美中，通过教师引导，从生活中熟知的事物，使课本抽象的概念形象化，并通过具体事物发掘了数学概念的奥妙，巧识教材，领悟数学教学的美感，对于初中数学教学十分有效.
灵动课堂，感受数学教学的艺术美
在全面系统地阅读教学内容情况下，教师需要创设有趣的活动，以激活课堂气氛，创造灵动的教学课堂，提高学生们学习热情，师生共同感受初中数学教学的艺术美.
数学是一门严谨、科学的学科，运用游戏、问答、竞赛等方式开展丰富多彩的活动，活跃了课堂气氛，也使教材上单调、无趣的公式和做题方法变的灵活、有趣，同时感受到了数学教学的艺术美. 例如，“不等式”教学中，采用做游戏的方式，意在通过一元一次方程找到不等式的解答规律. 首先，在黑板上写出“x+5=-3；2x=x+5；12-3（x-1）=2（x-1）”，最快解答出来并且准确无误的是冠军，学生们都兴致很高地参加竞赛，很快就有学生举手示意说解答出来了，经过判定得出冠军；然后进行第二轮竞赛，不等式的解答，黑板上写出“x+5>3；2x
简单的一组游戏，活跃了课堂气氛，也激发了学生们学习的积极主动性，同学们踊跃参加到游戏中，灵动的课堂氛围，使学生们享受数学的学习乐趣和知识的美妙，感受到数学教学的艺术美.
美化内容，彰显数学教学的真实美
初中数学教材内容丰富多样，涉及知识面广泛，通过教师引导下把数学文字的内容美化、联想化，在优美的图画和板书中，引出数学抽象的文字，彰显数学教学的真实美.
作为初中数学教师，一直在尝试用展示课本美的教学，发掘形式美、图形美，揭示了初中数学教学的真实美. 例如，教材里“等边三角形”学习中，在这里进行内容类比美，首先，把三角形和等边三角形对比讲解，先画任意一个三角形，再画一个等边三角形，从定义、条件下，通过数学的内容类比美，发掘教材真实美，美化细节内容. 其次，让学生们课堂上剪切一个等边三角形，从端点垂直向下画出三角形的高，会发现这条线段把三角形分割成了两个完全相等的三角形，再把三角形三个角向中心折，会发现三个角相加等于180度，通过学生们自己动手，不仅深刻认识了概念，也了解了等边三角形的边、高、内角的内容，显露出内容真实美.
以上美化教学内容的方式，教师们通过在对教材全面了解基础上，将教学内容美化，适合学生们追求美学的心理特点，也让内容美真实表达，彰显了初中数学教学美的内涵.
优选好题，品味数学教学的逻辑美
数学教学以其科学美、语言美展示内容美，解题中运用消元、合并同类项、分解和组合、推理等逻辑思维美，其中一题多解更是美妙神奇，都给学生们带来多角度的解题的快乐，品味数学教学的逻辑美.
做题是对知识的巩固和解题技巧的掌握，一套好的练习题可以引导学生们探索技巧，找到最优的解题途径，解题过程中品味数学教学的逻辑美. 作为初中数学教学教师，一直在尝试用展示课本美的教学，发掘形式美、图形美，揭示了初中数学教学美的本质. 例如， “勾股定理”应用中，首先，根据勾股定理a2+b2=c2，常见的是解答三角形的边长，如已知三角形的两直角边长a，b，可以求得斜边长c的长度，同时，已知三角形的一个斜边，也可以得到三角形另外两条直角边的长度；其次，把满足的一组正数叫做“勾股数”，在教师指导下，提示只要满足以上定理中逻辑等量关系的三个数，就称为“勾股数”，让学生们任意发挥写出几组勾股数，使得学生们熟练掌握了勾股定理的同时，解决很多实际问题.
通过以上优选好题的练习方式，加深了学生们对教材内容的理解，巩固了公式定理的应用，熟练了解题技巧，在真材实练中体会初中数学教学的逻辑美，更加促进了学习方法的改进，教师的教学也达到了事半功倍的效果.
勤于实践，构建数学教学的创造美
初中数学教学内容逻辑性较强，单纯的理解、记忆很难发现其内在的解题逻辑规律性，唯在多加练习实践中，才能发掘它深刻的规律，在不断解题中，不断发掘新的解题模式，实践中构建初中数学教学的创造美.
基于前面扎实定义，在熟悉教材内容，掌握解题技巧的基础上，勤于做题实践，在实践中不断摸索解题的思路、途径，发掘了数学教学的创造美. 例如，在“概率”学习应用中，首先，笔者提出几个简单的问题引出概率的概念，提问“如果拿着一枚硬币投掷，正面朝上的概率和正面朝下的概率是多少”，我们让学生们分组进行测试，结果会得到分别是50%；其次，介绍事件A发生的概率为P（A）=，投掷骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种，求这些数出现为1，2，3，…等概率是多少？数为2时，P（点数为2）=，点数是奇数有3种可能，即点数为1，3，5，P（点数是奇数）=，点数大于2且不大于5有3种可能，即3，4，5，P（点数大于2且不大于5）=，以此类推，经过简单的例子，让学生们在实践中把概念具体化，在实践中加深了知识的学习.
以上方法，在激发学生们学习兴趣的同时，进一步掌握并熟练了概率概念、概率计算、概率应用范围等内容，从而在实践中，构筑了初中数学的创造美.
拓展知识，分享数学教学的知识美
初中数学知识的拓展延伸，是基于教学内容、课堂收获、优选作业之后的培养学生们对知识的多元化认知，改变单向传授，扩大知识面，培养学生们个性化、开放性教学，师生共享数学教学知识美的有效途径.
紧紧围绕教学内容，把握知识点的要点，开展有意义的动手、实验、竞猜等活动，以巩固知识点为前提，拓展知识面为目的，旨在分享初中数学教学的知识美. 例如，在“图形性质”学习中，以相似三角形为例进行教学的拓展引申，首先，在黑板上画出两个相似三角形ABC，A1B1C1，得到两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例；然后以拓展的思维，如图1提问两个相似三角形的面积比是多少.
如果它们相似比是1∶2，那么三角形的面积比由图可以想到是四倍关系，我们来论证：首先，相似三角形的边长比等于相似比，则由公式推出，所以三角形的面积比是相似比的平方，所以后者面积是前者的四倍.
关键词：案例教学法；概率论与数理统计；教学研究；应用
作为研究社会随机现象、统计普遍规律的重要数学分支，概率论与数理统计的相关理论其方法被普遍应用于社会科学发展、生产生活及国民经济各个领域，从子弹的命中率问题、航天器的碰撞概率问题到硬币投掷问题、中奖问题都需要用概率论与数理统计的相关内容进行分析和解答。正如法国数学家拉普拉斯曾所言：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题。”可见，概率论与数理统计在我们的生产生活中发挥着不可忽视的重要作用。这就需要高等数学中的概率与数理统计教学要充分结合本学科特点，在充分激发学生学习积极性和主动性的基础上，促进学生学习效率、学习质量、学习水平的不断提高，为他们用概率论与数理统计理论知识解决实际问题奠定扎实的基础。然而，我国当前部分高校的概率论与数理统计教学中普遍存在“重理论讲解、轻实践操作，重技巧应运用、轻数学思维”的现象，使学生花费大量精力学习概率论与数理统计相关理论知识后，即便是得到较高的书面分数，却很难在实际生活中应用所学知识灵活地解决实际问题，而无法达到学以致用的目的。这种传统的教学模式不仅不利于学生综合素质和全面能力的培养及提高，而且还会因为枯燥的课堂教学扼杀学生的学习兴趣、降低概率论与数理统计课堂教学的实效性。因此，新时代背景下的概率论与数理统计教学，应从学生的认知水平、实际情况出发，在理论与实践紧密结合思想的指导加强实用性教学。而案例教学法，即通过在课堂教学过程中引入有代表性的、学生感兴趣的、与课堂内容紧密结合的实际问题，实现对理论知识的分析和讲解。在概率论与数理统计教学过程中应用案例教学法，引导学生自主学习、探究学习、合作学习，在发现问题、思考问题、分析问题、解决问题的过程中，提高将概率论与数理统计应用于实际问题解决的相关能力。
一、案例教学法的特征及优势
案例教学法就是教师在课堂中通过引入与教学内容紧密结合的实际问题，并将其作为教学案例，引导学生参与案例分析和讨论，实现理论知识与生活实践的紧密结合，并促进学生发现问题、思考问题、分析问题、解决问题及将理论知识应用于生活实践等相关能力的不断提高。与其他数学课程一样，概率论与数理统计也具有理解起来难度高、理论内容丰富抽象、相关试题复杂多样等特征。基于这些数学学习特征，传统的教学方法不仅加大了教师的教学难度，而且也不利于教学效果的提高。这就需要教师积极的创新教学理念和教学方法，结合案例教学法激发学生的学习主动性和积极性，促进教学质量的不断提高，以最终获得理想的教学效果。在概率论与数理统计教学中应用案例教学，可以让学生在生动形象的实际问题中，加深对抽象、难懂理论知识的理解。此外，学生还可以在具体案例的讨论分析和探究过程中，获得更高的学习热情和兴趣，以最终促进学生学习质量和教师教学效果的全面提高。从教学的层面而言，案例教学法充分发挥了学生在课堂学习中的主体作用，有效地培养了学生的自主学习能力、合作学习能力、探究学习能力。因此，案例教学法是沟通概率论与数理统计理论知识与生活实际相联系的重要桥梁。
二、在概率论与数理统计教学中应用案例教学法需注意的问题
再好的教学方法都应该与教学内容相适应、与学生的认知水平、兴趣爱好相一致，案例教学法同样也要满足这些要求。因此，在概率论与数理统计教学过程中应用案例教学法需注意以下几个问题：
1、案例的选择
案例教学法的实施过程中，要特别注重对案例的选择。要选择与所学理论知识联系密切且难易程度适中、便于学生理解的案例。同时，在课堂教学中的应用的案例，还要具有一定的延伸性和拓展性，让学生一方面可以在生动有趣的案例中，提高学习热情；同时，也可以在经典案例的指引下，开阔思维、拓展视野。在概率论与数理统计的发展史上，有很多像“平分赌金”一类的经典案例。当然教师也可以根据专业背景、社会趋势的具体变化，审时度势地选择与教学内容紧密结合的案例，以为学生营造一个轻松、自由、和谐的课堂氛围，最终实现概率论与数理统计课堂教学的有效性的不断提高。
2、案例教学的具体组织在应用案例教学法时，教师要特别注意案例引入的时机和方法。教师要通过提出问题的方式，先为学生设下悬念，以调动起他们的学习欲望。然后，再带领新生开始了解和认识新知识，等他们对新知识有了初步的了解后，再结合之前案例中的问题，组织学生进行讨论、分析，自由发言。在学生讨论过程中教师要做好巡场指导和问题解决工作；在学生发表观点后，教师要及时地就发现的问题做深入的分析和解答，帮助学生建立其解决实际问题的具体思路和有效方法。在概率论与数理统计的教学过程中，应用案例教学法的教师要特别注重对课堂时间的整体把握，要把握好案例讨论和观点表达的时间，要充分结合多媒体教学方式，以声音、图像、视频等方式，将原本枯燥无味的理论知识形象生动地展示出来，为学生进一步研究和深入探讨奠定基础。
三、案例教学法的运用实例
在概率论与数理统计中，从每道例题到专题讨论都可以使用案例教学法。下文笔者将结合几个具体案例，对案例教学法在概率论与数理统计中的应用展开分析。结合经典的“平分赌金问题”，引入数学期望和古典概率的相关知识。
案例1: 保罗和德梅尔是两个赌技术相当的赌徒，现他们各出六个金币做赌注，赌前约定：谁先赢三局，就可以拿走所有的12枚金币。而已知共堵了三局，保罗一胜两负，但由于特殊原因要结束，问如何分配这十二枚金币，才能达到最大程度的公平。在引入这一案例后，教师可以留给学生几分钟的时间用于思考和讨论，并表达自己的意见。根据学生的回答发现大部分学生是根据已经比赛的结果来对金币进行分配，即保罗可以拿到1/3（4枚金币），而德梅尓可以拿到2/3（8枚金币）。在同学们表达完自己的想法之后，教师可以引导学生对这一问题进行深入的探讨，来分析这种分法是否正确。教师引导学生思考如果再赌两局会有以下四种结果：德德，德保，保德，保保。前三种情况都是德梅尓先胜三局，那么他就可以获得12枚金币。只有最后一种情况是保罗先胜3局，可以得到12枚金币。因此，整体看来，德梅尔和保罗能分别获胜的概率为 和 ，那么该案例中金币合理的分配方法应该是，德梅尓得到 （9枚金币），保罗得到 （3枚金币）。接下来教师就可以接着这个案例再进步一步引出古典概率的相关理论知识。同时，从另一个角度而言，如果，引入一个随机变量 ，用来代表再继续赌两局后德梅尓所得，则 的取值为0或12，概率分别是 和 。因此，德梅尓的期望所得为： 。接下来教师就可以顺势引出的 期望值就是 可能值和其概率相乘的累加，并引出“数学期望”的相关概念。此外，概率论与数理统计中还有经典的“三门问题”，教师可以在教学过程中通过对“三门问题”的引用，以加深学生对概率统计原理和思想的认识及理解，促进学生运用知识能力的进一步提高。
案例2: 美国二十世纪70年代有一个电视节目中有三扇门，在这三扇门后面有且仅有一扇门有奖品，节目参与者可以在这三扇门中任意选择一扇门，主持人把另外两扇门中没有奖品的一扇门打开，然后问参赛者：“是否要换另外一扇门，还是坚持选择最初的那扇门。”这时大部分人凭直觉认为，剩下两扇未被打开的门中，有奖和没奖的概率都是50%，因此没有必要再做改变。然而用概率论的相关内容进行分析却会得出相反的结论。原因是在最初参与者进行选择时，能选中有奖门的概率为 ，其余两扇门的中奖概率是 。然而当主持人打开确定没有奖品的门之后， 的概率都集中到另外一扇参与者没选的门上，而不会与参与者最初所选进行二次概率分配。也就是说如果参赛者能坚持最初的选择，那么中奖概率仅为 ，而如果参赛者改变选择，中奖概率为 。因此，主持人打开一扇门之后，如果参赛者改变最初的选择，则会提高中奖概率。
参考文献：
【关键词】语言识别；隐含马尔可夫模型
一、语言的实质
人们平时在说话时，脑子是一个信息源；人们的喉咙（声带），空气，就是如电线和光缆般的信道；听众耳朵的就是接收端（信宿），而听到的声音就是传送过来的信号；语言在这一过程中充当信息载体的角色，即消息。这就是人类通过语言交流的实质。
二、语音识别
语音识别是指从语音到文本的转换，即让计算机能够把人发出的有意义的话音变成书面子语言。通俗地说就是让机器能够听懂人说的话。所谓听懂，有两层意思，一是指把用户所说的话逐词逐句转换成文本；二是指正确理解语音中所包含的要求，作出正确的应答。
三、HMM原理
隐马尔可夫模型（HMM）可以用五个元素来描述，包括2个状态集合和3个概率矩阵：
1.隐含状态S
是马尔可夫模型中实际所隐含的状态，这些状态之间满足马尔可夫性质。这些状态通常无法通过直接观测而得到。
2.可观测状态O
在模型中与隐含状态相关联，可通过直接观测而得到，可观测状态的数目不一定要和隐含状态的数目一致。
3.初始状态概率矩阵π
表示隐含状态在初始时刻t=1的概率矩阵，（例如t=1时，P（S1）=p1、P（S2）=P2、P（S3）=p3，则初始状态概率矩阵 π=[p1 p2 p3].
4.隐含状态转移概率矩阵A。
描述了HMM模型中各个状态之间的转移概率。其中Aij = P（ Sj | Si ），1≤i，，j≤N.
表示在 t 时刻、状态为 Si 的条件下，在 t+1 时刻状态是 Sj 的概率。
5.观测状态转移概率矩阵 B
令N代表隐含状态数目，M代表可观测状态数目，则：
Bij=P（Oi | Sj）， 1≤i≤M，1≤j≤N.
表示在 t 时刻、隐含状态是 Sj 条件下，观察状态为Oi的概率。
总结：一般的，可以用λ=（A，B，π）三元组来简洁的表示一个隐马尔可夫模型。隐马尔可夫模型实际上是标准马尔可夫模型的扩展，添加了可观测状态集合和这些状态与隐含状态之间的概率关系。
当人们观测到语音信号o1，o2，o3时，要根据这组信号推测出发送的句子s1，s2，s3。显然，人们应该在所有可能的句子中找最有可能性的一个。用数学语言来描述，就是在已知o1，o2，o3，...的情况下，求使得条件概率：
P（s1，s2，s3，...|o1，o2，o3....）达到最大值的那个句子s1，s2，s3，...。例如，当人们听见（ni shi shui a），按经验、语言环境就能判断出对方所说的是“你是谁啊”的概率最大，而不是其他的句子。
四、HMM基本步骤
对HMM来说，有如下三个重要假设，尽管这些假设是不现实的。
假设1：马尔可夫假设（状态构成一阶马尔可夫链）
P（Xi | Xi-1…X1）=P（Xi | Xi-1）
假设2：不动性假设（状态与具体时间无关）
P（Xi+1 | Xi）=P（Xj+1 | Xj），？坌i，j
假设3：输出独立性假设（输出仅与当前状态有关）
P（O1，…，OT | X1，…，XT）=？装P（Ot | Xt）
隐藏的状态和可观察到的状态之间有一种概率上的关系，也就是说某种隐藏状态H被认为是某个可以观察的状态O1是有概率的，假设为 P（O1 | H）。如果可以观察的状态有3种，那么很显然 P（O1 | H）+P（O2 | H）+ P（O3 | H）=1。
这样，我们也可以得到一个另一个矩阵，称为混淆矩阵 （confusion matrix）。这个矩阵的内容是某个隐藏的状态被分别观察成几种不同的可以观察的状态的概率。
下图明确的表示出模型的演化，其中绿色的圆圈表示隐藏状态，紫色圆圈表示可观察到状态，箭头表示状态之间的依存概率，一个HMM可用一个5元组{N，M，π，A，B}表示，其中N表示隐藏状态的数量，我们要么知道确切的值，要么猜测该值，M表示可观测状态的数量，可以通过训练集获得，π={πi}为初始状态概率，A={aij}为隐藏状态的转移矩阵Pr（xt（i） | xt-1（j）），B={bik}表示某个时刻因隐藏状态而可观察的状态的概率，即混淆矩阵，Pr（ot（i） | xt（j））。在钐转移矩阵和混淆矩阵中的每个概率都是时间无关的，即当系统演化时，这些矩阵并不随时间改变。对于一个N和M固定的HMM来说，用λ={π，A，B}表示HMM参数。
在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中，状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。
五、向前向后算法
下面介绍前向后向算法的参数学习过程，在学习的过程中，不断更新HMM的参数，从而使得P（O | λ）最大。我们假设初始的 HMM 参数为λ={π，A，B}，首先计算前向变量？琢和后向变量 ？茁，再根据刚刚介绍的公式计算期望？孜和ζ，最后，根据下面的3个重估计公式更新HMM参数。
参考文献：
关键词：高中数学；初中数学；断层现象；原因分析
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）10-240-01
自从高中使用北师大版的新课程标准实验教科书以后，自己在高中的数学教学中总感觉有一种断层现象，今年专门研究了一下初中数学教与学的过程，发现确实存在着很多断层现象。许多初中学校、高中学校是完全独立的，因此高中老师不了解初中的程课设置和教学特点，对初中新课程改革中，新课标对教学及学生要求的一系列的变化更是不了解，初中老师也不了解高中的课程设置和教学特点。然而在实际教学过程中我们发现学生进入高中阶段后遇到了很多不适应的情况，初高中的教学确实存在着断层现象，下面从知识、能力两方面浅谈一下断层现象及原因。
一、初高中知识、能力方面的断层现象
1、知识方面的断层
（1）在平面几何结论（三角形的内心、外心、重心、垂心概念，内角平分线定理、重心定理、圆幂定理等）上不衔接；（2）用十字相乘求一元二次方程的根不衔接；立方和（差）公式不衔接；（3）二元二次方程组（含一个二元一次方程）不衔接；（4）一元二次不等式求解不衔接；（5）三元一次方程组求解不衔接。
2、能力方面的断层
（1）学生对变量的理解与认识不够；（2）学生的空间想象力不够；（3）学生在书写规范性和准确简明表达解题过程方面不足；（4）学生的多项式计算化简能力不强；（5）学生对分式的计算与化简能力不强。
二、初高中知识、能力方面的断层现象的分析
1、知识分析：代数，几何，概率统计三方面完全删除或降低要求的部分；新增或提高要求的部分
删减或降低部分代数方面1、立方和(差)公式删除；2、因式分解：总体要求大大降低；3、二次根式删除同类二次根式的概念，降低分母有理化要求；4、删除三元一次方程组、二元二次方程组；删除韦达定理，一元二次不等式、分式方程，没有要求可化为一元二次方程的分式方程；5、函数；6、三角函数。这些知识都是进入高中之后的基础和重点，立方差公式、因式分解、方程组都是在高中解题化简中常用的方法，韦达定理就更不用说了，高考中的有关圆锥曲线知识的解题中，80%要用到韦达定理，而这个知识点只能在高中解题的时候重新讲解；不等式，分式方程的解法在高中也是一个重点，这些知识在初中阶段的要求降低，学生进入高中之后的运算能力就显得非常弱。
几何方面1、三角形“四心”中的重心、垂心只做过介绍；大边、大角关系没有要求；2、完全删除平行线分线段成比例定理及逆定理；三角形角平分线定理；比例性质，射影定理没有明确要求；相似三角形的推理证明要求下降；3、圆的相关要求大大降低。
新增或提高部分。
代数方面1、用函数观点统一方程(组)、不等式(组)：非常明确的提出，并作了详细的介绍；突出了函数思想的重要性；2、利用图像法求解方程(组)、不等式(组)：作了介绍，并在一些综合题中有所体现；加强了数形结合的思想；3、用方程(组)、不等式(组)以及函数解决实际问题：要求大大提高，在每部分都进行了较为系统的训练，但不同学生的差异较大、更注重数学应用意识。
这些我个人认为处理的非常好，函数思想，是贯穿初中数学、高中数学、大学数学的一个主线，用函数的观点研究方程（组）、不等式（组），以及高中知识里面的数列等，典型突出了函数思想的重要性。
几何方面（几何方面新增内容为后续高中学习立体几何，三视图等知识打下了很好的基础）
（1）简单多边形的重心；2、视图与投影；3、几何变换，这些内容的新增，为将来学生在高中阶段对立体几何、三视图的学习打下了很好的基础，所以高中学生学习三视图的内容就相对简单。
概率统计(为高中学习概率统计打下基础)
（2）统计观念的培养；2、掌握常用统计图表的绘制，理解其意义；3、理解常用统计量的意义，会计算；4、概率：从初中教材中，学生了解了概率的意义，学生对“频率稳定于概率”有了初步的理解；5、会用列举法求解简单的古典概型问题。这些内容在高中知识里面也是非常重要的，可见初中新增内容与高中教材新增内容在体系上保持了一致性，起到了很好的铺垫作用。
2、数学学习心理上、习惯上的断层分析
