教学内容：冀教版小学数学六年级下册第四单元第一课时
教学目标：
1.知识技能：使学生认识圆柱的特征，知道圆柱各部分的名称，认识圆柱的侧面展开图，会计算圆柱的侧面积。
2.过程方法：通过观察、想象、操作、讨论等活动，培养学生自主探究、动手实践、合作创新的能力；渗透转化的思想方法。
3.情感态度价值观：运用课件提供的教学情景，激发学生主动参与学习的热情，动态演示结合实物情景的设置，使学生能直观感受圆柱的侧面展开图，初步渗透事物发展、变化规律的辩证观点。
教学重难点：
重点：知道圆柱的各部分名称以及圆柱侧面展开图的形状，会计算圆柱的侧面积。
难点：经历认识圆柱和圆柱侧面积展开图的过程。
教具准备：圆柱实物
自制教具
学具准备：圆柱实物
教学过程：
一、课前三分钟
1.导入：同学们，学好数学需要有空间想象力，看，老师把一张长方形的硬纸粘在了小棍儿上，如果转动小棍儿，想象长方形纸转动的轨迹会演变成什么图形？同学们，电脑朋友帮忙把旋转过程的轨迹留了下来，请睁大眼睛仔细看。同学们，一个平面图形，通过旋转，神奇般的演化出了立体图形，数学真是个充满着奇妙的世界啊！有请今天课前三分钟的主持人。
2.主持人：
（1）判断哪些是圆柱?哪些不是圆柱？
（2）除了这些，生活中哪些物体的形状是圆柱？说说看。
（3）我们小组搜集到了生活中的圆柱，并配了文字，边看边读文字，我们一起来感受。
（4）圆柱已经融入到我们生活的方方面面，生活因有了圆柱而精彩。
二、小组互学
1．导入：带着这种亲切感，我们继续走进圆柱。
2．出示前置小研究的要求：
(1)利用圆柱实物,自学课本内容，探究：圆柱有几个面？各有什么特点？
(2)给圆柱实物做一个侧面，自主研究圆柱的侧面积公式,用自己喜欢的方式记录研究过程。
3.组内交流，教师巡视。
三、全班共学
预设：
（一）探究圆柱体的特征。
1.
认识圆柱体的面。
圆柱体有3个面，上下两个面是圆形，并且相等，侧面是个曲面。
质疑：你是怎样知道两个底面相等的，用哪种方法验证最简单？
（预设：观察、画剪、量直径计算、画在纸上倒过来是否重合）
师：你们的办法可真多啊!现在通过课件演示，咱们一起来验证一下大家的发现好吗?(课件演示：圆柱体上下底面重合图。)
2．认识圆柱的高。
（1）出示圆柱：这些圆柱有什么不同？
那么圆柱的高矮是由圆柱的什么决定的？用两个圆进行演示。揭示高的概念：圆柱两底之间的距离叫做高。
圆柱的高藏在哪里呢？能小组合作给有包装纸的圆柱画一条高吗？
想一想，只能画一条吗？圆柱的高都在圆柱的侧面上吗？内部有没有呢？
通过找高，揭示圆柱的高有无数条，并且都相等。
(2)高的拓展
在日常生活中，圆柱的高还有其它的说法，比如：
一口水井是圆柱形的，这个圆柱的高还可以说是“深”，一个1元硬币是圆柱形的，这个圆柱的高还可以说是“厚”，水管也是圆柱形的，它的高还可以叫“长”。
（二）探究圆柱的侧面积公式。
1.小组汇报。
2.补充质疑。
四、自我检测
（一）判断。
1.一个圆柱两个底面的直径相等。（
）
2.上下两个底面完全相同的物体一定是圆柱体。（
）
3.有两张相同的长方形纸,分别卷成两个圆柱筒,(接缝处忽略不计)并装上两个底面,那么制成的两个圆柱的高一定相等，侧面积一定相等。（二）右图是一个生日蛋糕，底盘是塑料板。（单位：厘米）
1.为生日蛋糕选择一个合适的蛋糕盒。选哪个合适？说明理由。
10
15
2.这种蛋糕盒上面是透明塑料，周围是硬纸板。算一算，每个蛋糕盒需要多少硬纸板？(得数保留整数)
五、总结
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）01A-
0086-01
新课标明确提出要落实“四基”，指出教师要加强基本思想方法的渗透，培养学生的基本数学思想方法。面对这个新增加的教学目标，很多教师无从落实。那么，在教学实践中，如何进行数学思想的有效渗透呢？笔者认为，教师要从学生的主体性入手，强化学生的自主体验，带领学生经历探究过程，使数学思想方法的渗透成为课堂的有机组成部分。现根据人教版六年级数学下册《圆锥的体积》教学片段，谈谈自己的一些体会。
【片段一】自主猜测，增强体验
笔者先出示圆锥体，让学生猜测如何计算圆锥体的体积。学生根据长方体和圆柱体的体积计算公式，展开自主猜测，认为圆锥体的体积也可以用底面积乘高来计算。也有学生认为圆柱体可以削成一个与它等底等高的圆锥，也就是说，圆锥体的体积应该比圆柱体的体积小，因而，圆锥体的体积应该是圆柱体的体积的几分之一。到底是几分之一呢？有的学生认为圆锥体体积是圆柱体体积的二分之一，有的认为圆锥体体积是圆柱体体积的三分之一，还有的认为应该介于二分之一和三分之一之间。到底结果是什么呢？通过这样的猜测，学生对结果充满了期待，将课堂教学引入良好的情境中。
【片段二】自主探究，丰富经验
根据自己的猜想，学生迫不及待地想要进行操作验证。此时笔者引导学生讨论如何通过做实验来验证呢？有学生提出第一种方案：根据不规则物体体积的测量方法，将圆锥体看做不规则物体，将它放进圆柱体的容器内，然后计算水位上升后的体积，再进行比较，从而得到圆锥体和圆柱体之间的体积比，进而得到几分之几的结论。第二种方案：准备一个等底等高的圆柱体和一个圆锥体容器，将装满圆锥体容器中的水倒入圆柱体容器中，看需要几次倒满，就知道圆锥体体积是圆柱体体积的几分之一。到底哪一种方案更简单有效呢？教师带领学生讨论。学生认为，第二种方法更为简单直接。
根据讨论结果，学生立刻按照第二种方案展开操作。教师引导学生思考：圆柱体和圆锥体的底面积和高是怎样的关系？你发现了什么？学生经过操作和观察之后得出结论，认为等底等高的圆锥体体积是圆柱体体积的三分之一。此时教师再引导学生思考：等底不等高、等高不等底、不等底不等高的圆锥体与圆柱体之间是什么关系呢？学生认为，这两者之间没有三分之一的关系。
【片段三】自主反思，提升思维
教师引导学生思考：在本节课教学中，你发现了什么？有什么启示？这节课采用了什么方法解决了主要问题？在生活中你运用过这种方法吗？何时可以运用这样的方法来解决问题？从这节课的学习中，你收获了怎样的经验和策略？
学生根据教师提出的问题展开自主反思，同桌互相沟通交流之后，大胆发言。笔者总结：这次我们学习了圆锥体的体积，经历了猜想―验证―推理―运用的数学探究，运用了类比、转化的数学思想方法。最后笔者出示问题，进行有效的知识拓展：你能求出四边形的内角和吗？学生根据转化的数学思想，认为可以将四边形转化为已经学过的三角形，因为三角形的内角和为180度，这样就可以将四边形转化为两个三角形，因此四边形内角和为2个180度，即360度。
【教学反思】
在整节课堂教学中，笔者将教学重心放在对“转化”这一数学思想的渗透上。无论是第一个步骤的猜测，还是第二个环节的动手实践和验证，直到最后环节的反思总结和拓展应用，都是对“转化”这一数学思想的全面贯彻。整个过程，都是基于对学生的自主性引导，强化学生的自主体验。笔者认为，本节课有两点是比较成功的。
（一）关注已有经验，催生思想感悟
在数学教学中，教师要关注学生的已有经验，确定合适的教学起点，设计有效的课堂问题，催生学生的思想感悟。教学中，笔者直接让学生进行猜想，学生根据已有经验提出了两种方案，最终通过讨论采用了第二种方案，由此将新知探索建立在学生的已有经验基础之上，催生了学生自主感悟的数学意识。
（二）自主探究，积累丰富经验
本节课是2013年市教育局评选教学能手时上的一节公开课。参加听课的学生优、中都有。所用教材为北师大版九年级数学下册。
二、案例主题分析与设计
本节课是北师大版九年级下册第三章第一节内容――《车轮为什么做成圆形》，主要是让学生通过实例来归纳出圆的定义，虽然小学阶段学生已经对圆的有关知识有所了解，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念，所以本节主要关注学生通过观察实例体会圆的概念的形成过程，进一步归纳出点与圆的三种位置关系并感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识。
三、案例教学目标
1.理解圆的概念及表示方法；
2.理解点与圆的位置关系；（重难点）
3.通过实际问题情景中对圆的认识，了解圆在现实世界中的应用，感受数学美无处不在，激发学生的学习兴趣。
四、案例教法学法
教法：四步导学、启发点拨。
学法：自主学习、合作交流。
五、案例教学用具
1.教具：图片、飞镖盘、绳子
2.学具：圆规、三角板
六、案例教学过程
（一）创设情境，激情导入
【设计意图】录用一幅游戏的画面，直击主题，激发学生的学习兴趣和好奇心，以活跃课堂气氛，调动学生的积极性。图片通过圆形车轮和四边形、三角形车轮行走的对比后，很容易理解圆周上到定点的距离相等，所以行走时平稳的特点，从而调动学生学习数学的高涨热情。
（二）自主学习（请同学们自主学习课本P90-91，独立完成学习目标一。）
完成学习目标一：
1.如图A、B表示车轮边缘两点，点O表示轴心。AO_____BO
2.点C表示车轮边缘上任意一点，要使车轮平稳滚动，则CO
_____AO，若换成D、E、F呢？
3.为了使投圈游戏公平，现在有一条3米长的绳子，你准备怎么办？
4.归纳小结
（1）圆的定义：平面上到__________
（2）定点是_____，确定圆的_____定长是_____，确定圆的_____以点O为圆心的圆记作_____，读作_____
*教师强调：确定圆的要素是圆心和半径
圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）
到定点的距离等于定长的点都在圆上
所以圆是到定点的距离等于定长到点的集合（渗透集合思想）
【设计意图】学生通过目标一的学习，会从实际情景中抽象出几何图形，从而引出圆的定义，使学生从感性认识上升到理性认识。让学生通过自己的探索就很容易得到确定圆的两个要素，这样设计更浅显易懂；第3题对教材稍作改动，使学生能将所学知识灵活运用，体现了生活中处处皆数学，增强他们学好数学的信心。
通过做投飞镖的游戏来完成学习目标二：
小明向0上投了5枚飞镖，它们分别落到了A、B、C、D、E点。
由图可看出，点A、C在__________，点B在__________，点D、E在__________，那么点O呢？
我们把点到圆心的距离记为d，半径记为r，通过观察发现：
点在圆外 ？圳 d>r
点在圆__ ？圳 d=r
点在圆内 ？圳 d__r
*教师点拨：圆的内部可以看做是到圆心的距离小于半径的点集合
圆的外部可以看做是到圆心的距离大于半径的点集合。
【设计意图】通过学生的动手实践，向圆形靶扔飞镖，直至出现有点出现在圆周上，圆内、圆外为止，然后通过选用有代表性的五个点A、B、C、D、E，来研究点和圆的位置关系。这里通过学生的积极参与、激发兴趣后，主动去探索、讨论、积极发表自己的看法。探索点和圆的位置关系以及相应的这个点到圆心的距离与半径的大小关，让学生学会用类比的方法研究不同的点与圆的位置关系，通过学生的讨论，归纳发现，培养学生的抽象概括能力，体现转化的数学思想。
（三）合作探究（请同学们在前面活动的基础上，小组成员互相讨论，小组解决不了的问题，反馈给老师）
【设计意图】经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，养成自主探究，合作交流的良好习惯。
（四）展示质疑（请小组选出代表展示本组学习成果，展示一定要大胆、大声、大方）
（五）积累与总结：本节课你有何收获？学到了什么知识？
（六）布置作业：课本习题P941―4
七、教学反思
1.本案例符合知识水平和发展特点的原则，在学生对圆的认识基础上时时关注学生的兴趣、体验、困惑、疑难等，让学生在乐中学、学中做，真正体现了新课改要求下“自主探索、合作交流”的教学模式。
关键词 发散思维 椭圆 双曲线 卡西尼卵形线
【分类号】G633.7
“同课异构”是指不同的教师面对相同的教材，根据自己学生的具体情况，结合自己对教材的理解设计出不同的教学方式。同课异构就是鼓励教师从不同途径，用不同方法，多方面、多渠道地探索新的教学模式，从而有意识地引导学生变更思考角度，变换思维方式来分析问题、解决问题，促使学生数学思维能力的提高和充分发挥。
1 案例背景
“椭圆及其标准方程”是平面解析几何的重要内容，是高考考查主要内容之一。教学目标是掌握椭圆的定义及其标准方程，为后续的椭圆的几何性质及应用的学习做好铺垫。教学重点是椭圆的定义和椭圆的标准方程，教学难点是椭圆标准方程的推导。
2 两种设计
案例1
（1）创设情境，提出问题。
教师向学生们展示了神州七号“嫦娥奔月”的相关图片，并让学生们列举日常生活中有关椭圆形的实物，比如：鸡蛋、橄榄球、油罐车、地球的轨道……等等，从而引出椭圆这一概念，从而设问：满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢？
（2）构建模型，解决问题。
给出画椭圆的一种方法：取一条一定长的细绳，两端固定在画板上的两定点 上，当细绳长大于 的距离时，用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动，就可以画出椭圆图形（如图所示）。
（3）追踪成果，提出猜想。
引导学生认真观察、体验椭圆的画法，一起归纳、总结椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆。
（4）深入细微，深化理解。
教师引导学生认真分析发现椭圆定义中容易遗漏的三个地方：①两个定点---两点间距离即 确定；②绳长--轨迹上任意一点到两定点距离和即 确定；③绳长大于两点间距离即 。其次引导学生思考：若在定义中缺少 时，点的轨迹还有意义吗？若有，代表什么图形？最后进一步引导学生思考发现：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（椭圆 线段）；两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（椭圆 圆）。由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关（为后续离心率相关概念的学习作铺垫）。
现在已经学习了椭圆的定义，那么椭圆有椭圆方程吗？若有，如何求出其方程？更进一步引导学生建立直角坐标系，求出椭圆方程。建系可能出现多种方法，例如：①以 为原点， 为 轴，过 垂直 的直线为 轴建系；②以 为 轴，线段 的中垂线为 轴建系，……。在这么多的建系方式中，哪一种比较好呢？请学生认真感受一下，大部分的学生感觉方法②比较好，能体现数学的对称美感。
（5）学以致用，拓展延伸。
练习1：已知椭圆的焦点为 ，且过点 ，求满足条件的椭圆标准方程。
练习2：已知椭圆过点 求满足条件的椭圆标准方程。
案例2
由实际例子引入椭圆的概念，教师提出问题：什么是椭圆呢？怎么定义？引导学生联想圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆，并画出圆的图形；再引导学生认识到：其实圆也可以看成：动点到定点的来回距离之和为常数的点的轨迹。接着教师设问：若把圆的这个定点一分为二，那么这样“来回”的距离之和等于常数的点的轨迹是什么？再构建画椭圆模型，在上述画圆的基础上做如下改变：将细绳的两端由原来都绑在同一钉子上，改为分别绑在两个钉子上，并拉开钉子使其有一定的距离，用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动，就可以画出椭圆图形，从而组织学生归纳、总结椭圆的定义。
得到椭圆定义后，案例2的教学设计基本上与案例1相同。
3 设计反思
本节课是一节概念课，完整的概念课教学包含以下几个内容：（1）问题背景引入；（2）具体例子的分析与综合；（3）概括概念的本质属性；（4）下定义；（5）概念的辨析；（6）用概念做判断与解Q问题。
案例1基本上涵盖了上述的几个步骤，各个步骤之间的过度比较自然，整个教学设计流畅合理，通过师生之间的良好互动充分调动了学生学习的积极性，是一节比较成功的概念课教学设计。
案例2与案例1相比，不同之处在于：通过圆这个定义的联想类比，创设良好的文化氛围，使得椭圆这个新知识是：在拥有肥沃的土壤（圆的概念）中自然的“生长”出来。从而使学生对椭圆定义的理解经历了由模糊到清楚、由零碎到完整，并逐步完美的融合到原有的知识体系中来。概念课的引入一般会从这三个方面入手，①实际应用的需要；②利用类比引入；③数学知识发展的本身需要。所以，案例1和案例2的引入是各有千秋。
但是，在受案例2椭圆定义的创造性引入方式及椭圆定义的启发，好学的学生可能会疑问：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆，那么距离之差的点的轨迹呢？距离之比呢？距离之积呢？在这种发散思维的触动下，笔者认为可以将此案例进一步改进为“椭圆、双曲线及卡西尼卵形线定义”的教学，进行一次有意义的探究实验。
4 案例改进
拓展1：平面内与两个定点 的距离之差为定值的点的轨迹是什么？
① 当 时，图象分为两支，随着 的减小而分别向 收缩；
② 当 时，图象成8形自相交叉，称为双纽线；
③ 当 时，图象是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰。
④ 当 时，与前种情况一样，但中部变平。
⑤ 当 时，曲线中部凸起。
卡西尼卵形线图象由此组成（如右图所示）。
所以，由上可得：平面内到两个定点 的距离之积为常数的所有点组成的图形称为卡西尼卵形线。
由上述案例的改进所给的启发知，在数学教学中，当学生具备了一定的数学能力后，教师一方面可以鼓励学生在此基础上进行大胆质疑、猜想，提出富有探索性的新问题，让学生凭借所学的知识与技能，善于发现、勇于探索，不断构建自己的数学思维，提高数学思维的应用能力；另一方面，教师在平常的教师实践中要有意识、有目的、有重点地向学生进行设问，制造“障碍”，从而引导学生突破自己的思维定势，培养思维的灵活性和广泛性。
参考文献
[1] 普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-1（理科） 湖南教育出版社 2005年8月第1版
[2] 马小平 椭圆及其标准方程教学设计 学周刊学术研究 2012年第11期
我在指导学生练习时，首先问学生：“这些圆木堆成的横截面，近似于什么形状”？（生：梯形）“结合梯形面积公式，想一想，你能用很快的方法算出圆木的总数吗？”[生：（顶层的根数十底层的根数）×层数÷2]。这样图1的总根数很快就可以算出来了。
我很高兴地表扬了学生：“真不错，我们以后就要这样，运用已学过的知识举一反三，灵活地解决实际问题。”这样一提醒，学生的灵感来了：“老师，假如在图1的上面再加一根圆木，又怎样计算总根数呢？”我一想，“对啊！”很快地画出图2，这位同学提出问题真好，哪位同学能很快地把这堆圆木的总根数用公式算出来？“学生通过观察发现，图2的横截面近似于一个三角形，用三角形面积计算公式S=ah÷2，即“底层的根数×层数÷2， “得到‘6×6÷2=18（根）’”，可有的学生却愣住了并问我“增加1根后，总根数反而从20根减少到18根，不可能呀？”这时我灵机一动，布置了一个研究性的作业：“为什么不能用三角形面积计算公式直接计算图2的总根数？同学们课后，可以寻找一些有关资料作些探究，明天回校讲给同学听”。
第二天，从学生汇报的答案中可知他们课后探究的收获很大。
答案之一：把图2的横截面当作近似的三角形是错的。因为当梯形的上底无限缩小趋于一点（上底为0）时，才成为三角形，而图2的6层中，最上一层的根数不是0而是1。所以只能当作近似梯形的方法计算，即（1+6）×6÷2=21（根）。
答案之二：我们用“化圆为方”的方法，假设每根圆木的横截面的面积为1个面积单位，大小正好是边长为1的正方形的面积，那么，图2的横截面就可以转化为图3，按图上画的两腰可割补成大小完全等于原来总面积的梯形，这样的梯形上底为1，下底子为6，高为6，总面积为（1+6）×6÷2=21（个面积单位）。即21个面积单位就有21个圆，21个圆就有21根圆木。
【关键词】处理好；预设；生成
过去，教案是教师实施教学的“法宝”，因而教师为设计教案绞尽脑汁，力求尽善尽美。然而，随着课程改革的逐步推进，这样的教案在课堂教学中似乎已经不那么管用了。即使是一些被认为是经典的教案，在实施过程中也会常常 “卡壳”。究其原因，主要是教者过分拘泥于静态教案的预设而忽视动态学案的生成。预设与生成是对立统一的矛盾体。就对立而言， 课前细致的预设使本该动态生成的教学变成了机械执行教案的过程；就统一而言，预设与生成又是相互依存的，没有预设的生成往往是盲目的，而没有生成的预设又往往是低效的。因此，在新课程背景下，处理好预设与生成的关系，是提高课堂教学效益的关键所在。 只有课前精心预设，才能在课堂上动态生成，用智慧将教学演绎得更加精彩!
1．精心预设，为生成启航
教学是一项复杂的活动，它需要教师课前做出周密的策划，这就是对教学的预设。准确把握教材， 全面了解学生，有效开发资源，是进行教学预设的重点，也是走向动态生成的逻辑起点。
准确把握教材。教材是“大 纲”或“标准”理念的具体体现，是学习内容的主要载体，也是学生学习的基本材料。但教材是面向全体的，不一定完全适合教师个体的教和学生个体的学。因此，教师在分析教材进而进行教学预设时，应在深入理解教材的基础上，根据学生的实际和本人的教学风格，对教材适当改编或重组。
全面了解学生。教学是师生交往互动的过程，学生原有的知识经验、能力水平、个性特点必然影 响着教学活动的展开和推进。因 此，尽可能多地了解学生、预测学 生自主学习的方式和解决问题的策略，乃是科学预设的一个重要前提。如，制定“圆柱的体积”一课教学计划时，教师应考虑到学生可能 已经知道圆柱体的体积计算公式， 起码要预设两种教学方案：对计算公式未知的学生，该如何引导自主 探索；对计算公式已知的学生，又 将如何引导进一步确认并追溯公式的来源。同样，当学生把圆柱转化为近似的长方体后，由于各人的视角不同，推导公式的过程也会有 所不同。学生可能将其视作底为 πr?r(圆)、高为r的长方体，也可能视作底为πrh(侧面积的一半)、高为r的长方体，还可能视作底为hr (纵截面的一半)、高为πr(圆周长的一半)的长方体。教师只有尽可能地预设各种可能，才能做到心中有数，临阵不乱。
有效开发资源。动态生成本身就是在教学过程中随机开发和适时利用课程资源的过程。所以，教师在制定教学方案时，要注重为学生提供丰富的课程资源。一方面自己要进行教学资源的开发和筛选，另一方面要指导学生通过各种渠道查找相关资料，从而优化预设，收获生成。如我在教学“购房中的数学问题”时，让学生课前了 解常州各房地产开发小区的地点、房型、面积、价位等情况，使其成为购房方案设计的素材和依据；在教学“比例尺”时，让学生课前寻找常州地图并读懂地图，而我则利用网络搜集比例尺各异的地图，为学习比例尺的意义、比例尺的运用提供丰富的资源，等等。当然，对于低年级的学生，更需要教师在预设中多做一些准备。例如，教学“角的 认识”时，让学生选取身边的材料 做直角。我们预设学生做直角的 方法是多样的：画、折、围、剪、拼、 找……都可能出现。如果仅用身边的学习工具展开活动，无疑限制 了学生的想像。于是，我们不仅为学生提供了游戏棒、水彩笔、细绳、 直尺、长方形纸、剪刀、三角尺等材料，还为学生提供了钉子板、不规则的纸等材料。课堂实践表明，有效的教学资源为学生个性化地操作提供了极大的空间，学生的想象，令教师耳目一新。
2．不拘预设，为生成导航
学生的差异和教学的开放，使 课堂呈现出多变性和复杂性。教 学活动的发展有时和教学预设相吻合，而更多时候则与预设有差异 甚至截然不同。当教学不再按照 预设展开，教师将面临严峻的考验 和艰难的抉择。教师要根据实际 情况灵活选择、整合乃至放弃教学 预设，机智生成新的教学方案，使教学富有灵性，彰显智慧。
选择预设，灵活生成。课前的多维预设为教学活动的展开设计了多种“通道”，这为教学方案的动态生成提供了广阔的空间。如，教学“分数乘分数的计算法则”时，当教师引导学生讨论“你认为分数乘分数该怎样计算”时，除少数学生 保持沉默外，许多学生都已经知道了“用分子相乘作分子、分母相乘作分母”的结论。这时，教师灵活地在“对未知的探索”与“对猜想的验证”这两种预设中，选择“对猜想的验证”，并通过“算一算、数一数、 比一比”的学习活动让学生验证自己的猜测。
学生在此过程中不仅成功地建构了知识意义，还经历了 “发现问题——提出猜想——验证 猜想——形成结论”的解决问题的过程。
整合预设，机智生成。教学目标如何具体化?各维度和各层次目标如何随着教学进程逐一达成? 教学内容怎样呈现?教学流程如何设计?运用哪些教学方法? ……教学预设时教师的思维方式是分析性的。但在实施教学的过程中，教师应直面真实的教学，根据师生交往互动的具体进程来整合课前的各种预设。这时，教师的思维更多地表现为整合性。
以“能被3整除的数的特征” 一课的巩固练习为例，教师的教学预设分三个层次：第一层，简单应用，巩固认识；第二层，灵活运用，形成策略；第三层，综合运用，获取技巧。显然，这样的预设只考虑了学生课前的知识储备，忽略了学生课中“做数学”的经验积累——学生在探索能被3整除的数的特征的过程中已经积累了“各数位上的 数能被3整除，和也能被3整除 (尽管他们未曾深入研究)”的事实 经验，这为学生灵活应用规律进行判断做好了策略上的准备。实际 教学中，学生有可能主动跳出课前第一预设(巩固认识)和第二预设(形成策略)而直接进人第三预设 (获取技巧)，如果教师还机械地将学生纳入自己预设的轨道，那么学 生的学习热情将会受到影响。这时教师可以机智地将三个层次的 学习活动进行整合，主动让学生到台前唱“主角”，通过质疑和交流， 使不同层次的学生互相学习，互相补充，获得不同的发展，使原本机械的教学预设在师生的共同创造中变得充满灵性、充满智慧、充满活力。
放弃预设，创造生成。以“圆柱的认识”为例，课前预设第一课时教学圆柱的认识，但上课伊始就发生了意想不到的事情。当时的情景实录如下：
师：今天我们将继续研究立体图形。你准备研究什么?
生：我准备先研究圆柱体。
生：我准备将剩下的圆柱、圆锥和球一起研究，因为它们都有弯曲的面，肯定有类似的地方。
生：这样可能来不及。不过这样的研究可能便于比较，所以我建 议先研究圆柱与圆锥。
师：(出乎意料，将“球”抛给学生)你们的意见如何?
生：研究圆柱和圆锥! 师：(稍作思考)行!你们准备研究些什么?
生：像长方体一样，研究“棱” “顶点”“面”的特征。
生：还可以研究一下“高”。
生：还可以与长方体和正方体进行比较。
师：你们可以独立研究，也可以小组合作，还可以先独立思考再小组交流……
关键词：初中数学 实验 策略 探究能力
探究能力是一种很重要的数学学习能力，也是学生学习力的重要组成部分。而任何一种能力总是和人完成一定的实践相联系在一起的。离开了具体实践既不能表现人的能力，也不能发展人的能力。因此，在初中数学教学中引入实验教学，可以有效地改变学生的学习方式和教师的教学方式，使学生在获取和建构数学知识的同时，能亲历探究数学的知识过程，享受探究数学规律的乐趣，学生在课堂上获得的不仅仅是“间接经验”，还能在数学实验中获得“直接经验”，从而有效地培养学生的数学探究能力。下面笔者结合自身的教学实践，通过具体的案例谈一些操作方面的策略。
一、数学实验：让学生由概念走向生活
科学源于实践，数学也不例外。抽象的数学概念不是空中楼阁，它就是来源于我们的生活世界，是生活世界中的数量关系和空间形式的抽象概括和规律反映。因此，在初中数学教学中，我们要努力寻找扎根于现实生活中的实物模型，它们或隐或现，切近我们的生活，教师完全可以指导学生通过对这些实物模型的操作来促进学生对数学概念的学习建构。
实验因由：由生活情景引入旋转变换的概念，学生仅凭感性的生活感受，难以准确地把握旋转变换的本质特点，对后继旋转作图及性质的探究形成很大的阻塞。
实验准备：硬板纸三角形（不等腰的直角三角形，方便观察）、较厚的一张硬板纸（至少如书本封面大小）、图钉、细木棒、502胶水
实验过程：
1、用502胶水把细木棒一端的一小段牢牢粘在硬板纸三角形上，另一端用图钉钉在大硬板纸上，在起始位置先把三角形拓印于硬板纸上；以4-5人为一个小组，每个小组准备2份；
2、一份每旋转90度拓印一次，即旋转一周后共拓印了4个三角形；另一份每旋转60度拓印一次，即旋转一周后共拓印了6个三角形；
3、仔细观察旋转前后的图形，对照平移变换及轴对称变换，小组讨论异同点，教师巡视引导，把握概念要点，导出性质
4、旋转作图及性质运用，检验实验效果
5、进行组间交流、互助、再实验，再检验
实验效果：大多数同学能够-准确地叙述三种变换条件下图形首尾变化的不同特征；认识了三种变换的共同特点-变换前后的图形全等；能够以多组对应点画出旋转角；识别旋转作图地正误；作简单图形的旋转变换；内化了“对应点到旋转中心的距离相等”，一些同学甚至发现了“对应边（或延长线）的一个夹角等于旋转角”。
著名教育家陶行知说：“教育即生活，学校即社会。”数学教学又何尝不是这样呢？实物模型拉近了数学概念和生活世界的距离，从生活抽象概念，让概念回归生活，学生在动脑、动手、动口的探究活动中，学生把握了数学规律，积累了数学经验，锻炼了数学思维，培养了合作能力，可以说，这样的数学概念教学，真是怎一个“概念”了得！
二、数学实验：让学生亲历知识获取的过程
知识的获取是一个不断建构的过程。因此，获取知识的过程往往要比知识本身更有价值。课程标准也指出：数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的才形成过程和蕴涵的数学思想方法。”因此，聪明的教师不会把知识嚼嚼烂直接喂给学生，而是让他们亲历知识获取的过程，在此过程中，理解知识的前因后果，沉淀数学的经验，把握数学学习的规律。
案例2 圆锥的侧面积
实验因由：无论侧面积公式推导过程本身，还是后继的“圆锥的母线、底面半径、展开图圆心角的关系”、“侧面两点间的最短路线”等问题，都需实物模型帮助理解
实验准备：学生生活中寻找（或自制）圆锥实物（硬物、纸质模型等兼可）、墨水、剪刀等
实验过程：
1、检查学生准备的圆锥是否标准，生活中的一些形似圆锥影响实验的准确性
2、小组讨论及实验：若一个纸质圆锥，如何探究计算它的侧面积？硬物圆锥呢？
这个环节是重点，学生在短暂的“蒙”之后，很快便想到了类似圆柱侧面积的探究方式-把侧面展开。纸质的比较方便，直接剪开，当然也有个别同学别出心裁直接把圆锥压扁；但也出现了一些问题：没有沿着母线剪、正确剪开之后测量半径及圆心角计算面积。硬物圆锥，有些学生受到纸质圆锥的暗示，采用侧面包纸的办法，一些学生则受到准备的道具-墨水的启发，直接涂抹侧面，而后滚在纸上。
3、提问1：同学们的这些方法都用到了什么数学思想方法？转化-把“不易计算面积的曲面”转化为“较易计算面积的平面”
4、提问2：剪开之后用“测量半径及圆心角计算侧面积”的方法，有什么缺陷？
5、提问3：一个圆锥的那些量容易测量，能根据这些量得到一个方便的侧面积计算公式吗？试在以下问题指引下思考：圆锥的侧面展开图是一个什么图形？圆锥的母线成为了这个图形的什么？圆锥的底面周长能在展开图上找到吗？
在老师的提问引导下，学生有目的的重新或改良原先的操作，最后找到问题的答案。
我国著名科学家钱伟长提出：我们缺少的不是传授知识，而是把知识作为一种载体去培养学生的一种能力。这样一个实验的过程，虽然花的时间较长，但却“把知识作为一种载体”，使学生亲历了知识获取的过程，拓展了学生的思维，习得了探究的方法，培养了探究的能力，学生得到了很多公式外的东西，这是那些“快餐式”的知识讲授教学所不能相比的。
三、数学实验：让学生形成解决问题的路径
“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，数学实验引入，犹如打开了进入数学桃源那狭小隐秘的入口，学生不再冥思苦想却仍无所获，而是在动手思考的过程中，豁然开朗，一下子领略到了数学桃源的无限风光。
案例3如图，有一圆锥形状的粮堆，其轴截面ABC中，AB=AC=6米，BC=4米，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所需的最短路程.
针对这个问题，在案例2操作探索基础上，引导学生计算展开图的圆心角度数，然后利用圆规、剪刀等工具，制作相应的纸质圆锥（或事先准备），通过多次合拢、展开的操作、探究，寻找B点、P点在展开图的位置。最后学生探究得到，此圆锥的展开图（扇形）的圆心角为120度，展开图（扇形）可以沿AB剪开，也可以沿AC剪开，从而得到如图两种实物模型：
通过以上的操作实验，学生不仅形成了解题思路，也培养了空间想象能力，享受了数学学习的乐趣，增强了数学学习的自信心。学生在经历、体验数学实验的过程中，真正做到了“在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀”数学经验。
四、数学实验：让学生体验验证发现的乐趣
我们的先人在生产生活的实践中发现了一些数学规律，并运用这些数学规律解决生产生活中的实际问题。因此，任何抽象的数学规律背后都有现实生活的背景。教师在教学中要善于发掘和利用这些背景，为自己的数学教学服务。让学生亲临发现现场，自己动手操作，经历验证发现数学规律的过程，享受验证发现的乐趣。
案例4 验证：同时抛两枚硬币，都正面朝上的概率为1/4
实验过程：全班每个同学准备两个1元硬币，课堂上每位同学各同时抛这两枚硬币100次，按“正正、一正一反、反反”记录抛得次数，最后汇总全班数据，写与黑板，然后组织小组讨论实验体会，教师适当引导。
通过这次实验，学生不但体验到了学习的乐趣，而且真正体会到：概率计算公式来源于生活，且高于生活（显然计算概率总不能每次都做实验）、实验可以验证一些数学规律、通过大量重复实验，用一个事件发生的频率可以估计这一事件发生的概率并且实验次数越少时，可信度越小。
五、数学实验：让学生学会创造性思维
创造是一个民族生生不息的活力，是一个民族文化中的精髓。陶行知说：“教育不能创造什么，但它能启发解放儿童创造力以从事于创造之工作。”从这个意义上说，教师的工作任重而道远。而要“启发解放儿童创造力”，必须要给学生“足够的时间和空间”，在实践中培养学生的创造性思维，实验就是一种很好的实践方式。
案例5 测量旗杆的高度
实验过程：前1天布置任务，告知学生第二天测量旗杆的高度，以学习小组为单位讨论测量方案、准备器材（限定学习、生活中常见的物品）。实际测量时，要求写出测量的方案，测得数据，计算结果，可行方案越多的小组优胜。因为这节课是在学习相似三角形之后，书本也有一些测量方案，比如影子法、平面镜反射法、标杆法，所以大部分小组都利用了这些方法。但有些方案令教师也始料未及。比如：①模拟升旗，利用升旗的速度与时间计算，虽然误差不易控制，但挺有创意；②拉直绳子，测量绳子多余的长度a，离开旗杆，直到绳子一端正好接触地面，测量此进绳子末端与旗杆的距离b，设旗杆的高度为x，可得x2+b2=（x+a）2；③三角板法：用含45度角的三角板，如图，AC与地面平行，眼睛在A点位置，当眼睛、B点、旗杆顶一直线时，测量人到旗杆的水平距离，加上人眼高度即为旗杆高度；④拍照法：先在旗杆旁放置一根标杆，用照相机拍下整个旗杆（包括标杆），然后在照片中测量旗杆a、标杆的长度b，再测量标杆实际长度m，则旗杆高度=ma/b。
通过以上案例，我们不难体会到，组织一定的动手实践活动，不但能巩固所学的知识，有时更能激发、挖掘学生创造性思维的潜力。
“行是知之始，知是行之成”，强调的是知行结合，实践与认识的统一。数学实验是获取数学知识，把握数学规律的极佳途径。在推进课程改革的今天，在着力于培养学生创新意识和实践能力的今天，在着力于提升学生学习能力的今天，在“应试教育”还未能完全消除的今天，我们教师必须要有长远的目光，大胆“为儿童争取时间之解放”，积极利用数学实验开展数学教学，那么一定能够激活一个尘封已久的数学学习的春天。
参考文献：
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.5
[2]义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京： 北京师范大学出版社，2012.5
[3]邓建惠.数学实验教学模式的调查实验研究[J].中学数学研究，2007（7）
[4]孙国良.应开展对数学实验的课题研究[J].中学数学教学参考，2004（3）
师：请小组长拿出老师课前发给你们的空心圆柱和圆锥，比一比，看看你们能发现什么？
生：它们的底和高都相等。
师：同学们准备了沙子或米，请同学们自己动手试一试，你能不能利用这些工具来得出圆锥的体积与圆柱的体积之间的关系？
（小组活动）
师：同学们研究得特别认真，你们有什么发现吗？圆柱的体积和圆锥的体积有什么关系？
生1：我发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师：你是怎么发现的？
生1：我们把圆锥里面装满沙子倒在圆柱里面，倒三次才能倒满，说明，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师：这是什么样的圆柱和圆锥？
生1：空的。
生2：等底等高的。
师（兴高采烈的）：说得好，这是等底等高的圆柱和圆锥，虽再说说他们体积的关系？
生3：圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。
生4：等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。
师：别的小组也是这样吗？
生（异口同声地）：是。
……
评析：
改变学习方式是本次课程改革的核心，探究性学习作为新课程所倡导的学习方式，非常有利于挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和实践能力。然而，上面的探究，却大打了折扣，存在着几个明显问题。
1.目标不明。
探究性学习一般包括提出问题、确定策略、展开探究、交流结果几个过程。而在上面的片断中，问题的提出和确定策略两个环节全部省略。学生没有经过思索，只是稀里糊涂地按照老师的要求去操作，至于为什么这样做，学生根本不清楚。目标不明，导致了学生兴趣不浓，思维也根本没有被激活，整个探究的过程中学生只充当了被动的操作工。如果教学时先提出问题：探索圆锥的体积。在老师的启发引导下，学生们一定能够从形状的相似上发现圆锥和圆柱的关系最密切，可以借助圆柱来推导圆锥的体积公式。然后，让小组设计、交流研究方案，小组选择比较简便的操作方法展开探究。这样，学生的探究欲望会是多么强烈，探究的方法该是多么丰富多彩。
2. 空间太小。
探索的路总是充满艰辛的，正因为如此，探究的过程才更有魅力。可是，本节课的探究却是格外的一帆风顺，原因在于空间太小。等底等高的空心圆柱和圆锥，学生只需要装装沙子，就可以一下子发现教师需要的结果，没有一点波折，在学生的心里也就激不起什么波澜，狭窄的探究空间，还使得结论中的关键因素“等底等高”没能引起学生的主意，是在老师的追问、强调中学生才意识到的。其实探究中，老师可以选择一些非等底等高圆锥和的圆柱，这样，有的小组一定能得到3倍的结论，而有的小组一定是得不出3倍结论的：或许是圆锥和的圆柱的体积一样多，或许是4倍、5倍关系。在这种情况下，让学生观察实验所使用的工具，在分析比较、互动交流中学生恍然大悟：只有当圆锥和圆柱等底等高时，他们的体积关系才会出现三分之一（或者3倍）的关系。这样的设计，学生的思维才能在广阔的空间内自由驰骋，碰撞出智慧的火花，不仅发现规律，还能积累探究的经验，体验创造的乐趣，促进三维目标的有效达成。
3.没有适时的评价。
当学生得出自己的结论时，教师没有理性而适时的评价，对于学生结论的正确与否，更没有再一次引导探究，只是对得出正确结论的学生给予了简单的评价，没有体现出评价的作用和价值。错误结论的学生没能得到教师的评价，对自己的结论错误的原因没有理清，更是在这个错误之后，没有教师再一次引导，缺失了对正确结论的认识过程，这和我们以前的灌输式教学，有何不同？更不用提学生的积极性自始至终没有得到关注，教师只是一直询问着自己想要的答案，按照预先的教案延续自己的教学。这样，当学生起初的积极性慢慢淡化后，没有适时的评价延续学生持续的兴奋点，教学只能是回到老路上。
