论文关键词：先“丢”后“拾”，皆为顺应学情
2011年5月26日、27日，我有幸参加了盐城市教科院举办的“关注常态课堂，聚焦有效教学”观摩研讨活动。在教学“圆的面积”一课时，执教老师都能启发学生运用数方格方法得到圆面积的多少，并且不约而同地要求学生填好书上表格，以期发现圆的面积与它半径的关系。
作为听课者，我当时头脑中不自觉地冒出如下疑惑：上面教学旨在激活学生已有经验，数出圆的面积。表格中却给出“正方形的面积”，甚至最后一栏还要算出“圆的面积大约是正方形面积的几倍”，是先知的老师强拉着学生“鼻子”走，还是学生内在探究要求？
二、我的尝试
师：（呈现3个大小不同的圆）哪个圆的面积最大？哪个圆的面积最小？
学生轻松回答。
小结：圆的大小就是圆的面积（板书课题）。
师：（手指第一个圆）这个圆的面积有多大？
学生面露困难色。
师：我们上学期怎样研究自己手掌面积的？
有相当部分学生争着说：数方格论文怎么写。
生1：（似有所悟）也可以用数方格的方法知道圆的大小。
教师顺势在圆上蒙上方格透明膜，并说明每小格表示1平方厘米。
学生用数方格的方法得出圆面积大小。
师：对用数方格方法研究圆面积的大小，你有什么看法？
生2：可以数出圆面积的大约数据。
师：（追问）怎么是大约的数据呢？
生2：（急切地）整格很准确，把不满一格当成半格就不够精确。
师：那么，我们怎样才能准确算出圆的面积有多大？
（接下来，教师激活平行四边形、三角形、梯形等图形面积公式推导经验，启发引导学生把圆剪拼成长方形，进而推导出圆面积的计算公式。）
三、我的追问
上面的尝试实践，我感觉教学过程顺畅了许多。从小学生认知特点来看，运用学生已有的数方格经验得出圆的面积小学数学论文，进而反思结果不够精确，产生研究圆面积计算公式的需要，符合学生的现有水平和学习的内在要求。但我心中的“结”并没有解开，教材例题中“圆的面积大约是正方形面积的几倍”真的毫无价值吗？
四、且行且思
【练习环节】：
出示课本“练一练”：
学生尝试解决后汇报做法和结果。
教师小结：知道圆的半径，直接用公式计算；知道圆的直径，先求出圆的半径，再用公式计算。
师：（追问）如果知道圆的周长，你又会怎样求出圆的面积呢？
生3：也是先求出圆的半径，再用公式计算圆的面积。
再示例9：
教师引导学生文图对照理解题意，解决问题。
又示：
左图中，正方形的面积是4平方厘米小学数学论文，
求圆的面积有多大？
多数学生根据“正方形的面积是4平方厘米”，推想：边长×边长=4（平方厘米），边长是2厘米，圆的半径也是2厘米，圆的面积为22×3.14=12.56（平方厘米）。
改上题为：
左图中，正方形的面积是5平方厘米，
求圆的面积有多大？
学生读题，思考，教室里一片安静论文怎么写。
师：（富有挑战地）不就是把上题的“4”改成“5”嘛，怎么不好做呢？
生4：边长×边长=4（平方厘米），边长是2厘米，圆的半径也是2厘米；现在边长×边长=5（平方厘米），边长是几没法知道，也就是圆的半径不能知道，怎么求圆的面积？
（其他学生点头称是）
师：（反问）要求圆的面积一定要知道圆的半径吗？
（经过一段思考）
生5：这题可以这样做：5×3.14=15.7（平方厘米）
师：（假装）我没搞明白小学数学论文，你们清楚他的做法吗？
生5：（急切地）知道圆的半径，也要先算出它的平方，再乘3.14，求出圆的面积；现在知道“正方形的面积是5平方厘米”，也就是半径的平方为5平方厘米，直接乘3.14，就是要求的圆面积了。
（从学生表情看，我知道大部分学生已经搞懂了，还有少部分同学似懂非懂。于是，我继续引导学生反思S=πr2 , r2 在图中指什么？S在图中指什么？这里，圆的面积和正方形面积有着怎样关系？帮助学生深刻理解本题做法的道理。）
五、我的收获
教材是教师教学的蓝本。在实施教学时，我们尊重教材无可厚非，但更该顺应学生认知规律，因为教学的终结目标是促进人的发展。以人为本，是教学的第一要义。“圆的面积”教学中小学数学论文，我用学习者的眼光审视教材，丢掉“圆的面积大约是正方形面积的几倍”的探索，直接由数方格结果的不精确，引入圆面积计算公式的研究，顺乎自然。练习环节，学生思维定势于求圆的面积必须知道圆的半径，我毅然拾起丢掉的“宝贝”，反思圆的面积计算公式，结合图示让学生明白：这里，圆的面积是正方形面积的π倍，从而知道用正方形的面积乘3.14就可以求出圆的面积，训练了学生思维的灵活性。
一、情境引路，激活思维
教育心理学认为，兴趣是最好的老师。当学生对所学习的内容产生极大的兴趣时，能激发他们更大的潜能，使大脑皮层处于兴奋的状态，提高思维的效率。在小学数学教学中，教师要注意采用情境教学法，利用小学生丰富的好奇心，以问题情境激发学生的思维活力，使他们产生主动探究的热情，提高学习的效率。
例如，在学习《认识分数》的内容时，我创设了以下的问题情境，引起学生的思考和探究：有一天中午，羊村准备吃中饭了，慢羊羊村长给大家每人做了一个青草蛋糕。正在这时，村里来了一位客人，大家准备留他下来吃饭，可是蛋糕却少了一份，怎么办呢？暖羊羊班长说：“我不吃了，我肚子不饿。”美羊羊说：“我和班长一起吃一个好了，我也还不大饿。”于是慢羊羊村长说：“好吧，那么把一个青草蛋糕留给客人，暖羊羊和美羊羊合起来吃一个。羊羊们，现在把一个青草蛋糕平均分，她们俩每人吃到多少个蛋糕？”羊羊们说：“每人吃半个。”慢羊羊村长又说：“大家回答得很好！但是现在要把这半个蛋糕用一个数字来表示，谁来说说看，该怎么写呢？”羊羊们都你看看我，我看看你的，摇了摇头，不知怎么办。于是，我问到：“那么到底该用什么数字呢，小朋友们，你们能帮羊羊们写出来吗？”
在这一问题情境中，我利用大家爱看的动漫故事，将数学问题隐藏在其中，趣味性的故事情节吸引了学生的注意力，学生入情入境，把自己当作了羊羊中的一员。然后适时地出示分数的问题，学生思考问题的热情被点燃了，思维的阀门被打开了，他们积极主动地探究新知，为新课教学做好了充分的准备。
二、迁移运用，点燃思维
建构主义认为，学生的学习是在已有知识基础上的一种主动构建。而数学作为一门系统性的学科，内部知识之间具有严密的逻辑关系。因此，在学习数学知识时，已有的知识经验是学生有效学习的基础。小学数学教师要根据学生已有的知识积累，创设条件，为学生搭建学习新知的台阶，引导学生在旧知中迁移出新知，学会数学的思考。
例如，在上《圆的面积》一课时，在如何推导面积公式上，我让学生从已有的旧知中获得启发，并思考解决的办法。（1）前面我们学习了圆的很多知识，请大家回忆一下。回忆圆的半径、圆周率、圆的周长等。（2）然后引导，圆的周长公式是怎么推导出来的？学生想到了转化的方法，化圆为直。引起思考：我们能不能也用转化的方法，把圆的面积转化成已知的其他图形，然后再求出面积呢？学生大胆思考，我们学过长方形、平行四边形、三角形等面积的公式，是不是可以把圆转化为这些图形呢？接着教师引导孩子们拿出圆形纸板和小剪刀，将圆按半径进行等分、剪开再拼接成已知图形。在这个过程中，他们发现能够把圆拼成长方形，高就是半径r，而底边长就是周长的一半πr，面积就是πr×r=πr2。在这样的推理过程中，学生是在复习旧知的基础上，迁移出新知，将新知纳入到自己的数学知识体系之中，促进了知识的有效构建。学生在构建新知的同时，获得了数学思维能力的培养和提高，养成了数学思维的习惯。
三、自主尝试，活化思维
学生的学习过程不是被动接受知识的过程，而学生通过自身的尝试和体验，亲身体验数学知识，理解数学知识的过程。因此，在课堂教学中，教师要课堂留出足够的时间与空间，抓住“自主尝试”的机会，大胆地让学生去尝试、去体验、去探究，帮助学生对数学知识的获得，并内化为自己的知识结构，以此促进思维能力的发展。
例如，在学习“圆的认识”这一课时，学生对于圆不是一无所知，他们对于圆已经有了生活认识和初步的认知。于是，在上课时，一教师先让学生尝试画一个圆，可以借助实物、学习工具等等。学生兴致浓厚，纷纷想出多种办法，画出一个圆，有的用一元的硬币画出一个圆，有的则用圆形的一次性杯画出一个圆，基本上都是利用实物来描一个圆。这时一个学生说还可以用圆规画一个圆，教师就让学生上到展示台来画一个圆，有了学生的示范，老师接着就让全班学生自己利用圆规在本子上画一个圆。教师说了之后，学生都跃跃欲试。但在实际的操作过程中，很多学生不是画不圆，就是固定不住。这时，教师就组织学生讨论，为什么会画不圆，固定不住的时候该怎么办。通过学生的讨论，明确了在画圆的时候要确定圆心，圆心确定了一个圆的位置，同时要在画圆的时候两脚之间的距离要保持不变。
在这个教学中，教师利用学生的生活经验和已有知识，抓住学生“自主尝试”的机会，让学生通过尝试画一个圆来探究圆的特征，不仅掌握了圆的特征，而且很好的促进学生的思维发展。
四、评价反思，提升思维思维
当一节课即将结束时，通过反思一节课的学习过程，既能从学生的反馈中获得实际教学效果的信息，又能再次引领学生对所学内容进行挖掘、提炼，以揭示其深刻的内涵，实现知识的内化与提升。
例如，在教学“圆的面积”时，在全课总结的环节，教师引导学生对一节课的学习进行了回顾与反思：
师：同学们，通过这节课的学习，你对圆的面积公式理解了吗？他是怎样推倒出来的呢？，学生都积极地对自己的学习进行了回顾和总结。当学生说到：“是将圆通过剪拼的方法，把圆转化为我们学过的长方形，然后利用长方形的面积公式拖导出来的。”时，教师适时指出：转化这个数学思想就是利用旧知识探究新问题。那么，在以前的学习当中，我们用到转化吗？学生针对老师的这个问题，马上开始搜索回忆以前学过的知识。让学生纷纷发言后，教师适时指出：在推导各种平面图形的面积公式时，我们用到了“转化”、学习异分母分数加减法的时候，就是利用通分，把它转化成相同分母的分数后，再进行计算的等等，通过转化思想，我们可以将不知道的、没学过的知识转化为已经学过的知识来解决。最后，教师进行了小结：转化在我们数学当中有着广泛的应用。希望同学们碰到不能解决的问题时，能尝试运用转化的思想来解决。
关键词：数学；数学教学；举一反三；灵活解题
中图分类号：G623.5；G622.479 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）30-0086-01
数学广泛地存在于日常生活的每个角落，它的普遍性、发散性、延展性要求学生从小学会将所学知识融会贯通、灵活运用，只有这样才能真正将数学运用于生活。因此，教师必须寻求不同的方法，活跃课堂气氛，激发学生学习的乐趣，培养数学思维模式，将所学知识触类旁通、举一反三。
一、适时提示，引导迁移
课堂上，教师要充分调动学生的积极性，引导学生自主探索，让学生成为课堂的主体。比如，在讲解六年级“圆柱与圆锥”表面积的计算时，并不能一上来就告诉学生圆柱的特点及其表面积的计算方法，而应借助多媒体播放出圆柱体的形状，然后问学生：“大家先观察一下圆柱体到底有什么特点呢？”为了便于学生更直观地观察，教师将圆柱的侧面与两个底面涂成不同的两种颜色。这时，学生会很快作出反应，圆柱是由一个侧面与两个相同的底面组成的。接着再进行下一步的引导：“那么大家觉得圆柱的表面积怎样求呢？”学生能很快得出答案：圆柱表面积=侧面积+2×底面积。再引导学生寻求侧面积的计算方法：“大家觉得圆柱的侧面是个怎样的图形呢？”然后引导学生自己动手折一折，很快就会得出圆柱侧面展开为矩形，其边长刚好为底面圆的周长，故其面积=2πrh，最后得出圆柱表面积=2πrh+2πr2=2πr（r+h）。进而将这种方法迁移到圆锥表面积计算，很快得出圆锥表面积=底面积+侧面积（展开图形为扇形）=πr2+πrl。适时提示，引导学生自己探索答案，可以使学生注意力集中，让学生在探索中体会获得成功的喜悦，激发学生自主学习的兴趣。同时，能培养学生举一反三的思维方式，将所学知识灵活运用、融会贯通。
二、探究操作，再现过程
探究性学习强调学生的主动参与，在科学的指导下运用科学方法进行研究，从而自主构建学习体系，获得思维的发展。例如，在四年级下册第三单元“三角形”面积计算时，教师并没有一上来就告诉大家三角形的面积计算公式，然后开始“题海战术”巩固知识，因为这样的结果是学生单纯地记住了这种图形的计算公式，再遇到别的多边形便会一头雾水。教师在课前为学生准备了各种三角形、长方形学具，在课上先引导学生复习矩形推导平行四边形面积的计算方法，然后引导学生利用手中的学具，进行随意的拼、移，发挥他们的想象力，让他们自己找出这些形状之间的联系，他们发现：两个一样的三角形可以拼接成一个平行四边形，由此便得出了三角形的面积为平行四边形面积的一半，即S=1/2ah。随后在讲第五单元“平行四边形与梯形”中梯形的面积计算时，学生便主动利用学具进行探索，自己得出了梯形的面积计算公式。比如，有学生发现两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形，得到：梯形面积=所拼成平行四边形的面积÷2=（上底+下底）×高÷2。还有人发现一个平行四边形和一个三角形也可以拼成一个梯形，得到：梯形面积=S（平行四边形）+S（三角形）=（上底+下底）×高÷2。引导学生探究性学习，能够带动学生的积极性、好奇心，培养学生自主思考、主动学习的能力，特别是举一反三的思维方式，掌握解题的思维方式，从会一道题到会一类题。
三、一题多解，融会贯通
在数学教学中，教师应该鼓励学生发散思维，多角度、多方位地思考解题方法。比如习题：两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。A车的速度是每小时55千米，B车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？题目布置后，鼓励学生利用尽可能多的方法解题。解法一：A车行驶距离：5×55=275km，B车行驶距离：45×5=225km，甲、乙相距：275+225=500km。解法二：两车每小时共行驶：55+45=100km，甲、乙相距：100×5=500km。解法三：甲乙两地的距离除以相遇的时间，就应该等于甲乙的速度之和，故假设甲、乙相距x千米，则x÷5=55+45，解得x=500km。解法四：甲、乙两地的距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一车行驶的路程，故假设甲、乙相距x千米，则x-55×5=45×5，解得x=500km。又如，在比较分数2/3、6/8的大小时，可以通过寻找最小公倍数通分比较。即解法一：转化为比较16/24与18/24的大小，即2/3
四、结束语
总之，培养学生举一反三的能力是提高学习能力，增加课堂效果的有效途径。教师应当通过适时提示，引导学生知识迁移，注重培养学生的探究性学习，鼓励学生一题多解，真正学会举一反三。
参考文献：
(1)合理培养小学生的反思意识。首先向学生讲清什么是反思，反思有什么好处，会给我们的学习带来哪些有益的帮助，这就是有无反思的动机。我们教师在教学中要在情感的基础上激发学生反思的热情，努力制造一个学生想要反思的良好氛围。在教课中可以经常问学生“这道题你有几种解法”、“你的解法与别人的有什么不同”、“你的方法好在哪里”等。这样的方式有助于学生优化自己思考的过程，还能在交流中受到启发，寻找到解决问题的最佳方案。一方面要让学生暴露思维过程，另一方面要努力培养学生认真倾听和善于反思的良好习惯。
(2)适时引导学生进行反思。所谓反思就是从一个新的角度，多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考。为了让学生喜欢数学、让学生在思考中学习数学，必须使学生有时间、有机会对自己的思维活动进行反思：自己是怎样发现问题和解决问题的?应用了哪些思考方法?走了哪些的弯路?从中获得了什么样的经验?这就要求教师适时地进行引导，帮助学生形成好的思考习惯，从而能正确而深刻地理解和掌握知识。
在学习新知识以前进行反思，是对准备学习新知识的内容的探讨。它能起到一种指导作用，也就是先自己提出一些问题，带着问题去接受新知识。例如在教授“平行四边形面积”这一课时，教师让学生对以前学习的长方形面积公式进行回顾，以便将这种思维方法迁移到平行四边形的面积计算上来。
在学习新知识中进行反思，包括知识的形成过程、学习方法、操作程序以及获得的结论。例如在探究圆锥体积计算公式时，教师要求学生以小组为单位，利用准备好的学具进行试验，看一看把圆锥装满沙子，要倒几次才能把等底等高的圆柱倒满。然而倒了三次以后，出现了过剩或不满的现象，在交流中大部分学生都认为近似的倒三次，所以圆锥体积可以转化成等底等高的圆柱体体积来计算，得出圆锥体积大约等于与它等底等高的圆柱体体积的三分之一。数学的学习是严谨的，教师表扬了他们的实事求是的精神。再让学生用水来做实验，结果验证了等底等高的圆锥体和圆柱体体积的关系。这时教师引导提出：想一想刚才的试验中，为什么用沙子和用水会存在不同?学生会在反思中明确沙子的“松”和水的“实”之间的关系及操作误差造成的，使学生学会了在探究过程中进行反思。
在学习新知识后进行反思，包括对自己在课堂上的表现和学习方法、学习收获进行评价，对学习知识熟悉程度进行分析。例如学习了“商不变的基本性质”后，教师让学生反思，商不变的基本性质是怎么推导出来的?学习它有什么作用?这样有助于学生对知识的系统反思，从而促进了学习能力。
(3)帮助学生养成反思的习惯。作为数学老师，我认为要帮助孩子养成思考的习惯，可以从观察生活入手。四年级的时候我们班级一直坚持天天写数学日记，数学来源于生活，无论写什么，我都给予正面的评价。日子久了，孩子们就养成了写数学日记的习惯，更重要的是孩子养成了留心观察的习惯。所以，孩子们在观察到事情之后总会去想想为什么会发生这样的事情。因此，培养思考能力的第一步，是先培养孩子观察生活的能力。
本文以“圆的面积公式”的教学为例，谈一谈小学数学教学活动中如何整体实现课程的目标。
一、全面制订教学目标
教学目标是教学活动预期所希望达到的教学水平。制订教学目标时，应该遵循四个要求：可述——所订的教学目标能够具体、确切地进行表述；可测——所订的教学目标能够在课内检测出学生学习的程度；可达——所订的教学目标是学生能实现的；可行——所订的教学目标切合实际。
针对某个内容制订教学目标时，教师应该明白：课程标准是怎么说的？教科书是怎么编排的？学生的认知基础是怎么样的？
对于圆的面积公式的教学，可以制订如下的目标：
知识技能：能独立或与他人合作，探索、推导出圆的面积公式；已知圆的半径、直径、周长，分别求出圆的面积。
数学思考：能通过实验将一个圆等分后向可求面积的图形（如长方形）转化，在实验活动中能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果；体会“化圆为方、化曲为直”的基本思想，初步感悟“极限”的思想。
问题解决：能探索分析和解决圆的面积公式的有效方法，了解可以通过转化为不同的图形推导出圆的面积公式；经历与他人合作交流解决圆的面积公式的过程，能解释自己的思考过程；能回顾圆的面积公式的探索过程，确认圆的面积公式的合理性；能运用圆的面积公式解决一些简单的实际问题。
情感态度：愿意了解社会生活中与圆的面积有关的信息，主动参与圆的面积公式的学习活动；积极体验探求圆的面积公式的过程；在运用圆的面积公式解决问题过程中，认识其价值；进一步养成乐于思考、勇于质疑、言必有据等良好品质。
二、有效实现教学目标
新课标指出：无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中，积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯。
要有效实现教学目标，必须发挥学生的主体作用和教师的主导作用。
⒈充分发挥学生的主体作用
（1）让学生在自己思考的基础上获得知识。
圆的面积公式教学中，可以让学生在自己思考的基础上获得下列知识：①什么是圆的面积？圆的面积的大小由圆的什么量决定？②圆的面积与以圆的半径为边长的正方形的面积有什么关系？③为了探求圆的面积，把一个圆等分后，转化为什么图形？④转化后的图形的相关量（如“长和宽”、或“底和高”）与圆的哪些量相对应（如：圆周长的一半和半径）？⑤怎样推导出圆的面积公式？⑥知道圆的半径、直径、周长，怎样求圆的面积？
（2）让学生经过自己的实践应用知识并逐步形成技能。
圆的面积公式教学中，可以让学生自己实践：①通过对圆的面积与以圆的半径为边长的正方形的面积的关系的探讨，对圆的面积公式提出猜想？②将等分后的圆转化为可求面积的平面图形，推导出圆的面积公式，并完整地表述其过程。③解决求圆的面积的有关问题，并完整地表述其过程。
（3）加强学生间的交流与合作。
圆的面积公式教学中，下列方面可让学生交流合作：①学生独立将等分后的圆转化为可求面积的平面图形后，在小组内交流、分享；或小组合作将等分后的圆转化为可求面积的平面图形。②独立解决求圆的面积的有关问题后在小组交流，或同桌检查、订正。③课结束前，在小组或向全班交流学习的收获，或反思学习的过程。
⒉恰当体现教师的主导作用
教师的主导作用主要体现在三个方面：
一是“组织者”的作用：选择适当的教学方式，安排合理的教学程序，因势利导、适时调控，努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。
二是“引导者”的作用：通过恰当的问题或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性。
三是“合作者”的作用：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。
圆的面积公式教学中，教师可在如下方面发挥作用：
（1）创设引入情境，激发学生学习圆的面积知识的兴趣。如：“圆形花坛植草皮的面积有多大”的情境；“牛（或马或羊）吃草的范围有多大”的情境等。
（2）引导学生回忆与本节课学习有关的知识。如，什么叫面积？举例说明如何将要探求面积的图形转化为可求面积的图形？说出长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式；说出圆的相关知识（圆心、半径、直径、圆周率、圆周长以及知道圆的直径或周长求圆的半径），等。
（3）引导学生分析探求圆的面积与以圆的半径为边长的正方形的面积有什么关系？进而提出圆面积公式的猜想。
（4）为学生探求或验证圆的面积公式，提供相关资源。如，提供圆形的纸张（最好是已等分为8份或16份的）、长方形纸张（粘贴拼图用），其他相关工具，等等。
（5）在学生探究或验证圆的面积计算公式后，利用信息技术手段或教具演示将圆转化为（近似）长方形（或其他图形）的过程，进一步让学生理解圆面积公式的推导过程，体会转化的思想，并引导学生想象，将圆等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，培养学生的空间观念，让学生感悟“变圆为方”“变曲为直”和极限思想。
（6）提供由学生根据圆的面积公式解决的问题（最好选取来自现实生活的问题），要求学生独立解决；教师巡视、指导，或与学生合作解决。
（7）在学生根据圆的面积公式解决相关问题后，教师选择解题过程完整、规范的学生作品进行展示，或教师自己板书示范；对学生中出现的典型性错误，也应展示、分析并纠正。
（8）激励或帮助学习有困难的学生探求出圆的面积公式，并指导他们运用圆的面积公式解决相关问题；可要求学有余力的学生探索用其他的方法推求圆的面积公式。
一、将作业趣味化和生活化
人们常说，将兴趣作为老师能促进学生的发展和学习，作为小学生，其注意力容易被周围新鲜事物和有趣的事物吸引，只有将学生的注意力集中才能促使学生的思维处于活跃的状态，最大程度的激发学生的求知欲和学习兴趣。因此教师在设计作业和布置作业的过程中，要注意作业的趣味性和生活性，保证学生对作业能产生一定的兴趣，促使学生能积极主动的完成作业。
在课程《谁先上场――可能性》一课中，教师可在课后布置作业，要求学生用自己所学的知识设计一个抽奖的小游戏，并邀请父母共同参与到游戏中，让学生在游戏中体会知识的由来和应用，并且通过游戏的形式使学生对知识产生更强的求知欲望。在《长方体、正方体》的教学中，为了增加课后作业的趣味性，让学生自己的动手实践来获取知识，因此我设计了这样的家庭作业。①做一做：要求学生自己用纸做一个正方体和一个长方体。②找一找：观察下，我们生活中有哪些物品时长方体、哪些物品是正方体？③说一说：观察到的长方体和正方体分别有什么特征？④涂一涂：将所做的正方体和长方体的表面涂上颜色。这样，学生通过动手做、找、说、涂形成了对面、棱、顶点以及表面的深刻认识。随着课程改革实施的不断进行，数学作业的设计需要改变传统的形式，将原有的单一性、应试性的作业拓展为具有趣味性、生活性、个人性的新时期作业，在作业中充分发掘学生的思维潜力，让学生能积极主动的完成作业。
二、尊重：分层作业、促进发展
不同的学生在思维能力方面具有个人差异性，作为教师必须尊重这样的客观事实。因此作为教师要注重发展学生的“最近发展区”，在设计作业的过程中，把握好作业的难易程度。作业要具有一定的层次性，保证差生、中等生和优等生能在同一份作业中收获到不同的内容，激发学生的学习兴趣。对于能力较差的学生，要求学生能完成基础题即可，保证学生能在有限的时间内完成基础目标。对于学习能力较强的学生，可布置些变试题或综合运用的题目，促进学生的发展。学有余力的学生选做提高性质的灵活性强的题目，实现更高目标。分层作业能有效的保护了学生自尊心，并能在一定程度上促进学生学习，利于促进不同能力水平的学生得到不同的发展。
例如在六年级《圆柱和圆锥》单元复习中，对作业的设计可为：
第一层：求圆柱的体积和表面积或圆锥的体积：①r=7cm ，h=8cm求圆柱的体积。②d=5dm，h=6dm求圆柱的变面积。③c=10cm，h=5dm求圆锥的体积和。
第二层：①一个圆柱的侧面展开图是边长为6.28厘米的正方形，这个圆柱的体积是多少立方厘米？②一根长为5米的圆柱形，加上一段长2米的小圆柱后，表面积增加了12.56平方分米，原来木料的体积是多少立方米？
第三层：①AB两个体积相等的圆柱体，两个圆柱的底面半径之比为4：5，乙比甲高20厘米，两个圆柱的高之比？②有两个等高的圆锥形和圆柱形，圆锥形底面半径为7分米，圆柱形底面半径是4分米。圆锥形的体积比圆柱形的体积少。圆柱形体积是多少升？
分层练习能有效的帮助不同层次的学生完成“最近发展区”学习目标，较好的维护了学生的学习的积极性，作业的效果也逐渐体现出来，同时也有利于学生进一步发掘学习的潜力。
三、高效：精心出题、注重反思
与传统的课堂教学不同的是，新课改中的课程教学更注重学生的获取信息、分析问题、解决问题、创新知识的能力。教师在布置作业的过程中也应该遵循新课程改革中的要求，保证作业覆盖的范围较广，能全面的培养学生的能力。传统的作业总是以数量来代替质量，学生做的作业越多，就认为学生对知识了解的越深刻，学生的学习能力也越强。但是实际上却是较多的作业限制的学生的能力发展，这也就是为什么学的太杂，而不精的道理。因此教师在设计作业的过程中，要以教学内容、相关积累的教学经验为参考依据，设计出能锻炼学生收集信息、分析问题、解决问题能力的题目，保证学生在学习的过程中能充分体现其积极主观能动性，充分利用作业培养学生的学习能力。
《秒的认识》作业设计，基础练习：
1.想一想，填一填
（1）深呼吸一次用（ ）秒。15秒内能深呼吸（ ）次。
（2）从4数到50用了（ ）秒。
（3）1分=（ ）秒 120秒=（ ）分
2.绕操场跑1圈，王刚用59秒，李月用1分零3秒。谁跑得快？
综合实践：在（ ）里填上时间单位。
（1）我们一天的时间是24（ ）。
（2）每天小明要跑步30（ ）。
（3）强强跑50米大约要用10（ ）。
（4）完成今天作业我用了25（ ）时间。
（5）一般每天我都要花1（ ）走路。
（6）从我家到学校，走路去要用20（ ），乘车只要5（ ）。
（7）我眨眼睛时间大约就是1（ ）。
（8）我家每天用（ ）的时间吃晚饭。
此种设计不仅能较好的激发学生对作业的积极性，同时作业与生活息息相关，能更好的带动学生的兴趣，使作业不再单调、枯燥。同时，也让学生做题的过程中充分体会知识点，对知识的掌握能力越来越高。
注重反思：孔子说：“学而不思则惘，思而不学则怠”。虽然我们经常对作业进行讲评，通过讲评，老师会觉得学生对知识的理解已经很到位了，因此对知识的学习不会再继续深入。但是实际上，学生虽然通过作业讲评对作业进行了订正，但是还有部分的学生对知识点实际上还存在一定的认知盲区，对知识的掌握还不够熟练。因此加强学生的作业订正反思非常重要。通过反思能让学生通过错题了解到出错的原因，同时也可以帮助学生理清解题思路，积累经验，提高学生的思维能力，提高学生的学习能力。在日常的学习过程中，反思的方法有很多中，例如学生自行检查作业，反思作业得失，同桌间互查，讨论不同的解题思路和方法，并总结做题的方法，师生间互相讨论得出解题方法等等，这样的反思方法在日常的学习中是最常见的，同时也是最有效果的。好的作业设计，在一定程度上能最大程度的促使学生对知识的掌握，并且能将学生学习的兴趣激发出来，开发学生的智力，培养学生分析问题、解决问题、创造性思维的能力，使学生的个性在这里得到张扬，使学生的人格在这里得到尊重，使学生的情感在这里得到体验，使学生的生命在这里得到发展。
帮助学生扬起思维的风帆、插上思维的翅膀，是教师的天职。数学教学中，不仅要关注学生知识的习得，更应关注学生学习的感受、情绪的体验，为学生提供自由表达思想、表述观点的舞台，帮助他们认识自我、提升学习自信心。数学课堂，应成为学生智慧生长的现场。
一、探究，“纠缠”一下又何妨
曾经听到多位教师的经验之谈：课堂上千万不能让学生在某个知识点上纠缠，否则会耽误教学时间，完不成教学任务，有时还会把自己绕进去。对此，我不敢苟同。
比如，《圆柱、圆锥的认识》一课，是在直观认识圆柱以及掌握了平行四边形、圆等常见平面图形的特征和长方体、正方体等立体图形的特征的基础上进行教学的。学生从三年级认识长方形、正方形开始，就有了认识图形的学习经验，已掌握了探索常见平面图形特征的方法，并掌握了认识长方体、正方体等立体图形特征的方法。因此，课堂上，我引导学生通过自主观察、交流，认识圆柱。
师想一想，圆柱的特征可以从哪些角度来研究？请同学们拿起桌面上的圆柱，摸一摸、量一量，和长方体、正方体比一比，你能发现圆柱的特征吗？
（学生操作。）
生长方体、正方体的特征是从面、棱、顶点三个角度研究的；圆柱没有顶点，可以从面和棱的角度来研究。
师你们认为呢？
（一片嘈杂后，大部分学生表示赞同。但随即，有学生开始质疑。）
生圆柱有棱吗？
（一石激起千层浪，部分学生进入沉思。）
师回忆一下，什么叫做棱？看看圆柱到底有没有棱，同桌之间先交流一下。
（学生同桌合作交流。）
生不对。棱应该是两个平面相交的线，这里有一个是曲面，所以不能叫棱。
生因为圆柱没有棱和顶点，所以应该重点讨论它的面。
（学生纷纷表示同意。）
对于“圆柱有没有棱”这个“题外话”，我没有回避，也没有强势作答，而是留出空间让学生回忆旧知、互相交流。这样的“纠缠”，实质上是学生自觉地对先前的错误想法进行自我否定的过程，而且，它有助于学生从结构的角度理解“为什么圆柱的特征是面”——因为“纠缠”，课堂厚实了许多。
当然，纠缠终须化解，否则课堂就会裹足不前。化解纠缠要关注两点：第一，需要价值判断。纠缠通常来源于意外，对这些意外情况，要迅速作出价值判断。比如，有的纠缠可能是探究活动的重要节点，有的纠缠可能是学生思维的困顿之处，一味地接受或放弃，都可能是对部分学生的一种伤害。第二，需要学生立场。在准确的判断之后，必须要有良好的调控，要使学生的认识在纠缠中得到提高——纠缠的结果，要么是让少数人掌握的真理经历集体论证，成为了大家的“共有财富”；要么是让少数人提出的失之偏颇的见解经过一番争辩，起到了正面提醒或反面衬托的作用。
二、发现，“滞后”一点也无碍
数学知识是自成结构、系统有序的，后学知识是已学知识的组合、转化、补充和发展。因此，学生并不是空着脑袋学习新知识的。每个学生都有一种充分发挥自己作用的内在需要，都渴望自己得到老师和同学的认可。如果教师能够充分地满足他们的这些需要，就会给他们带来极大的信心与动力；这反过来又推动学生积极地争取这种机会，从而更大地调动学生的学习积极性。
比如，教学《圆柱的体积计算》时，学生由于有了研究圆的面积及其他平面图形面积的计算公式的推导经验，在教师的初步引导下，认识到圆柱的体积与底面积、高有关系后，很快发现了圆柱的体积可以转化成近似的长方体的体积，进而发现了长方体各要素与圆柱各要素之间的关系，并以此推导出了圆柱体积的计算公式。然后，每一个学生又拿着自己的学具，边操作边把推导过程说了一遍。课堂上，学生学习很高效。但课后，两个学生为能不能擦黑板吵了起来。原来，这位不让擦黑板的学生又发现了长方体前面与圆柱一半侧面的关系：圆柱侧面积的一半=长方体前面的面积，即1/2S侧面=S前=πrh=ah，并把图（如图1）画在了黑板上。了解了学生发生争论的缘由后，下一节课上，我对这个内容安排了全班交流。
师这位同学的发现，你们看得懂吗？相互说一说。
（学生同桌交流。然后，教师指名学生上黑板，一边指着图，一边说一说。）
师这位同学的发现有没有价值？我们为他鼓掌。
（教师出示问题：将一个圆柱形钢胚，利用模具，熔铸成一个高与圆柱相同，宽为圆柱底面半径的长方体。若长方体前面的面积是25平方厘米，宽是4厘米，则圆柱的体积是多少？）
师你会完成吗？试一试。
（大约30%的学生先求出圆柱底面半径，再求出圆柱高，然后根据圆柱底面积乘高，求得体积；大约70%的学生根据长方体前面的面积乘宽，求得体积。）
师（同时呈现两种方法）你看得懂他们分别是怎样想的吗？两种方法都正确吗？为什么？相互说一说。
（学生交流。）
师两种方法，哪种更简便？
生（异口同声）长方体前面的面积乘宽。
师也就是什么乘什么？
生圆柱侧面积的一半乘底面半径。
师就这两个图形的研究，你还有什么发现吗？再拿出你的学具看一看，想一想、说一说。
生我发现，圆柱转化成长方体，体积不变，但表面积增加了。
（学生纷纷表示同意。）
师你能找到增加的面在哪里吗？它的面积是由哪两个条件确定的？指给同桌看。
（学生同桌合作交流。）
生长方体的左面与右面。由长方体的高和宽，也就是圆柱的高和底面半径确定。
生这两个面好像是圆柱“胀开”后，从里面露出来的一样。
生我发现，圆转化成长方形，面积不变，但周长增加了。
这位不让擦黑板的学生的发现非常有价值，是《圆柱的体积计算》一课的一个很好的补充。细细回味这一片段，心怀惊喜又甚感缺憾。试想：如果这位学生没有坚持自己的想法，或保留自己的发现而不与老师、同学分享，教师也没有及时解读这位学生的想法，会流失什么？
这个“滞后”的发现，给了我两点教学启示：第一，通过有效引领，实现智慧共享。课堂教学不是简单的知识传递过程，而是师生的生命成长历程。当学生以主动积极的态度参与学习活动，并提出创造性的思维成果时，教师应及时“放大”这一宝贵资源，引领学生进一步思考，尽可能地让所有学生都能分享其中的智慧。使我释然的是，当学生产生了表达自己意见的需求时，我给他们提供了机会；继而，当我意识到这一资源时，我又给了学生充分的信任和足够的耐心，等待他们积极展开思维，达成自己的认识和理解。第二，主动预约生成，丰富学习历程。我们呼唤个性化的课堂，呼唤更具生命活力的课堂。课堂生成固然可喜，但如果教师习惯于等待，而疏于对教材的研究与对文本的把握，疏于对教学资源的积极开发和利用，课堂的精彩又从何而来？教学实践告诉我们，要善于发掘与把握教材、文本的生成点，这样，即便课堂没有生成，教师亦可启迪学生去捕捉、探寻思维的灵感，在成就精彩课堂的同时，更丰富了学生的学习历程。
三、创造，即便“稚嫩”也珍贵
著名心理学家皮亚杰指出：“教育的首要目的在于造就有所创新、有所发明和发现的人，而不是简单重复前人做过的事情。”我们的教育不仅仅要追求分数，更要追求每个学生生动活泼的发展，培养既具有坚定信念又具有鲜明个性的活生生的人，培养会创新、有智慧的人。
比如，教学“公倍数与最小公倍数”时，我利用个例指导，渗透求公倍数与最小公倍数的方法。学生经过尝试，在交流过程中自主提出并命名了“大数翻倍法”——求最小公倍数的方法。由于有了“大数翻倍法”的创造经历，在研究“公因数与最大公因数”时，学生很自然地提出了“小数缩倍法”，并像模像样地解释了什么叫“小数缩倍法”。学生积极、主动，很有成就感。虽然，从教师的视角，“大数翻倍法”、“小数缩倍法”并没有多大的含金量，但作为学生的创造，弥足珍贵。
又如，教学“分数除以分数”时，有学生立足于“分数乘法”和“整数除以分数”的知识结构和学习经验，提出猜想：9/10÷3/10=（9÷3）（10÷10）=3。我有些发懵：可以这样算吗？但又感觉这个算法也有道理。由于教材上没有提到，学生的意见也不统一，小部分说正确，大部分说不正确（因为课前看过教材，知道了“乘倒数”的方法），我决定让学生验证、探究。
师这样算对吗？我们应该怎么样？
生（齐）举例验证。
师分数除以分数的方法还没有学，怎么验证呢？
生可以用乘法。
（由于在前几课时的学习中学会用乘法验证了，学生显得很自信。验证中，有的学生算了几道题都没有发现反例；有的学生提出了所谓的“反例”，经集体交流，发现也是因为算错了；遇到分子除以分子、分母除以分母除不尽的，如3/10÷5/8，就再次化简，发现也不能作为反例。没有找到反例，学生隐约意识到这种方法应该是正确的。）
师既然没有举出反例，那么仍然以9/10÷3/10=（9÷3）（10÷10）=3为例，比较一下，这两种方法的计算过程有什么联系？
（学生都呆呆地看着算式，脸上写满了疑惑。）
师大家相互讨论一下。
（半分钟后，有学生兴奋地举起了小手。）
生把被除数9/10乘除数3/10的倒数，进行约分时，就是把被除数的分母除以原来除数的分母，被除数的分子除以原来除数的分子。
这是一场没有计划的“旅行”，虽然原先计划的课堂练习没有完成，但学生通过冷静的思考与激烈的争辩，自觉地沟通了“一个数除以分数等于这个数乘这个分数的倒数”的算法，并自我解答了心中的疑惑。经历了这样的思辨过程，相信那没有完成的课堂练习，学生自己也能轻松搞定了。
为什么会出现上述问题呢？我们可以听听苏霍姆林斯基曾经说过的一段话：教学的技巧并不在于使学习知识变得很轻松，毫无困难，恰恰相反，当学生遇到困难并独立克服这些困难的时候，他的智力才会发展。必须给学生挑选出这样的智力任务，他只有使足力气，集中注意力，才能运用已有的知识去认识未知的东西。这样，在他取得成绩的同时也会认识到：不付出劳动就体验不到克服困难的欢乐。上述课例中的问题，就在于一切过于轻松。
基于以上原因，为了真正让学生体验到学习的快乐，我在课堂教学中做了一些尝试，创造机会让学生通过自己的努力，克服种种困难，使用旧知识发现新知识，构建起相互联系的知识网络。
一、课前探究，沟通新旧知识，构建知识网络
在教学“圆的面积”前，我先进行了铺垫：学生先回忆旧知识，梳理平行四边形、三角形、梯形等图形的面积计算方法。通过回忆，学生意识到在推导各种图形的面积的计算过程中都运用了转化的数学方法，进而推想，圆的面积的计算也可以用转化的方法。进行了上面的铺垫，我留下一个问题让学生课下完成：你准备把圆形转化成什么图形？为了避免学生做作业时的盲目性，我建议按照下面的步骤完成：1.你是怎样做的？2.你发现了什么？3.你的结论是什么？
根据小学数学的特点及授课情况，教师提前把将要学习的新知识有层次地呈现给学生，观察学生对新知识的认知情况，可以检查学生的知识起点，看出学生的思维方向，同时给学生留下足够的思考时间。这样，教师的授课才能真正走入学生的最近发展区，让学生在各自的基础上有所提高。这样的作业也不再是枯燥的重复，对于学生来说，完成作业就是一种挑战，需要认真地思考。
二、课中优化，渗透思想方法，体验数学之美
在教学“圆的面积”时，我先板书出学生在作业中提出的几种推导方法：
1.πr乘r；
2.■乘r；
3.■乘r；
4.■乘r除以2乘18。
我引导学生观察这些方法的特点，学生很快发现，前三种方法实际是一种方法，即用圆的周长的一半乘半径，只是表示形式不一样。对于这三种方法，学生讨论后选择使用第一种方法来表示。这样，四种方法就归结为两种。第四种方法，学生是把圆平均分成18份，即分成18个相同的扇形，把每个扇形看做近似的三角形，■为等腰三角形的底，r为高。■乘r除以2就是算出一个近似等腰三角形的面积，再乘18就是18份的面积，即一个圆的面积。在这种方法中，把圆分得越细，分得的小扇形越接近等腰三角形。在明白了第四种方法的本质后，我引导学生进行化简。学生惊奇地发现，化简后的第四种方法跟第一种是相同的。这样，学生通过自己的认真思考，掌握了圆的面积计算公式的推导方法。
在以往的“圆的面积”教学中，教师大都是让学生进行简单操作，之后再进行课件演示。由于课堂时间的限制，一部分学生不能完成操作任务，更不可能去思考圆与转化成的图形间的关系，动手操作失去了意义。最终，教师不得不通过课件演示，强化圆的面积与所拼成图形的面积之间的关系。而像上面这样，学生通过动手体验图形的转化过程，动脑思考计算公式的推导方法，就会构建起一个非常清晰的知识网络。
三、课后反思，培养数学能力，提升数学素养
学完“圆的面积”这一知识后，除留下常规作业，巩固知识技能外，我还要求学生写出学习小结，反思在整个学习过程中用到的方法，学到的知识。这样就梳理了学生的思路，培养了学生的概括能力，全面提升了学生的数学素养。
