关于数学文化的内涵，目前普遍被认可的是源自于对文化的狭义理解（指向精神层面）。事实上，精神层面的数学文化不可能脱离物质层面的具体数学知识、理论而单独存在，它们总是以某种特殊的形式凝聚、投射到具体的数学知识、数学理论之中。我们认为，数学文化包括学习者在数学活动中所创造的物质产品（知识性成分）和精神产品（观念性成分）。以此为视角，教材内的知识一般以两种形态存在：一是显性的、静态的结果性知识；二是隐藏在知识背后的数学思想方法、数学思维方式、数学理性精神等。这些隐性的数学思想方法、思维方式、数学精神等和显性的数学知识共同构成了教材的文化内涵，成为数学教材空间的组成部分。
设计是一种规划、设想，通过视觉的形式传达出来的活动结果与活动过程。数学教材空间设计，既指向结果，即挖掘教学内容的文化内涵，对“教什么”作出深远谋划；又指向过程，即设计教学路线与方式，对“怎样教”作出精细规划。
一、 深刻把握数学学科的本质，对“教什么”做出深远的谋划
数学教学的首要问题，是对“教什么”作出深远的谋划，思考“为什么要教这个而不教那个”这样的价值取舍问题，远比单纯地琢磨怎样教更有意义。
以知识为中心的数学教育过度追逐数学的工具性价值，数学教材原本具有的丰富意蕴被简化为数字、符号、公式、规则、程序的组合。对数学的如此认知和理解，切断了数学文化中知识性成分和观念性成分的内在联系，窄化了数学教材的文化内涵，使得数学课堂以“去情境”和“去过程”为特征，把生动的数学知识变成单调刻板的条文让学生去进行记忆和背诵，数学本该拥有的文化气质被剥落。
以文化育人为价值取向的教材空间设计，最基本的是对学科本质的把握和领悟。就数学而言，首先是对基本数学概念的理解（包括为什么学习？核心概念是什么？怎么用？），其次是对抽象、模型、推理等数学基本思想的领悟，以及对分类、转化、类比、猜想等数学特有思维方式的把握，最后是对数学美的鉴赏和对理性精神的追求。显然，这与数学文化的内涵是一脉相承的。以此为视角观测数学教材，教材内容不再只是数字、符号、公式、规则、程序的简单组合，透过它们，我们还能感受隐藏其中的丰富的方法、深邃的思想、高贵的精神和品格。这些隐性的数学思考、数学精神、数学意识等观念性成分和显性的数学知识共同构成数学教材深刻的文化空间。
以苏教版小学数学五年级下册“确定位置”为例，这节课主要学习数对的含义，以及用数对确定平面上点的位置，教材内容蕴含丰富的文化内涵。
学生在此之前已经初步获得了用自然数表示位置的经验。由一年级时在某一行（或列）中借助“第几”来确定某个人或物体的位置，到二年级时用两个“第几”来确定相应的位置，看似简单的数量增加（“第几”的个数由原来的1增加到2），其内在的实质却是：给定的空间由最初的一维增到二维，确定相应空间中点的位置所需参数也自然应由最初的1个增加到2个。而把由具体情境中用较朴素的方式描述位置提升到用数学方法（抽象的数对）确定位置，形式化表达的背后蕴含数学精准、凝练的气质。显然，帮助学生建立二维空间的表象，进一步发展空间观念，提高抽象思维能力，是本节课价值诉求的重要组成部分。
“用数对确定位置”是学生学习平面直角坐标系的基础。数对的表达为什么先记“列”再记“行”？记“列”为什么从左往右数？记“行”为什么从下往上数？这主要是与平面直角坐标系的规定相一致。教材的呈现也给我们启发：由“教室里小军坐在哪里”的实际生活事例，抽象为“符号化的图”（用圆圈表示具体的人，相当于格块），再上升到“数学化的图”（例2，把具体建筑物记作点，接近于坐标描述），能看出编者的匠心――即将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系”，架起数与形之间的桥梁，初步渗透数形结合及坐标思想。由此，在突显教学内容应有的生活价值的同时，又能在符号体系中恰当地生成和渗透数学思想，是本节课教学应有的文化意蕴。
事实上，教材内容还赋予本课更为丰富的文化内涵：
对于数对的引入，即使最终还是由教师把结果告诉学生，我们还是应该引导学生经历“用数对确定位置”的创造过程。因为，数学教学不仅要承载让学生继承数学事实的功能，还有引领学生感受知识产生必要性与自身规定的合理性，以及获得创造新文化的意识和能力。
在学生准确建构用数对确定位置后，让学生分别表示一维、二维以及三维空间中物体的位置，让学生意识到只有在平面上，才用两个数组成的数对表示物体的位置；在直线上，只需要一个数就可以了，而在三维空间，两个数又不行了，为后续知识的学习积蓄可持续发展的动力源泉。
用数对的思想不仅可以确定“有限平面”上某些点的位置，还可以确定无限平面上任意点的位置。
这些内涵的挖掘都是有价值、有意义的，并有利于学生对数学的真正理解与把握。当然，在某种意义上，课堂教学始终印刻着教师个性化的价值判断、趣味追求，对同一节课教材文化内涵的把握，在突显学科本质的前提下，“我的地盘我做主”。
二、着力构建与文化沉淀相匹配的教学方式，对“怎样教”做出精致的规划
数学教材空间设计，不仅反映出教师选择在哪些事情上努力，对“教什么”做出深远谋划，还反映出教师如何更好地完成教学任务，对“怎样教”做出精致的规划。
文化总带有历史性的成分。数学作为一种文化，同样也离不开历史的沉淀过程。当我们把数学知识看作文化传承结果的同时，也意味着这些知识经历了发生、发展、沉淀等阶段，数学文化正是在这一过程的循环往复中，不断充实，不断提升，其观念性成分逐渐成为人们采取行动、解决问题的指南。要使数学知识的学习过程同时成为数学观念性成分的文化积累过程，探索与数学文化沉淀过程相匹配的教学方式是前提。
还是以“用数对确定位置”为例。在学生感到用第几列第几行的方法表示一个同学的位置比较准确、简便时后，我们通过如下的活动设计，引导学生建构数对概念，把握用数对确定位置的方法，感悟基本数学思想。
1.用数对的方法在圆点图上确定位置――理解概念的本质。
体验。
谈话：第几列第几行，让我们确定，位置有了统一说法。下面我们用这种方法记录几个同学的位置。（教师口述并逐渐加快语速，学生无法记录下来）
质疑：没有记录下来，除了老师报得快以外还有没有别的原因？
交流：学生在交流中意识到既有方法的繁琐和不便。
谈话：数学不仅追求统一，还追求简洁。像第4列第2行，能否写得再简洁些呢？（教师收集并展示学生的写法：4：2 4・2 4-2 4|2 ）
比较：透过不同你能看到这些方法中相同的地方吗？
交流：学生在交流的过程中，初步感受数对的本质属性。
讲授：揭示数对概念，介绍数对的写法。
运用。
用数对表示图上A点、B点的位置，并交流写法。
在图上找到数对（2，5）、（6，3）对应的点，并交流找点的过程。
反思。
交流：（出示错误的描点作业）是不是一个数对有两个点与之对应呢？
感悟：一个数对只对应一个点，一个点只能对应一个数对。
2.用数对的方法在方格图上确定位置――渗透基本数学思想。
（1）根据方格图上的点说出数对。
体验。
谈话：（课件演示：用线连接圆点，然后隐去圆点，变成方格图。）这是学校的平面图，你能用数对表示出方格图上景点的位置吗？
比较：（出示两个学生不同的表示结果）明明是同一个点，为什么出现不同的数对呢？
交流：学生在交流中意识到同一点的行数与列数不是唯一的，它取决于第一行、第一列从哪儿算起。为了方便交流，起点一般从0开始。
练习。
用数对表示出其他景点的位置。依次是：升旗台（3，5）校史室（6，7）竹园（4，0）科学宫（0，0）
反思。
交流：校史室的位置是由哪两条线决定的？这两条线又是由哪些线决定的？
感悟：在方格图上用数对的方法确定位置，首先要确定0起点。有了0起点和这两条相互垂直的直线，就能唯一地确定图中任何一点的位置。
（2）根据数对在方格图上找到对应点。
体验。
谈话：在方格图上，你还能根据数对找到对应的点吗？这儿有三个数对，请找到对应的点并标上数对。
交流：比较这三个点的位置，你发现了什么？
延伸。
类推：根据这一发现，想一想，同一列上的数对又有怎样的特点？
交流：以（6，5）为例，哪些数对与它在同一列上？
反思。
交流：对于数对你们又有怎样的认识？
感悟：数对不仅能表示出点的位置，还能反映出点与点之间的位置关系。图形的特征可以反映在数对中，数对的特点也能通过图形来体现。
知识性成分和观念性成分在数学课程内容设置上共用同一个知识载体。知识性目标着眼于载体的事实性、陈述性，观念性成分浸润在对载体本身的理解与认知过程中，一般要在观察、实验、猜测、尝试中体验，在合作探索、多边互动中交流碰撞，在反思内省中感悟、完善等。
建构。在学生感受到用第几列第几行的方法表示一个同学的位置比较准确、简便时，要求学生用这种方法记录几个同学的位置，让学生亲身经历快速记录的过程，体验既有方法的繁琐与不便，意识到这种方法还可以写得更简洁一些，自然过渡到对原有描述进行改进和优化，并通过比较、交流，逐渐逼近数对简约、凝练的特质，催生出数对的雏形。
运用。引导学生经历从“在圆点图上确定位置”到“在方格图上确定位置”的过程，通过图例的抽象和演变，让学生感受在方格图上用数对确定位置的背景。不论是在圆点图上确定位置，还是在方格图上确定位置，教学安排了同样的层次，即先用数对表示图上圆点的位置，再在图上找数对对应的点，并引导学生通过思维的交流与碰撞，把握学科的本质。在圆点图上确定位置，着力使学生在交流中掌握用数对确定位置的方法，感悟数对的含义；在方格图上确定位置，着力使学生在交流中体会图形与数对的联系，感悟基本的数学思想。
提升。北京教育学院张丹副教授认为，数学经验一方面在于积累，另一方面也需要提升。在体验的基础上，引导学生“脱身”出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了些什么事，将自己所做的过程置于被思考的位置上加以审视，从而使数学活动中积累的经验沉淀为一种理性的认识。（三次活动后的“反思”）
同样的教学内容，因为建构方式的不同，既可以使数学彰显其文化属性，也可以让本该拥有的文化气质被剥落。学生的数学学习主要是一个文化继承的过程。但是，文化继承不能理解成只是一个被动的接受过程，恰恰相反，我们应当帮助学生较好地去理解相关的数学概念，而这事实上也就是一个自主建构的过程。
参考文献
一、课堂预习，以精问促深思
小学数学教学应该削枝强杆，突出重点，以核心基础知识为主体，引导学生寻求一般性模式的思想，领悟数学的本质，做到以不变应万变，而不在细节上作过多拓展。教师在备课的时候，要抓住本质内容，找准“牵一发而动全身”的切入点，紧紧抓住教学的重点和主干脉络，让学生在主框架下学会举一反三、触类旁通，逐步提高获取知识和解决问题的能力。
教学《用方向和距离描述物体的位置》这节课时，可综合运用学生已有的方向经验、量角和画角的方法以及比例尺的知识，让学生学习用方向和距离两个要素确定物体所在的位置的知识点。在预习作业的设计上我秉承了“以精问促深思”的原则，努力做到放手让学生阅读教材，放手让学生主动探索新知识。
二、课堂对话，激活思维状态
有效的课堂对话，不仅可以激发学生学习的兴趣，充分调动学生学习的主动性、积极性，开拓学生思路，还能让学生掌握思维的策略和方法，真正提高学生的数学素养。
在集体交流预习作业的过程中，我发现部分学生对方向的描述还存在一些问题，这也是本节课的一个难点。为了突破这个难点我设计了如下的问题情境。
根据下面给出的信息，找一找各个岛屿的位置：
①莲花岛在灯塔的正北方向。
②翡翠岛在灯塔的北偏西20°方向上。
③珊瑚岛在灯塔的南偏东50°方向上。
【反思】这个情境问题综合了方位、角度等知识，能促使学生灵活地思考和应变，培养学生思维的灵活性。在这道题的处理上我分了三个层次：首先让学生找准最基本的“上北下南左西右东”这四个方向，再让学生结合手势在图上指一指正北方向、北偏西20°方向、南偏东50°方向；第二个层次——追问：“这里有两个20°你是如何辨别的？这里的50°你又是如何确定的？”第三个层次——反问：“翡翠岛除了可以用‘在灯塔的北偏西20°方向上’描述，还可以怎么描述？”一石激起千层浪，学生的回答更是让我喜出望外。学生A：“翡翠岛在灯塔的西偏北70°方向上。”学生B：“翡翠岛在灯塔的西北与正北成20°夹角的方向上。”学生C：“翡翠岛在灯塔的西北与正西成70°夹角的方向上。”学生D：“我们在描述方向时是以南北方向为准的，所以上面三个同学的发言不完全正确。”师：“一般我们描述方向时以南北方向为准，但也可以根据实际情况灵活应变。”通过这样生生之间、师生之间的充分交流和对话，学生对于方向的理解已经非常深刻，从而达到了突破教学难点的作用。
从这点上我们可以清醒地认识到在构建自主学习的课堂教学中，教师是“搭台者”，而学生是真正的“唱戏者”。教师要把学生、教师、文本之间生成的问题进行综合和分析，让学生在自由对话中充分感知、充分体验、充分生成，真正达到激活学生思维的目的。
三、练习设计，提升数学思考力
练习是一种有目的、有指导、有组织的学习活动，是帮助学生理解知识，巩固所学，培养思维，发展智力，形成技能的教学手段。练习的设计只有具有趣味性、层次性、思考性，才能最大限度地发挥“练习”的效率，学生才能在不知不觉中发展思维，达成能力，形成数学素养。
通过以上几个环节的学习，学生非常清楚只有在方向和距离都明确的前提下才能确定物体的位置，这也是书本中所明确的事实。但在无形之中又会让学生形成定式思维，此时，教师可以提出：如果只告诉我们方向和距离两个要素中的一个要素，情况又会怎样？并在练习的设计中，增加一道题：
根据提示的信息，在下图中画出宝物A和宝物B的位置。
①宝物A在清凉岛南偏西30°方向上，你能画出宝物A的位置吗？
②宝物B距清凉岛4千米处，你能画出宝物B的位置吗？
【反思】如果练习仅仅局限于新授范围，那么学生只需机械地模仿，这样容易造成学生思维的僵化和惰性，不利于学生思维的发展。寻宝问题则是把学生的思维引向深处，当学生只知道方向的情况下，宝物的位置是在方向所在的直线上；当学生只知道距离的情况下，宝物的位置是在以观测点为圆心，以距离为半径的圆上。这样再次让学生深刻感受到“只有在方向和距离都明确的情况下，才能确定物体的位置”这个结论。
关键词：概念；数学概念；理解；运用。
新课程标准的实施,无疑是基础教育的一场革命。新课标下数学教学过程是教师组织和引导学生主动掌握数学知识,发展数学能力,形成良好的个性心理品质的认识与发展相统一的过程,而教师的“教”和学生的“学”的双边活动要以教材为中介,教材把他们紧密地联系在一起。教材的编写在一定程度上决定着教师的“教”和学生的“学”法。
一、利用生活实例引入概念
概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，学生的心理特点是容易理解和接受具体的感性认识。教学过程中，各种形式的直观教学是提供丰富、正确的感性认识的主要途径。所以在讲述新概念时，从引导学生观察和分析有关具体实物人手，比较容易揭示概念的本质和特征。
二、注重概念的形成过程
许多数学概念都是从现实生活中抽象出来的。讲清它们的来源，既会让学生感到不抽象，而且有利于形成生动活泼的学习氛围。一般说来，概念的形成过程包括：引入概念的必要性，对一些感性材料的认识、分析、抽象和概括，注重概念形成过程，符合学生的认识规律。在教学过程中，如果忽视概念的形成过程，把形成概念的生动过程变为简单的“条文加例题”，就不利于学生对概念的理解。因此，注重概念的形成过程，可以完整地、本质地、内在地揭示概念的本质属性，使学生对理解概念具备思想基础，同时也能培养学生从具体到抽象的思维方法。
三、深入剖析。揭示概念的本质
数学概念是数学思维的基础，要使学生对数学概念有透彻清晰的理解，教师首先要深入剖析概念的实质，帮助学生弄清一个概念的内涵与外延。也就是从质和量两个方面来明确概念所反映的对象。
四、通过变式。突出比较。巩固对概念的理解
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理认为：概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在初步形成概念后，引导学生正确复述。这里绝不是简单地要求学生死记硬背，而是让学生在复述过程中把握概念的重点、要点、本质特征，同时，应注重应用概念的变式练习。恰当运用变式，能使思维不受消极定势的束缚，实现思维方向的灵活转换，使思维呈发散状态。
五、注重应用。加深对概念的理解，培养学生的数学能力
对数学概念的深刻理解，是提高学生解题能力的基础；反之，也只有通过解题，学生才能加深对概念的认识，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延。课本中直接运用概念解题的例子很多，教学中要充分利用。同时，对学生在理解方面易出错误的概念，要设计一些有针对性的题目，通过练习、讲评，使学生对概念的理解更深刻、更透彻。
我们知道学习概念一是要知道它的外延意义，二是要理解它的内涵意义。而内涵意义是概念名称在学习者内部唤起的，独特的、个人的、情感的和态度的反应。学习者的这类反应，取决于他们对这类物体的特定经验。像“无理数”这类数学名称对大多数学生来讲具有很少的内涵意义，如果直接讲授，抽象难懂，则学生不易接受，心里容易疲劳。
探究性学习是一种在教师引导下的体现学生主动学习的一种学习方式，它往往模拟数学家发现新的概念和命题的探究过程。简言之，探究学习是对数学探究的模拟，有别于学生好奇心驱动下所从事的那种自发、盲目、低效或无效的探究活动。事实上，学生探究活动过程所涉及的观察、思考、推理等活动不全是他们能独自完成的，需要教师在关键时候给予必要的启发、引导。
在这堂课里，通过学生对相对具体事物的直接观察、感知、分析、比较，进而抽象概括出概念，整个过程引导学生成为“相反意义的量”概念本质的“发现者”，亲自参与了由表及里的不断深入的理解过程，从而品尝了发现所带来的快乐，实践了抽取实际事物量的关系而舍弃其他一切表面现象的一种思维活动。这样的探究教学活跃了学生的思维，数学变得亲近，学生乐于接受。
关 键 词：视唱练耳 首调视唱 识谱 教学 心理学
识谱是系统地接受专业音乐教育的起步，它作为音乐基础课程——视唱练耳教学最基本的内容之一，因其形式简单，内容浅显，而极易使人们忽略对其教学方法和原理的探究。随着近年来专业音乐教育的普及化和视唱教学内容与方法的多样化，在教学中暴露出来的问题越来越多，这迫使我们不得不对其进行反思：为什么在世界各地被广泛接受和采用的五线谱在我们的课堂教学中显得非常困难，仅仅识谱一项内容就占去视唱练耳教学的很多时间？为什么这样一个科学的记谱体系使很多老师教得费力、学生学得困难？更可悲的是，不少人花费很多时间和精力在课堂上学了五线谱后，在工作中却不能学以致用，甚至弃之不用，而改用简谱？自2000年教育部颁布新的音乐基础教育教学大纲，规定中小学音乐课的五线谱教学用首调唱名法后，高等音乐师范类视唱的首调教学方兴未艾，但教学效果却不能尽如人意，这其中的原因到底在哪里？经过反思后我们发现，在视唱练耳教学中很多司空见惯的问题并非我们想象的那样简单，许多问题都有其深层的原因，这就需要我们以认真的态度、科学的精神去研究、去探讨，对教学中遇到的问题能有一个合理的解释，并找到相应的解决办法，而不是对问题熟视无睹，见怪不怪，或是头痛医头、脚痛医脚，根据表象凭经验想当然地去处理，结果往往事与愿违。针对教学中的这些现象和问题，本文试图从人们在识谱过程中的心理反应的角度进行分析与研究，期望寻求这些问题的原因和解决办法。下文所提的首调唱名法，除了特别说明外，均是指五线谱的首调唱名法。
一、视唱识谱的心理分析
从心理学的角度看，视唱识谱与人们对字符的认知学习方式相类似，有研究认为：“视唱的心理反应过程与识字相似，即把书写符号通过记忆转换成声音。有所不同的是文字转换的声音是符号化了的声音（语言），每个声音都是经过约定与相应的概念联系在一起的。有效的识字过程分为两个心理反应阶段：第一阶段，根据文字符号读（或默读）出声音；第二阶段，把读出的声音与所指的概念相联系，予以理解。正确的视唱过程也分两个心理反应阶段：第一阶段，根据乐谱符号唱（或默唱）出唱名；第二阶段，把这个唱名与特定的频率与时间联系起来，即唱出这个唱名的音高与音值。”①这就是说第一阶段主要是对音符（根据其形状或位置）读音的认知；第二阶段则涉及到唱名的绝对音高与相对音高，引出固定与首调唱名的思维定势以及内心听觉和音准等问题。
对于识谱教学而言，不同谱式和不同唱名法在这两个阶段的教学侧重点各有不同，本文主要探讨的是首调唱名法的识谱心理，即根据音符唱出唱名，也就是人们对字符（音符）认知学习时的心理反应，通过对这一过程的研究，了解识谱的心理机制，并在教学中制定相应措施，加强视唱识谱第一阶段教学的针对性和有效性，改善教学效果。
认知心理学认为，对字符（音符）的认知学习是一个对字符信息的加工贮存过程，“个体如果真正要认识某一单字，学到后并将之贮存，以备以后随时检索出来应用，他必须在短期记忆阶段，将该单字的字形、字音、字义分别编为形码（visual code）、声码 (acoustic code)与意码(semantic code)。经过编码之后的讯息，始可贮存。”②也就是说，对字符的认知，就是对字符信息的编码贮存。
根据这一理论，对我国目前使用最广泛的两种谱式——简谱与五线谱的识谱特点进行分析与比较后可发现：简谱以7个阿拉伯数字作为调式音列的各个音符标记，由于其外形简单，特征明晰，并常用于人们日常的生活实践，便于识别；加之每个音符都有一个固定不变的唱名，形码与声码完全对应，便于记认。这里不论其在音乐实践中的使用价值，仅从对乐谱中音符的认知学习的角度讲，简谱极具优势，这也是它得以推广的主要原因之一。但简谱在视唱过程中，其音符的音高概念不是通过直观距离所进行的记忆转换，而是靠标记符号抽象化的音高想象完成记忆转换。这一点恰恰是五线谱的独特优势，它与简谱的识谱原理完全不同，它不是根据音符的形状来确定读音，而是根据音符在五线谱中不同位置来确定其读音的。也就是说，五线谱通过线间高低关系形象地呈现出不同音高之间的距离关系，人们在视唱过程中是通过视觉对音符高低的距离与旋律线条运动走向的直观形象完成音高记忆转换的。这一点特别是在器乐视奏和演奏中对快速运动的音符直观形象的把握非常重要，这也是五线谱之所以在专业音乐教育中占据重要地位的根本原因之一。但对视唱而言，由于同一个音符在五线谱中不同的位置，其读音就不同。这使得它的形码与声码不能对应，不似简谱的音符与唱名那样具有互为唯一的特性，五线谱的七个唱名（声码）中每个声码都代表了数个处在不同位置的音符。举例说比如唱名“la”，它分别代表了高音谱表的第二间、下加二线与上加一线等位置的音符，如果使用大谱表位置还会更多。这种一个唱名代表多个音符位置的情况，使得惯于根据字符形状读音的人在一开始学习五线谱时会感到茫然和困惑，因此在学习五线谱时，首先必须突破原有识谱学习的思维定势，确立一种新的字符认知学习模式。
五线谱的学习又分为固定唱名法与首调唱名法：固定唱名法的识谱是利用五线谱的五条线作为坐标，根据符头所在谱表的空间位置来确定音符的唱名读音的。而首调唱名法的识谱既不完全同于简谱对音符进行形、声编码的认知方式，也与固定唱名法根据音符的空间位置确定唱名有所区别，它是根据不同的调高“先确定第一个音符的唱名，然后就根据第一个音符与第二个音符相距的空间距离（线和间的数目）确定第二个、第三个等后续音符的唱名读音。”③也即是说，所有同类调式，它在不同调高的内部音程结构是相同的，这一点与简谱具有一致性。由此可见，首调唱名法的认知方式是融合简谱的认知原理，并利用线位坐标，根据音符之间的空间距离和音高走向来进行的。“传统的视唱教学忽视了这个关键点，不是去培养学生依据两个音符相距的空间距离确定第二个音符唱名读音的思维方法，而是把固定唱名法根据空间位置确定唱名的思维方法移用到首调唱名法上，要让学生背出七种唱名位置……使得首调唱名法在视唱第一心理反应阶段的学习要花费七倍于固定唱名法的时间。”④这也是当前视唱练耳课中首调视唱教学最大的误区之一。很多人没有注意到五线谱的固定唱名法与首调唱名法识谱学习时认知心理反应的不同，而是想当然地将一种唱名法学习的思维和方法套用到另一种认知心理与学习方式迥异的唱名法的学习中，这种文不对题的教与学只会使得教学事倍功半。
二、首调视唱教学的科学对策
通过以上分析可知，首调视唱识谱既不同于简谱对音符按形、声编码后的认记，也不同于五线谱固定唱名法对音符所处的空间位置的识记，它是根据不同的调来确定音符在五线谱中相应的唱名位置的，它的难点在于对具有流动性的唱名位置的辨认。传统首调识谱教学片面强调对不同调唱名位置的死记硬背，试图通过大量的视唱练习，来强化对各调唱名位置的熟记。但这种教学方式所付出的代价是高昂的：它不但耗费了视唱练耳有限的教学时间，使视唱练耳课的主要精力与时间只是仅仅用来做简单的识谱训练，从而忽略了其他重要的，如对听觉能力的训练、音乐潜能的开发、对音乐审美的培养和对音乐风格的理解等许多内容；其更消极的是，在于它没有教会学生对首调识谱原理的理解以及掌握正确的学习方法，其结果影响的不仅是在校学生的学习，而且殃及到他们走向社会后所教的许许多多的学生。
因此，依照首调视唱识谱的认知规律，确立新的教学理念，改革首调视唱教学方法与内容，提高学习效率，是视唱练耳课教学的迫切需要。
（一） 树立新的学习观念，突出首调识谱特点
首调视唱从识谱的角度看，其自身的特点是很突出的：调性一旦被确定后，主音位置即明确，而各音即以此为基准，其在谱表上所处的位置、音的相对关系和音高的进行方向等各种抽象概念，均可形象而具体地展示于五线谱上，使人一目了然。这是五线谱首调视唱的特点所在，所以首调视唱的教学都应该针对这一特点进行组织与安排。
首先，要使学生建立主音可动的观念，习惯唱名位置的移动，在教学安排和教材编写时不宜将为固定唱名视唱编写的教材一字不改地用于首调视唱教学，要避免按调号划单元分阶段、依次学习不同唱名位置的教学安排，必须打破五线谱学习中对唱名进行固定位置认记训练的僵化观念，而代之树立以音的相对关系和音高进行方向为核心依据的识谱观。
其次，在教学实践上，应有一个与之配套的措施与可行的方案，包括选用专门的首调视唱教材、科学的教学方法、合理的教学进度以及符合首调视唱规律与特点的教学安排等。这里想特别介绍一种行之有效的首调视唱识谱辅助练习方法，那就是先从一线谱开始训练。一线谱虽然只有三个音位，但它在为学生建立流动do的概念和根据音符空间距离确定唱名读音概念的过程中，具有典型意义和基础性的作用。在此基础上，经过二线、三线谱的训练后，逐渐过渡到五线谱，以此来培养学生根据两个音在线、间中的空间距离和音高走向确定唱名读音的思维方式。这种利用线谱递增、结合主音音高位置可动式的二元综合训练，是理解、学习首调唱名法识谱的真谛的方法之一。因为从历史发展看，五线谱其实是由一线谱逐步发展而成的，而且早期是采用首调唱法的，我们的教学不能忽视这一历史传统和这一有效的训练手段。
（二） 转换认知学习策略，改变识谱的机械学习模式
整个视唱练耳学习都是属于有意义的学习，识谱也不例外，但传统的视唱教学把识谱理解为机械学习，在教学中枉顾其认知原理和各种内在的有机联系，片面强调勤学“苦练”，期望通过大量的机械练习，来强化学生对各调唱名位置的记认，但这种教学方式相对于其投入来讲收效甚微。如果转变一下学习策略，给识谱学习赋予某种意义，将机械练习变为有意义的学习，效果将会大为改观。正如认知主义心理学认为：“如果学习材料本身具有逻辑意义，而学习者认知结构中又具备适当的知识基础，那么这种学习材料对于学习者就构成了潜在意义。”⑤在视唱中两个以上的音的唱名连读，可组成“唱名词汇”，在首调视唱中，同一唱名词汇在各个调内，其音程距离是相同的，而记录在乐谱上，它们的空间距离也是相同的。比如do—mi都是在相邻的线（或间）上，do—sol是在相同隔的线（或间）上，无论调高怎样改变，这一距离是衡定不变的。这种相同唱名词汇与谱面音符之间空间距离的严格对应，是具有逻辑意义的。如果使学生能明白这一道理，在较短时间内掌握其规律，对提高学习效率会有很大促进。
（三） 科学安排教学，扩大迁移效应
现代认知心理学认为：“一切新的有意义的学习都是在原有的学习基础上产生的，不受学习者原有认知结构影响的有意义学习是不存在的。也就是说，一切有意义的学习必须包括迁移。”⑥视唱的学习是属于有意义的学习，这就是说在视唱的学习中也必然存在着迁移现象。所谓迁移，是指一种学习对另一种学习的影响，“凡一种学习对另一种学习起促进作用，都叫正迁移，凡一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用，都叫负迁移。”⑦在视唱练耳教学中老师都有这样的体会：在听觉训练时，学生的首调观念越强，进行固定听觉训练就越困难；或是对有固定唱名基础的学生进行首调识谱训练时，往往会发现其原有的水平和能力与新学内容掌握的速度成反比，其原因就在于虽然同是五线谱，但由于两种认知原理的不同，原有的识谱经验对后继学习产生负迁移。由此可见，迁移在视唱练耳教学中起着举足轻重的作用，所以我们在教学中，应该尽量设法利用迁移的效应，使前期的学习对后继的学习产生促进作用，而不是起反作用。因此，在教学安排上，笔者认为：
1.从识谱的角度讲，固定唱名法与首调唱名法在初级阶段不宜混学，否则其中一种唱法的学习思维定势会影响另一种，当然从本质上讲这两者并不对立，也不相互排斥，因为固定唱名的视唱到后期学习不同位置的c谱表时，其原理与首调视唱并无二致，只是在初级阶段二者的机理不同，宜熟练掌握一种后再学另一种，以免同时学习时互相干扰产生负迁移。
2.在教学内容上当对一种唱名位置理解并基本掌握后，适时进行多种唱名位置的练习，针对不同的教学对象，引导其以“空间距离”或“唱名词汇”等为依据，积极建立新的、有效的学习思维方式，使学生能触类旁通与融会贯通，做到举一反三，最大限度地发挥迁移对学习的促进作用，提高识谱的学习效率。
随着我国基础教育的改革和新课标的实施，在高等音乐师范类教学的视唱练耳课中，首调已成为主要的视唱教学模式。但不少视唱课的教学中存在着“新瓶装旧酒”的情况，即用固定唱名法的教学模式和教材进行首调视唱的教学，学生既不了解两种唱名法的学习机理，也未掌握首调的学习方法，这影响的不仅仅是在校学生们的学习效果，更重要的是这些未来教师们的教学理念和教学方法，从某种意义上讲，它所贻误的不止是一代人。这一发生在视唱练耳课堂上的现象已引起了不少专家和学者的警惕与关注，并撰文对其进行分析，提出对策。本文作为个人在教学实践中学习运用教育心理学的体会，希望能对首调视唱的教学研究有所促进，并得到同行、专家们的指正，以期共同为视唱练耳学科的建设与发展尽力。
注释：
①③④ 张羡声、吴华山、龙玉兰、肆口“一种符合中国学校音乐教育实际的视唱教学法”《中小学音乐教育》2004年第8期
1.1 教材内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》苏教版必修2中1232《直线与平面垂直》内容，属于新授概念原理课.
图1
如图1，这是直线与平面垂直在本章中的位置.直线与平面垂直是在学生掌握了直线在平面内，直线与平面平行之后紧接着研究的一种位置关系.线面垂直与线线平行、面面平行联系密切，线面平行研究了定义、判定定理以及性质定理，这就为我们本节课的研究勾勒出了一条主线.直线与平面垂直又是立体几何中最重要的一种位置关系，向下可以得到线线垂直，向上可以得到面面垂直，且后面空间的角和距离等都涉及到线面垂直，从而就显得尤为重要.
本节课的学习不仅起着承上启下的作用，还是学生体验由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法与应用的过程.因此，学习这部分知识有着非常重要的意义.
1.2 学生学情分析
1.21 学生已有认知基础
学生已经学习了直线与直线垂直、直线与平面平行的相关认识.学生已有通过直观感知、操作确认的方法研究直线与平面平行的直接经验，对空间概念、原理的建立有一定的基础.学生初步养成了独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.
1.22 达成目标所需要的认知基础
学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，初步具备类比、猜想、抽象概括、空间想象能力.
1.23 教学重难点及突破策略
依据教材内容解析和学生学情分析，我确定本节课的教学重点难点及突破策略如下：
教学重点 直线与平面垂直定义的生成过程，判定定理的发现过程，以及性质定理的证明过程.
教学难点 直线与平面垂直的定义和判定的生成过程，性质定理的证明方法的发现过程.
突破策略 教师引导学生先明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段;组织学生汇报交流，展现思维过程，相互评价，相互启发，促进反思;让学生经历直观感知、猜想、抽象概括、适当证明或说明的过程.
1.3 教学目标设置
基于教材、学情分析，充分关注学生的发展，在此基础确立了本节课的教学目标如下：
（1）通过对现实生活中的实例、模型的观察、类比、抽象、概括出直线与平面垂直的定义，发现、推测、归纳直线与平面垂直的判定定理，探究直线与平面垂直的性质定理及证明方法.
（2）感悟特殊到一般、化归等数学思想;了解反证法，发展类比、归纳等合情推理能力、逻辑推理能力和空间想象能力.
（3）体会数学的严谨、自然、简洁之美，体验数学探究与发现的乐趣，培养质疑、思辨、发现问题的意识和自主探究、思考的习惯和能力.
2 教法学法
根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用启发探究式.通过教师引导，激发学生自主探究，动手操作，体验感悟，总结提炼.引领学生达到定性研究线面垂直的目标与方法，经历研究线面垂直的定义、判定定理和性质定理的过程，并在研究的过程中逐渐完善研究手段，提高研究能力.学生的自主探究，具体表现为：
（1）建构直线与平面垂直的概念时，学生自主举例，观察猜想，抽象概括，并用自然语言、图形语言、符号语言表示.
（2）探究直线与平面垂直的判定定理与性质定理时，学生通过实验探究、观察探究、操作确认的方式猜想归纳并表述.
（3）性质证明时，学生自主探究证法，相互交流提升，最终解决问题.
3 教学过程
为了达成教学目标，具体教学可以分为以下五个过程：
建构定义形成判定产生性质课堂小结布置作业
图2
下面对每一过程中要解决的问题和主要做法以及步骤作出说明.
3.1 建构定义
根据学生已有的知识基础，建构定义部分，我设计了以下8个问题：
问题1 直线和平面有哪几种位置关系？
问题2 研究了直线和平面平行哪些内容？
设计意图 以问题串的形式复习线面关系，勾勒出本节课的研究线路.
问题3 直线和平面相交中最特殊的一种情况是什么？
活动31：你能利用手中的工具，摆出一些直线与平面相交的情形吗？
活动32：大家摆出了这么多种“相交”，你想先从哪一种情形开始研究呢？把它摆出来.
活动33：那你能给“这种情形”（教师比划”直线与平面垂直”的形象）起个名字吗？
追问331：为什么命名为“垂直”呢？
设计意图 先让学生动手操作――发现线面垂直是相交最特殊的情形;紧接着让学生自主命名――使学生体验成功快乐;进而追问为什么命名为“垂直”？――学生联想“直线与直线垂直”，用已知的概念来表示未知概念，为定义建构埋下伏笔.
问题4 为什么先研究线面垂直？
设计意图 让学生认识到研究新问题的途径为：由特殊到一般，由简单到复杂.
问题5 为什么要研究线面垂直？
设计意图 通过让学生举出生活中的实例和几何体中的实例，感受到线面垂直普遍存在，有研究的必要性.
问题6 你认为应该研究直线与平面垂直的哪些内容？
设计意图 培养学生模仿类比能力，根据直线与平面平行的研究内容，确立直线与平面垂直的研究目标.
问题7 圆锥的轴与底面内的任意一条线是什么关系？
问题71：圆锥的底面是如何形成的？
问题72：圆锥的轴与底面半径是什么关系？为什么？
问题73：圆锥的轴与底面不过圆心O的直线m是什么位置关系？为什么？
问题8 你能给“直线与平面垂直”下个定义吗？
活动81：分别用文字语言、图形语言和符号语言表示定义.
活动82：“任意”等价于“所有”吗？等价于“无数”吗？
活动83：如图3，圆锥的母线PC与底面垂直吗？为什么？
图3
例1 求证：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
设计意图 通过几何画板动态展示圆锥的定义，让学生观察思考，探究发现，由于前面问题串的铺垫，问题8就水到渠成地解决了.活动81培养了学生总结概括、语言转换能力.活动82，83旨在通过词语辨析、反例辨析，固化对定义的认识.例1是概念的应用，它的证明既可以使用定义，也可以使用判定定理，但教材中把例1的位置放在定义建构以后，而非在判定定理形成之后.从而没有必要在教学时将位置后置，人为的将问题的证明复杂化.
3.2 形成判定
探究活动 请同学们动手操作并思考系列问题：
（1）怎样将一本书立在桌面上，使得书脊能与桌面垂直？这样的书至少需要几页呢？
（2）将手中的练习纸折叠，折痕满足什么条件，折痕与桌面垂直？
（3）观察下列的实例，给你什么启发？（PPT上展出两幅图.图1为立在跑道上的跨栏架，图2为一个长方体）
设计意图 此环节，先问学生“根据定义如何判断旗杆所在直线是否与地面所在平面垂直？”由实际操作的困难，认识到研究判定定理的必要性.关于判定定理的产生途径，设计时准备了四种探究方式：
（1）观察生活中的实例，提炼结果;
（2）设计操作过程，让学生自己动手;
（3）自然分类：垂直于平面内一条直线行吗？两条平行直线呢？两条相交直线呢？
（4）数学本质的探究，由无限到有限的思想.
这四种方式对学生能力的要求各不相同，（1）是“直观性教学”，目标指向明显，思维难度较小，（4）对学生的逻辑思维能力、抽象概括能力有较高的要求.赛课时由于对学情的不了解，最后在课堂上选择采用了操作与观察相结合的方式，这样的设计也满足了不同层次的学生的能力需求，体现了分层教学.
3.3 产生性质
探究活动 （1）教师与某学生都站立在教室里，把站立的俩人抽象成两条直线，都与地面所在的平面垂直，两人所在直线的位置关系是什么？你能发现什么结论吗？
（2）用数学语言描述这个发现，并用图形语言和符号语言表示出来.
（3）尝试从理论上给予证明呢？
让学生明确任务后，在练习纸上尝试证明，随后教师用展台展出学生的证明方法.接着让学生交流点评，教师总结.
设计意图 设计发现性质定理的时候，有两条思路：其一，将性质定理与例1进行对比，通过命题变换;另一种是通过感知，让学生发现性质.由于本节课内容较多，课堂上选了第二种方式.性质定理的证明是本节课的难点，而非重点.采用学生先行尝试，再展示交流，调动了学生的学习主动性，提高合作交流的意识和能力.通过展示学生中的错误，让学生学会反思，从错误中学习，充分暴露学生思维过程中的闪光点.（学生的错误主要在于平面内构造的直线与直线a，b不在同一平面内，而又错误地用了平面中的结论.）在这里，直接证明的难点成为间接证明的思维起点，从而顺利地将学生的思维从直接证明的思路顺利引向间接证明的方向.
3.4 课堂小结
为了进一步培养学生的概括和表达能力，系统掌握所学的知识，引导学生从三个层次进行总结：学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？
3.5 布置作业
通过作业对学生的学习情况进行反馈，对教师的教学进行有效矫正，布置如下作业：
（1）阅读课本第33页性质定理的证明，思考与本节课堂上给出的证明有什么共性？
（2）画出本节课的知识图，罗列证明线面垂直有哪些方法？
（3）课本第34页练习题1，3.
4 教后思考
4.1 对教材的认识
对照不同版本的教材，“直线与平面垂直”这一节内容出现的顺序是有差异的.人教版和北师大版教材，均将其置于“空间平行关系”之后.而苏教版教材，“直线与平面垂直”是紧随“直线与平面平行”，并与“直线与平面斜交”三者隶属于“直线与平面的位置关系”一节.苏教版教材编写意图在于：其一，研究空间位置关系的方法不外乎定性研究和定量研究两种，“线面平行（垂直）”均为定性研究，而“线面斜交”则为定量研究.其二，研究一个新的数学问题，一般遵循从特殊到一般的规律，故而先研究“线面垂直”.其三，“线面平行”的研究思路为“线面垂直”指明了方向，提供了研究方法.从定义到判定定理再到性质定理的研究顺序学生了然于胸.其四，空间问题平面化，将未知转化为已知的思想，前面的学习中已经有了铺垫.因此，课堂上要能将编者意图巧妙地体现，并渗透数学思想.
4.2 一点感悟
本节课的成功之处在于通过设置有效的问题串让学生体验探究问题的过程，使得学生的主体地位得到确立，让学生体验成功的快乐.此外，不单纯为完成教学任务而忽视学生的课堂反馈，也是学生主体地位的体现.在课堂时间较紧、评优课又要求课堂流程完整的情况下，能充分暴露学生的思维过程.（如：学生使用反证法进行性质定理的证明时，自然地由假设不平行，想到两直线相交或异面的情况.教师顺着学生的思路加以引导，而不是生拉硬拽地把学生的思路拉到课本上.但证法的本质是相通的，同样可以达成教学目标.）本节课同时还注重师生间交流和学生思维发展，利用展台对比学生的书写，互相评价，规范书写，效果较好.
第一次实践思考：以“东北”切入，突破难点
本课教学的一个重要目标是：让学生学习根据方向（角度）和距离两个条件确定物体的位置，难点是认识方向。对于方向的认识，教材提供的例子是“东偏北30°”，配套《教学参考书》上建议：东偏北30°或北偏东60°的说法都对，一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。但实际上，学生在图上度量角度有难度，很难顾及分辨夹角的大小。于是我们从学生已有的生活经验“东北”方向入手，突出教学“北偏东60°”。
【教学活动简述】
一、创设情境，揭示课题
出示主题图，介绍“定向运动”和“公园越野赛”的比赛规则。
二、自主探究，建立模型
1.方向
师：红队小朋友从起点出发了！1号点在起点的什么方向？
生：东北方向。
师：只说东北方向，能说清楚1号点的准确方向吗？你能想出好办法吗？
师：你是怎样理解“北偏东60°”的？60°是指哪两个方向线的夹角？
师：说“东偏北30°”也可以。我们中国人习惯以东、西为标准，先说东或西，而自然地理学规定从北、南说起，在数学中说“北偏东”，而不说“东偏北”。（动画演示3个方向：北偏西、南偏东、南偏西和“北偏东60°”）
2.距离
师：确定1号点的准确位置，还要知道什么？
三、分层练习，巩固内化
1.师：蓝队从起点到2号点，你能说出2号点的准确位置吗？
2.书上各项习题。
四、前后联系，感悟提升
师：在以前几年的学习中，“位置和方向”已经与我们有过多次亲密接触。一年级：我们认识了“上下、前后、左右”，用“第几排第几个”来确定位置；三年级：认识了东、南、西、北，以及东南、东北、西南、西北8个方向。今天，我们学会用方向、距离更加精确地确定位置。到六年级，我们将学习一种更为简洁的方法来确定位置。
【反思】教学时，我们发现从“东北”切入认识“北偏东60°”，学生比较容易地掌握了根据方向和距离准确确定物置的方法。但是整节课教师主动、学生被动，“导演”教师用一问一答使“演员”学生“被探究”，气氛沉闷、压抑。主要存在两个问题：（1）利用教科书素材创设的竞赛情境脱离学生实际，不能激发学生的兴趣，形同虚设；（2）动画演示认识角度，成人看似清晰，但从练习中的许多错误体现出，儿童没有真正理解，效果不佳。
第二次实践思考：设计矛盾冲突，激发内驱力
面对第一次教学存在的问题，我们决定“用教材教”，设计矛盾冲突，目标指向激发学生学习的内驱力和欲望，让学生主动参与学习，体会学习的乐趣。在活动中深刻体会到确定一个物体的准确位置，要同时知道方向和距离这两个条件。运用数学工具（量角器），灵活掌握度量角度的技巧。
【教学活动简述】
一、创设情境，自主探究
1.创境（出示扬州部分风景图片）
师：田老师的家乡——扬州是一个旅游城市，欢迎你们到扬州去玩！
2.方向
师：出门旅游，要有认识方向的本领，你们认识哪些方向？
师：最有名的公园是瘦西湖！瘦西湖在学校的东北方向。谁能上台指一指？（两名学生到图上指）
师（故作不满意）：你们指得都不准！
生（困惑）：为什么？瘦西湖究竟在哪儿呢？
师：“东北方向”只能让我们知道瘦西湖在这片区域，在这个“面”上。能不能知道它的准确地点？怪田老师提供的信息不全面！瘦西湖在学校的北偏东60°方向上。
师：北偏东，就是从正北慢慢偏向正东。（老师用手势示范）
师：60°就是从正北向正东偏60°。（老师示范用量角器量）
3.距离
师：现在，你们应该知道扬州在哪了吧？谁再上来指一指？怎么还指不准？
生：不知道距离！
师（小结）：只知道方向（角度），只能确定瘦西湖在这条线上。知道距离，才能知道在哪个点上！由“面”到“线”再到“点”，这就是我们学习的确定物体的准确位置的一种方法。
二、练习巩固，深入内化
（看图）你能说出扬州其他几个景点——观音山、会展中心、何园的准确位置吗？
三、前后联系，感悟提升（同第一次）
【反思】第二次教学，结合实际情况和教学内容，创设学生喜欢的“旅游”情境，美丽的风景一下子激发了学生的兴趣；让学生根据“瘦西湖在学校的东北方向”这一信息，在图上指出瘦西湖的准确位置，教师故作“不满意”的评价：“你们指得都不准！”引发学生的困惑和不服，内心迸发出一股强烈的需要学习的力量和欲望。角度的教学将电脑动画形式改为用量角器在黑板上操作，边量边指出度量的注意点，简单、直观、明了，操作性强，学生掌握得较好。但是，第二环节形式单一、枯燥乏味，学生被动练习，无法有效巩固。怎样从整体上把握练习过程，设计多样、多层习题，调动学生练习的热情，引领学生的思维呢？怎样设计出“板块式”的教学结构，将众多信息、知识和细节串成“片”、形成“块”，使课堂趣味不缺思维、简约不失深度？带着新的追求我们又进行了下面的实践。
第三次实践思考：从学生需要出发，发展思维
【教学活动简述】
一、为什么确定位置
1.怎么找不准瘦西湖的位置？——引出方向（角度）
2.怎么还是找不准瘦西湖的位置？——引出距离
小结：从观测点、角度和距离这三个方面确定物体的准确位置，能方便我们的生活。
（具体师生交流互动同第一次）
二、怎样确定位置
1.观音山的位置
（1）猜一猜：观音山在学校的什么方向？猜一猜，多少度？
（2）量一量：用量角器量一量。
（3）看一看：距离多少？
2.中国地图中城市的位置
（1）填一填：扬州在兰州的什么方向，距离怎样看？
（2）画一画：昆明在兰州的南偏东10°方向上，距离（图上直线）1200千米。你能先指一指昆明的大概位置，再画一画吗？（学生尝试动手画图）
3.“凤凰岛”探险
（1）第一探险点：白云洞
白云洞在起点的（ ）偏（ ）（ ）方向上，距离（ ）米。
（2）第二探险点：狮子峰
师（课件出示3个位置）：狮子峰在起点的南偏西30°方向上，距离300米。1号点、2号点、3号点，哪个是狮子峰？1号点、2号点为什么不是？
（3）第三探险点：火焰山
师：火焰山在狮子峰的南偏西30°方向上，距离100米。看！火焰山在这里！
（老师故意标出一个错误位置：起点的南偏西30°方向上，距离100米。）
师：为什么不对？审题很重要，观测点是狮子峰，而不是起点。
三、还能怎样确定位置
我们从以前的“第几排第几个”来确定物体的位置到今天学习的用方向、距离来确定位置，方法更为精确。那么，还有其他确定位置的方法吗？这些方法会更加精确、更为简洁吗？老师期待着和大家一起去探索！
【反思】第三次设计，建立了由“为什么确定位置”“怎样确定位置”“还能怎样确定位置”三句核心语串联而成的“板块式”教学结构。第一板块从“怎么找不准瘦西湖的位置”的疑问出发，激发了学生强烈的好奇心和求知欲，体验到确定位置的必要性。第二板块从学生的需要出发，结合学生的生活经验，用学生熟悉的地点：扬州（教师所在地）和兰州（学生所在地）作为练习素材，使学生兴趣盎然，课堂自然、灵动。由于例2的内容“在图上绘出物体的位置”和例1存在思维内在的顺逆向关系，所以尝试把例2整合在本节课的练习中（苏教版教材是将这两个内容整合在一节课中的），让学生在地图上画出昆明的位置，学生完成得自然流畅、一气呵成，也避免了课堂练习的单一性。数学游戏能变抽象知识为直观活动，让学生在玩中学，使课堂充满生机和活力。第三板块我们设计了“凤凰岛探险”游戏，用“白云洞”“狮子峰”和“火焰山”三个探险点让学生填一填、选一选、画一画，练习形式多样，思维得到高挑战，整个活动过程简约、深刻。
对比前后三次教学，都抓住了数学概念的本质——确定位置的基本要素：观测点、方向、距离。但是两次教学的改进，逐步解决的问题是：（1）设计矛盾冲突，激发学生的学习兴趣。利用量角器，指导学生掌握度量角度的技巧。（2）从孩子的内在需要出发，进行简洁大气的“板块式”设计，将“在图上确定物体所在的方向和距离”和“根据方向和距离在图上标出物体的位置”两个教学内容有机整合，有效促进了儿童数学思维的发展。
有关教材编写的两点想法：
一
第一次尝试：
“用数对确定位置”，是国标本小学数学五（下）的内容，意在理解“数对”概念，并能用数对来表示位置。翻开教材仔细阅读，发现重要内容只一句：“竖排叫列，横排叫行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。”这句约定俗成的话，基本就已经成为了学生完成一系列练习的方法法则，只要照着去做，就不会有多大的困难。
上课之前我特意找了一个学生，让其自己看书，然后完成书后相关练习。发现学生掌握起来非常快，不到5分钟，已经看完了教材，且能够说出怎样用数对表示物置的方法，练习完成的正确率也是100%。由此，我就采用了这样的针对措施：让学生自学，然后补充各类的练习进行巩固。题目学生都会做了，任务也就完成了。
我的反思：
学生拿到题目不需要经过大脑思考，开始机械地按部就班，虽然基本不会有错误，但是问起为什么要用数对来确定位置，用数对来确定位置有什么好处，学生却一无所知。“可能起点”有两个层面含义：一是指在考虑处理教材时，教师要认识到教材所提供的教学内容及其水平。二是指教师在设计课堂教学时要冲破认识论的框架，不能仅仅把教材作知识层面的理解与把握，而要从育人价值的高度，充分解读教学内容所蕴含的丰富育人价值。
二
在第一次的教学中，对教材，我没有进行长线分析，而是就点论点，就题论题，没有考虑这个内容本身的价值。为此，我又进行了第二次的尝试。
第二次尝试：
增加内容一：课前完成。
（1）数轴上的点可以用数几来表示。
（2）用自己的方式来描述小军的位置。
【让学生感受到在一维的数轴上只需要用1个数来确定位置，在两维的平面图形中就需要用2个数来确定位置。这是学生学习的基础，在唤醒学生原有知识的同时，抽象出可以用数来表示物体的位置，并由此产生用统一、简明的方式来确定位置的需求。】
增加内容二：多媒体展示。
1.介绍从具象座位表抽象到方格图的过程。
我们用数对很清楚地就能确定位置，而且非常简单，在数学上我们常常讲究简单，刚刚的座位，就可以用一个一个圆点来表示人。就变成了……（出现点子图）
【从具体的座位图抽象到点子图，让学生初步感知用小圆点来代替人，比较简单，看得更清楚。】
这就是第一列、第二列……这就是第一行、第二行……（将点串成线，形成初步的方格图）。通常我们用0来表示起点，它既是横轴的起点，又是纵轴的起点。（出现“0”、横轴和纵轴）
【动画展示方格图的形成过程，使例1和例2的过渡更加自然，让学生理解从具象到抽象的过程，不至于突然出现时让学生感觉不知所措。】
2.介绍交点。
你能在图上找到小军的位置吗？小军的位置就是第4列与第3行的交点，因此它可以用数对（4，3）来表示。
我的反思：
“用数对确定位置”属于空间与图形领域。在前期已经学过相关内容有一上“几和第几”和二上“确定位置”。
教学的真正意义在于促进和提升学生发展需求，不仅是现实状态，更需要对学生学习过程中将要呈现的各种可能状态进行预设，学生发展状态的分析又成为课堂教学设计中的另一个“可能起点”。
可是，从课堂中我们不难发现，学生始终缺乏自主学习的需求和探索的动力，数对产生的过程更像是电脑产生的，而非学生产生的。学生只有主动投入，其学习潜力才能犹如火星，使整个课堂教学燃起丰富而完美的熊熊大火，推动课堂思潮向深层次推进。
三
第三次尝试：
“数对”概念的形成，在这里可以用这样的过程结构：材料感知―寻找不同中的相同（聚类分析）―归纳提炼和抽象命名。为了使学生能感受和体会数对在现实生活中的意义和作用，认识和理解抽象概念背后的丰富内涵，我们需要引导学生经历数对的形成过程。所以，将前面“增加的内容一”做了以下的改动，形成了第二次修改。
1.产生需求，抽象概念。
学生交流产生大量丰富的材料，边交流，边聚类：如机票、车票；路标航标；经线纬线……（需要用第几第几来说明位置的事物）
【让学生感受生活中有许多需要用2个数来确定位置的例子，激发学生兴趣，拓宽学生思路。】
2.出示座位表，描述小军的位置。
【引发矛盾冲突――只用第几第几来确定，表示的是不是同一个人？如何表达清楚――需要用上从哪边往哪边这些表明方向的词来规范。】
3.感受生活例子中位置的方向。
【使数对的产生不仅仅局限在座位表中，外延更加丰富，也可以从大量的材料中，寻找不同中的相同，由此让学生聚焦确定位置时的两个关键：方向和顺序。】
4.产生需求。
每次都用这么长的一句话来确定，表达烦琐，从而产生更简洁的表示方式的需求。
【从说清位置入手，聚类分析确定位置的两个关键，自然产生简明表达的需求。】
5.介绍约定俗成的行与列。
1.定位好教师角色“教师就是排球场上的二传手.”这是特级教师王海赳老师对教师角色的精确定位.我们都知道，排球场上的二传手将一传手传过来的排球轻轻一拨给主攻手，由主攻手完成致命一击.确实如此，在课堂教学中，教师要避免“一言堂”，要让课堂上发现问题的人和解决问题的终结者都成为学生.因此，我们在教学时要注意发挥教师“导”的作用，促进学生“学”的兴趣，“教”必须效力于“导”，服务于“学”，着眼于“诱导”，使学生变“学会”为“会学”.这样的课堂教学，以学生自主学习、自主思考为主，教师“退居二线”.但不代表教师就是讲得越少越好，有些教师谈讲色变，认为这与新课程理念相悖，一味追求课堂教学手段的花哨，将课堂变成“满堂问”，不加以引导，那教师就不是“二传手”，而是排球场上的“观众”了.因此，在教学过程中，需要我们不断探索，争取达到效果最优化.
2.控制好课堂节奏课堂教学的节奏是指一节课的张弛快慢及具有规律的变化.有经验的教师是非常讲究课堂节奏控制的.因为适度的课堂节奏能自始至终牵动学生的注意力，维系学生的热情，使课堂教学跌宕起伏，张弛有度，从而轻松愉快地实现教学目的，完成教学任务，提高教学水平.数学课堂节奏的控制包括讲练结合的合理度，动静结合度，学生思考时间的把握度等.比如，有的教师刚刚给学生提出问题，学生还没有来得及思考，就马上要求其回答，这样不仅浪费了学生课堂思考的时间，而且缺乏有效性.因此，教学时我们要给学生一定的思考时间和空间，符合学生的思维节奏，做到起伏有致，动静相生.
3.培养好学生的反思能力荷兰著名数学教育家赖登塔尔表示，反思是培养学生数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解能力就不可能从一个水平升华到更高的水平.新课程标准也指出，反思与构建思维的过程是数学思维能力的具体体现，因此，我们在课堂教学中应抓住机会，培养学生的反思能力，这是提高课堂教学有效性，培养学生数学能力行之有效的方法。这个结果让许多学生感到惊讶：“怎么回事？”“利用抛物线的定义怎么会错呢？”笔者不动声色，请学生对照圆锥曲线的统一定义进行反思：焦点F与准线l的位置关系有没有什么要求？通过反思，大家得出结论：圆锥曲线定义中的焦点不可能在准线l上，而本题中点F（1，0）在直线x+y－1=0上，因此点M的轨迹应该是直线x－y－1=0.科学有效的反思，为学生提供了在创造的沃土和新型的学习方式，使学生通过反思超越了认知层面，产生对自我数学认识的再认知，从而进一步提高课堂教学的有效性.
二、有效的课外作业助推高效课堂
数学作业是数学教学工作的一个重要组成部分，教师通过它反馈教学信息，检查课堂教学效果；学生通过它巩固所学知识.在新课程理念下，教师怎样设计作业模式，才能使它被课堂教学服务，又能服务于课堂教学，值得深入探索.笔者认为，课外作业应分类、分层.
1.分类作业课外作业可分为课前作业和课后作业.课前作业主要是问题探索类作业，主要是根据新授课内容设计相关问题，这些问题应处于学生思维水平的最近发展区，能激发学生的好奇心和求知欲，在新课前把这些问题作为预习纲要分发给学生，让学生带着问题去预习新课.例如，在“倾斜角与斜率”一课的教学中，可设计如下探究问题：（1）我们已经学过一次函数，并且知道它的图象是直线，试问：确定一条直线的位置需要几个要素？（2）直线倾斜角的定义中要注意什么？（3）倾斜角与斜率的关系如何？（4）直线的斜率如何用两点的坐标表示？它是否与两点的位置前后有关？课后作业是学生巩固课堂知识，提高能力的有效途径，教师应根据课堂内容编制题量适度、难度适中的课时作业，以便达到教学信息反馈的作用.
2.分层作业教师在布置课后作业时，必须充分考虑不同学生的学习水平，布置可选择性、有层次性的作业.布置作业的数量要适合，质量要高，避免进入“教师随意布置大量作业———学生应付作业———教师随意批改作业———教师再随意布置作业———学生再应付作业”的恶性循环中.为此，教师可根据课堂知识布置三个层次的作业，第一个层次是基本知识，安排3—4道填空题，这部分作业学生不会感到多大困难，要求全班学生都能完成.第二个层次的作业时对知识的掌握程度和灵活运用要求较高，即有一定难度的练习，一般安排2—3道解答题，布置作业时可给予必要的指导，让大多数学生能顺利完成.第三个层次是为学有余力的学生准备的，一般安排一道题，目的在于激励一部分学生继续深入学习，充分挖掘学生的潜能.因此，加强作业的管理与指导，避免超负荷、重复性、低水平的作业，给每个学生充分自主发展的余地，是实现高效课堂的助推器.
