关键词：小学数学 数学建模 可行性分析 渗透方法
中图分类号：G623.5 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2013）12-0225-01
随着素质教育的不断深化，小学数学教学模式更多地注重实际操作能力以及创新能力的培养，教师要不断地教授学生将所学到的数学知识渗透到数学实际中，培养学生建立数学模型的思维习惯，更加有效地提高学生在数学建模过程中的自主学习能力、与人协作能力以及创新能力。
1 数学建模思想的概念
数学建模思想，是指对现实实际中的问题抽象成一定的数学理论，运用已有的数学知识找到实际量与数学理论量之间的各种关系，并应用数学概念、定理及性质解决数学模型，进而解决实际问题的思路。
在新课程标准中，我们惊喜地发现除了基本的数学知识教学外，还有“实践与应用”这一模块意在培养学生的数学感知能力、数学符号概念、数学空间思维能力以及数学应用能力和推理能力，要更好地实践这一模块就必须在小学阶段的数学教学过程中，不断渗透建模思想，开展建模活动，提高学生解决问题的能力。
2 在小学数学教学中融入数学建模思想的可行性分析
在高等教育中，常常见到各种类型的数学建模比赛和数学建模活动，大学生本身具备了一定的思维能力和数学运用能力，运用数学知识建立数学模型来解决实际问题，这是无可厚非的，然而在小学数学中推广数学建模难免要考虑到小学生的思维发展特点、认知水平、生活习惯等各个方面的因素，这就涉及到在小学数学教学中融入数学建模思想的可行性。
2.1小学生思维发展特点分析
小学生的思维发展水平正处于感性认知高于理性认识的阶段，因此要在小学数学学习阶段渗透数学建模思想要考虑到数学问题的难度，不能太过抽象，也不能太过复杂，尽量使用简单而直观的生活实际问题，便于学生理解和感知。
2.2小学生认知水平分析
小学生已经具备了一定的认知水平，基本上能够分清楚知识的结构，也初步形成了数学建模的认知萌芽。尽管如此，小学生的建模能力还未系统地形成，因此教师教学过程中，善于寻找合理的生活问题引导学生建立数学模型，形成系统运用数学知识建立数学模型解决实际问题的习惯。
2.3小学生生活习惯分析
小学生的生活习惯决定了小学生应用数学知识解决实际问题的背景，因此教师在教学过程中融入数学建模思想要考虑到小学生的生活背景，不能一味地将不符合小学生生活领域内的数学问题建立数学模型。
3 如何在小学生数学教学过程中融入数学建模思想
3.1利用课堂时间，培养学生数学建模思想
小学数学教师在备课阶段要设置一定的数学情境，在授课阶段抽出一定的时间给小学生机会去感知数学建模思想，启发学生去运用数学知识建立数学模型，长此坚持，就能够养成小学生运用数学知识建立数学模型的习惯，有助于培养学生的数学建模思想。例如，教师利用十分钟时间给学生布置一个简单的数学问题，让学生畅所欲言，表达自己运用何种想法来解决这一问题，不断地培养学生数学建模的思维能力。
3.2联系生活实际，引导学生建立数学模型
如果能够将小学生已有的生活习惯和生活实际引入数学课堂，借助生活习俗来建立数学模型，小学生会感知到数学的强大作用与实际应用，更有效地帮助学生应用数学知识建立数学模型。例如在讲授长方形的面积求解的知识时，引入这样的问题：生活中家里装修要铺地，我们该如何计算地板的面积呢？通过引导帮助学生认识要解决这一实际问题，还需要运用求解长方形面积的数学知识，进而建立简单的数学模型。
3.3参加课外活动，拓宽学生数学建模能力运用的领域
教师不断鼓励学生参与一定的课外活动，既能够拓宽学生的视野，又能够创设发现数学模型的机会，在实际参与课外活动的过程中，教会学生遇到问题学会运用数学建模思想来解决，提高学生解决实际问题的能力。例如教师可以在业余时间带领学生参观工厂、商店、菜市场等生活场所，鼓励学生发现问题并自己建立数学模型去解决；也可以定期举办小学生数学建模成果展示活动，鼓励小学生将自己运用数学思维建立数学模型解决实际问题的成果分享给大家，增强学生数学建模的自信心。
综上所述，我们不难发现，在小学数学教学过程中深入融入数学建模思想是一个长久而缓慢的过程，需要学校、家长、教师以及学生的积极主动配合。本文通过阐述数学建模思想的概念、融入数学建模思想的可行性分析、融入数学建模思想的方法三方面的论述讨论了在小学数学教学活动中如何有效培养学生的数学建模能力，希望本文能为同行们带来帮助，为小学数学的发展做出贡献。
参考文献：
[1]彭保荣，温小军，罗云桂.谈社会转型背景下数学建模思想的合理定位[J].教育与职业，2007年27期.
论文摘要:根据建构主义理论和在高中数学活动课中的教学实验，总结出两种高中数学活动课教学模式:数学探究实验活动课模式和数学小组讨论汇报活动课模式，并分别给出操作程序及操作建议。
建构主义学习理论认为，知识是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助教师和学习伙伴等其他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。所谓“意义建构”就是学习者对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间的内在联系达到深刻的理解。这种理解即所学内容的认知结构。学生学习的成效取决于学习者根据自身经验进行意义建构的能力而不取决于学生记忆和背诵教师讲授内容的能力。而对知识的自主“意义建构”是整个学习过程的最终目标，也是建构主义的核心思想。建构主义教学有一定的模式，统整不同派别的建构主义观点，其教学模式主要有以下几种:“情景意义”引发的“情境性教学模式”，“协作与会话”引发的“抛锚式教学模式”，“意义与经验”引发的“支架式教学模式”和“自主与反省”引发的“随机进人教学模式”tl]。2002年，笔者被南京市教育局选派赴澳大利亚昆士兰理工大学学习，每周前往布里斯班州立高中听课，最吸引我的就是他们课堂教学采用的建构主义观点下生动活泼的教学模式，特别是活动教学(Activites)。如通过测量自己手臂尺骨的长度与身高的关系来推断是谁杀了古猛玛象，通过一盒M&M糖豆而展开的有关面积、体积、概率统计的有关运算等。实际上，在1991年颁布的澳大利亚国家数学课程标准中，每一个教学内容均附加了可操作的相关活动例子，以便教师选用。
建构主义教学理论也对我国中学教学改革产生了重大影响。我国即将全面推行的新一轮课程改革也把建构主义思想贯穿其中。高中数学新课程标准中提出:“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，而是渗透在每个模块或专题中。其中数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括:观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明”。这些要求体现了建构主义“在活动中学习”的精髓。
本文在学习建构主义理论及模式的基础上，结合自己国外考察和多年的实践探索，根据我国国情，总结出两种高中数学活动课的新的教学模式:数学探究实验活动课模式和数学小组讨论汇报活动课模式。
一、数学实验活动课模式
本模式的理论基础，融建构主义与布鲁纳的“发现学习”理论为一体，在教学顺序上体现人的认知发展规律，通过数学实验操作，感悟和发现新的数学知识，并在活动中使新的数学知识与原有的数学知识不断沟通，归纳总结形成具有一定整体性和相对独立性的“知识块”，纳入原有的认知结构，使知识结构拓展和延伸，达到意义建构。
本模式的操作程序可描述如下:
选题准备*实验操作*观察感悟*归纳建构*拓展交流
上述操作程序的操作说明和建议如下:
1.选题准备阶段:选择适合动手实验的题材，使学生有兴趣、有可能动手操作又能达到教学目的，是数学实验活动课成功的关键。实验题材主要从现行高中数学教材中选择，大体有如下几类:测量验证类(如通过测量三角形的边和角的大小，推证正弦定理等)、作图发现类(如椭圆的扁圆程度与离心率等)、统计归纳类(如几何概型的投针实验)等，笔者还曾尝试让学生通过“试误”类比产生新概念的实验活动课。另外，前已述及，澳大利亚国家数学课程标准中，每一个教学内容都附有可操作的相关活动例子，所以还可从国外数学教材中选用。选题确定之后，教师除作好实验设计外还要计划实验材料的准备。
2.实验操作阶段:在建构主义的活动课堂上，教师要把主角地位让给学生，但一定要当好设计师和引导者，学生在课堂上既要充分活动，又不能过于发散。
3.观察感悟阶段:这是学生从动手操作活动的层面深人到思维活动层面的阶段，是数学活动课的核心环节。在给学生充足的思维时间和空间的基础上，教师应给以适当的点评，要重视学生思维过程中存在的问题，同时鼓励学生大胆想象，鼓励直觉思维，这在引导学生探索发现数学规律方面，将起画龙点睛的作用。
4.归纳建构阶段:这阶段从特殊到一般，从部分到总体，让学生体会数学概念和定理的由来，掌握研究数学的一般方法。当学生的假设被时，教师要引导学生重新提出假设，当学生的假设被证实后，教师要引导学生用科学的语言概括结论，将证实的结论上升为概念或定理。
5.拓展交流阶段:即我们常说的运用和反馈阶段。在实验活动课上，师生互动交流和生生互动交流，贯彻始终。学生通过合作、交流，获得他人的认可，得到老师的鼓励。老师有意识地将本题材发现的方法从方法论角度进行归纳总结，促进学生的进一步拓展研究，培养学生钻研数学的精神和表达数学的能力。
二、数学小组汇报活动课模式
本模式的理论基础是由建构主义学习理论发展而来的“合作学习”理论。合作学习强调学生学习上的合作与交流。每个学生都有自己的知识基础，对于教师提出的数学问题，或者他们各自有各自的理解，或者他们各自可能无法解决这个问题。本模式先经过小组内的合作交流，再运用班级汇报的形式，各人把自己的认识、理解和有关信息表达出来，最后经过比较、组合和融合，就可能解决这个问题，使大家都有收获。
本模式的操作程序可表述如下:
明确问题*自由分组*分工合作*成果汇报*讨论评价
上述操作程序的操作说明和建议如下:
1.明确问题阶段:教师结合本课程教学计划内容和学生的学习状况，选择适合本模式的主题。提出课题后，必要时，教师可列举围绕主题开展的活动要点及与主题有关的数学知识，供学生参考。笔者曾选用苏教版普通高中课程标准实验教科书必修3中关于统计和概率知识应用的探究拓展题，该课题是以柯南道尔的侦探小说《跳舞的小人》及美国作家爱伦·坡的小说《金甲虫》中利用英语字母使用频率破案引出的，要求学生从网上找若干篇英文文章，用计算机统计26个英文字母出现的频率并由此估计它们在英文文章中出现的概率。我在所任教的高一班级就此问题组织了分组讨论研究，并请其中的三个小组进行了全班汇报讨论，取得满意的教学效果。
2.自由分组阶段:学生在了解教师所选主题以及相应的活动要点后，自由结合成研究小组。教师一般不干涉学生的自由分组，但可在每组人数上加以控制，必要时可征求学生意见后进行微调。
3.分工合作阶段:学生以小组活动的形式，根据活动任务，制定活动流程，分工合作开展研究。在这一阶段，学生是探究者、合作者，教师是学生活动的支持者、观察者，当然也可以是参与者。当教师观察到某小组无法按照预定方案进行活动时，应该给予一定的策略性支持。
4.成果汇报阶段:这是学生呈现、反思评价活动成果的阶段。这里允许学生用各种可能的表达方式展现相应的成果。以小组为单位，在课堂上向大家汇报研究成果，是小组讨论汇报课的主要表现形式。
5.讨论评价阶段:这一阶段包括学生个人对自己研究内容和表现的反思，学生之间通过相互评价达到再认识，教师在与学生交流中给予正面肯定以及教师通过设计评价表或问卷收集学生的意见，学生记录活动中获得的经验、感悟及研究结论等。
关键词：高校数学；教学效果；网络资源；人文教育
在高校数学教学互动中，推行人文教育工作改革，需要教师转变教学理念，倡导更加深入的素质教育模式的工作应用探究。倡导高校数学教学中的人文教育改革，在于加强高校数学教师自身的人文素养。并且要在高等数学活又校挖掘数学学科的统一之美。倡导在数学学科知识的学习活动中，深入把握数学理性的精神，强调考虑问题的全面性建设，并且显著增强学生的逻辑思维能力。
一、在高校数学教学中推行人文教育改革的重点
推行高等院校教学中人文教学模式改革，重点在于开发数学课程教学活动中学生的独立思考能力。在教学活动中，使用多媒体教学法，为学生提供充足的学习素材，然后给予充足的时间供学生独立思考，这样才能够挖掘数学人文教学中的理性思维价值。
在人文教学活动中，我们以函数、极限与连续的知识板块为例进行练习。鼓励学生使用综合和分析的思维方法来解决问题。在极限类问题的求解活动中，不断地探究极限的多种求解方法，让学生能够更加全面的思考问题。开展学生自主学习能力培养，需要教师以实用性知识教学为主，发展学生的高层及思维能力，在教学活动中以学生为主体、以问题为中心，培养有一定数学能力的学生。学生是数学学习的主体，教师应该加强引导，鼓励学生的探求研究活动开展。大学数学课程教学是教学活动中的重点，教师在教学活动中应该采用“小组式”教学方法来提高学生学习的自主能力。
二、高校数学教学中的人文教育教学模式建设的探究
（一）强调教学模式改革，提升学生独立思考能力
在教学活动中应用“X+1”的模式，强调在教学活动中将多节理论课与一类数学模型教学内容相结合，在板块化的教学活动中，引导学生更加深入地了解专题性系统化知识内容。引导学生自行成立建模讨论小组，并且对数学模型的作用进行分析，根据模型中不同数据的变化情况，进行对应值的设定。
在教学活动中，教师应该坚持以人为本的教学方针展开教学工作。其中，教师应该积极采用社交软件与学生进行深入沟通和广泛交流活动。向学生了解课程学习中的难点内容，并且重点对这部分内容进行讲解，从而帮助学生查漏补缺。在数学题连续性的考察中，学生可以通过小组讨论的方式，完成视频课程的探究版块内容，并且及时地处理与之对应的课后习题。学生应该更加熟练地掌握常考题型的解决思路，并且要在大量的习题训练中掌握解决极限、函数类型题目的一般性方法。
（二）强调理论联系实际，开展数学史专项学习
在数学教学的人文教学模式的建设活动中，教师应该对知识专题的历史发展背景进行介绍，为了激发学生的学习兴趣，可以采用创设具体情境的方式，让学生所学到的数学知识解决生活中的问题。
比如，使用数学方法进行海上航行期间，根据旗杆与灯塔的角度，进行船与岸上距离的计算，这种数学计算活动与实际相贴合，具有较强的实用性。在高等院校数学人文教育模式探究活动中，教师应该不断提高个人的人文素养，通过阅读大量数学大家生平事迹简介的方式，了解前辈克难奋进、锲而不舍攀登数学巅峰的艰辛之路。学生不仅能够在习题训练中强化个人的数学能力，还能够了解该项数学知识产生和发展的历史进展情况。鼓励学生开展更加深入的数学探究，可以组织学生进行数学史的学习。向学生介绍伟大的数学家的生平事迹，并且让学生在数学史的学习过程中，进行情境延伸，让学生简述专项知识板块对于推动社会发展和文化进步的作用。
（三）开展理性思维建设，培养集体探究意识
在数学课程人文教学活动中，强调理性思维的运用，能够有效地避免学生在思考问题中出现局限性。
我们以导数与微积分的知识联系分析为例进行分析，强化对于学生导数定义知识体系的考察工作，到学生充分理解导数的定义之后，再对学生微积分知识的理解水平进行开发。其中，强调对于导数与极限两个板块的结合考查，有利于发掘学生的理性思维价值。强调对于导数的性质考察，要求学生学会利用导数的基本性质来求极限值，从而解决更多复杂的问题。在教学活动中，可以邀请小组长作为学生代表进行课堂知识讲授，从而帮助学生在讲述和推理中养成更加缜密的逻辑思维。在小组讨论活动中，培养学生的集体学习意识，学生不仅能够互帮互助，还能够在集思广益的学习活动中实现思维观点的碰撞和交流。在课程导入阶段，教师应该为学生的集体讨论确立一个明确的合作目标，从而在指导合作的过程中提出有益的指导性建议，鼓励大家对一道难题从多个角度来考虑解答方案，从而提高学生的思维活性。
三、结束语
在数学学习过程中，采用分组的方式充分调动学生的参与意识，在“X+1”的模式中，强调将数学理论应用与生活中具体难题的解决中。这种情景的创设不仅能够使得学生耳目一新，还能够引发学生关注社会、关注数学发展产生浓厚的兴趣，很自然地把学生带入到自主探索的轨道中来。力求做到以理论知识促进对数学模型的理解和建立，以数学模型案例练习检验与巩固该阶段理论知识的掌握和应用。
参考文献：
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作者简介：
构建合理的培训体系构建科学合理的数学建模培训体系，建立数学知识与专业课知识的课程融合体系，可以从以下几个方面着手。（1）每年年底，为下一年竞赛做好准备工作，包括给全校学生作数学建模普及性讲座和针对性的动员讲座、组织学生报名和选拔。（2）每年定期组织培训，培训学时约60—72课时，精选内容、总结多年竞赛经验、精选培训内容。重点为规划论及最优化方法建模、模糊数学与综合评价方法建模、层次分析与多目标决策方法建模、微分方程与差分方程建模、图论建模方法与应用。（3）在培训结束后以实际竞赛性建模比赛进行全校性选拔，确定参赛队员的名单，再对他们进行集训。对参赛队员进行强化训练（集训），内容包括:中文Word排版，Excel、Matlab、SPSS、LINGO等软件的使用，国内外数学建模竞赛题目及论文的阅读、讲解和模拟竞赛。（4）每年定期对参赛队员进行训练、模拟比赛、讲授论文和摘要的写作要领等内容，让他们作好充分的准备，以较好的竞技状态迎接比赛[3]。
内容及思维培训（1）培训的内容主要包括四个方面一是经典模型。在模型的发展史上，积累了很多经典模型，这些模型大多可以作为其它模型的子模型，其算法有很强的实用性，如存储模型、对策模型、网络模型、生物模型、军事模型、规划模型、微分方程模型等[4]。二是常用算法。包括优化算法、动态规划算法、网络算法、数值算法、近似算法、遗传算法等。三是精讲试卷。广泛搜集国内、国际数学模型试卷，按照竞赛的程序，分类进行实战演练，要求学生在规定时间内交出论文，然后讲解分析这些试卷，使学生快速掌握试卷的答题技巧和出题风格。其目的是使学生在论文点评与案例分析指导下，不断发现和改正存在的问题，全面提高建模水平，掌握竞赛的必要技巧。四是计算机实用知识的培训。主要包括计算机信息检索、资料查阅、写作格式、常用的数学软件等。严格规范论文写作。训练论文规范性三大部分内容：（1）摘要部分。训练学生掌握字数在200~300字，概括论文中模型的主要特点、建模方法和主要结果。（2）中心部分六要素训练：①问题提出、问题分析。②模型建立：补充假设条件、明确概念、引进参数、模型形式（可有多个形式的模型）、模型求解。③计算方法设计和计算机实现。④结果分析与检验。⑤讨论模型的优缺点、改进方向、推广新思想。⑥参考文献。（3）附录部分：①计算程序、框图。②各种求解演算过程、计算中间结果。③各种图形、表格和论文写作的技巧。学生通过第三阶段的专业训练，在写作竞赛论文时就有了较好的经验和常识,同时也提高了学生在以后毕业设计和论文的写作水平，增强了综合素质[5]。（2）注重思维上的培训一是要求学生敢于用数学语言描述现实世界的事物和现象，要求学生大胆猜想，养成理论联系实际的数学思维习惯。二是在问题的探究过程中，加强直觉思维的训练。为学生创设自由想象与自由发挥的空间，激励学生于无疑处见有疑，发现别人没有发现的潜在解决问题的方法。从而解决思考问题上的单一化、教条化、规律化，在数学建模竞赛中，能从多个角度、多个层次、多个方法上去思考和理解问题、分析问题。三是将问题进行类化比较，培养学生的转换能力。转换是运用已有的知识和经验从一个事物迁移到另一个事物、从一个现象联想到另一个现象、从一个过程变换成另一个过程、从一个模型变换到另一个模型、从一种方法变换到另一种方法的心理活动。通过问题的类比转换找到事物间的联系，找到解决问题的途径，使学生在实际问题的探究、发现过程中培养思维品质的灵活性、创造性[6]。四是通过阶段性的建模和查证，逐步建立起完善的模型。从简单模型入手，通过改变和复杂化问题的假设最终建立起相对合理和完善的模型，这是一种数学建模的基本思路。同时，要让学生明白，在数学建模竞赛中，同一个问题从不同的角度去理解，会获得不同的数学模型和求解方法，没有唯一的正确答案，只有抓住问题的本质，通过创新找到解决问题的最佳方案[7]。五是加强学生的正向思维转向逆向思维训练。让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。
数学建模培训形式（1）分组形式学习数学建模培训不再像其他课程以个体为单位进行学习，在开课之初先请学生自愿组合成若干个学习小组，可以从优势互补的意向出发，一个小组的组合中要有数学基础较好、编程及计算机的使用较熟练、写作表达能力较强成员组合为最佳，一般三人为一组。课程考勤、作业、考核皆以小组为单位进行，课堂上开展小组讨论并上交课堂作业的研讨结果，课外作业也是要求小组集体充分研讨之后完成上交[8]。在该阶段可以达到两个目的：一是组建最佳的学生小组团队，实现磨合加优化调整；二是构建参赛学生完整的数学知识，提高计算机技能以及建立数学模型能力，使之相互学习,取长补短，达到“1+1>2”的最佳状态。（2）互动式教学数学建模培训，主要是靠同学们自己去学，这能充分调动同学们的积极性，充分发掘同学们的潜能，培训中广泛采用讨论方式与课后自习为主要手段。在数学建模培训中，以开拓学生的思维方式为主，在课堂上对一些并不复杂的问题，让学生尽可能从多角度去认知，大胆提出各种不同的解决方案，然后让大家共同讨论在处理问题时有哪些谬误，有哪些创造性的思想，有哪些独到的见解，分析比较不同解决方案的优缺点。课堂上，同学们自己报告、讨论、辩论，教师主要起引导、质疑、答疑、辅导的作用，这不仅大大提高了学生的表达和交流能力，同时培养了学生探索发现、自主思考、团结合作的能力。
针对高职院校特点，特殊培训高职院校有着其特殊的情况，必须同本科院校有所区别。因此，须充分利用好高职院校的资源，认识学生的不足，提出几点建议：（1）提前进行培训，合理安排课程内容其一，高职院校学生的数学基础与本科学生基础相比薄弱得多，因此必须提前进行培训。其二，学生在校时间只有3年，所学数学知识大多集中在一年级。若等所有数学课程都学习完成后再进行培训，则时间太过仓促，不利于思维的培养。所以，可以在大一时候就开始进行数学建模的培训，提前做出准备，强化理论知识与模型思维。其次在课程的选择上，应有所先后，因为学生在大一的数学课程学习过程中，是按照极限、导数、积分、微分方程这样的顺序来学习的。因此，在课程选择上，注意初期应避开未讲解到的数学知识，可以选择性的讲解如线性规划、图论、最优化、概率组合建模等内容。在学生学习相关知识后，再进行微分方程与积分思想等模型的讲解。通过该方法，可以有效利用时间，使得学生有一个长期的数学思维培养过程。（2）与专业实际结合，实战演练高职院校注重职业能力的培养，高职院校中的许多专业与生产实际结合得非常紧密，因此可以与专业知识充分结合，以达到学生实战演练的目的。可以针对全校各专业征集实际问题中所遇到的有价值的困难题目作为建模题目。例如，汽车工程系在生产、技术开发中所遇到的相关问题；建筑工程系中项目研究中所遇到的相关难题等等。这样学生通过实际运用，培养自身的建模能力。同时，通过建模所得结果，对实际进行指导和验证，有助于实际问题的解决。同时，也充分利用和开发网络资源，及时跟踪最新的时代问题。例如：奥运场馆建设问题、房地产决策问题、电力资源调配问题等等，都可作为数学建模的讨论题目。值得强调的是，在建模题目的选择上，应适当突出它的实践性和科普性。
作者：邹伟龙 单位：重庆电子工程职业学院，
关键词 高等数学教学 数学建模 分组教学 数学理论应用 理论实际结合
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2016.10.042
Abstract This paper starts from the effect of advanced mathematics education， proposed a teaching method according to the students' majors， teaching students in accordance with their aptitude， that is， the mathematical modeling as an important means of teaching. Through this method， teaching can be more efficient to carry out the teaching of advanced mathematics.
Keywords advanced mathematics teaching； mathematics modeling； group teaching； application of mathematics theory； combination of theory and practice
0 引言
所谓素质教育，就是通过一系列教育手段提高学生的综合能力，从而提升其内在的价值也就是整体素质，最终目的是增强学生未来的竞争力，为社会输送更优质的人才。如何能高效率的进行高等数学的教学，是目前各大高校教育中的一道必答题。这里讲的高效率有两层含义，第一层是指如何让学生尽快掌握数学概念，理解各种数学知识，指的是学习速度；第二层含义指的是学生学习所能达到的深度，对数学知识的领悟程度，最终是否达到精通。而从目前的传统的高数教学来看，学生普遍反应学习缓慢，理解起来困难，几乎无法入门，更不要说精通了。这个现象是源于数学这门课程的特点。数学是一门理论性极强，对逻辑思维要求极高的学科，抽象是这门学科的最大特点。然而我们人类自身更愿意接触实际性的，形象性的东西，这就存在一个认知反差，因此大多数学生并不能顺利的从形象性思维跳跃到逻辑性思维，因此高数学习就成了一个老大难问题。所以我们这里给出一个可行的教学方法，从应用终端入手，将数学建模与高等数学教学相结合，从而提高高数教学效果，促进素质教育。
已经有一些初步的研究结果表明，通过数学建模相关的教学方法对高等数学教学有较好的促进作用，我们在本文中将对数学建模在教学中应用做更进一步的探讨。
1 从更深入的角度理解数学建模
我们要将数学建模有机的融入到高等数学的教学过程中，就需要让学生对什么是数学建模有个深刻的理解。
所谓数学建模的过程，就是用数学的语言对现实世界中某些实际对象进行描述，以期发现一些直观观察无法得到的规律。我们把在各行各业中，我们从事各种专业的生产生活中准备作为对象进行模拟的现象或者案例叫做原型（Prototype）。原型可以是看得见的过程，比如电心脏血流过程、建筑过程、金属加工等。也包括无形的过程，如人口增长、感冒传播流行过程、动物的昼夜节律等。对于这些原型的数学建模，首先我们要对原型进行特征提炼，将其抽象化。这个抽象的过程其实我们不光在数学上，在生活上也经常用到，比如照片、化石、地图等，都从一定侧面上反映了它所代表的事物，但是又有所不同，描绘了其一部分特征。在数学建模过程中所选用的模型需要有如下特征：（1）模型可以从某个方面对客观事物的某个或者某些属性进行概括。一个优秀的模型，必须能准确的描述原型的一定特征。（2）模型在建立的过程中，要充分考虑到原型内部和可能改变原型状态的因素。原型不是孤立存在的一个奇点，其内涵中包含了许多运转规则，并且受到外因的影响，这样我们建立模型的过程中，要把这些内容条理清晰的考虑在内，将主干部分抽提出来。（3）模型必须清晰的将原型运转过程中各个要素之间的关系展现出来。作为一个完备的模型，仅仅是将因素描述出来是不够的，要将这些因素之间的相互关系做数学的阐述。这个过程中就需要进行实验，也就是数学建模过程中所常见的数学实验。用合理的实验来获得模型所需要的一切信息，如公式中的参数等，才能完成模型的建立。而这个实验过程，就是我们准备在实际教学过程中让学生着重掌握的内容。以往关于数学建模的教学，经常是注重前面两点，而忽略了实验过程，所以收效有限。本文所倡导的数学模型相关教学过程则把实际的数学实验与模型建立放在更重要的位置。这样才能让学生在解决具体问题的过程中，更深入的掌握数学知识。
数学模型目前从不同的角度，有各种不同的定义。本文中所指的数学模型，是通过提炼准备描述的原型的某些特征，通过刻画和演绎推理，将实际问题转化为数学表达式的形式。在这个表达式中，我们可以通过检测其中的参数来获得一些相关于原型的信息，并且因为信息的简化，可以更容易将繁杂的过程简化成一个易于观察的对象，可以成为我们更深入的认识这一原型的工具，具有抽象化、准确性、演绎性、预测性的特点。
2 明确数学建模在数学教学中的定位
高等数学的教学发展多年，随着环境的变化，对数学教学的要求越来越高，这就给广大的高等数学教育人员提出了新的挑战。高等数学教学以前只传授书本上的知识，通过大量习题让学生一步一步的掌握数学知识。但是现在由于各种因素的影响，学生越来越难通过这样的方式来掌握数学原理，学习困难的同时会带来一定的惰性，很容易陷入“学不会，不想学”的怪圈；学生学得吃力，教师也教得吃力，很多教学人员会感慨，“学生大不如前了”。于是一再降低教学难度，以期让学生可以理解，但是这样依然是一个恶性循环，学习的内容和深度降低，会对学生将来在实际工作中应用数学能力产生很大的影响，没有一个良好的数学背景对于学生来讲无疑是一个重大短板。因此，我们教育工作者需要思考一种更能被学生接受的教学方法，使得学生在未来的工作中可以将数学知识活学活用，真正让这门工具学科成为自己手里的武器，而不是横亘在眼前的绊脚石。
多年来，很多教育工作者在为了数学进行不同的尝试，数学建模的强化学习方法就是其中之一。这是一种很优秀的教学体系，具有很多传统教学方法所不具备的优点。数学建模的教学方法可以更贴近于学生所学专业的实际，学生会有更大的兴趣参与其中。高等数学是一门必修课程，绝大多数的学生非数学系本专业，没有特别强烈的数学学习兴趣。因此，如果只是简单地进行课堂教学，通过习题来掌握数学原理，学生会很不理解数学学习的目的，甚至会产生“这个课程跟我有什么关系”这样的想法。而通过数学建模与学生所学专业相结合，根据学生所处的专业选择合适的原型，让学生在解决问题的过程中巩固数学知识，可以让学生更深刻的认识到数学在自己学科实际中所起的作用。同时，根据联合记忆的原理，学生可以通过实际的数学实验过程更牢固的掌握所学的数学原理。换句话说，利用数学建模方式的教学，理应处在一个更高的优先级中，起码是应该和传统的教学方法平起平坐，做到从理论到实践，再从实践更深入的理解理论这个良性循环，从而促进高等数学的教学效率，不但提高知识的理解速度，还可以加强知识的理解深度。
3 数学建模方式教学的实施方法
通过数学建模的方法进行教学，这是一种创新性的尝试，对教师提出了更高的要求，需要对这一教学方法进行仔细的思索，寻找到真正合适的实施手段。我们可以按照如下方案实施：（1）分组进行学生协助教学。在数学建模这种方式中，我们需要压缩传统的教学内容时间，这样，是否能在有限的时间内对知识进行有效吸收就成为一个新的难题。如果片面的强调进行数学实验，基本原理都无法理解的话，极有可能得不偿失。所以我们可以将学生分成若干小组，小组不宜过大，以10人左右为宜。在从初期一些较为简单的课程中尽早进行适量的课堂测试，根据测试结果将每个小组中理解能力较强的学生设置为小组长。这样在今后的课程中，布置一些小组自帮活动，可以让没有十分透彻理解课上所学知识的同学首先通过询问更优秀的同学来获得解答。同时将来进行数学建模实验时候，整体指令之后，可以将各个小组长集中起来以小班教学的方式额外进行一些点播，再由他们来传递思想。通过这样让学生分组成为小老师的过程中，已经极大的提高了学生在高等数学教育中的参与度，参与度越高，学生就越有兴趣进行学习。（2）根据不同专业的学生提供不同的数学建模题目。数学建模的教学过程，自然是很大一部分时间是要进行数学建模实验，而实验题目需要根据学生所处专业进行特殊设计，这就要有足够的时间进行准备。所以，在进行教学之前应该尽早排出课程表，提前至少2个月时间让教师知晓下一学期所教授的学生隶属于什么专业，教师可以提前进行调研，明确应该选择什么样的数学建模课题进行实验。同时，安排课程根据教师团队的自身情况进行统筹，原则应该是任课教师更容易针对该专业进行实验方案的选择。（3）数学建模实验分组进行。教师在公布数学实验方案之后，由各个小组长组织组员一起对题目进行分析调研。数学实验对于学生来说是较为陌生的，教师可以先选择一两个案例作为样本，向学生阐述数学建模的过程，以及可以达到的程度。在这个基础上分组进行问题解决，组织讨论过程，逐步进行数学模型的完善。并且所出的问题可以由简单到复杂逐步进行，切合所学知识。最初的课题可以是简单并且有正确唯一答案的，随着学生能力的提升，可以给定一些无唯一最优模型的，由学生自行摸索和探究，各个小组可以通过组内讨论获得自己小组的最优模型，再和其他小组相比较，教师在其中可以参与分析和指导。这类没有唯一解的课题，可以让每组学生整理成文章的形式，详尽的阐明本组建立的模型的特点，以及可以解决或者预测怎样的情况，再由教师对他们的成果进行分析。
4 评价体系
由于采用了将数学建模融入传统数学学习中的教学方法，相应的评价体系也应该有所更新。学生的课外活动与实验增加的情况下，可以将考试分数所占的比重降低至50%以下或者更低，而将数学实验的完成程度作为考核标准。学生在建模过程中的表现以及论文撰写所体现出的参与度也应该有相应的体现，从而让学生有更高的兴趣参与到数学建模的教学中。
5 总结
综上所述，我们一线高等数学教学工作者可以通过数学建模的方式进行教学，提高学习效率，让学生更深刻理解数学学习的意义。在这种以实践为基础的教学过程中，不但学生会更好的将数学融入到自身专业课程中，教师也通过事先的调研对数学的应用有新的认识，真正实行教学相长，是一种行之有效的教学方法，值得我们广大教师尝试。
参考文献
[1] 叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学课的教学中[J].工程数学学报，2003（8）.
[2] 常浩.数学建模思想方法融入“高等数学”课程的教学改革思路[J].高等理科育，2009（2）.
关键词：探究学习；小学数学；教学模式
随着课程改革的逐步实施，越来越多的人开始意识到学生被动学习的弊端，意识到小学数学的教学中存在的问题。传统的单一、被动的教学模式容易使学生逐渐丧失主动探索和合作学习的能力，教师对于探究学习缺乏最基本的认识，不知道如何改进传统的教学模式，激发学生的探究精神，并且教学理论只有构建成教学模式才能够真正地被贯彻实施。因此，通过实验研究，构建完善小学数学探究式的教学模式，培养学生的创新精神和实践能力就显得极其重要。
一、模式的理论基础
教学模式是在教学理论和思想的指导下构建起来的，小学数学探究式教学模式的理论基础主要有三个，分别是建构主义理论、再创造教学理论和问题解决理论。
1.建构主义理论
数学的建构主义理论说明数学的学习过程不应该是被动的接受，而是学生主动求知的过程，同时，新课改的教学理念倡导的是让学生不仅仅学到知识，更要了解知识产生的过程，这也是构建主义的原理体现。数学具有高度的抽象性，为了让学生更加容易地学习和理解数学知识，在数学教学的过程中教师要注意让学生在参加数学活动的过程中，通过实际的操作、交流和反省主动地去构建数学知识体系。通过这个过程，学生能够在思考和反省的过程中加强对于数学的理解能力，从而更好地学好数学这门学科。
2.再创造教学理论
再创造教学理论认为数学的学习过程就是一个再创造的过程，对于新知识的学习本身就是由旧知识来解释新知识，在具体的学习过程中，包括对数学知识的概括、观察、类比等，通过这些对数学知识进行再创造和再发现。
3.问题解决理论
重视数学问题解决理论的原因主要有以下两个方面：其一，数学问题的解决实际上是数学发现、创新的过程。其二，通过解决数学问题，可以激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创造力。
二、模式的教学目标
目标在教学模式中起着核心作用，对于其他因素都有着制约效果。当学生围绕着一个问题进行主动探究和合作交流时，他们实际上就在经历数学知识的产生和发展过程。小学数学探究模式注重提高学生的探究能力和学习方式的转变，在教学中培养探究意识和团结协作意识，达到知识和实践能力共同发展的目标。总的来说，其核心目标就是重视发展学生的创新精神和实践能力的综合性素质。
三、模式的实施程序
1.创建问题情境
有问题才有探究，探究式教学模式的核心就是要创建问题情境，确立需要解决的问题。
问题情境是教师在教学过程中为了引导学生学习某个特定的课题而设置的包括迷茫、冲击等心理刺激，学生对此感兴趣但又没有办法去解决它。情境中的问题需要与学生现有的知识程度相符，但又需要通过一定的努力才能解决。学生对问题产生兴趣，就能激发学生的探究精神，激发学生的兴趣，促使学生提出疑问，明确探究的方向，带动思维的活力。
2.创建数学模型
教师要注意引导学生从数学的思维角度出发，探索解决问题的方法，在一个看似实际的问题中概括出抽象的数学知识，把常识提炼为数学，促进学生更加深刻地理解知识。可见，建立数学模型在构建小学数学探究式教学模式中是至关重要的。
3.解释应用
数学知识来源于生活，又对生活有着反作用，知识不仅是作为理论存在的，只有知识被运用时，才能够显示其作用和功效。在小学数学探究式教学模式中，教师要引导学生学会从日常生活中提炼数学问题，并且引导学生运用平时所学的理论知识去解决实际出现的问题，培养学生活用数学的意识和观念。现实生活中的数学问题往往是混合了许多信息以一种综合性的方式出现的，将这种方式引入课堂，让学生在实践活动中学习数学，了解到数学和现实生活之间的密切联系，增强应用数学的意识。
四、模式的教学策略
1.保持和谐的师生关系，营造良好的探究教学课堂氛围
和谐的师生关系，良好的教学氛围有利于激发学生的内在情感和动机，保障了学生主动参与探究学习。具体来说，要改变以教师为中心的教学模式，变为以学生为中心，教师要从知识的传授者变为学生发展的引导者，平等地对待每一个学生，鼓励学生提出问题，允许学生犯非原则性的错误，营造和谐、自由、民主的课堂教学氛围。
2.组织形式多样化的探究活动
教师要鼓励学生主动参与、实践和思考，引导学生亲身经历整个过程。教师应该是探究活动的组织者和引导者，促使学生亲身经历探索知识的过程，在这个过程中让学生既能够感受到探索的艰辛，又能够感受到成功的喜悦，还能逐渐养成自发探索的习惯，提高探究知识的能力。
小学数学探究式教学模式反映了当今时代的要求，重视教师的主导作用，使学生成为课堂的主人和学习的主人，既能培养学生主动探究的能力，又能提高教师的专业水平。小学数学探究式教学模式是符合我国课堂教学的实际要求的。但是探究式教学模式并不是唯一的教学模式，学习的综合性要求我们要综合使用多种模式或者根据实际情况进行选择，从而提高课堂的教学质量。
参考文献：
1.罗旭梅.“探”有学问，方能出彩——浅谈小学数学课堂教学中的探究学习[J].吉林教育，2011（22）.
关键词：小学数学；教学模式；主体性；探究
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）13-280-01
主体性数学课堂教学模式，是以充分发挥学生的能动性、主动性、创造性为前提，以创设民主、宽松、和谐的教学氛围为条件，以教师激励、指导学生自主学习、主动建构为特征，以促进学生发展为目的的一种教学模式。
一、小学数学主体性课堂教学模式建构的依据和结构
1、小学数学主体性课堂教学模式建构理论依据
根据教学规律，教师与学生都是教学过程的参与者、承担者和维护者，也是教学过程的受益者。通过教师的教促进学生的学，使学生在学习过程中能充分发挥能动性、自主性和创造性，成为学习的主体；反过来教师在指导学生学习过程中，受学生反馈情况的启发与激励，又不断进行自我提高自我完善。《数学新课程标准》也指出有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，构建主体性课堂教学模式就是要为学生之间、师生之间提供民主、平等、和谐、合作的人际关系和学习氛围，使学生与教师都能获得更大的发展。
2、小学数学主体性课堂教学模式建构的原则
小学数学主体性课堂教学模式建构要遵循以下四项原则：第一，主体性原则。第二，参与性原则。第三，合作性原则。第四，创新性原则。
3、小学数学主体性课堂教学模式的结构
（1）问题情景。就是把学生置于研究现实的问题气氛中，学生在提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中学习数学。
（2）建立模型。从问题情境中，通过观察、操作、思考和交流，体会到一种数学思想，强调学生建立符号感、数学感、空间感、度量感鉴别结构和规律的能力。
（3）解释应用。就是把所学的知识应用到实际中去，达到学以致用。
二、小学数学主体性课堂教学模式的应用
课题：圆锥体的体积
操作过程：
1、联系实际，创设问题情境
问题：英才幼儿园需要一批底面直径10厘米，高是5厘米的圆锥，现有一根底面直径是10厘米，高是50厘米的圆柱形木头（电脑显示），你准备怎么做？
先由学生独立思考，然后小组合作交流总结：
（1）截取长5厘米的圆柱形木头；
（2）找出圆柱一个底面的中心；
（3）沿着这个中心和圆柱另一个底面削去边缘部分（教学媒体显示）。
2、引导探索，建立模型。
（1）猜一猜。这个做成的底面直径是10厘米，高是5厘米的圆锥体体积是多少立方厘米？并说一说你的理由。
（2）讨论归纳。一个圆锥的体积比它等底、等高的圆柱体的体积小，可能是一半或一半也不到。
（3）操作验证。上述讨论归纳的结论对否？请同学们根据自己课前准备好的圆锥体和圆柱体学具，以小组为单位验证一下，并如实填在下列表格里。（表格略）
（4）实验结论。一个圆锥体的体积等于和他等底等高的圆柱体积的1/3。
3、完善认知，解释应用
（1）解释
计算圆锥体体积的方法：先求出与这个圆锥体等底等高的圆柱体的体积。在将这个圆柱的体积乘以1/3。
用字母表示公式
v圆锥=（1/3）v与圆锥等底等高的圆柱。
如果用s和h分别代替圆锥的底面积和高，那么，V锥=（1/3）sh
（2）应用
①直接应用公式求圆锥体的体积（略）
②根据所给条件间接求圆锥体的体积
③根据圆锥的底面直径和高，求体积。
④量出圆锥体底面周长和高，再利用周长公式求出半径，求体积。
三、主体性教学模式的实践与探究
1、人人主动参与
由于本模式注重个体的独立学习，又强调学习小组的互动功能，还有全班性的集体讨论、质疑，每一个学生都有可能获得表现自我的机会，几乎每一个学生都能主动参与课堂教学，人人动口、动手。本模式教学有利于学生主动参与。
2、学生充满自尊自信
体现主体性，不以学生的学习分数作为唯一的评价标准，不强求学生回答老师提 出的所有问题，不再对知识的理解分析上强调标准的统一，学生可以根据自己的知识水平和能力确定自己发表个人见解的机会，逐步认识到自己的长处及存在的不足，并在学习活动中获得成功的情感体验。
关键词：概率统计；数学建模；途径
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）06-0047-02
一、引言
数学建模的基本思想方法是利用数学知识解决实际问题。《概率论与数理统计》是一门应用数学课程，有大量抽象的概念和理论知识，在其教学过程中融人数学建模思想方法，将部分概念、性质、理论寓于一些实际问题当中，选择有现实意义、应用性较强、又便于操作实现的实例，让学生运用学过的概率统计知识去解决，从而激发学生学习的主动性和积极性，提高他们的运用能力。
二、《概率论与数理统计》教学中融入数学建模思想方法的途径
1.通过概念的实际背景融入数学建模思想方法。《概率论与数理统计》课程中的很多概念都是从实际问题中抽象出来的，在教学中应注重让学生看到如何从实际问题抽象出概念、模型，增强学生数学建模的意识与能力。例如，在讲概率的统计定义时，我们可以让学生作“抛硬币”试验，观察出现正面的频率，让学生看到：抛硬币次数较小时，频率在0，1之间波动，其幅度较大，但随着抛硬币次数增大，频率总是在0.5附近摆动，其幅度较小，即频率总是稳定在0.5附近摆动，再给出概率的定义。这样可以让学生理解概率与频率的关系，加深对概率的概念的理解。再比如，讲解“数学期望”这个概念时，我们可以从生活中的“算术平均数”、“加权平均数”引入，加深学生对“数学期望”就是“均值”的理解。
2.通过实例融入数学建模思想方法。《概率论与数理统计》是一门应用性很强的学科，教师应充分利用教材中的实例或自己设计实例进行讲解。使学生学会如何收集、分析数据，建立模型解决实际问题。
例1 如何估计池中的鱼的个数？
问题的分析：池中的鱼的个数是不可能一一数出来的，但可以通过抽样来估计。即先从池中钓出r条鱼，作上记号后放回池中；再从池中钓出s条鱼，看其中有几条标有记号（设有m条）。然后再根据收集到的资料进行估计。
问题的解决：设池中有N条鱼，第二次钓出且有记号的鱼数是个随机变数记为ξ，则
P（ξ=k）=■，k为整数，max（0，s-N+r）≤k≤min（r，s）
记L（k，N）=■，应取使L（k，N）达到最大值■作为N的估计值。但用对N求导的方法相当困难，我们考虑比值R（k，N）=■
可以看出当且仅当N＜■时，R（k，N）＞1，即L（k，N）＞L（k，N-1）；当且仅当N＞■时，R（k，N）＜1，即L（k，N）＜（k，N-1），故L（k，N）在■附近取得最大值，于是■=■
这个例子不仅使学生学会了如何收集、分析数据，建立模型解决实际问题的方法，也加深了学生对最大似然估计的理解，增加了学生学习概率统计的积极性和主动性。
例2 （摸球模型）摸球模型是指从n个可分辨的球中按照不同的要求，依次取出m个，计算相关事件的概率。一般来说，根据摸球的方式不同，可分四种情况讨论：
把可分辨的球换成产品中的正、次品，或换成甲物、乙物等就可以得到形形的摸球问题，如果我们又能灵活地将这些实际模型与表中的模型对号入座，就可以解决很多有关的实际问题，例如产品的抽样检查问题、配对问题等。
例3 （质点入盒模型）质点入盒模型是指有n个可分辨的盒子，m个质点，按照不同的方式，把m个质点放入n个盒中，计算相关事件的概率。一般来说，根据放入的方式不同，可分四种情况讨论：
质点入盒模型概括了很多古典概率问题。如果把盒子看作365天，（或12个月），则可研究个人的生日问题；把盒子看作每周的7天，可研究工作的分布问题（安排问题）；把人看作质点，房子看作盒子可研究住房分配问题；把粒子看作质点，空间的小区域看作盒子又可研究统计物理上的模型；把骰子看作质点，骰子上的六点看作盒子，可研究抛骰子问题；将旅客视为质点，各个下车站看作盒子，可研究旅客下车问题，等等。
3.通过开展社会调查融入数学建模思想方法。把概率统计思想方法应用到实践中去，这是我们教学的最终目的。有意识地组织学生开展一些社会调查活动，如指导学生收集当地科技、经济、金融及管理等数据资料，运用概率统计知识，建立相应数学模型，进行分析与预测，这个过程就是数学建模的整个过程，这不但增强了学生数学建模的意识与能力，而且培养了学生运用概率统计知识解决实际问题的能力。
总之，在《概率论与数理统计》课程教学中融入数学建模思想方法，不但搭建起概率统计知识与应用的桥梁，而且使得概率统计知识得以加强、应用领域得以拓广，是提高学生学好概率统计课程的有效途径。
参考文献：
[1]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1993.
