关键词：小学数学；几何；有效教学；策略
深化素质教育，推进创新浪潮。在学生智力发展的关键时段，小学数学的学习有效地培养了学生的逻辑性、创新性、辩证统一性以及独立思考并解决问题的能力，提高了对事物的感知意识。有意义的教学才是最高效的教学。根据多年的教学经验，在此我对数学教学中四大领域之一的“图形与几何”这一版块就有效教学策略进行阐述。
一、意识的引入
培养空间意识是新时期数学教学中一个重要的方法。根据学生的认知规律和自身能力，通过准备关于图形与几何的感知材料，打破思维定局和思考联想障碍，真正打开学生的想象空间，锻炼思维能力。在授课方面教师可以根据实际情况选择教材重难点进行讲述，教师本身根据“研究―总结―研究”的教学模式备案授课。
二、课程的设计
几何图形中的知识点，如平移、组合、翻转、铺设等，可用辅助教学器具进行搭建，从简单的平面图形和立体图形入手，根据点、线、面、体这一发展历程由浅入深循序渐进，使学生形成初步的认识和空间观念。在几何图形的结构演变这一版块，教师可应用归纳类比及猜想的方法，因地制宜，用实物做成立体图，带领学生去室外感知简面及立体图，加深效果。这也体现了情景创设此种方法的直观性和重要性。
三、取长补短，互相借鉴
一是不同级同科目教师之间的交流。数学学习具有抽象性、逻辑性和应用性，在数量关系以及空间形式方面的教学会逐渐深化。任何教学过程都应该避免单独授课缺乏连贯性，与低年级教师交流经验会了解学生的心理状态和思维程度，同时与高年级教师交流能把握好教学力度及核心脉络。二是同级不同科目教师之间的交流。任何学科之间都是相互关联互相补充的，在教学过程中我时刻关注和总结其他先进教学策略，其中的主题循环法就是很好的一个方式。比如在“图形与几何”这一方面的学习中，我就在授课过程中有意识地穿插本版块在其他学科中的知识体现，如让学生用精炼的语言来描述稍复杂的几何构造体，总结生活与自然中常见的图形与几何构造，用此种系统法沟通了其他学科之间的知识，从而达到高效的教学效果。
四、归纳总结
在授课一段时间后的归纳总结是很重要的，也是很基础性的步骤。整合总结所学的知识，从整体的框架中推理概括出一般性概念、原则或结论，为之后的教学提供更好的指导意义。在对“图形与几何”这一版块进行归纳总结时，可通过图表的方式列出三角形、正方形、圆、扇形等一维图形以及球、正方体等二维图形的比较总结，包含名称、形状、基本性质以及联系等相关内容，进行直接和间接比较，更好地对整个知识点做出更有条理的梳理和把握。
著名数学家华罗庚曾说过：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。”教学过程也是如此，高效的教学策略提高教学效率的同时也必然会在改革创新中体现出其应有的价值。
参考文献：
笔者结合多年小学数学教学实践经验，谈谈如何灵活应用几何画板提高小学空间与图形教学的有效性。
1 准确绘图，帮助小学生建立正确的图形概念
几何画板的绘制图形功能强大，可通过基本元素“点、线、圆”以及构造菜单、变换菜单里的多样化绘图选项，绘制出严格数量关系和几何约束的图形，让小学生在准确的直观感受、观察中抓住图形基础特征和本质规律，进一步挖掘抽象的数学知识。
如认识线段、直线和射线，最简单的线段绘制演示过程，通过几何画板绘制两点一线，不论如何拖动任一端点，线段都是严格约束在两个端点中间、可度量的。再通过演示绘制射线、直线，帮助小学生建立正确的无限概念，掌握图形的性质。这种动态生成的绘图演示是几何画板独特的功能，也是其他课件制作软件所不及的。又如，认识平行四边形等图形时，通过几何画板的构造菜单，构造两组对边平行的四边形，或者通过变换菜移构造对边平行相等的四边形，通过让学生观察平行四边形的几何画板绘制过程，并让学生动手实践即使改变相应四边形端点，由于绘制时满足平行四边形的图形性质特征，怎么调整都不会更改通过几何画板绘制出平行四边形的事实，从而帮助小学生建立正确的图形概念，也为进一步探究图形性质和规律打下坚实基础。
2 实时计算度量，辅助小学生快速建立数形表象
几何画板的计算、度量功能强大，很方便就计算出图形的相应数值，并度量常见图形的长度、角度、周长、面积等数据，为学生提供有效参考数据和直观感性表象，也可以快速检验数学题目的正确性，提高课堂教学的有效性。
如探究三角形内角和时，通过平移变换验证三角形内角和为180°后，还可以直接利用几何画板的度量角的功能，度量出三角形任意三个角的数值，通过几何画板的计算功能可直接验证学生探究的结论：三角形内角和等于180°。又如在讲方位和方向时，通过几何画板创建“直角坐标系”，把相应的东南西北方位标识出来，通过板演教材上的习题，直接可在几何画板里度量出方位角，观察得出如何移动、移动多少步长、角度如何偏移等，大大提升数学教学的有效性。
3 平移变换动手实践，创设问题探究情境
几何画板可创建交互性强的问题探究情境，让学生在动手实践中总结、理解、内化抽象、枯燥的数学公式和法则，深刻领会数学知识之间的数量关系和复杂联系，从而帮助学生构建完整的数学知识体系。
如探究三角形的面积公式，可充分利用几何画板的平移、对称、反射等变换功能，为学生提供问题探究情境，通过电子交互式白板或网络信息技术教室，让学生亲自移一移、拼一拼、摆一摆、动一动、量一量，通过几何画板这个分析、解决、问题的强有力工具和教学助手，进一步巩固平行四边形的面积公式，在学生亲身推导体验过程中总结三角形面积计算公式，强化数学转化思想，增强数学探索能力。又如在初步探究三角形三边关系时，可提供不同长度的三条线段，让学生拼摆成三角形，通过学生动手实践增强感性认识，深刻揭示三角形三边关系和三角形三边规律，大大提高小学数学教学中问题解决的有效性。
4 化难为易、化繁为简，突破数学教学重难点
通过几何画板创设的数学教学实验情境，可有效突破数学教学重难点，化难为易、化繁为简，能更好地调动学生的创新能力和想象力，帮助学生克服数学认识误区，走出理解误区，真正抓住数学知识的本质。
如在教学“角的认识”时，学生通过观察静态图片，建立不了正确的知识感性表象，很容易陷入“角的大小与构成角的两边长短有关”的概念性误区。笔者通过几何画板呈现不同角度的边长相等的角和相同角度不同边长的角，并且度量角度值进行列表对比，把角的本质属性板演出来，通过直观验证学生的判断错误，让学生观察所度量的角。当在几何画板中拖动角的边长，改变边长长度时，让学生注意边的长短变化与角的度量值的关系。学生通过观察几何画板演示，有效地获得丰富的感性数学素材，总结出角的大小与边的长短没有关系的结论，从而有效地克服了对这一错误的数学认识，高效突破了数学教学重难点。
5 贴近生活情境，增强应用数学的意识
几何画板可创设具体的生活情境，开拓学生视野，增强学生数学的应用意识，促进学生数学认知过程逐步理性、具体化，提高学生利用所学数学解决实际问题的能力。在实际生活情境中，引导和启发学生对所学习的图形进行探索、思考、发现，能够化抽象为具体，联系生活实际数学现象去发现、体验、总结数学知识和数学规律。这样能使学生在今后的生活中更好地运用图形的特性去解决问题，增强应用数学的意识。
例如，在讲解三角形稳定性时，通过几何画板显现生活场景中三角形的利用，如自行车三角框架、电线杆固定支架、篮球架的篮板设计、桌椅固定维修等，显示出三角形的稳定性在生活场景中无处无在。特别是通过几何画板绘制出生活场景中的稳定性的几何图形关系，让学生通过观察对比，更深刻体会到三角形的稳定性以及为生活带来的便利。又如，讲到圆的认识时，从汽车轮胎入手，演示圆的特性，为学生发散思维提供了丰富的感性素材。学生通过观察，理解了圆的基础特征和图形规律，更增强了生活体验和应用“圆”形服务生活的数学意识。
6 结语
综上所述，几何画板功能强大，操作简便，不像Flash等需要小学数学教师具有一定的美术功底和AS编程知识，只需灵活应用几何画板的工具栏和菜单选项就可以制作出一个个精彩的数学课件，来高效辅助数学教学。通过几何画板制作的课件形式多样、内容丰富，有效地应用在“空间与图形”等数学辅助教学中，可使抽象的几何图形、复杂的空间图形直观形象化。通过几何画板交互式演示功能和强大的变换、度量功能，便复杂的数学思维过程具体再现出来，还原数学探究过程，促进师生共同探讨数学问题，寻求未知数学结论，能更有效地优化数学教学过程，提高数学课堂教学效率。
参考文献
[1]范文贵.利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析[J].中国电化教育，2003（4）：34-36.
[2]彭学军，高晓玲.“几何画板”在数学教学中的应用研究[J].四川教育学院学报，2003（S1）：9-10.
【关键词】初中数学；教学研究；几何直观能力
曾有数学家指出，几何可以直观地告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可以接近的，并且可以使我们在课题、概念与方法的沙漠之中免于陷入歧途之苦。他清楚地表述了几何直观在数学研究与学习中起到举足轻重的作用。伴随着对几何直观研究力度的加大，几何直观能力的培养有了很大的进展，但也不否认教学实践人员在培养过程中所存在的缺陷，为了更好地应用于实践，我将从培养几何直观能力的意义、载体以及如何培养学生的几何直观能力两方面提出自己的见解。
一、几何直观能力的作用
任何思考而成的作品都是客观存在在人脑中的反映，存在是第一的，意识是第二的。这是马克思反映论的基本原理，也是数学研究的起点与基本。几何图就是我们思考的基础，它直观地反映了研究对象的性质与相关内容。离开图形的形象表述，学生是很难理解的。
除此之外，几何可以培养学生的思维。直观而又抽象的几何图形总是促使学生主动去探索几何所隐含的信息，并且在不断摸索的过程中寻找解决之法。这种反复的深入探索不仅有利于数学思维的培养，而且对现实生活中的思维方式产生重要影响，形成自己独特的思维与认识方式。
二、几何直观能力的培养
（一）几何直观能力的培养载体
中学是培养数学几何直观能力的重要阶段，内容较小学的涉及面以及难度都上升到一个更高的层面。例如集合概念的表述、三角函数的图像、立体图形的性质、流程的步骤演示等。
在学习立体图形的时候，老师应该培养学生的动手能力，让他们在动手制作的过程中，直观地发现立体图形的特点，以便他们能够正确地区分各种立体图形，除此之外，在自身动手的实践过程中，自觉地去探索立体图形所具有的特殊性质。
众所周知，集合的概念在刚开始的教学课程中总是难以掌握，直观的圆圈表示法即VEN图可以清楚形象的表明集合各种类型的概念。
通过中学所涉及的集合、函数、流程、立体图形等内容作为培养几何直观能力的载体，是明智而又正确的选择。除了内容作为载体外，工具的使用也是重要的培养途径。例如立体实体图形、图题结合、多媒体的使用。
（二）几何直观能力的培养途径
1.培养学生的动手制作能力，实践中感知
动手制作在学习中总是能起到事半功倍的效果，在这一过程中，学生在错误中不断纠正，其本身就是学习的过程、探究的过程。立体图形的模型创造加深了学生对几何图的印象与理解，并且在制造的过程中不断研究探索发现新的知识。
在对模型的制造之外，老师需要培养学生根据试题绘画已有信息的能力。三角函数的试题总是在简短的几句话中隐含大量的信息，学生需要对试题进行认真研究，绘画出信息，根据直观图形探索解题思路。
2.利用多媒体等科技化手段
伴随着科学技术的不断精进以及国家在教育方面投入的大量财力支持，多媒体等科技产品已经被大量的运用到教学实践中，并在课堂教授中产生重要作用，取得良好的效果。教师应该积极利用这种教学资源培养学生的几何直观能力。
在试题中总会出现几何图形的平移、旋转、截取等，学生对此很难想象，如果老师只是通过语言告诉他们平移、截取、旋转的结果，只会增加学生的疑惑，如果通过多媒体进行动画班的演示，不仅使得课堂更加轻松、活跃，而且可以使学生能够更好地理解。
在学习函数的过程中，老师总会告诉我们，你可以通过选取无数的点可以得知正比例函数是一条直线，反比例函数是一条曲线，但是特殊点的选取总是没有说服力。通过在多媒体上无数点的选取、连接、缩放可以直观地展现函数的特征。
3.注重认真、严谨，避免粗心大意
在观察几何图形的过程中，总是有不认真观察，遗落重要信息的现象。这种习惯对于思维的培养极为不利，最终只会出现思维不严谨、不科学的后果。任何小小的疏漏都会增加思考的难度以致难以找到正确的解题思路。我们需要时刻谨记，数学是一门严谨的学科，脱离严谨的数学是不科学的。因此，教师在教学的过程中，应该时刻提醒、监督学生的严谨态度。
三、小结
几何直观观念的培养需要在长期的学习中不断锻炼、总结，并不是一朝一夕就可以形成的，在这一过程中需要教师的多渠道教授、多方面引导。在长期的实践过程中，让学生摆脱烦躁的几何图形，变困难为简易，变枯燥为有趣，充分认识到几何图存在的意义，只有这样，才能高效地培养学生的几何直观能力。
参考文献：
关键词：向量法 特点 思维模式 应用
随着全国新课改普遍推开，新教材大面积的推广使用，高考指向在知识网络交汇点处命题的思路，越来越凸现向量这一知识点重要性，特别是近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，直接或间接考察向量的份量逐渐加大，已成为了高考命题的必考点、热点，成为联系三角、立体几何、解析几何的纽带，其工具性作用也在日益更加凸显。本文仅就立体几何中使用的向量法浅谈它的作用。
一、向量解题的特点
向量具有几何式（有向线段）和代数式（坐标表示）两种表示形式，几何上的垂直与平行均可以转化为向量的垂直与平行，即转化到向量运算上，实现几何空间的几何结构数量化，以算代证。向量的坐标运算正体现了数形结合的思想。
利用向量法处理几何问题具有很强的模式性，以向量为工具，可以“机械有效”地解决立体几何问题；在立体几何的解答过程中，利用空间向量的观念和运算求解立体几何问题可以将严密抽象的逻辑分析和论证转换成普通的代数运算，具有突出的简化作用。
解题分析：第一问主要考查立体几何中线线垂直的证明，运用转化思想，作辅助线将线线垂直转化为线面垂直的证明；第二问主要是立体几何中的一类探究性问题。如果考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，纯用几何知识求解，将会显得繁琐复杂，也不容易得到正确的结果。因此本题的命题的意图就是考查学生对立体几何的图形的解读能力和灵活选用恰当方法、高效解题的思维能力。（在实际教学中，运用多媒体展现这一解法，分析这一解法的优缺点）
二、向量法解题的思维模式
用向量只是证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：
1.建立立体图形与空间向量的联系，利用空间向量或坐标表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题。特别需要指出：首先要正确合理地空间直角坐标系，（在以正方体、长方体、直棱柱、正棱锥为背景的问题中，常常建系解决问题，应注意总结恰当建系的方法）向量的坐标形式常用于证明平行、垂直问题，向量的数量积常用于求角和距离等。
2.通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系。
3.根据运算结果的几何意义来解释相关问题。
例如（2007湖北高考・理・18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，
（Ⅰ）求证：平面VAB平面VCD；
（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。
分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力。通过对本题的阅读，学生很容易找到建立空间直角坐标系的方法，确定各点的坐标，从而将本题的问题转化为直线的方向向量与平面的法向量的计算上来，突破了传统立体几何的“作、证、求”思想方法，避免较为复杂的辅助线做法。
反思：1．本题建系的方法并不唯一，还有很多方法，应注意总结恰当建系的方法，问题成功解决，是和坐标系的选择无关的，所以向量法证几何题明显优越于其他方法；
=0。以上三个公式，是利用向量解决立体几何问题的主要理论依据。
3．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。
通过本文两个例题的研究，我们可以发现：用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，以算代证，数形结合，因而使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。
纵观2007年全国各地高考立几综合题，证明空间平行垂直关系以及求夹角、距离是高考立体几何题的重点，而向量法在众多方法中显得尤为突出，因而在高三立体几何复习教学中不仅要立足高考，夯实基础，加强训练，不断提高学生的解题能力，更应该在解题的方法上多探索，尤其是向量法一定要训练到位，提高立体几何综合题的解题效率，为2008年高考打下坚实的基础。
【关键词】小学数学 课堂教学 几何教学
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.03.085
小学数学学科的课程教学，主要包括基础代数和几何图形两方面的教学内容，学生们需要在教师的教学指导下逐步完成这两个部分的内容学习，继而为今后的初中和高中阶段的代数和几何学习打下良好的基础。所以，为了紧跟新课标的教学改革大纲，小学数学教师在教学活动中一方面需要不断更新和优化数学教学理念，另一方面还要做好课堂几何教学内容和形式的充实完善，进而提高课堂教学的质量和效率。
根据人教版新课标的数学教材内容可知，学生们在每个教学阶段都会对几何图形知识有不同程度的接触和学习，因此，数学教师在教学的伊始就应该指导学生明确意识到几何图形知识学习的重要性，从而端正课堂学习态度，扎实掌握与几何图形相关的基础内容。笔者认为，小学数学的几何图形课堂教学一般可以表现在以下几个方面。
一、几何图形的认知观察教学
小学阶段的几何图形教学，一般比较注意对学生知识内容教学的循序渐进性，因此，数学教师在针对低年级的小学生进行几何教学时，首先应该侧重引导他们观察和认知各类几何图形，从而为更深层次的几何知识的学习打下坚实的认知基础。
首先，根据人教版的数学课本安排可知，一年级至三年级主要偏重对学生基础几何物体和图形的介绍教学，学生们也可以在教师的教学指导下学会清晰辨别各类基本的几何图形，从而对各类几何图形有大致的了解。例如，针对一年级学生，数学教师主要是教授他们如何认识物体和图形、图形的拼组，继而引导他们对几何有一个简单的框架认知;针对二年级学生，数学教师主要引导他们对角有初步的认识，并鼓励他们进行图形的变换与剪一剪，从而进一步认识基本几何图形;针对三年级的学生，数学教师需要教授他们对多类四边形的认识，引导他们从生活中发现多样的四边形，发现几何图形的美丽。
其次，小学数学教师在指导学生们进行几何图形的认知和观察中，还需要注重教学形式的引导和完善。由于几何数学对图形的结构要求比较高，因此，数学教师在教学过程中应该尽可能地利用图片和实物展示教学方式，指导学生观察和认识各类几何图形，并通过观察发现各类几何图形之间的相同和不同之处，以及相互之间的联系。这样，小学生们一方面可以在图文并茂的教学形式中加深对几何图形的印象，另一方面还能够进一步感受几何数学的多样性和相互关联性，从而提升学生对几何学习的兴趣，并感受几何数学学习的乐趣。
二、各类几何图形的特点和定义教学
前文主要阐释的是对低年级学生进行几何图形物体的观察认知教学，侧重培养学生良好的几何图形学习的习惯，并为深层次的几何学习打下坚实的基础。除此以外，数学教师还应该在此基础上侧重教授学生了解和熟悉常见几何图形的特点和定义，以更加专业的几何图形学习心态，进行练习。
首先，小学数学教师应该教授学生们了解各类基本几何图形的组成部分，以及每个组成部分之间的关系，进而进行相关书面的几何定义，以专业的数学学习方法进行几何数学学习的总结，深化对几何图形的基础认知。例如，数学教师在教授学生们三角形的内容时，一方需要指导学生们了解三角形的特性，并根据三角形每个边的长短不同，定义不同特点的三角形，了解等边三角形也叫正三角形，三角形的内角和及等腰三角形的概念和性质，从而为今后的三角形题型的练习做好基础的概念准备。
其次，数学教师还应该注重引导学生们了解每个几何图形之间的变体和结合体，继而逐渐培养他们从平面三角形走向立体三角形的学习，形成基本的立体几何图形的学习思维。由于几何图形在日常生活中更多地呈现为立体三维的表现形式，因此，数学教师在进行几何教学时，应该有意识地引导学生们以专业的立体三维的学习视角来看待各类几何图形，进而为更高难度和水平的几何学习做好理论和学习实践的准备。例如，数学教师在教授学生们三角形知识时，可以鼓励学生从生活中观察相关的三角形物体，帮助他们解答立体三角形与圆锥的特点与定义，这样既回归了课本圆锥体的理论教学，又能提高学生对几何图形变体和结合体的抽象思维。
三、几何图形的计算教学
小学数学教师的几何图形课堂教学，除了引导学生们了解基本的几何图形的特点和定义以外，还需要指导学生们根据所学的各类几何图形的性质特点，进行多种形式的计算练习，在计算中发现问题，继而解决问题，从而提高他们对各类几何图形的全面认知。
首先，小学数学教师可以鼓励学生通过课堂练习的方式，及时巩固所学的几何知识，通过所学的各类几何性质形状特点，进行几何题目的计算和练习，从而拓展和延伸小学阶段的基本几何图形教学。例如，小学教师在讲解完平行四边形的特点以及相关的计算公式之后，可以鼓励学生及时进行周长、面积的计算，并在学生全面掌握基本几何公式的前提下，适当加大几何图形练习的难度，引导学生根据所学的多种图形性质特征，进行快速而有效的课堂计算，从而提高他们几何学习的积极性和自信心。
针对这一问题，我采取了一些实验措施，并且取得了一定效果，与大家共享．
一、自己动手，丰衣足食
初学立体几何，最大的难点是空间感的建立，缺乏空间想象力，尤其是受到初中平面几何的影响，立体的图形往往都看成了平面图形．因此，在高一开始学习立体几何时，课本首先从直观认识几何体入手，让学生先熟悉几何体，了解几何体的性质，这样安排主要目的就是培养空间想象力．
我在学生先熟悉几何体的定义的基础上，要求学生制作立体几何体模型，把课本上第一单元出现的几何体，通过小组合作制作出几何体模型，让他们根据模型的摆放位置，来对照课本出现的几何体的图形，这样学生就能够把几何体与图形联系起来，更快地建立空间感．为了更形象，我指导学生用纸卷成长条，做几何体的棱，用框架形式作出几何体，这样在看图的时候更方便于与几何体联系，比面结构的几何体更实用一些，而且材料易于寻找，用过的练习本就是现成的材料．学生做几何体的兴致很高，有同学甚至做出了更复杂的生活中的组合几何体，教室里边摆放了很多学生自己课余制作的几何体，让他们很有成就感，比起其他章节，更感兴趣．为学习立体几何开了个好头．
二、直观作图，丰富思维
制作了模型，学生能够把图形与几何体相联系，这只是做好第一步，立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力．所以在立体几何的学习中，我们要
培养学生的画图能力．
我先从简单的图形如直线和平面的各种位置关系、简单的几何体，如从正方体画起．先对照模型画图，看从哪个角度作出的图形能更有立体感，让学生之间相互评比纠正．学生的作图水平有了一定的提高后，逐步过渡到根据语言叙述，没有模型也能正确地画出空间图形的直观图，而且能由直观图想象出空间图形．在这个“想图、画图、识图”的过程中，不仅空间想象能力得到提高，抽象思维能力也可以得到很大提高．
三、物图结合，联手解题
从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程．有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法．有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法． 在给出立体图形之后，可能有些同学对于图形还不是很熟悉，转不过弯，因此，可以借助几何实物，结合图形，具体抽象结合，培养空间思维习惯，能够把立体图形看透，建立逻辑思维，找出逻辑关系，从而解决问题．
四、扎根基础，掌握技能
课本的概念、公式、定理、公理是学习立体几何的基础，要及时不断地复习前面学过的内容．这是因为立体几何内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容．;要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，如，证明线面平行，必须交代清楚哪条线在面内，那条线不在面内，再下结论平行．自己心中有数而不把它写出来是不行的．
因此，在教学过程中，我特别强调公式、公理、定理的理解掌握，让学生之间随时拿出自制的几何体，相互比划，熟悉公式，定理、公理；再就是一些解题基本技巧，让学生也是通过课余相互的提问，纠正，达到巩固的目的．同时，每一节课上课之前，我都在黑板上写上一个小题，运用基本技巧，巩固基本技巧．
五、立体搭台，平面唱戏
立体几何解决问题，很多问题归根结底还是拿到某个平面中解决，平面几何知识是立体几何解决问题的根本．如，求二面角问题，线面角，异面直线夹角等等，都是要拿到平面当中去解决．要不断提高分析问题、解决问题的水平:一方面从已知到未知，另方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系．让学生学会分解立体问题，会把立体图形分解到平面图形，从而借助平面几何解决问题．
在这方面，很多学生做到了我前面，把立体图形拆开观察，反复思考，到了后来，不用拆图，学生也能自如的想象出图形中的几何关系，这就叫“拆图百练，其义自现”．
六、 勤思多练，提高能力
我们在刚学立体几何证明的证明过程中，常常出现以下两种错误：一个是由学生逻辑推理能力差而导致证题思路上的错误；另一个是由学生语言表达能力差而导致的证题的书面表达上的错误．为此，必须要注意推理能力的培养，在初学立体几何的学生要重视看起来简单的那些基本概念、公理和定理，不仅要理解它们，还要熟练地记忆它们，掌握它们之间的联系．并且要规范运用定理，公理，注意公理定理的条件，运用时要满足条件．
立体几何解题过程中，常有明显的规律性．要善于总结规律，运用规律例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角．不断总结，才能不断提高．
在这一点上，我让学生做典型例题笔记，把规律放到题目中去，更生动具体；让学生经常翻阅，学生的时间很紧张，我让他们作为床头本，在睡觉之前翻阅一个两个题，效果较好．
另外，注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重：表达不够规范、严谨；因果关系不充分；运用定理条件不全；图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等．这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理．因此，在平时的练习中，对于答题规范上，我采取重扣分的原则，让学生在规范方面成为习惯；让同学之间相互监督，关注同桌的规范练习．
【关键词】 数学建模 数学模型 几何模型 简化
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）01-109-01
所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
在实际应用中，数学模型可按不同方式分类。若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等。这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具。
在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可。例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分。接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离。再利用三角函数，便可计算出夹角。但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果。或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜。
几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物。几何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在。若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起。但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的。下面举例分析几何模型的具体应用。
问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则，问走路步长选择多大为合适？
问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值。对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤。由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的。
另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高H（或腿长h）；（2）体重M.为简化问题的研究，做以下假设：a. 假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为h、质量为的均匀杆m；b. 设躯体以匀速v前进。
模型建立：如图1所示，重心升高
δ=h-hcosθ=h-h（1-） ≈（当l/h较小时）。
腿的转动惯量I=，角速度w=，单位时间的步数。所以单位时间行走所需的动能为We=Iw2=.单位时间内使身体重心升高所做的功为Wδ=mgδ=，所以单位时间行走所需的总功W=We+Wδ=+。代入n=，得W=v2（n+·）。于是当v一定时，n=可使W最小。由l=，得l=.求解完毕。
小结：通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：
（1）在上述问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题。建模时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的第一次简化；接着将下肢看作长为h、质量为m的均匀杆，是对人体的第二次简化。两次简化对解决问题起了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去使用价值。而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体。通过对比可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设。数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程，虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大，这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论。
一. 自编顺口溜激发学生学习兴趣
在进行指数函数教学时，指数函数的性质特点可归纳为如下顺口溜：
指数函数并不难；
绕着（0，1）画曲线。
定义域，实数集，
值域实数都取遍。
a>1时函数增，
a∈（0，1）函数减。
对数函数性质归纳为：
对数函数不难懂，
恒过（1，0）要记清
定义域为正数，
值域是R不用争，
函数图象为曲线，
是增是减由a定，
a∈（0，1）减函数，
a>1时函数增，
范围不同为负数，
范围相同值为正。
这样把数学知识要点总结为顺口溜，既方便学生记忆又增加了学生学习的兴趣。
二. 让学生自己动手探索成功之路
立体几何中的空间关系是高中数学中对于初学者来说较难掌握的一个内容，在进行这部分教学时我让学生用硬纸板自己制作棱锥、棱柱、圆柱等立体模型，然后让学生分组找出空间关系，将模型进行不同形式的摆放再次识别不同的空间关系。还可让学生用一次性筷子绑扎不同的几何模型，美其名曰“鸟笼”，让学生借助自扎的“鸟笼”能够非常容易的找到线面间的关系，并且印象深刻，这样使立体几何中的线线平行，线线垂直以及面面平行和垂直关系的证明变得容易，激发了学生学习兴趣，培养了立体感就为后面立体几何的学习打下了基础。
三. 利用多媒体，发现成功之源
在进行圆、椭圆、双曲线、抛物线等轨迹曲线教学时，我借助几何画板制作出轨迹形成的过程，使学生非常直观的看到了轨迹的形成，这样学生再理解轨迹的的概念就变得很容易，对圆、椭圆、双曲线、抛物线等的概念理解就很深入，对这些曲线方程的来历更清晰，动感显示也增加了学生的学习兴趣，更增强了学习的信心。
四.利用伟人成就激发学生学习兴趣
在进行等差数列求和公式教学时，首先引入数学家高斯小时候计算1+2+3+…+100的故事，学生对结果很了解算法掌握的也很好.在此基础上引入等差数列求和公式的推导，顺理成章，易于理解易于掌握，同时告诉学生，数学就在我们身边，应用也随时随地，让学生理解学好数学的意义.
五.探索发现、归纳总结、踏上成功路
在进行数列教学时，可引入一些数列。如
1，2，3，4，5，6，…
5，10，15，20，…
0，-1，-2，-3，…
1，2，4，8，…
1，1/2，1/4，1/8， …
1，-2，-4，-8， …等等
利用后项和前项的关系发现规律，从而总结出等比数列通项公式an=a1+（n-1）d和通项公式an=a1qn-1
六.类比记忆发现成功之门
等差、等比数列通项公式和性质类比记忆，等差数列通项公式an=a1+（n-1）d，等比数列为an=a1qn-1.
若a1，a2，a3为等差数列，则2a2=a1+a3
若a1，a2，a3为等比数列，则a22= a1・a2
若整数m，n、p、q满足m+n=p+q，则在等差数列中应有 an+am=ap+aq
若整数m，n、p、q满足m+n=p+q，则在等比数列中应有 an・am=ap・aq
同样的思路，立体几何与平面几何类比，面积公式与体积公式类比等，通过类比一方面归纳了知识是知识系统条理化，另一方面也加深了理解。
七.由幽默故事中找出错误从而发现真理
古代有一个小孩，和一个老师学认字。第一天学会了“一”，第二天学会了“二”，第三天学会了“三”，第四天他告诉父亲说都学会了。有一天，他父亲要请客，让他写请帖，有一朋友姓万，结果小孩半天没写好，说：“姓什么不好，偏要姓万，半天才写到两千。”这个故事告诉我们，知一并不知全貌，不能以偏概全。让学生知道数学归纳法的科学性和真实性，避免出差错。如比较
nn+1与（n+1）n的大小，当n=1时，1254；由数学归纳法证明可知当n≥3时，nn+1>（n+1）n，n
八.归纳总结比较记忆和理解
三角公式繁多，记忆起来比较麻烦而且容易混淆，若能自己总结规律进行对比，找出异同点，既易于记忆又不会混淆。
如：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）= sinαcosβ-cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
