函数概念与基本初等函数Ⅰ
第四讲
指数函数､对数函数､幂函数
2019年
1.(2019浙江16)已知,函数,若存在,使得,则实数的最大值是____.
2.(2019全国Ⅰ理3)已知,则
A.
B.
C.
D.
3.(2019天津理6)已知,,,则的大小关系为
A.
B.
C.
D.
2010-2018年
一､选择题
1.(2018全国卷Ⅰ)已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
2.(2018全国卷Ⅲ)设,,则
A.
B.
C.
D.
3.(2018天津)已知,,,则a,b,c的大小关系为
A.
B.
C.
D.
4.(2017新课标Ⅰ)设为正数,且,则
A.
B.
C.
D.
5.(2017天津)已知奇函数在R上是增函数,.若,,,则a,b,c的大小关系为
A.
B.
C.
D.
6.(2017北京)已知函数,则
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
7.(2017北京)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是
(参考数据:≈0.48)
A.
B.
C.
D.
8.(2016全国I)
若,,则
A.
B.
C.
D.
9.(2016全国III)
已知,,,则
A.
B.
C.
D.
10.(2015新课标Ⅱ)设函数,则
A.3
B.6
C.9
D.12
11.(2015北京)如图,函数的图像为折线,则不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
12.(2015天津)已知定义在
上的函数
(为实数)为偶函数,记
,,则
的大小关系为
A.
B.
C.
D.
13.(2015四川)设都是不等于1的正数,则“”是“”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2015山东)设函数,则满足的的取值范围是
A.
B.
C.
D.
15.(2014山东)已知函数(为常数,其中)的图象如图,则下列结论成立的是
A.
B.
C.
D.
16.(2014安徽)设,,,则
A.
B.
C.
D.
17.(2014浙江)在同意直角坐标系中,函数的图像可能是
18.(2014天津)函数的单调递增区间是
A.
B.
C.
D.
19.(2013新课标)设,则
A.
B.
C.
D.
20.(2013陕西)设a,
b,
c均为不等于1的正实数,
则下列等式中恒成立的是
A.
B.
C.
D.
21.(2013浙江)已知为正实数,则
A.
B.
C.
D.
22.(2013天津)已知函数是定义在R上的偶函数,
且在区间单调递增.若实数a满足,
则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
23.(2012安徽)=
A.
B.
C.
2
D.
4
24.(2012新课标)当时,,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
25.(2012天津)已知,,,则的大小关系为
A.
B.
C.
D.
26.(2011北京)如果那么
A.
B.
C.
D.
27.(2011安徽)若点在
图像上,,则下列点也在此图像上的是
A.
B.
C.
D.
28.(2011辽宁)设函数,则满足的的取值范围是
A.,2]
B.[0,2]
C.[1,+)
D.[0,+)
29.(2010山东)函数的图像大致是
30.(2010天津)设,,,则
A.
B.
C.
D.
31.(2010浙江)已知函数若
=
A.0
B.1
C.2
D.3
32.(2010辽宁)设,且,则
A.
B.10
C.20
D.100
33.(2010陕西)下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是
A.幂函数
B.对数函数
C.指数函数
D.余弦函数
34.(2010新课标)已知函数,若,,均不相等,且=
=,则的取值范围是
A.(1,10)
B.(5,6)
C.(10,12)
D.(20,24)
35.(2010天津)若函数,若,则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二､填空题
36.(2018江苏)函数的定义域为
.
37.(2018上海)已知,若幂函数为奇函数,且在上递减,则=_____.
38.(2018上海)已知常数,函数的图像经过点､,若,则=__________.
39.(2016年浙江)
已知,若,,则=
,=
.
40.(2015江苏)不等式的解集为_______.
41.(2015浙江)若,则_______.
42.(2014新课标)设函数则使得成立的的取值范围是__.
43.(2014天津)函数的单调递减区间是________.
44.(2014重庆)函数的最小值为_________.
45.(2013四川)的值是____________.
46.(2012北京)已知函数,若,则
.
47.(2012山东)若函数在上的最大值为4,最小值为,且函数在上是增函数,则a=____.
48.(2011天津)已知,则的最小值为__________.
49.(2011江苏)函数的单调增区间是__________.
答案部分
2019年
1.解析:存在,使得,
即有,
化为,
可得,
即,
由,
可得,可得a的最大值为.
2.解析:依题意, ,
因为, 所以,
所以.故选B.
3.解析
由题意,可知,
.
,所以最大,,都小于1.
因为,,而,
所以,即,
所以.
故选A.
2010-2018年
1.C【解析】函数存在
2个零点,即关于的方程有2
个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,
由图可知,,解得,故选C.
2.B【解析】由得,由得,
所以,所以,得.
又,,所以,所以.故选B.
3.D【解析】因为,,.
所以,故选D.
4.D【解析】设,因为为正数,所以,
则,,,
所以,则,排除A､B;只需比较与,
,则,选D.
5.C【解析】由题意为偶函数,且在上单调递增,
所以
又,,
所以,故,选C.
6.A【解析】,得为奇函数,
,所以在R上是增函数.选A.
7.D【解析】设,两边取对数得,
,
所以,即最接近,选D.
8.C【解析】选项A,考虑幂函数,因为,所以为增函数,又,所以,A错.对于选项B,,又是减函数,所以B错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错,故选C.
9.A【解析】因为,,,且幂函数在上单调递增,指数函数在上单调递增,所以,故选A.
10.C【解析】由于,,
所以.
11.C【解析】如图,函数的图象可知,的解集是
.
12.C
【解析】因为函数为偶函数,所以,即,
所以,
,
,所以,故选C.
13.B【解析】由指数函数的性质知,若,则,由对数函数的性质,
得;反之,取,,显然有,此时,于是,所以“”是的充分不必要条件,选B.
14.C【解析】由可知,则或,解得.
15.D【解析】由图象可知,当时,,得.
16.B【解析】,,,所以.
17.D【解析】当时,函数单调递增,函数单调递增,且过点(1,0),由幂函数的图象性质可知C错;当时,函数单调递增,函数单调递减,且过点(1,0),排除A,又由幂函数的图象性质可知C错,因此选D.
18.D【解析】,解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.
19.D【解析】,
由下图可知D正确.
解法二
,,
,由,可得答案D正确.
20.B【解析】,,≠1.
考察对数2个公式:
对选项A:,显然与第二个公式不符,所以为假.对选项B:,显然与第二个公式一致,所以为真.对选项C:,显然与第一个公式不符,所以为假.对选项D:,同样与第一个公式不符,所以为假.所以选B.
21.D【解析】取特殊值即可,如取
.
22.C【解析】因为函数是定义在R上的偶函数,且,
所以,
即,因为函数在区间单调递增,所以,
即,所以,解得,即a的取值范围是,选C.
23.D【解析】.
24.B【解析】由指数函数与对数函数的图像知,解得,故选B.
25.A【解析】因为,所以,
,所以,选A.
26.D【解析】根据对数函数的性质得.
27.D【解析】当时,,所以点在函数图象上.
28.D【解析】当时,解得,所以;当时,
,解得,所以,综上可知.
29.A【解析】因为当=2或4时,,所以排除B､C;当=–2时,
,故排除D,所以选A.
30.D【解析】因为,所以
31.B【解析】+1=2,故=1,选B.
32.A【解析】又
33.C【解析】.
34.C【解析】画出函数的图象,
如图所示,不妨设,因为,所以,的取值范围是,所以的取值范围是.
35.C【解析】由分段函数的表达式知,需要对的正负进行分类讨论｡
.
36.【解析】要使函数有意义,则,即,则函数的定义域是.
37.【解析】由题意为奇函数,所以只能取,又在上递减,所以.
38.【解析】由题意,,上面两式相加,
得,所以,所以,
因为,所以.
39.
【解析】设,则,因为,
因此
40.【解析】由题意得:,解集为.
41.【解析】,,.
42.【解析】当时,由得,;当时,
由得,,综上.
43.【解析】,
知单调递减区间是.
44.【解析】
.当且仅当,即时等号成立.
45.1【解析】.
46.2【解析】由,得,于是
.
47.【解析】
当时,有,此时,此时为减函数,不合题意.若,则,故,检验知符合题意.
48.18【解析】,且,
关键词：函数指针；数组；switch/case
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）13-0230-02
Abstract： In the program that perform different functions according to different conditions， the structure of if-else if-else or switch/case need to go through many times and low operating efficiency. This paper makes a deep analysis and research on the function pointer， have brought forward the viewpoint adopt the function pointer array to resolve this kind problem， that have raised program elegance and efficiency.
Key words： function pointer；array；switch/case
在项目开发中经常会遇到根据不同条件选择不同函数的问题。例如项目中需要调用各自的函数处理不同类别的信号，这些信号采用统一的编码表示。如：zyc000XXXXX、zyc001XXXXX等，编码的3-5位为0-9之间的数字，线性排列，分别表示不同种类的信号。后面五个字符标识该类别中的不同信号。在编程处理时，一般会想到采用if-else if-else或者switch-case结构来处理[1]。但是当判断的条件较多时，程序就会变得冗长、复杂，且效率降低。本文研究采用函数指针解决此类问题，减少冗余代码，使得代码更为简洁、高效[2-3]。
1 函数指针
C语言的函数在调用时会在内存中占用一段存储空间，这段存储空间有一个起始地址，这个起始地址称为函数的入口地址，即函数的指针[4]。在程序中，函数一般是通过函数名来调用的。与数组名类似，函数名也代表了函数的入口地址，是一个指针常量[5]。
指针既然可以指向整型、字符型、数组等类型，当然也能指向一个函数。因此可以定义一个指针变量，让其值等于函数的入口地址，此指针变量即为指向函数指针变量[6]，其存放的值即为函数指针。然后可以通过这个指针变量来调用该函数[7]。
在C语言中，变量必须先定义后使用，指针变量也不例外[8]。函数指针变量的定义格式为：
类型标识符 （*指针变量名）（ [ 形参类型1， 形参类型2，...， 形参类型n ] ） [9]
其中：
类型标识符为指针变量所指向的函数的返回值类型。形参类型指的是函数指针所指向函数的形参的数据类型。若是函数没有形参，定义时可省略[10]。
例如：
int （*p）（int， int）；
本语句定义了一个指向函数的指针变量，此函数返回值类型为int类型，有两个int类型的参数[11]。
在初始化指针变量时，只需要把函数名赋值给指针变量即可[12]。使用指针变量调用函数可以采用如下格式：
（*指针变量名）（实参列表） [13]
例如下列代码完成了一个函数指针变量的定义、初始化以及调用函数的过程：
int max（int x， int y）{
/*函数体*/
}
int main（void）{
int a=3，b=4；
int max（int，int）； /*max函数的声明*/
int （*f） （int x， int y）； /*定义一个函数指针变量f */
f=max； /* 将max函数的入口地址赋给指针f */
f（a，b）； /*通过函数指针变量f调用max函数 */
}
上述代码中，在给函数指针变量f赋值时，是将max函数的入口地址赋给f，而函数名max代表的就是函数的入口地址，所以赋值时max不需要括号和参数，仅需要函数名即可。赋值后，函数指针f就指向函数max的入口地址，通过f（a，b）即完成了函数max的调用。
2 函数指针数组应用研究
单个函数指针的应用与函数名类似，但函数指针数组在处理具有大量条件与函数关联时具有很大的优势[14]。
如前言中所述，信号为zyc000XXXXX、zyc001XXXXX等字符串数据，程序接收到传过来的信号后，取其第3-5位的字符，并将其转换为十进制整数，其值为0-999，这里将它称为类型码，要求每一个类型码对应一个函数来进行处理。
首先讨论采用switch（）来对类型码进行判断[15]，匹配成功后调用相应的函数，实现方法如下：
witch（i）{ /* 假设i为类型码 */
case 0： fun0（）； break；
case 1： fun1 （）； break；
…
case 999： fun999 （）； break；
default： break；
}
从上述代码可以看到，这样判断的次数最少为1次，最多为1000次，平均为500次。而且每次接收到信号后都要进行判断，系统效率极低。
如何提高程序的效率？我们可以将每一个信号的类型码（0-999）类型绑定一个函数。程序接收到信号后，根据其类型码值0-999便可以直接调用绑定的函数。而绑定函数的功能则可以通过函数指针数组来完成。
在程序中定义一个1000个元素的函数指针数组，并将其元素初始化为定义好的函数的指针。这样，类型码的值对应着函数指针数组的下标，从而完成了类型码与函数指针的绑定。
实现方法如下：
/* 假设信号字符串为str，其类型码为整型数值idata */
#include
int fun0（string str）{ …}
int fun1（string str）{ …}
…
int fun999（string str）{ …}
int main（void）{
/* 定义函数指针数组并初始化 */
int （*p[1000]）（string）={fun1， fun2，…，fun999}；
/* 这里的idata为信号的类型码 */
int type=idata；
/*通过 （*p[ idata ]）（ str ） 实现绑定函数的调用*/
（*p[ idata ]）（ str ） ；
return 0；
}
从上面的方法可以看到，采用函数指针数组后，只需要一次调用就可以实现按需调用函数的功能，可见无论是程序编写的简洁性或者程序运行的效率都远远高于采用switch-case结构[16]。
3 结束语
函数指针是C/C++中一个非常重要的知识，但由于其概念较为抽象，使用技巧性强，应用复杂，且如果使用不当，会导致很严重的错误[17]，所以很多人没有认识到它在程序编写中的作用。通过本篇介绍，希望大家合理的利用函数指针，设计出更为简洁、高效的程序。
参考文献：
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摘 要：函数学习贯穿于整个高中阶段，对称性作为函数重要的性质之一，其学习难度较大。因此需要教师根据学生学习情况，掌握正确的函数对称性教学方法，才能提高我国高中学校的函数教学质量。本文立足于我国教学的实际，对高中数学函数对称性教学进行探讨。
关键词：高中数学函数；对称性；教学探讨
一、引言
数学是一门讲究逻辑思维的基础性学科，在整个高中数学教学中函数教学占据十分重要的位置。函数作为高中数学的一个重要模块，一直受到高中学校的重视。函数对称性是函数基本性质之一，由于函数本身较为抽象性，且运用难度比较大，学生难以很好的理解函数概念，导致学生在学习函数对称性相关知识时遇到困难，教师使用科学的教学方法进行教学有助于学生函数对称性知识的掌握，也有助于学生逻辑思维能力的提升。
二、高中函数对称性
（一）对称性概念与分类
理解函数概念是学习函数的基础，然而许多学生在学习函数对称性问题时往往忽略了对概念的解读。函数对称性指函数图像是轴对称或者中心对称图形。轴对称指的是函数图像沿着一条直线对折后，直线两侧的图形能够完全重合。该条直线也被称为对称轴；中心对称指函数图像沿着一个点旋转一百八十度后所得的图形与原图像能够完全重合。该点也被称为对称中心点。
常见的轴对称函数图像有一元二次函数，中心对称函数有反函数、正切函数、三次函数奇函数等。此外，有些函数图像既是轴对称又是中心对称，例如常数函数、一次函数、正弦函数等，还有一些函数就是轴Τ埔膊皇侵行亩猿坪数，典型的函数有指数函数、对数函数指数型函数、对数型函数等。这些函数的性质将直接影响函数的图形，学生通过对函数图形的理解可以更好的掌握函数的性质，提升学生对函数的理解，拓宽学生的函数思路并，提升学生运用函数解决实际问题的能力。
（二）高中函数基本对称关系
函数对称关系主要三种有：函数图像自身简单对称、函数图像间对称、函数图像复杂对称。函数图像自身对称主要指在直角坐标系中，函数图像具有轴对称或者中心对称的特征，主要是函数图像关于横轴、纵轴或者原点对称。例如偶函数关于纵轴对称，奇函数关于原点中心对称；函数图像间对称是指两个函数图像关于坐标轴或者原点对称；复杂函数对称则指函数图像经过平移变换以后和坐标轴或者原点对称。
三、高中数学函数对称性教学探究
函数作为高中教育的重要组成部分，是升学考试的必考范围。在社会和学校的普遍重视下，教师要改进函数教学方式，帮助学生增强函数对称性的掌握程度和提高利用对称性解题的能力，综合提高学生数学成绩。
（一）结合实际解读函数对称性理论知识
函数理论知识是学生构建函数知识网络框架的基础，高中函数对称性的学习要求学生切实掌握理论知识。教师在教学过程中，要特别重视解读函数对称性概念，包括函数自身对称、函数间对称和复杂函数对称性，由于这些对称关系用文字表述难免绕口抽象，在上课过程中教师不妨引入实际生活中的一些对称图形帮助学生理解，例如教师提问：“生活中许多物件的设计都具有对称性的特征，学生们回忆一下哪些图形是对称的？”此时学生会认真思考，回忆起生活当中的例子，有剪纸、等腰梯形、风筝等。将函数对称性与日常生活相联系，有助于调动学生学习热情，活跃课堂气氛，也有助于学生主观能动性的发挥。在进行函数理论知识的讲解时教师应当将函数与实际结合起来，通过列举相关理论知识对函数的对称概念进行解释，例如，教师在解读函数是可以引入这样的实例：如果函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图形，且同时关于点A（x1，y1）成中心对称图形，且a≠x1，那么，函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是4|x1-a|。
（二）顺应新课标要求，培养数学思维
数学思维的发展一定程度上影响学生解题能力，教师注重学生思维能力的培养也是新课标改革深化的必然要求。学生阅读函数题目后，需要从题干中读取出有效信息并建立数学模型，函数对称性一般是构图能力和函数关系式间的转换运用，这种题型就要求学生有较强的思维能力。教师在教学过程中可以适当引入复杂函数图像，主要是简单函数经过若干次平移变换后的图像，教师将学生分成若干小组，进行分组观察，观察复杂函数图像的特征并对比复杂函数图像与原图像之间的关系。这样的教学的方式是发挥学生主体地位的表现，既有利于发挥学生主观能动性，也能够锻炼学生思维能力，学生在思考过程中加深对函数对称性的理解，有助于解题能力的提高。
（三）利于多媒体技术展示对称性及其变换
多媒体教学的优越性表现在教学资源和表现形式两个方面：其一，多媒体的运用使得丰富的网络资源走进课堂，为学生接触更多、更直观的教学资源创造条件；其二，多媒体对于课堂教学具有辅助作用。它通过视频、音频等方式将抽象化的知识具体化，它将抽象的函数图像及其变换生动形象的呈现在学生眼前。
例如函数对称性的变换展示，传统的课堂教学上教师需要做大量的板书，在构建数学模型上占用了大量的课堂时间，除此之外这种教学的方法的难以对一些复杂的函数模型进行解析，学生在遇到学习困难时只能通过课后查找资料的方式了解函数的相关知识。例如，三角函数图形的变换，正弦、余弦函数图形经过改变周期和上下平移等变换过程得到的函数图像，由于教师在课堂上进行简单的文字讲解并不能将变换的过程展示出来，这就需要教师大量的板书工作。得利于多媒体的普及，教师可以在相关教学资源网站上下载课件，子在课堂上展示函数变换过程。多媒体技术的运用有利于学生对函数抽象概念的理解进而提高学生解题能力。
（四）加强学生间交流，促进合作式学习
学生之间交换解题思路能够促进学生在最短的时间内最大限度地理解函数对称性相关知识。学生在交流中既可以学习别人的解题方法，还能找出自己遗漏的知识点从而纠正错误的解题方向。例如，教师在安排函数经过周期变换具有对称性的题型练习时，可以先在课件上展示周期变换，再要求同学间讨论后归纳出周期性概念。
参考文献：
[1]许红玲.信息技术与高中数学函数教学的整合与案例研究[D].东北师范大学，2012.
指数函数和对数函数是数学函数教学课程中一个非常重要的内容，两种函数类型有着必然的不同点，还有很大的类似性和相关性.在中职教育的过程中，指数函数和对数函数是我们在数学教学过程中所要面对的一个非常大的难点，教师在教授的过程中，往往会遇到一系列的问题.也正是由于这个原因，作为中职院校的教师来讲，必须要加强对自身教学方式与教学手段的钻研，通过多种有效的手段改进中职数学教学过程中指数函数和对数函数的教学方法，从根本上提高教学的实践性和有效性.
二、中职教育指数函数和对数函数的教学目标
中职教育的指数函数与对数函数的教学首要的目的就是要让学生从根本上理解和掌握指数函数和对数函数的相关的定义与性质，能够看懂甚至绘制与之相关的图像，进而要求他们能够在对性质和定义了解的基础上运用它们的原理解决一些初级的数学问题.由于指数函数和对数函数是两个互相联系的定义，所以教师要指导学生在理解指数函数的基础上加强对对数函数的理解和应用，要使他们认清两者之间的区别和联系，理解它们的底数和定义域，可以让学生绘制出与之相关的正确的图像.学生可以根据自己掌握的内容深层次地认识到两者的内涵和性质，并最终根据自己的理解来解决一些较为实际的内容.在这个过程中，教师要特别注意去提高学生的分析能力以及他们的观察能力，可以通过对两个函数的相关图像进行对比和研究，要求他们指出其中的不同，使他们拥有简洁、对称的审美观念，使他们认识到数学的深层次魅力，从根本上调动起他们的兴趣，提高他们的学习积极性.
三、中职教育“指数函数与对数函数”的有效性教学策略
无论是指数函数还是对数函数来讲，它们都是函数中较为初等的一个类别，在函数教学越来越艰涩的后续过程中，打好指数函数与对数函数的教学基础就显得非常的重要.从另一个角度来看的话，从根本上扎实地掌握指数函数与对数函数的应用原理，学生可以及时发现函数的应用价值，从而使他们对数学的函数学习产生浓厚的兴趣.从根本上来讲，函数可以解决我们在现实生活之中遇到的许多的问题，但是对于它的实践性要求比较高.我们从另一方面来理解的话，无论是指数函数还是对数函数，都是具有非常抽象意义的概念，如果缺乏一定的理性思维能力，学生在一般情况之下很难去透彻理解，由于绝大多数同学都是第一次接触指数函数和对数函数的概念，对于两个互为反函数的函数之间的微妙关系，也很难理解和掌握，更不用说利用它们来解决实际问题了，这也是学生在学习指数函数与对数函数过程中所遇到的最大的问题.我们在引入概念的过程中，应该注意从学生容易理解的部分开始出发，运用它们对于函数的固有理解来加强他们对于指数函数和对数函数的认识，同时需要注意的是，在对图像进行处理的过程中，我们不仅要让学生掌握底数，而且对于不同的问题应该选择不同的底数，如果将这些分析结果放入同一坐标系的话，学生们也就可以非常容易地发现函数的图像所具有的特点，从而可以很深层次地认识到函数的内涵，最后理解它们的性质，对于他们更好地学习有很强的辅助作用.
我们要认识到中职教学过程中学生自身的一些特点，数学基础比较弱，思考能力不强，特别是抽象思维能力.所以，在教学的过程中，要做到因材施教最好提供更多的锻炼机会给学生，让他们多动脑多动手.在课堂的教授过程中，教师也不能满堂灌，应该放手让学生自己去挖掘、去思考、去理解，教师只能起到一个指引的作用，不能做过多的干涉.教师这样做的目的可以在很大程度上开拓学生的思维能力，从而提升他们对于数学的学习兴趣，从而提高学生的学习能力.具体来讲，作为中职数学教师，应该从以下几个方面入手，切实提高学生对指数函数和对数函数的理解能力：
1.改变思路，变被动为主动
在当下的教学环境之中，培养学生的创造性思维被提上了一个高度，教师也应该利用现代化的教学工具，来为学生创造出轻松愉悦的学习环境，在这个过程中，情境教学和多媒体教学的手段都是非常有效的方式.举例说明，教师在开始具体的授课之前，可以利用多媒体手段为学生播放一些与指数函数和对数函数有关的动画，可以让学生对这个概念有一个完整且深入的认识，而且动画的效果可以在很大程度上提高学生的学习兴趣.这种手段可以在一定程度上将原来的枯燥无味的教授过程变成一个动态化的形式，可以很好地引起学生的兴趣，而且动态化的教学过程可以使学生能够对教学内容有更本质的了解，可以弥补学生抽象思维能力不足的问题.
2.有效传达函数理念，让学生更容易进入函数思维的模式之中
我们学习数学，最主要的是利用数学的模式来思考问题，从而很简单地解决在日常生活中所遇到的一系列问题.在进行指数函数和对数函数的教学过程中，最为主要的也是要培养学生的思维能力，使他们能够在生活之中很自然而然地使用数学理念来解决问题.所以，在进行教学的过程中，要注意培养学生数形结合的思想，使他们能够用创造性的、抽象化的思维模式来进行学习.
《指数函数》是学生进入高中以后遇到的第一个系统研究的函数，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础。另外，指数函数的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识有着广泛的现实意义。本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。所以借助计算机深刻认识函数图像，对本节课的掌握起到至关重要的作用。本节课笔者初次尝试带领学生在机房中完成。
一、教学片断描述
研究指数函数的图像和性质。
⑴指导同学如何利用几何画板软件画指数函数的图像。
⑵请同学利用几何画板在同一坐标系中画出函数
，，，的图像。如图1所示：
图1
[师]：好，下面我请两个同学用几何画板分别作出，和，的函数图象．
问题1:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？(填表)
[生1]:函数的定义域都是一切实数，而且函数的图象都位于轴上方．
问题2:函数的图象都位于轴上方与有没有交点？随着自变量的取值函数值的图象与轴是什么关系？
[生1]:没有．随着自变量的取值函数的图象与轴无限靠近．
[师]:即函数的值域是：．那么还有没有别的性质？
[生2]:函数、是减函数，函数、是增函数．
[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此要说明是在哪个范围内．又，那么上述的结论猜想为：
[生2]:当时，函数在上是减函数，当时，函数在上是增函数．
[师]:那么下面我们通过电脑让底数a的值变化起来，观察以上猜想是否成立？（指导学生作底数变化的指数函数图像（图2））
问题3:（提问［生3］）当底数a变化时，你发现了什么性质？（让学生操作电脑，观察发现）
[生3]:图像都经过点（0,1）。
问题4: 你能从函数表达式角度作出解释吗？
[生3]:当自变量取值为0时，．
[师]:也就是说指数函数恒过点，和底的取值没有关系．
[师]:在作图的过程中，你还发现了指数函数的其它性质吗？
[生1]:图像好像在做广播操（学生大笑），底数越大，函数翘起的一边越接近y轴。
[师]:说得很好，的确像在做广播操，但他说的对吗？
[生2]:不对，当时，正确。当时，相反。
[师]:对，我们可以把它们归纳为在第一象限内，沿逆时针方向越接近y轴底数越大（图3）。
图2 图3
二、教学反思：本节课中学生提出了“做广播操”的说法，给学生留下了深刻的印象，课后有同学饶有兴致的给指数函数取了一个外号——“广播操函数”。
本节课是信息技术服务于学科教学的生动课例，本节课的教学过程借助于计算机绘图，让学生亲自动手作图，直观感受指数函数图像的特征，并通过图像总结出性质。这是以往黑板尺规所不能比拟的。初次尝试一人一机的教学方式,让学生亲自动手实践，学生的学习兴趣和学习热情都很高。本节课有两点是需要注意：
【关键词】基本初等函数；乘积；不定积分；初等函数
【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项课题（项目编号2011B266）
一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
2。∫xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。
4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。
6。∫xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。
其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1,…,
五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。
六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
8。∫eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。
9。∫eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。
七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分
10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。
11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。
13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。
九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分
14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。
15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。
十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。
17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。
18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。
19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。
十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
20。∫xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。
十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
21。∫axbxdx=axbxlna+lnb+C。
十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,
∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。
十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。
24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。
25。∫cosxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。
十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。
27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。
28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。
上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来。
例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。
解 ∫x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。
【参考文献】
【关键词】中职数学；指数函数；教学有效性
指数函数应该是函数教学中最基础的函数，它是一种以数形结合为基础的基础数学知识内容.对于中职数学教学来说，指数函数教学是其中很重要的一部分.加强对指数函数教学有效性的提升，其目的就是为了能够更好地加强中职数学中指数函数教学模式的完善，推动中职数学教学的发展.
一、中职数学中指数函数教学目标
中职数学教学阶段的指数函数教学最重要的目的就是让学生能够充分掌握指数函数的定义、性质等基本内容，并且要求学生基本形成在画出指数函数图像基础上运用指数函数来解决实际问题的应用能力.此外，中职数学教学中指数函数与对数函数是分不开的，通过指数函数与对数函数的对比分析，来帮助学生更好地了解和运用指数函数，以此来达到提高教学效果的目的.
二、中职数学中指数函数教学有效性的提升
指数函数的概念是非常抽象化的，对于部分抽象思维能力不太好的学生来说，要让其深入地理解它的概念都是比较困难的，更别说要进行解决实践问题的运用了.对于中职数学教师来说，如何通过恰当的教学方式，让学生真正建立起运用指数函数的抽象思维能力构架是非常关键的.只有这样，才能有效提升指数函数教学的有效性.
（一）新的教学模式的转变
具体来说，教师应该适当地对数学教学方法和手段进行更新，可以采用一些比较先进的辅助教学手段，例如，多媒体技术等信息化教学手段.采用多媒体教学，首先，是为了为学生的学习营造一个更加轻松、愉快的环境，同时也通过这种更加新鲜的教学方式吸引学生的注意力.在数学课堂上使用多媒体技术来讲解指数函数的相关内容.就是将课本教材的内容与多媒体技术的情境教学方式结合起来.譬如，在教师讲解“什么是指数函数”概念时：
一般地，函数y=ax（a>0，且a≠1）叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.a>0，且a≠1的含义：01.可以先给学生们放一段关于指数函数的视频，视频的形式可以是动漫动画，也可以是知识实践小视频等，通过视频的方式来对函数值的分布情况、指数函数的图像、性质等内容进行直接的演示.
（二）数学知识与情境教学手段的运用
指数函数是一种抽象思维性的数学知识，它的性质和特点决定了教师在教学过程中不能将教学方式固定在单一的知识内容的传授上，而是应该通过更加多样的教学设计手段的运用来引导学生进行更多的自主思考，让其能够真正理解指数函数的内涵，并且，最终能够将这种理解转化为实际的运用能力.情境教学设计就是一种比较好的能够调动学生思维的数学教学手段.将指数函数的知识与一定的教学情境结合起来，能够更好地帮助学生去理解知识内容.
例如，中职数学中指数函数总是与对数函数分不开的，在讲述二者之间的关系时，就可以将知识内容与“细胞分裂”的情境结合起来，当一个细胞分裂时，细胞分裂的次数x与分裂个数y之间的关系就是一种y=2x的指数函数关系.而在讨论指数函数与对数函数的关系时，也可以将这个函数关系改写成一种对数函数方程式，即y=log2x.
通过这种将指数函数知识与实际的情境结合起来的方式，不仅能够让学生更好地理解指数函数的内涵以及指数函数与对数函数的关系，同时，也能够增强学生应用数学知识的实践应用能力.
（三）加强学生的自主学习
【关键词】 计算机 高中数学函数 影响
函数是高中数学教程中的重点与基础内容，知识结构与函数图像较为抽象，利用计算机技术开展高中数学函数教学活动有助于促进学习过程的便利化、清晰化与高效化，提升学生的学习热情，使学生正确认知函数图像与函数变化规律，`活应用函数公式，学会解析函数问题。本文通过函数学习中，老师教学中存在的问题，简析并举例探讨计算机对高中数学函数的积极影响。
一、当前函数教学的存在问题
据悉：教育专家曾经针对某市高一学生的函数学习情况做了详细的调查统计，其结果不容乐观。该项调查主要针对学生是否认真学习函数、是否提前预习功课、上课是否认真听讲、课后是否复习、如何对待函数中的难题、是否理解函数概念知识、是否会解答函数应用题以及是否能掌握函数教学的数学思想方法等八个领域[1]。其中，对于“是否认真学习函数”这一调查项目，有17.89%的学生表示自己会非常认真地学习函数知识，53.40%的学生认为自己比较认真，22.36%的学生表示学习函数的态度一般，还有6.35%的学生对函数学习毫无兴趣；对于“是否提前预习功课”，有10.92%的学生表示自己会主动预习函数知识，有19.63%的学生是在教师的要求下提前预习功课，28.86%的学生表示很少预习函数，10.59%的学生从不预习功课；对于“上课是否认真听讲”这一调查项目，20.37%的学生回答自己会集中注意力听课，25.86%的学生是在教师的提醒下认真听课，41.2%的学生上课会经常走神，12.57%的学生表示自己听不懂函数；对于“课后是否复习”，15.18%的学生表示当天会及时复习功课，33.49%的学生偶尔会复习，25.18%的学生基本上不会复习，26.15%的学生从不复习；对于“如何对待函数中的难题”，12.12%的学生会独立思考解决方案，38.36%的学生会向别人请教，32.47%的学生对于难题会置之不理，17.05%的学生会直接抄答案；对于“是否理解函数概念知识”，20.86%的学生能理解，27.30%的学生不理解，41.52%的学生认为自己只要会做题不需要刻意理解概念知识，10.32%的学生会忽略函数概念；对于“是否会解答函数应用题”，15.46%的学生表示基本上会解答，23.59%的学生会做部分应用题，30.28%的学生表示读不懂题意，30.67%的学生认为函数应用题很难，自己不会做；对于“是否能掌握函数教学的数学思想方法”，14.47%的学生表示自己能熟练掌握，30.57%的学生认为自己稍微能理解但是不会灵活应用，53.96%的学生表示自己不懂函数教学的数学思想方法[2]。
以上调查结果表明：许多高中生存在函数学习中未形成端正、良好的学习态度与习惯，不能熟练掌握函数概念知识和解题方法。因此，函数知识应用能力亟待提升。
二、计算机对高中数学函数的积极影响
2.1能够引导学生积极端正的学习态度
利用计算机技术为学生设计清晰的函数教学课件，能够让学生更为全面、准确地认知函数图像，深度理解函数概念知识，在解析函数习题的过程中逐步形成良好的学习习惯。例如在讲解“三角函数”时，老师可以用计算机技术为学生整理诱导公式的图。图一就是“三角函数诱导公式结构图”。
学生可以从图中认知三角函数的坐标、原点，巧记公式，学会总结重点知识。
2.2能够增强学生的知识转换能力
老师利用计算机技术为学生讲解函数知识体系，可以指导学生学会将一种知识转换为另一种相关知识体系。例如在讲解指数函数这部分知识时，可以指导学生灵活转换指数函数和反函数的关系，培养学生的数学思想方法[3]。
2.3能够发散学生的数学思维
老师用计算机组建函数模型，能够有效辅助学生理解抽象的数学概念和空间图形，引导学生走出解题误区，激发学生的学习热情，培养学生的创新思维和发散思维。例如运用建模讲解向量函数有助于教导学生辨析向量模型与函数图像，在解题过程中升华数学思维[4]。
结束语：
综上所述，老师将计算机技术与高中数学函数教学活动相融合，能够为学生创设良好的学习环境，培养学生积极端正的学习态度，提升学生的知识转换能力，塑造我们的发散思维与创新思维能力。因此，运用计算机技术进行数学函数的学习是十分必要而有意的。
参 考 文 献
[1]钟敏霖，李欣，罗慧珊.浅谈信息化环境下创新高中数学课堂有效教学策略[J].考试周刊，2012（15：1）
[2]黄宇.MATLAB在高中函数教学中的应用研究[J].宁夏大学，2013（05：2）
