几何画板在几何知识的教学中同样有着非常好的应用．几何画板不仅能够清晰地呈现各种几何图形，而且应用起来十分灵活，教师可以随时改变图象以及图形中几何体的位置关系，进而引导学生进一步进行思考．几何画板和常规的多媒体教具有着一些本质差异．多媒体课件一般设计完成后就不能再变更，几何画板则不一样，教师可以依据具体的教学情况、学生的思维以及知识的发散等灵活地进行图形的变换．这不仅能够丰富课堂教学，也能够促进学生对于几何知识有更为深入的理解与更加灵活的应用实践．例如，在讲“勾股定理”时，教学的难点就在于证明勾股定理．教师可以应用几何画板，引入“勾三股四弦五”的计算方法，在黑板上直接画出三个正方形，让学生探究这三个正方形的关系，在引导学生判断正方形面积的大小过程中，进一步让学生理解三角形三边之间的关系．在几何画板作图的过程中，充分发挥了“度量面积”的功能．通过计算正方形的面积，教师可以验证勾股定理的准确性，并利用赵爽弦图，引导学生加以推算证明．这些都体现了几何画板在几何知识教学中的优越性，合理地利用几何画板对于课堂教学效率的提升同样有着积极的推动作用．
二、在数据处理中的应用
在数学教学中，往往会涉及一些数据分析与处理的内容．在这部分知识的教学中，几何画板同样能够起到很好的效用．数据的分析与处理能力是一种非常重要的数学素养，这也是初中数学教学中需要培养学生具备的一种重要技能．不少学生在面对庞杂且无规律的数据时，都会觉得找不到头绪，让他们对这些数据进行统计与分析更是十分困难．有了几何画板后，能够有效地给予学生引导，尤其是利用“制表”功能，能够实现数据的准确收集和有效统计，并且能迅速找出其中规律，这对于学生数据处理能力的培养与提升有很大的帮助．数学中有许多问题需要收集数据、统计数据、分析数据，学生通过工具测量获得的数据不准确，借助几何画板则能够准确地收集、统计数据，从而迅速找出其中的规律所在．例如，在探索“三角形内角和公式”时，让学生画任意的三角形，再进行测量、计算，由于量角器测量存在误差，不一定能验证定理，可以在学生探索后，再用几何画板产生随机数据进行验证．这个过程往往能够帮学生较为准确地找出其中隐藏的一些规律，并且帮助学生更好地认识三角形内角和的公式．这对于知识教学能够起到积极的推动作用．
三、总结
一、成书背景的对比
《九章算术》是中国古代的数学专著，也是“算经十书”中最重要的一种。众所周知，我国春秋战国时期，诸子百家争鸣，众多学派相继出现，在形式逻辑研究方面，相比其他学派而言，墨家比较突出，但之后形式逻辑在我国并没有太大的进展，而《九章算术》恰巧问世。该书成书最迟是在东汉前期，但内容的定型却在西汉后期，这时候出现，就注定其呈现出非逻辑结构的特点。中国古代数学专著都是在不断总结生活现象的过程中逐渐衍生而来的，《九章算术》也不例外，该书主要强调的是数学知识的应用，在不断地总结、归纳、推理、论证的过程中，最终发展成演绎推理。
《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作，整本书的内容是把人们公认的一些事实归纳成定义和公理，将形式逻辑的方法运用于教学研究。通过这些定义和公理对几何图形的性质进行探讨，最终建立起一套数学理论体系，简称几何学。该书的成书与《九章算术》有着不同的背景，当时古希腊正处于形式逻辑的发展时期，形式逻辑的思想方法被运用到了数学及其应用领域中，逐渐形成了强大的数学思潮，之后欧几里得不断研究和探索，将其用演绎法进行归类和整理，编写成《几何原本》一书。这本书也是欧式几何的奠基之作。此书主要囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪――欧几里得生活时期――前后四百多年的数学发展历史。从内容上分析，该书保存了古希腊早期的几何学理论，之后欧几里得对其进行了系统化的整理，使其成为现代数学发展的思想源泉。总体来说，《几何原本》开创了古典数论的研究，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。
二、《九章算术》与《几何原本》在体例方面的对比
研究这两本书发现，其在体例方面存在一定的差异性，表现在：《九章算术》是按照问题的性质和解法具体分类的，总共九类，且每一类为一章节，每一章节又分多个小类，每一小类都有解题步骤，包括数学公式、推理等。这种结构体系，是以算法为中心，根据算法组建理论体系，表现出了中国特有的数学思想。《几何原本》在结构方面与《九章算术》存在较大的差异性，该书共十三篇，主要包含两大部分。第一部分中，有4条作图公法，36条定义，19条公设和公理，为全书的推理基础。第二部分主要是题，其中每一道题都相当于一条定理，后面附注证明过程和推论过程，还有少部分题后面有图解。总之，《几何原本》主要是将逻辑推理进行系统化归纳，形成数学体系中的逻辑演绎系统。
三、《九章算术》和《几何原本》的内容对比
从内容方面对比发现，《九章算术》和《几何原本》也存在较大的差异性。其中《九章算术》的内容呈现出丰富性和多样性特征。它主要是对从春秋至秦汉时代社会生产过程中各方面累积的教学知识的汇总。整本书包含246题，涉及生活的各个领域，故被称为“数学百科全书”。此外，该书中的代数水平和算术水平相当高，但在几何图形方面，却与《几何原本》存在较大的差距。《几何原本》是代数几何化，且数论问题都是通过严格的逻辑证明来具体解决的，它为几何学的发展奠定了理论基础。《几何原本》的诞生，标志着几何学已经成为一个有着比较严密的理论体系和科学方法的数学学科。除此之外，《几何原本》还对勾股定理做了详细证明。由此可见，这两本数学名著各有优势。
四、《九章算术》和《几何原本》对当代数学教育改革的启示
关于《九章算术》和《几何原本》对当代数学教学改革和发展的启示，需从数学教育观、数学教育目的、数学教材、数学文化几大方面来了解。
1.数学教育观
数学教育观主要包含两大类，一类是动态数学教育观，认为数学是一项人类活动，也是一个动态学科，活动之间存在着一定的关联性，内部要素之间也呈现出动态发展趋势；另一类是静态数学教育观，认为数学是一个永恒不变的学科，其内容主要包含数学定理、公式。《九章算术》表现出动态教育观，主要是由于其丰富的内容都是在不断总结和积累后得到的。《几何原本》表现出静态教育观，认为教学活动是一种程序化过程，即数学概念-定理-公式-例题-练习，整个过程中，学生占被动地位，一味地接受教师的灌输。相对来说，这种教育观比较死板。由此可见，为了促进现代数学教育的发展，要主张学生理论与实践相结合，从理论中解释实践，从实践中总结理论，打破传统的教学模式，实施并创新情境化教学模式。
2.数学教育目的
《九章算术》强调数学与实际生活之间的联系，体现出数学学习的实用性特征，通过学习能够促使学生将理论与实践相结合。而《几何原本》强调学生要关注内部的逻辑结构，体现出数学学习的抽象性和严密性特征，该书在一定程度上忽视了数学的应用意识和对学生数学综合能力的培养。其实这两本书都有自己的优越性和局限性，我们在研究现代数学学科时，应将二者相结合，取长补短，从而达到提升数学教育的目的。
3.数学教材
从上文中了解到，《九章算术》是一部数学百科全书，自隋唐时数学教育制度建立以来，该书已经成为国家统一审定的数学课程之一，且逐步形成了以该书为中心的古代数学课程体系。而《几何原本》则过度强调形式化的数学教学，忽视了与实际相结合。这两本书在教材上都有一定的优越性和局限性，我们要认真分析，相互借鉴，为推动现代化数学学科的改革和发展不断努力。
4.数学文化
《九章算术》和《几何原本》存在诸多方面的差异，其根本原因在于中西方文化之间存在一定的差异性，从而形成了不同的数学思想方法体系。所以，在进行现代化数学学科改革时，要对这两本书的数学文化多加重视，教师在教学过程中应该多引导学生去了解和领悟数学本身所蕴含的文化内容。在此基础上，结合数学内容，逐步渗透思想方法、意识精神等，让学生真正体会到数学学科中蕴含的各种魅力。
一、将文字语言转化为符号语言
几何教学中存在着不同形式的语言，大致有图形语言、文字语言和符号语言三种. 教师在教学过程中，首先要让学生理解掌握这三种不同的语言，继而还需培养学生将这三种语言相互间进行转化的能力. 不同语言在几何内容的学习中发挥着不同的作用. 图形语言一般较为直观，能够形象地向学生展示问题；而文字语言则是概括和抽象的，重点是对于图形或图形本身中蕴含的深层关系予以准确的描述，对几何的定义、定理、题目等予以精确的表述；符号语言则是对于语言文字的再次抽象，它具有简化作用，有更深的抽象性，也是最难掌握的一种，是逻辑推理必备的能力基础所在. 初中阶段的学习需要循序渐进，由简单推理再到符号表示进行推理. 教师在教学过程中应有意识地引导学生将文字语言转化为符号语言，培养学生将文字语言转化为特定符号的意识，训练学生转化的能力，从而为论证几何的学习打下良好的基础. 二、将题目所含条件转化为图形
几何题目中，用各种不同符号把已知条件通过图形直观的表达出来，对于处理较复杂的几何问题有很大的帮助. 学生中普遍存在“看图忘条件”的现象，无法将题目与图形有机结合起来，教师需要培养学生画图的意识，这样方便将题目中的条件直观清晰地呈现出来，实现条件与图形的有机融合，帮助学生理清做题思路.
例1 已知点E，F在BC上，BE ＝ CF，AB ＝ DC，∠B ＝ ∠C. 求证：∠A ＝ ∠D.
分析 如图1，将已知条件通过画图展现出来，这样可以将已知条件在图形中得以直观的表现，对于学生也是一种暗示和提醒，利于问题的有效解答.
三、培养综合解决问题的能力
综合化解决问题，即指导学生在分析问题时从已知条件出发，从结论入手，结合图形进行解答. 综合分析法是几何题目解题中通常会用到的逻辑思维方法. 其特点在于从已知推可知，逐步再推出未知，从未知看需知，逐步靠近已知. 在较为复杂的问题当中，需要良好地运用综合分析法，从已知出发，从结论入手，形成完整的体系，寻求最后解决问题的接洽点所在，进而达到解决问题的目的.
例2 如图2，分别以ABC的边AB，AC为直角边向ABC外部作等腰直角三角形BDA和等腰直角三角形CEA，点P，M，N分别为BC，BD，EC的中点. 求证：PM ＝ PN.
分析 若从已知条件出发，“BDA和CEA是等腰直角三角形”，即可轻易的推出结论，AB ＝ AD，AC ＝ AE，再根据做题思路，即可得出ADC ≌ ABE，从而可以得到ADC和ABE的对应边相等、对应角相等. 若从结论“PM ＝ PN”入手，从未知看需知. 则思路可以如下：已知PM和PN分别是BDC和CBE的中位线，所以只需证CD ＝ BE. 从已知条件出发我们可以得到CD ＝ BE，从结论入手我们需要CD ＝ BE，这样相当于我们找到了题目的接洽点所在，问题也就迎刃而解了.
综合分析法不仅帮助学生高效率地解答几何题目，从而帮助学生掌握基本的数学思维，利于学生综合思维能力的培养，提高学生解决问题的能力和水平.
四、灵活进行图形变换
新课程中的初中数学增添了图形变换的内容，如平移、旋转、轴对称等. 灵活进行图形变换即是将图形变换作为一种解题思路方法，通过图形变换为学生解决几何问题打开一扇窗.
例3 如图3，正方形ABCD中，E在BC边上移动，∠EAF ＝ 45°，AF交CD于F，连接EF. 求证：EF ＝ BE ＋ DF.
分析 这道题目需要增添辅助线来助于解答，因此对于大部分学生来说是比较难的. 增添辅助线是几何教学中的重要内容，该题中要证EF ＝ BE ＋ DF，就需要将分散的线段BE，DF集中起来，若运用旋转变换法，将ADF绕点A顺时针旋转90°，如图4，即可将BE和DF转到同一直线上，得到线段BE与DF的和，继而可将三条线段EF，BE，DF构造到一对全等三角形中. 这样就轻易地得到了辅助线法证明思路：延长CB到M，使BM ＝ DF，连接AM，如图5，得到ME ＝ BE ＋ DF，这时只需要证明AEM ≌ AEF就可解决问题了.
【关键词】几何 解题 分类讨论 一题多解
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）31-0137-02
初中数学的教学目的是为了使学生获得数学基本知识，获得正确的运算能力，一定的逻辑思维能力和空间想象能力，最终分析解决实际问题，数学几何教学中，教师要教会学生学会分析几何题目，必须注重思想方法的渗透，逻辑推理能力的提高，多方位思维的发散，逆向思维的训练，从而提高学生的几何解题能力。下面我将结合自身在初中平面几何的课堂教学经验，谈几点粗浅的想法。
一、渗透数形结合、分类讨论等思想方法，提高解题效率。
数形结合的思想，就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来考察的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题思路，降低解题难度。如平面直角坐标系的教学，将平面中的点与一对有序数对一一对应；又如圆锥曲线的学习中，研究曲线的方程和曲线的性质，前者是形到数的转化，后者是数到形的转化，通过分析方程的结构特征，得出图形的性质，如范围、对称性、单调性、离心率、特征点、对称性等等，应用不等式的知识和实数平方根的概念，可以明确曲线的范围，应用函数的奇偶性可以明确曲线的对称性。应用曲线方程解决最值问题等等；再如已知ABC的边AB=6，求顶点C的运动轨迹，如果直接由AC+BC=10，利用两点公式来算，运算量大，如果先通过判断这是一个椭圆，再利用椭圆几何量的关系来求方程就很简便。
分类讨论经常应用在几何解题过程中。例如，已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和5cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长。腰上的中线分成的三角形，9cm和5cm的数据都有可能是包含底边的三角形的周长，因此这是从三角形的周长进行分类讨论。已知：在ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE平分∠BAC，求AE的长。这题便要从三角形的形状分类讨论，类似的几何题型还有很多。
二、培养规范的几何逻辑语言，逐步形成严谨的推理习惯，促进几何推理能力的提升。
几何图形的学习，一般是按照“实物和模型几何图形文字表示符号表示”的程序进行教学，其中，图形是从实物和模型进行抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述；符号语言则是对文字语言的简化。因此，教师在讲授几何图形中，应尽可能使内容直观化，形象化，如学习全等三角形时，可以课前剪好两个全等三角形，课上展示旋转、平移、翻折的过程，再把动态的演示转化成静态的文字表示和符号表示，在巩固练习时，通过学生讲解、纠错、小组合作分析等模式，进一步规范并强化学生的解题步骤，促进几何推理能力的提升。
三、鼓励一题多解，设置变式题，发展学生逆向思维能力。
如图，点D，E在ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE.
这道几何证明题的第一种解法：因为已知的是两个等腰三角形，可以应用等边对等角，再用AAS或者ASA证明ABE≌ACD，证出BE=CD，再减相同的量DE，最后得证。第二种解法：可以运用外角的性质，再用AAS或ASA或SAS，证得ABD≌ACE，直接应用全等三角形的性质证出结论。第三种解法：运用邻补角的性质，再用ASA证明。方法多种，对应的知识点也多样，通过一题多解，让学生发散思维的同时，学会从不同角度思考问题。
加强逆向思维能力是提高几何解题能力的重要方面，逆向思维是一种从问题的相反方向进行思维，反转思维，另辟蹊径的思维方法，教师应多通过变式题，训练学生逆向思维，使学生在遇到难题时，通过分析因与果，条件与问题之间的联系，摆脱“山重水复疑无路”的窘境，到达“柳暗花明又一村”之佳境。
四、自主归纳，适当标注，发挥联想，建立联系。
关键词：几何画板；辅助教学；基本原则；应用策略
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）09-0138-03
一、问题缘起
几何画板辅助教学软件能准确地展现几何图形，揭示几何规律，侧重教学过程，动态地再现数学问题的发现过程与形成。由于“几何画板”既能创设情境又能让学生主动参与，所以能有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变成喜爱数学并乐意学数学。更重要的是，学生借助几何画板来做“数学实验”，能够主动发现、主动探索数学知识，不仅使自身的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力得到较好的训练，而且还有效地培养了发散思维和直觉思维。根据多年的实践，笔者认为运用几何画板辅助教学设计对以下内容比较合适：①从常量到变量的过渡，如函数等；②从静态到动态的变迁，如：点的轨迹、参数方程、极坐标等；③从平面图形向空间图形的转化，如：柱、锥、台等；④逻辑思维与形象思维的结合，如：数形结合、线性规划等；⑤教学资料的汇总和呈现，如：图片、声音、问题、变式的合成等；⑥研究性和开放型问题的探索等，如：多边形的内角和、圆幂定理，等等。
二、几何画板辅助高中数学教学设计的基本原则
1.实事求是原则。使用几何画板开展辅助数学教学不仅要遵循几何画板性能特征、学生学习心理特点和思维规律，而且要结合学科具体内容。《数学课程标准》中强调：课程设计要满足学生未来生活、工作和学习的需要，要符合数学科学本身的特点，体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律和心理特征。一般认为，高中生思维由经验型抽象逻辑思维向理论型抽象逻辑思维转化。因此，我们可以用几何画板绘制图表、图像、图形、动画等来创设直观情境，辅助学生数学思维的过渡和发展，但是我们也应防止走向极端，即把基于几何画板的辅助数学教学一味停留在视觉层面，让学生产生过分的直觉依赖，没有及时把握或错失向抽象思维发展的契机。比如立体几何中的证明题，本是可以有目的地训练学生逻辑思维、演绎推理或者空间想象力的，但是有的教师直接用几何画板表现出来，由论证几何滑落到直观几何的层面上，反而降低了教学难度。
2.主体参与原则。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者。数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考，要注重培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法。学生学习应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。就几何画板辅助数学教学而言，这种主体参与的主要途径是数学实验等。展开来说，一方面不仅要学生自己亲自参与教学之中，通过制作相对简单的几何画板课件去领悟数学思想方法，加深对数学概念的理解和运用，而且要善于动手、动脑及相互交流去验证数学猜想，探索发现数学规律；另一方面学生应该以积极的态度参与教师创设的学习情境，自主建构数学知识与解题能力。但是，教学时如果教师、学生对自己的角色定位不当，容易落入“满堂灌”的窠臼中。
3.逐层抽象原则。从数学发展史来看，作为科学的数学有一套不同于其他学科的自身价值标准，那就是“思维材料的形式化抽象”，也就是人们常说的“数学化”。数学知识的一般发展过程大致可概括为：常识――数学符号化――公理化――形式化――自由化，整个过程即数学化。抽象是数学的生命，抽象性是数学的基本特征之――没有抽象，数学就没有包摄性和深刻性。因此，与其说学习数学，不如说学习“数学化”。戴尔的“经验之塔”理论和范・希尔夫妇的几何思维发展理论也从学习理论角度给我们有益启示。作为以几何图形、图像、动画、运动为主要形式的几何画板辅助数学教学，更应该注意防止停留在直观形象层面，应该遵循学生身心发展特点和学科内容规律，把几何画板中的数学对象逐层抽象到形式化层面上来，使由直观几何向经验几何再向论证几何转化，由经验性数学向形式化数学提升。有这样一道解析几何题：已知ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点（即BD∶DC=1，CE∶EA=1），线段AD、BE交于点0，直线CO交AB于点F，则有AF∶FB=1。由此我们得到三角形三条中线交于一点。如果使用几何画板辅助教学，我们可以利用它的“在动态中保持不变的几何规律”特点，将问题进一步深化为：设D、E分别是ABC边BC、AC上的任意一点，线段AD、BE交于点F，则AF∶FB，BD∶DC，CE∶EA之间有什么关系？
我们按照题意画出图形（图1），分别测量出AF、FB、BD、DC、CE、EA长度并算出比值。但拖动点D时，只有BD∶DC，AF∶FB比值在不断变化，而拖动点E时，只有CE∶EA，AF∶FB的比值在不断变化。但是如果我们启发学生，将AF∶FB，BD∶DC，CE∶EA等用“和、差、积、商”等方法去尝试，就会发现不论点D，还是点E在移动时，■=■=■=1恒成立。而这个结论就是著名的“赛瓦定理”。发现以后，教师可以让学生采用演绎的方法证明。
三、几何画板辅助数学教学设计的策略
1.用几何画板揭示本质，形成概念。数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是通过一定量具体的实际例子，对所发现的属性进行抽象概括而成的。利用几何画板提供给学生一些动态的感性材料，呈现事物形成、变化、发展的全过程，凸现感知对象整体和各个局部以及它们之间的联系，便于学生形成清晰的表象，揭示感知对象的本质特征和非本质特征，促进数学概念的形成，避免了学生对有关概念和结论本质认识的片面性和错误。
例如许多概念抽象而难以理解，也有许多概念类似而容易混淆，因此笔者都引导学生运用几何画板进行辨析。例如在上“二面角定义及其应用”时，笔者用《几何画板》制作“二面角定义及其应用”课件，在课件中将要发现的对象：“二面角概念”“怎样度量二面角的大小”“二面角的平面角概念”“如何求作二面角的平面角”“如何求二面角的平面角大小”“已知二面角的大小，山路与水平面的角，和山路与山脚所成的角中的两个 ， 如何求第三个？”“解决折叠问题的方法和规律是什么？”等隐藏在精心设计的、循序渐进的教学情境中，让学生独立探索。几何画板在此起到了化抽象为形象的作用，这样可以进一步完善和深化对 “二面角的概念及其平面角的求法”的意义建构，并通过不同观点的交锋，补充、修正、加深每个学生对当前问题的理解，使他们都能够体验由数学概念、公式、定理、思想、方法等的发现、发明和创造所带来的。
2.用几何画板直观模拟，发现结论。几何画板提供了一个理想的、动态的“做”数学的环境，通过计算机软件，指导学生开展数学实验，进行探索，使许多数学命题的结论变得十分形象、直观，易于被学生发现、接受。改变了教与学的形式，让学生参与教学过程，以学生的自主发现来代替教师的直接讲解，真正体现了以学生为主体的教学原则。
例如，在探究不等式|x-1|+|x+3|
|PA|+|PB|与动点P横坐标的变化，很容易得到当Xp≥l.5或Xp≤-3.5时，|PA|+|PB|≥5；当-3.5
3.用几何画板拓展思路，选择解题策略。几何画板对抽象、难以表达的知识进行仿真模拟、直观演示，凸现知识间的内在联系，暴露出最可能成功的假设，确定该问题最合适的解决方法，再进一步探索从条件到结论的中间环节，正确作出解题决策，学会选择有效的解题策略，改善学生的学习方式，为学生提供了更加广阔的活动空间与思维空间。已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），求：①y1.y2的值，②x1.x2的值，③■+■的值，④以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系。解题步骤如下：（1）活动与实验：运用几何画板进行实验演示；（2）猜想与归纳：通过反复演示，学生很容易发现①②③是定值，④是相切；（3）验证与数学化：进一步让学生发现①②③的结果与p有什么关系，学生很容易发现分别是－p2、■、■的结论。
4.用几何画板研究课题，拓展教学内容。在教学实践中，借助几何画板这一“做数学”的虚拟实验室，开展探究性学习，让学生自己探索问题，分析验证、发现规律，使学生对所学的数学知识得以引申和拓广，以拓宽学生的视野，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
例如在学习了均值不等式以后，结合教材给出的均值不等式的一种几何解释，制作几何画板课件，引导学生开展课题研究。
如图2，点O是半圆的圆心，OE是垂直于BC的半径，点A是直径BC上的动点，设AB=a，AC=b，AFBC交半圆于点F，HB、CD是半圆的切线，且HB=AB，CD=AC，连结HD交AF于点G。
（1）试利用几何画板软件，探索线段AF、AG、AE、BH、CD、OE的大小关系。
（2）试用a、b表示线段AF、AG、AE、BH、CD、OE；你得到了哪些有关实数a、b或更多实数的不等式。
（3）若a≤b，试从均值不等式出发，排列并证明下列6个量的大小：
a、b、■、■、■、■
5.运用几何画板，辩证处理矛盾。
（1）不要简单排斥或盲目迷信几何画板等新技术。新技术是一把双刃剑，使用不当，自然会有一定的副作用。教师使用几何画板辅助数学教学时应通盘考虑几何画板的性能特征、学生学习心理和思维规律、具体授课内容等，遵循实事求是、主体参与及逐层抽象原则。新技术辅助教学和传统教法各有利弊，不是“非此即彼、完全取代”的关系，而应有机结合，互为补充，该用传统教法的课，不必作茧自缚而舍近求远。另外，我们的CAMI己经落伍了，数学教师不应坐失良机，更不应该排斥看似简单的几何画板或盲目崇拜新技术。
（2）防止教学法的颠倒。弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中曾多次提及数学教学中的“教学法的颠倒”现象，即数学中有的内容学生最先接触的是结果而知识的发生或者思维展开的过程正好相反。因而，弗赖登塔尔提出“再创造”的数学教学方法。其实，在几何画板辅助数学教学中也有类似的现象发生。其一是有些课件演示时，数学结论往往是直接“端”出来的，而产生这些结论的原因和过程却容易淡化或隐藏了；其二是有些课件事先制作好了，而制作的思想方法和过程忽略了，学生看到的多是数学现象，其中的数学实质及对象关系是内隐的；其三是数学实验得到的是结论，观察到的是现象，数学的解释还需要学生自己寻找，结论的可靠性也有待严格的数学证明。针对这种现象，我们认为一方面应该教授学生一定的课件制作技巧，在课件制作后反思制作过程体会数学思想方法等；另一方面，教师在使用几何画板辅助数学教学时应该揭示数学知识发生发展的生动过程，不仅让学生利用几何画板等平台加深数学理解，而且能够发现数学规律自主探索数学解释和数学证明。
总之，运用几何画板辅助数学教学明显增强了学生学习数学的兴趣，有助于学生的动手能力的提高，有助于学生提出问题和解决能力的提高，有助于学生自学能力、创新能力的提高，有助于强化学生应用数学的意识、提高学生应用数学的能力。
参考文献：
[1]尚有来.对高中数学教学与几何画板的思考[J].赤峰学院学报,2006,(5)．
面向21世纪的中学数学课程改革考虑到义务教育阶段的基础性、普及性和发展性,于2004年9月在全国推行《全日制义务教育数学课程标准》(2001年)[1](以下简称为《标准》) 相对《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》(2000年)[2](以下简称《大纲》)而言,在平面几何部分有较大的变革 在《大纲》时,注重教师的教学和教学方法的改进,初中平面几何内容主要运用演绎推理的方法,依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质,强调逻辑论证、强调演绎推理;《标准》则将几何教学内容分成“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”四个部分,而且均匀地安排在九年义务教育的三个学段中,几何教学内容呈现螺旋上升的方式,每次出现都比前次出现有更高的要求,首先强调直观经验及对几何材料动手操作在几何学习中的基础性地位,接着是抽象,最后是演绎、初步感受公理化思想
《标准》推行后,一方面,得到了广大数学教育工作者的认同,同时也有不同意见[3],其中对平面几何内容改革的争论较大 但不管意见如何,都是对数学教育事业的亲切关怀,都应是无可厚非的,这种百家争鸣的学术局面,恰恰反应了我国学术制度的优越性 从另一角度看,有必要对《标准》中平面几何内容安排合理性需要从理论方面进行阐明,在实践方面进行论证 本文将着重从欧氏几何发展历史角度对《标准》中几何教学内容安排进行比较分析
2 数学史对数学教育的启示――本文的立足点
儿童数学认知过程的研究对数学教育有着基础性作用,正如心理学是教育学的基础 但从另一个层面的分析,学生的数学学习过程是通过对情境从数学角度进行感知、数学化的过程,该过程是人类祖先同样经历过的,我们祖先在认识这些知识时处于自然状态,因此,有理由推知,儿童与人类早期认知具有相似性,在数学教育过程中借鉴先辈数学认知过程将有利于保证儿童数学学习的自然
事实上,数学史可以说是劳动人民集体智慧的表现,揭示了数学产生和发展的过程,是数学知识、思想、方法的宝库,长期以来,许多数学教育家、数学史家都很重视数学史对数学教育中的启示应用[4]
[JP3]匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚(George Polya,1887―1985)指出:“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识,我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”
法国著名数学家庞加莱(Jules enri Poincaré,1854―1912)则主张数学课程的内容应完全按照历史发展顺序展现给读者,他说:
“动物学家坚持认为,在一个短时期内,动物胚胎的发育重蹈所有地质年代其祖先们的发展历史 人的思维发展似乎也是如此 教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历,迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段 鉴于此,科学史应该是我们的指南 ”
荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔(ans Freudenthal,1905-1990)亦持类似观点,称“年轻的学习者重蹈人类的学习过程,尽管方式改变了”
数学史对数学教育的重要启示同样也得到了现代国际教育界的肯定 一些美国学者则坚信,指导个体认知发展的最佳方法是让他回溯人类的认知发展 即使知识点A在逻辑上先于知识点B,但如果B在历史上先于A出现,那么我们仍应先教B
国际数学教育大会(ICME)的“课题研究组”(topic study group,简记为G)中主题17则为:数学史在数学教育中的作用
基于儿童对数学的认知与人类对数学的认知在过程上具有相似性,因此,对儿童欧氏几何认知过程的探讨有必要以欧氏几何发展历史为借鉴
3 欧氏几何发展历史与《标准》中几何教学内容安排比较
现在中小学几何的大部分内容属于欧氏几何学 欧氏几何学是欧几里得(Euclid,公元前330年―前275年)在前人所积累的几何知识的基础上,总结、发展起来的,目的是使几何知识系统化、严谨化 在《几何原本》一书中,他以119个定义、5个公理及5个公设为逻辑推理的出发点,以演绎推理的方法得到465几何命题,构成了世界上第一个公理化体系 这种方法成为以后研究数学乃至其他科学的标准方法――公理法,成为人类追求最高科学境界的典范[5]
但在《几何原本》以前,人类经历了从古埃及(公元前3100多年)到古希腊近三千年的几何知识的漫长积累 历史上,以几何中“形”的发展过程作为脉络,大致可以分成无意识几何阶段、经验几何阶段、论证几何初试阶段共三个阶段,以下将其主要内容与《标准》中三个学段的几何教学内容要求进行比较
3.1 无意识几何阶段
几何中“形”的意识来自人对客观世界的初始体念 一方面,人在初始状态(幼儿时或远古时)对物体的“形状”就有感觉,人们反复感受自然界中某些物体的较为稳定的形状(如太阳、月亮的圆形)之后,便慢慢地把这些“形”留在了他们的记忆之中,并在劳动中加以运用 比如,在中国古代有“天圆地方”的说法
另一方面,形的意识还来自于人们的实践活动 人们在无数次的奔波往来之中,为了发现最短的道路,渐渐地产生了“直线”的概念 又如“点”的概念在拉丁文Pungo中就是一个实践性概念,意为“刺”、“触”
在人们对“形”的意识逐渐稳定下来后,会产生度量的意识 人们起初很可能也是借助于人的身体的各个部位,作一些简单的测量 例如,为了测量长度,成人男子的步子被当作通行的测量单位,面且这种做法保留至今 除此之外,手指的宽度、关节的长度等都曾用作测量单位,如中国古代中医寻找穴位使用指宽定位 古希腊历史学家希罗多德(erodotus,公元前484―425年)认为几何是埃及人发现的,因为尼罗河每年遭受洪水泛滥而冲毁土地的界限 这样,人们为了重新界定土地,不得不进行反复的测量活动,从而产生了几何学,拉丁文Geometry的原意即为“测地术” 中国古代使用的词语“几何”意为“多少”,与测量活动也是密切相关的
几何中的“结构”意识,在人类活动的初期,其表现的特征是简单的模仿和比照 如太阳从地平线线上升起,也许是圆与直线位置关系的自然原形
总之,“形”的意识、“度量”意识和“结构”意识来自于人们对自然界的感受和体验,来自于适应大自然、改造大自然的实践活动 这是人类在几何领域中最原始、最基本的抽象活动,是对几何的粗浅而简单、直接而形象的认识 我们把这一阶段的几何称作无意识几何阶段
在第一学段(1―3年级)中,《标准》要求学生在幼儿时的经验基础上,进一步“认识简单几何体和平面图形,感受平移、旋转、对称现象,学习描述物体相对位置的一些方法,进行简单的测量活动,建立初步的空间观念 ”而幼儿时期正处于人的初始状态,对图形的认识还处于无意识几何时期,理性思维、抽象思维处于最弱,对图形的认识依赖实物或图形直观,依赖实践活动,因此,“在教学中,应注重所学知识与日常生活的密切联系;应注重使学生在观察、操作等活动中,获得对简单几何体和平面图形的直观经验”由此看来,《标准》在这一学段的要求与无意识几何阶段时的几何特点是相符的
3.2 经验几何阶段
当人们经历了无意识几何的漫长酝酿之后,初步形成了“形”的意识,进而尝试着做一些简单的“度量”工作,同时对几何“结构”关系的探索活动也慢慢地开始了 这样几何就从无意识几何阶段步人了经验几何阶段
所谓经验几何,就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验,归纳、概括出较为一般的几何关系,在实践中对之加以验证和检验,并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段 如,中国古代曾经采黄金分别做成直径、边长均为一寸的球体和正方体,称得球体重9两,正方体重16两,通过比较得球体体积约为[X(]916[X)]d3[6],经验几何包含有重要的思想方法――“特例研究发现法”,就是对具体事例进行分析、研究和实验,采用归纳、类比、联想等思维方法,发现几何关系的本质特征,揭示事物的内在规律,寻找解决问题的办法,从而达到解决问题的目的
经验几何中所包含的主要思想方法便为“不完全归纳法”,而这一方法在发展学生的“策略创造”思维方面具有独特的效能,因为“任何一种新的数学理论,只靠严谨的逻辑演绎是‘推’不出来的,必须加上生动的思维创造,一旦有了新的想法,采取了新的策略,掌握了新的技巧,数学思维就前进一步”(张奠宙)
第二学段(4～6年级)中,在上一阶段对简单图形及位置关系认识的基础上,“学生将了解一些简单几何体和平面图形的基本特征,进一步学习图形变换和确定物置的方法,发展空间观念” 这一阶段中,儿童的动手实践能力、逻辑推理能力及抽象思维能力有了发展,因此,“在教学中,应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题;应注重使学生通过观察、操作、推理等手段,逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换;应注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动,发展学生的空间观念” 这一阶段《标准》的要求与“经验几何阶段”的几何特点是相符的[JP]
3.3 论证几何初试阶段
[JP3]古埃及与巴比伦人,由于长期(约三千年)的生活实践,累积了大量直观的、经验的、实验的几何知识,终于在希腊的一群爱智、求完美、讲究论证、追根究底、为真理奋斗的哲学家们手中得到增益与整理,开始发生质变,他们给经验注入论证与证明,这是数学史也是文明史上了不起的创举,最重大的转折点之一
古希腊人花了约三百年的时间(公元前600～300年),才将经验式的几何精练成演绎式的几何 首先由演绎几何之父泰勒斯(hales, 公元前约625～546年)开始,他试图将几何结果排成逻辑链条logical chain);排在前面的可以推导出排在后面的,因而有了“证明”的念头 泰勒斯开始将具体的、独立的几何原型加以抽象化与概念化,研究图形本身并且给出普遍叙述的几何命题 这是几何要成为演绎系统的必要准备工作 接着是毕达哥拉拉斯学派提出“直观性常识的几何原子论”,假设点的长度大于0,从而任何两线段皆可公度 由此尝试给几何建立基础,但终因不可公度量的发现而破产 但是随后柏拉图提供方法,亚里士多德提供演绎架构并在该架构中形成公理化思想的雏形,促使希腊几何走上演绎形式之路,柏拉图与亚里士多德虽然都不是数学家,但他们都是“数学家的制造者”(the maker of mathematicians) 最后由出身于柏拉图学园的数学家欧道克斯进行了完善工作,加上长期积累的几何知识,到此,欧氏几何已经呼之欲出了
这是一个漫长的、充满创造性的过程,因此,当代著名的科学哲学家拉卡托斯(I Lakatos, 1922～1974),指出:“我认为对于希腊几何所能做的最精彩工作,是分析欧氏之前的几何pre-Euclidean geometry) 及其在产生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色 大部分的欧氏几何,在欧几里得给出定理与定义之前已经存在”[7]因此,从几何教育角度看,公理并不是天经地义、自然的,因此,在第三学段(7～9年级)中要求,在第二学段中对平面图形、位置关系特征初步认识的基础上进一步“探索基本图形(直线形、圆)的基本性质及其相互关系,进一步丰富对空间图形的认识和感受,学习平移、旋转、对称的基本性质,欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用,学习运用坐标系确定物置的方法,发展空间观念 ”注重在应用、数学美学角度对几何的理解 虽然,这一学段学生的逻辑思维能力、数学抽象能力、数学交流能力有了进一步的发展,有了初步形式化推理的意识,但还处于论证几何的初级阶段,几何推理依赖于图形直观,因此,“推理与论证的学习从以下几个方面展开:在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中,加强几何直观,发展合情推理,进一步学习有条理地思考与表达;在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上,从几个基本的事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质 从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式,初步感受公理化思想 ”[1]因此,这一时段的《标准》要求与论证几何初试阶段的特点是相符合的
4 讨论
反观以前《大纲》对几何内容,严格按着欧氏几何的公理化体系:一条线(两点确定一条直线) ――两条线(研究同一平面内两条直线的位置关系,引入平行公理) ――三条线(三角形的概念、特殊三角性的性质, 全等三角形的性质, 解直角三角形等) ――四条线(四边形的概念、特殊四边形的性质) ――相似形(主要研究相似三角形) ――多条线(多边形) ――圆(多边形的极限),但由欧氏几何发展历史可以看出,人们是先掌握大量的定理,而后为了弄清这些定理的依据,才想到了建立公理体系 我们有理由推知,这种内容安排与儿童在各个年龄段对“形”的认识的心理特征相悖,这也是造成学生形成“几何难学,学好几何,想烂脑壳”观念的一个原因,既使能通过形式推理证明一些几何题,但可能因缺乏必要的几何建构过程,由此会造成创新能力及应用意识欠缺
《标准》则不过分强调公理化体系,而以“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”四条线索展开,加强空间观念与几何直观,各个学段教学内容的安排与几何史发展历史相吻 正如张景中院士指出:“我们先带引他们欣赏五光十色的几何园地的美景,最后再向他们说明,这个园地的基石在何处 这样,既符合认识规律,也适应年龄特征 ”[5]我们还认为这样安排有利于学生的科学发现和创新能力的培养,有利于形成合理的知识体系
参考文献
[1]中华人民共和国教育部 全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 北京:北京师范大学出版社,2001,7
[2]中华人民共和国国家教育委员 九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用) 北京:人民教育出版社,1992
[3]《光明日报》记者 姜伯驹:新课标让数学课失去了什么[N],光明日报,2005316
[4]林永伟 数学史与数学教育[M] 江西:浙江大学出版社,20044
[5]张奠宙,沈文选主编 中学几何研究[M] 北京:高等教育出版社,20061
1.基本概念关
要突破几何概念关，一要增强概念的直观性，把抽象的概念具体化、形象化，使学生体会到概念的实在性。二要抓住关键词，找出概念的本质属性。例如学习线段定义，先通过实物形象，如直尺、黑板边缘，让学生感受到直线的实在，然后抽象出本质特征：（1）有两个端点，（2）有长度，没有宽度。再结合直观图形引出数学定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。通过这几个步骤，学生就会加深对概念的理解。
2.几何语言关
几何语言有三种表达形式：一是文字语言，二是图形语言，三是符号语言。教学时将三种语言进行互译，有利于知识的融会贯通。例如，角的平分线概念，用下面三种语言对比学习，学生会加深对这一概念的理解。
3.画图识图关
画图识图是几何的基本功，学生既要会观察图形，又要会画基本图形，掌握作图的基本方法。如靠线靠点，移动找点，平移画平行线，线段和角的画法、平行线的画法等都是基本功，学生画图时不得马虎。
4.推理论证关
推理论证是平面几何入门的关键，它对几何学习起着举足轻重的作用，也是平面几何入门的难点。为此，老师教学时要分步、分层突破。
（1）弄清“、”符号的含义。课本第一次出现“、”说理形式时，要强调先有条件，才有结论，结论是由条件推出来的。“、”都要有定义、公理作保证，不能随便乱用。为了弄清“、”因果关系，教师可加强类似练习，及早渗透推理论证思想。
（2）学会填写理由。人教版教材从“相交线，平行线”这章开始，要求学生填写推理论证依据。这些虽是填理由题，实则是推理论证的典范，不可小看。有教学经验的教师明白，填写理由这段内容学习的好坏，对后面独立推理论证有很大的影响。它是学生学习平面几何两极分化的潜伏期，因此，学这段内容时，要适当放慢教学步伐，帮助学生打好基础。
（3）适当模仿证明书写格式，为几何独立证明打下伏笔。学生看懂证题思路，熟悉证题格式后，适当模仿例题，作些简单的证明题，对后续学习大有好处。例如，学了平行线判定定理和性质定理后，教师可要求学生做下题：
已知：如图∠A+∠B=180°。求证：∠C+∠D=180°。
学生效仿教材填写理由题，能自主证得：
∠A+∠B=180°，（已知）
AD//BC，（同旁内角互补，两直线平行）
∠C+∠D=180°。（两直线平行，同旁内角互补）
1.1有助于对代数概念的理解和认识
线性代数中出现很多抽象的、学生以往没有接触过的概念，充分理解和掌握这些概念的含义对学好后继课起着至关重要的作用。在课堂教学中，教师可以用几何概念引出抽象的代数概念或以几何概念为例阐述代数概念。这样，学生不会认为所学概念空洞、无味。事实上，线性代数中的很多概念是从空间解析几何中推广过来的，例如：n维向量，n维向量的夹角、距离，正交变换等。因此，线性代数的概念大多可以二维和三维空间为例来讲解，这样有助于学生了解概念存在的必要性，加深对概念的理解。
1.2有助于对代数知识的接受和掌握
在工科数学中，强调的是计算和应用，往往忽略严格的数学证明。对于没有给出证明的代数结论，学生往往怀疑它的正确性，进而，影响他们对代数理论的应用。为了避免此种情况的出现，以解析几何为例来简单地阐述代数结论的正确性。例如：线性方程组解的个数有三种情况，即无解，有无穷多解和有唯一解。课堂上教师很少严格去证明这个性质。但是，可以通过平面上一些直线的公共点及空间中一些平面的公共点的个数，自然地引出一般线性方程组解的个数。这样，学生不仅在一定程度上可以接受这个结论，而且对该结论有进一步的认识，便于他们对结论的掌握和应用。
1.3有助于将复杂的代数证明简单化
线性代数理论的论证往往是符号的一个严格的逻辑推理过程，这对于初学者来说有一定的难度。但有时可以用简单的几何图解论述抽象、复杂的代数理论，例如：三个向量共面的充要条件用几何图解即可证明。用几何方法证明代数问题，既能规避代数推理的逻辑性要求，又能使证明更加形象化和立体化，从而在增强学生学习兴趣的同时，让学生了解解析几何在线性代数中的作用，感知代数的数与几何的形的完美结合。
1.4有助于培养学生用代数方法处理几何问题的能力
线性代数的抽象性使学生在学习线性代数的过程中，经常问这样的问题：学这门课有什么用。对学过这门课的人来说，这已经不是个问题了。但是，对于初学者来说，特别是大一的学生，这是需要解决的问题。因此，在讲解完一个抽象的定理、命题后，尽可能多地介绍一些应用，特别是在解析几何方面的应用是必要的。以解析几何作为线性代数的应用实例，既可以帮助学生巩固已学的解析几何知识，理解新学的线性代数知识，又可以在应用中建立两门课知识间的联系，完善知识体系，将知识融会贯通。线性代数理论能够解决很多几何问题，如应用线性方程组的解的结构理论可研究平面的位置关系，直线和平面的位置关系；应用二次型理论可以解决二次曲面的分类问题。教师可以提供给学生这些实例，让学生学会用代数方法解决几何问题。
2.将解析几何融入线性代数教学中应注意的几个问题
2.1不能通过没学的或难于理解的知识讲解新知识
将解析几何融入到线性代数的教学中是目前普遍提倡的教学方法。但是，微积分和线性代数都是大学一年级的课，教师在使用解析几何知识的时候，一定要考虑学生在微积分中是否已经学到该知识点。如果通过学生还不了解的几何知识去讲解代数问题，那么不仅不利于学生对代数知识的理解和掌握，而且会影响学生对几何知识学习的兴趣。因此，教师授课前一定要了解学生当前的知识水平，根据学生实际情况，采用恰当的教学方法。
2.2教师对解析几何与线性代数的内在联系要有深入地理解
将解析几何融入到线性代数教学中需要一个重要的前提，就是要求教师对解析几何与线性代数的内在联系有深入地理解。在高等院校，大部分教师都有自己的专业，讲授线性代数课的教师不一定熟悉解析几何知识，因而不一定能准确地了解解析几何与线性代数的内在联系。在这种情况下，无法保障这种教学模式的有效实现，可以通过开放式课堂解决这个问题。在开放式课堂上，教师既可以通过学习解析几何知识，理解解析几何与线性代数的内在联系，又可以通过与有经验的教师交流实现教学效果的提升。
2.3教师要与时俱进，掌握新技术、新方法
解析几何是图形的科学，因此有直观性和形象性。为了更好地将解析几何的这种特性渗透到线性代数教学中，需要教师绘制图形以此阐述线性代数中定义、定理所要表达的含义。但是，一些立体几何的模型，在普通条件下难以实现，而利用多媒体技术可以形象、直观地将一些现象和性质显现出来。例如：二次曲面的命名是根据截面的形状给出的，如果让一个教师在课堂上手绘马鞍面，讲述截面形状，难度很大，而利用多媒体技术，可以很轻松地完成这个教学。这说明将解析几何融入到线性代数的教学中单靠传统教学方式是不够的，教师要与时俱进，掌握新技术、新方法，更有效地提高教学质量。
2.4有效地将解析几何与线性代数两门课程合并
解析几何与线性代数的内在关系，促使一些高校将两门课程融为一门新课——线性代数与解析几何。两门课程合并成一门课，会带来很多问题。例如：如何安排知识点的先后顺序；由于课时的限制，需要削减一部分教学内容，那么削减哪些内容；新课程是以线性代数为主还是以解析几何为主；新课程与后继课如何衔接等，这些问题都有待于教师在教学实践中积累经验并加以解决。
