[关键词]构造创新
什么是构造法又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，及基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。
1、构造函数
函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开拓性和创造性。
例1、已知a，b，m∈R+，且a<b求证：（高中代数第二册P91）
分析：由知，若用代替m呢？可以得到是关于的分式，若我们令是一个函数，且∈R+联想到这时，我们可以构造函数而又可以化为而我们又知道在[0，∞]内是增函数，从而便可求解。
证明：构造函数在[0，∞]内是增函数，
即得。有些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使注意到某一点上，把自己的解题思路搁浅了。启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维。
例2、设是正数，证明对任意的自然数n，下面不等式成立。
≤
分析：要想证明≤只须证明
≤0即证
≥0也是
≥0对一切实数x都成立，我们发现是不是和熟悉的判别式相同吗？于是我们可以构造这样的二次函数来解题是不是更有创造性。
解：令
只须判别式≤0，=≤0即得
≤
这样以地于解决问题是很简捷的证明通过这样的知识转移，使学生的思维不停留在原来的知识表面上，加深学生对知识的理解，掌握知识更为牢固和知识的运用能力。有利于培养学生的创新意识。
2、构造方程
有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答。
例3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求证：X，Y，Z成等差数列。
分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻。但我们细看，题条件酷似一元二次方程根的判别式。这里a=x-y，b=z-x，c=y-z，于是可构造方程由已知条件可知方程有两个相等根。即。根据根与系数的关系有即z–y=y-x，x+z=2y
x，y，z成等差数列。遇到较为复杂的方程组时，要指导学生会把难的先简单化，可以构造出我们很熟悉的方程。
例4、解方程组我们在解这个方程组的过程中，如果我们用常规方法来解题就困难了，我们避开这些困难可把原方程化为：
于是与可认为是方程两根。易求得再进行求解(1)或(2)
由(1)得此时方程无解。
由(2)得解此方程组得：经检验得原方程组的解为：
通过上面的例子我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径，我们在口头提到的创新思维，又怎样去创新?创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其的基本特征。这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正从这方面增训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思维。
在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题，给他们学会一种解题的方法才是有效的"授之以鱼，不如授之以渔"。在这我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方法而不是追求题目的结果。运用构造方法解题也是这样的，通过讲解一些例题，运用构造法来解题的技巧，探求过程中培养学生的创新能力。
华罗庚：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。
3.构造复数来解题
由于复数是中学数学与其他内容联系密切最为广泛的一部分，因而对某些问题的特点，可以指导学生从复数的定义性质出发来解决一些数学难题。
例5、求证：≥
分析：本题的特点是左边为几个根式的和，因此可联系到复数的模，构造复数模型就利用复数的性质把问题解决。
证明：设z1=a+biz2=a+(1-b)iz3=(1-a)+(1+b)iz4=(1–a)+bi
则左边=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|
≥|z1+z2+z3+z4|
≥|2+2i|=
即≥
例6、实数x，y，z，a，b，c，满足
且xyz≠0求证：
通过入微观察，结合所学的空间解析几何知识,可以构造向量
联想到≤结合题设条件
可知，向量的夹角满足，这两个向量共线，又xyz≠0
所以
利用向量等工具巧妙地构造出所证明的不等式的几何模型，利用向量共线条件，可解决许多用普通方法难以处理的问题对培养学生创新思维十分有益。
4.构造几何图形
对于一些题目，可借助几何图形的特点来达到解题目的，我们可以构造所需的图形来解题。
例7、解不等式||x-5|-|x+3||<6
分析：对于这类题目的一般解法是分区间求解，这是比较繁杂的。观察本题条件可构造双曲线，求解更简捷。
解：设F(-3，0)F(5，0)则|F1F2|=8，F1F2的中点为O`(1，0)，又设点P(x，0)，当x的值满足不等式条件时，P点在双曲线的内部
1-3<x<1+3即-2<x<4是不等式的解。
运用构造法就可以避免了烦杂的分类讨论是不是方便得多了，引导学生掌握相关知识运用到解决问题上来。
又如解不等式：
分析：若是按常规的解法，必须得进行分类讨论而非常麻烦的，观察不等式特点，联想到双曲线的定义，却''''柳暗花明又一村"可把原不等式变为
令则得由双曲线的定义可知，满足上面不等式的(x，y)在双曲线的两支之间区域内，因此原不等式与不等式组：同解
所以不等式的解集为：。利用定义的特点，把问题的难点转化成简单的问题，从而使问题得以解决。
在不少的数学竞赛题，运用构造来解题构造法真是可见一斑。
例8、正数x，y，z满足方程组：
试求xy+2yz+3xz的值。
分析：认真观察发现5，4，3可作为直角三角形三边长，并就每个方程考虑余弦定理，进而构造图形直角三角形ABC，∠ACB=90°三边长分别为3，4，5，∠COB=90°
∠AOB=150°并设OA=x，OB=，，则x，y，z，满足方程组，由面积公式得：S1+S2+S3=
即得：xy+2yz+3xz=24
又例如：a，b，c为正数求证：≥由是a，b，c为正数及等，联想到直角三角形又由联系到可成为正方形的对角线之长，从而我们可构造图形求解。
通过上述简单的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。可见构造法解题重在“构造”。它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。
参考文献：
[1]刘明：中学数学教学如何实施创新教育四川教育学院学报2003.12
教师数学专业素养有待提高。教师是学生学习路上的引路人，在学生学习与发展中举足轻重的地位，这就要求教师要重视并加强自身数学知识素养的提高，要通过不断的学习填补自身存在的不足。数学是一门系统的学科，就数学知识而言，前后不同知识之间存在着密切的练习，为此，长期带低年级的教师教学水平不能只停留在低年级的层次，长期带高年级的教师也要对低年级的教材足够的熟悉，在教学中，教师也不能知识停留在理论层次上，相反的，要将理论与实际有机的结合起来，这有利于帮助学生构建完整的知识体系。
二、小学数学教学中培养学生逻辑思维能力的措施
1.积极培养学生区别与联系的能力。数学教学中，我们会遇到诸如“比较”、“对照”等词，其中，比较是指在思维中对两种或者两种以上的同类研究对象进行辨别，同时，它还是一个人理解和思维的基础。随着学习的不断深入，学生会接触到各种各样的知识，同样，学生所要掌握的知识也越来越多，这就要求学生要能够比较不同知识之间存在的区别以及联系。比如教师在讲授正、负数的时候，就可以引导学生，让学生明确“正数”是相对于“负数”来说的，比如高于海平面8米可以记为“+8”，低于海平面8米则可以记为“—8”，这有利于加深学生对知识点的理解，此外，它还能够帮助学生找出两者之间的区别和联系。总之，在小学数学中，我们会遇到众多容易混淆、不容易理解的概念以及规律，通过一系列的比较以及对照，就能很好的解决这些问题，让学生轻松的学习。
2.培养学生的分析思维能力。在培养学生逻辑思维能力的过程中，教师必须明确最基本的逻辑思维过程是什么，本文指出它就是分析思维。通过对学生分析思维的培养，学生要能够明确概念等的定义，要能正确的运用定义，要在掌握推理形式以及方法的基础上分清命题的条件和结论。众所周知，概念是思维的细胞，它是学生构成判断和推理中不可或缺的要素，一言以蔽之，没有概念学生就不可能进行思维。新时期，培养学生逻辑思维能力成为小学数学教学中教师最根本的任务之一，但是，在这个阶段培养学生的分析思维能力却往往被忽视掉，在一些教师看来，学生只要懂得最基本的概念、能够应付期末考试就可以了，殊不知，教师这种只强调程序化、忽视理论根据的教法只会限制学生的发展，由此可见，小学数学教学中要想培养学生的逻辑思维能力，就必须培养学生的分析思维能力。
3.通过判断与推理不断培养学生逻辑思维与表达能力。现实生活中，我们会做出各种各样的判断，比如衣服的颜色适不适合自己的皮肤、考试是不是可以过关、最能吸引自己的到底是什么、自己不喜欢的又是什么东西，其实判断的过程就是思维的一种形式。在小学数学教学中，教师会遇到一系列的法则或者是定义，在考试或者是课堂提问中，教师也会设置一些需要学生自己去判断、去推理的题，比如相似三角形是不是都全等、两个和是90度的角之间是什么关系等？对于这些新的知识点，学生会积极的去思考，然后通过自己动脑筋找到问题的答案，这样，学生就能牢固的掌握知识，为此，在教学过程中，凡是遇到有需要判断的问题，教师就一定要积极的启发学生，要引导学生去判断。推理，简单的说，就是几个判断之间的练习，通过推理，可以迅速而正确的解决学习或者生活中遇到的问题，可以在解决问题的同时将不同的知识点有机的联系起来，最终培养学生的逻辑思维能力。
三、结语
关键词：数学教学；思维训练
数学教育要给予每个人在未来生活中最有用的东西。因此，我们在数学教学中不能把目光停留在数学知识的讲解和解题方法的运用上，而应以它们为载体，加强对学生思维能力的训练。
论文百事通现代教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。数学教学培养的是学生的思维习惯和思维品质，是数学思维教育素质化的重要内容。思维培养的成功与否将直接影响数学教学质量的提高，影响着中学数学教育改革的深化与发展。
数学思维是人脑和数学对象(空间形式与数量关系)互相作用并按一定规律产生和发展的。数学思维的种类有很多，从具体形象思维到抽象逻辑思维，从直觉思维到辨证思维，从正向思维到逆向思维，从集中思维到发散思维，从再现性思维到创造性思维，从中体现出了多种多样的思维品质。如思维的深刻性、逻辑性、广阔性、灵活性、创造性、发散性等。我认为，高中数学教学中主要应通过对学生思维品质的培养达到提高思维能力的目的，具体体现在以下几个方面：
一、注重对基础知识、基本概念的教学
高一学生，从初中数学到高中数学将经历一个和很大的跨度，主要表现在知识内容方面的衔接不自然，对高中数学抽象的数学概念、数学形式极不适应。比如第一册第一章的集合与简易逻辑，表面上看似很简单，而实际运用中却不能准确把握那些用集合语言所描述的题目含义。再如第二章函数，这是高中数学中的重点内容，教师会花很大的精力去讲授，学生会都会下很大力气来做题，结果却不如人意。学生做题时主要是在解具体题目时很难与基本概念联系起来。如经常遇到的二次函数问题，有时是求值域，有时是解方程或不等式，学生感到茫然。我把它们统一在一起，强调二次项系数对称轴、判别式等几个因素，帮助学生克服了思维的无序性。这一章内容是思维方法从直观到抽象、从离散到凝聚的过渡，是训练学生思维深刻性和广阔性的重要阶段。
二、加强数学思想方法的渗透
高中数学的四大数学思想和十几种数学方法是教学的关键与灵魂。一是解题的方法。为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解答的基本方法、步骤。二是数学思想方法。思想方法把不同章节、不同类型的数学问题统一了起来，如数形结合思想培养了思维的形象性、创造性，化归思想提高了学生的灵活性、辨证性等。如换元法是一种常见的变形手段，它不只限于解某一章或某一类的问题。注重对这些思想方法的渗透，可以提高学生归纳总结及联想能力，将数学知识和方法的理解提高到一个新的阶段，这对思维品质的培养十分有益。
三、挖掘数学例题习题的功能
在高三总复习时，教师往往注意培养学生的综合能力，注重一题多解，一题多问的形式练习，向学生讲解大量的习题与解题方法。但学生常常是被动接受，教师给的越多，思维越混乱，结果适得其反。这一时期，教师除了精选习题，重点讲解之外，更要在讲授方法上有所创新。在讲解习题时应注重以下原则：
关键词：数学思维；数学结构；创造能力；教育
1.数学思维的组成简单介绍
广义的数学思维主应该有两方面组成：
1.1关于数学体系的了解，暨数学思维的内容
这是关于数学本质和内容的认识，简单的说就是数学“是什么”。对于数学总体结构的理解是数学思维的基础，也是一切技巧的基础。这里说的不单单是对数学概念和定理的记忆和简单运用，而是对数学原理的深刻理解。
1.2数学思维的方式
数学的思维方式，就是我们解决数学问题的思考的习惯和能力。也就是“怎么做”。解绝问题的方式有很多种，最基本的就是运用前人总结出来的解决问题的方式。然而很多时候，已有的方法是不能完全奏效的。这时候我们就需要运用我们的智慧去分析数学问题的条件，结论和特点。从而对题目进行分解转化，最终解决这个问题。在这个过程中体现出来的思维技巧和思维习惯就是数学思维方式，这也是我们所说的狭义上的“数学思维”。
2.数学体系的内涵、问题、教学重点
2.1数学体系的内涵和特点
（1）了解的必要性。
这里所说的“了解数学体系”是指对数学相关内容的整体把握，这是学习数学的基本要求也是运用数学知识的基础。
数学同所有的科学一样，是随着人类的文明的发展一步步发展而来的，本身就有着清晰的发展脉络：由简单的数字运算发展到代数运算，由最初的自然数到复数，由初等的数学方法到分析，数学在不断拓展研究的范围，丰富研究的手段。这要求我们在学习和教学的过程中不能将数学的每一部分分割开来，要尊重数学的整体性，尊重数学本身的传承关系。
和其他学科相比，数学更接近纯理论性的学科：数学的每一个分支往往是从几个基本的假设或者公理出发，通过归纳、推理、演绎、建立起自身的理论体系。数学这门学科十分强调逻辑性和严密性，结构十分的清晰严密。要想使这样的一个系统称为自己手中有力的武器，必须对系统本身有整体上的了解。
（2）了解的要求。
如果学生能够很好的回答以下四个问题，就可以说是达到了教学的目标。
①包含了什么？
学生必须了解自己所学数学的最大范围，也就是自己所掌握的所有数学工具的范围。
②每部分的结构是什么？
数学由几个相对独立的部分组成，每一部分都有自身的特点，相对独立而又自成体系。每一个体系之内的知识是有前后相继的关系的，由简单到复杂，由小的方面扩展到更大的方面，引入新的方法和思想。学生应该熟练的掌握每一部分知识的结构。
③各部分之间的关系是什么？
数学的各个部分自成体系，但又是相互紧密联系的。要真正的了解数学就要十分重视数学各个分支之间的关系，不能将数学割裂成几个孤立的部分
④数学发展的历史是什么？
数学的历史是数学思想发展的真实体现，了解数学发展的历史能够让学生更好的认识数学思维的本质。
2.2存在的问题
部分学生对于数学整体结构的了解主要存在以下两种问题：
孤立。部分学生在学习数学的过程中，割裂知识点之间的关系，忽略知识点之间的前后发展继承的关系，不注重数学各个分支之间的交叉运用，孤立的记忆每个知识点，对数学没有总体观。由此产生的后果：知识点极容易遗忘，知识结构混乱。学习新的数学知识较为困难，方法使用僵化不灵活。
肤浅。部分学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解，仅仅停留在表面的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果：学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏多方面解决问题的能力。
2.3数学体系教学重点
（1）教学过程要认真“描点”，作好“连线”的准备。描点，即强化知识点，具体到每课时、每章节、每单元。在强化知识点的内容、重点、难点的同时，要有意识地把该内容向前后延伸，强调该内容是哪些知识的延续和，同时又是以后的哪些知识的准备和基础。
（2）在知识的复习和应用时要尽力“连线”，使“点”成为“线”的元素。在最初的教学中，学生学习到的知识点是零散的、不连惯的。为了减轻学生的记忆负担，教学时要力求把知识归类、连线，使知识类别化、系统化，让学生了解一个知识点就可以掌握与之相关的内容。
（3）教学中要引导学生把“线”结成“网”，以达到“以点带面”的记忆效果。数学知识的主线有若干条，副线也有若干条，所有的线横纵交错。每个知识点在前后向同类主线无限延伸的同时，也在向副线延伸或辐射，甚至在向其他科目、其他领域延伸，使众多的知识点、知识线，密密麻麻地形成一张无边无际的大网。
3.数学思维方式的内涵、问题、教学重点
3.1数学思维方式的意义和内涵
思维训练是教学思维论在教学实践中的具体体现。数学思维论是思维科学的一个重要分支，它是构成数学课程论、学习论的灵魂。数学教材是以逻辑思维为主线，贯穿各个知识点。教学中培养学生能力的基础是发展学生思维，发展思维不可能脱离教学内容独立进行。因此，我们可以有理由认为，在数学教学中实施思维训练是教学思维论在教学实践中的体现。
数学思维方式包含两个方面：
（1）对于数学基本技巧的掌握比如换元，数形结合，极限法，拆分结合等等。很多新问题可以通过基本技巧的转化或者组合来解答。这些基本的技巧是前人在长期实践中对数学思维方式的经验的总结和归纳，他们不但是解决很多数学问题的有力工具，同时也很好的反应了数学的基本思维原理。
（2）运用数学思维的习惯。在生活中每当我们遇到新的问题，我们都需要运用我们的智慧去分析问题，然后去选择一个最好的方法解决问题。这就是在运用我们的思维能力。良好的思维习惯能够帮助我们更快更好的解决问题。对于数学问题也不例外。解决数学问题时我们需要养成分析问题、转化问题、将未知转化为已知等良好数学思维习惯。同时能够熟练运用方程、数形结合、分类讨论等思想解决问题。这是数学教学的重要目标之一，也体现了数学对于思维的锻炼。关于数学思维习惯，G?波利亚在他的经典作品《怎样解题》中有很好的阐释。
3.2存在的问题
分析中学生的数学思维品质，部分学生存在着一些明显的缺陷，具体表现为以下几点。
僵化。指学生思维不够灵活，缺乏联想，只停留在课上的内容和解题思路，只会模仿、套用模式解题，一旦题型有变化，就无从下手，不能做到“举一反三”。
迟钝。指学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。
消极。指学生习惯于依赖教师的思路，往往在已做过的题型中找思路，并且很难放弃一些陈旧的解题经验，思维僵化，不能根据新问题的特点作出灵活的反应。
造成这样的思维特点与学生过去所受的思维训练有很大关系：有些教师在教学过程中过分强调程式化和模式化，教学中给学生归纳了各种类型，并要求学生按部就班地解题，不许越雷池一步，或要求学生解答大量重复性练习题，减少了学生自己思考和探索的机会，导致学生只会模仿、套用模式解题。灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力。心理学家认为，培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维不同方面的特征，在教学过程中应该有不同的培养手段。
3.3数学思维方式教学重点
培养数学思维方式的重点是养成良好的思维习惯。我们可将数学思维方式训练的课堂教学基本模式概括为：提出问题——展示新课——思维扩展——思维训练——思维测评。在这一模式中，教师是问题暴露、思维点拨、启迪和诱导者，学生是思维的主体，是知识的探索、发现和获取者。
（1）提出问题，创设情境问题“是数学的心脏”，是思维的起点。有问题才会有思考，思维是从问题开始的。巧妙恰当地提出问题，创设良好的思维情境，能够迅速集中学生注意力，激发学生的兴趣和求知欲。这是上好数学思维训练课的首要环节。
（2）研究问题，展示新课的理性认识过程是由表象的具体到思维的抽象，再由思维的抽象上升到思维的具体的过程。研究数学问题的过程首先是由具体到抽象的过程，在此环节中，将数学问题转化加工为例题形式，使被抽象出来的数学问题再回到实践中去验证，这一阶段是学生的思维定向阶段，是运用思维探索规律学会抽象的过程。
（3）解决问题，思维扩展这一环节是知识的形成阶段，属抽象思维的高级阶段。数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成的。学生接受新知识要借助于旧知识，而旧知识的思维形式往往会成为新知识思维形式的障碍（如思维定势），因此，教师首先要抓好教学过程中数学思想方法的渗透，在数学知识的质变（往往是重点）过程中，帮助学生实现思维活动的转折，排除思维活动的障碍（往往是难点），渡过思维操作的“关卡”，以实现思维发展。
（4）发展问题，思维训练教学中，注意结合学生的心理特点和认识水平从不同角度、不同层次、不同侧面有目的、有针对性地不断设计组编一些探索型、开放型、判断改错型、归纳与综合型等题目，为学生提供多种类型的思维训练素材，这是发展学生的思维能力所不可缺少的。这要求教师注重挖掘课本典型题例的潜在功能，充分发挥它的导向、典型、发展和教育作用，反复渗透与运用数学思维方法，把数学知识溶入活的思维训练中去，并在不断的“问题获解”过程中深化、发展学生的思维。
（5）总结问题，思维测评是对学生思维品质的检测与评定形式。测评方法可小型多样，因课堂内容及学生实际情况而定，如选编一些口答、抢答、限定时间解答等题型对学生进行思维品质单项测评或多项综合测评。学生可先自我评价，体验成功的乐趣。
4.结语
一、排除数学语言障碍，为发展逻辑思维能力奠定基础
数学基础知识是思考的依据，不熟悉基本概念，公式，定理和法则，形成和发展逻辑思维能力将是一句空话。而数学语言是数学基础知识的重要组成部分。由于初中数学中出现了很多小学里没出现过的数学语言，再加上初中数学概念比小学严谨、抽象，不少初中生难以适应这个阶段的学习，一些学生没有真正理解数学语言，只会机械地背诵，导致学习基础知识时碰到困难，解题时推理无据，不严谨。
初中生数学语言学习的障碍主要表现为数学语言理解障碍，数学语言转化障碍，数学语言表达障碍。数学语言理解障碍是指初中生不能正确理解数学语言，比如“对边”，“互为相反数”，“任意非零整数”，“直线AB经过一点C”，“有且只有”等。初中生的数学思维在一定程度上依赖于具体的感性材料，这决定了他们学习数学语言时，只能由特殊到一般，由具体到抽象的循环渐进过程。因此，教师要根据这一特点，用具体的模型，学生熟悉的例子帮助学生理解数学语言。比如：讲解“平行线”概念时，教师可以举出生活中的例子：铁路上两条铁轨是笔直延伸，都在同一平面内，而且处处隔得一样远，所以永不相交；教室里窗的左右边框也有同样的特点。又比如，讲解“两点之间确定一条直线”这一命题时，教师可以把一个图钉固定在黑板上，在图钉上系上一条细线，将细线拉紧，绕图钉左右上下旋转，这时再用另一个图钉把这条细线上某点固定住，则细线就不能动了。先通过具体例于对数学语言描述的对象进行感知，学生会理解更透彻、牢固。此外，教师必须引导学生分析定义，命题等中数学语言的含义，对某些语言要“咬文嚼字”。数学语言转换障碍是指学生对于不同表达形式表征同一数学语言时，或者在同一种表达形式的数学语言的内部进行转换时出现问题，主要表现在符号语言、图像语言和文字语言之间的相互转换产生障碍。比如：对三角形高的定义中的文字语言“顶点到……垂线段……”，不能转换为图像语言，导致了记住概念后却依旧不会作出三角形的高；不[第一 lunwen。1KEJIAN。com]能将“不小于”转化为“大于或等于”等。为克服学生这一问题，教师要让学生多练习、多动手，比如要求学生能根据题意画出图形，将数学语言和图形结合起来；能将定义、定理、命题等翻译成符号语言；能将实际问题中的文字语言翻译成符号语言等。数学语言表达障碍主要表现为学生不能正确或全面地将数学问题的解决过程用数学语言表达出来，可分为口头表达障碍和书面表达障碍。针对口头表达障碍，教师可以在课堂上多提供机会让学生回答问题，提高口头表达能力，对学生多鼓励、表扬。针对书面表达障碍，教师可通过具体例题的解答书写过程演示，让学生体会如何将心中所想转换为清楚的数学语言；教师也可以给出解答同一道数学题的几种不同书面表达，让学生比较哪种表达更清楚，哪种表达有误，不全面，有歧义。
二、排除“推理不严”，做到推理有据
小学阶段的数学结论主要靠观察，经验获得，再加上初中学生的逻辑思维对直观图形依赖性太强，导致了初中生往往凭观察和经验创造出一些“想当然”的结论。比如，在解有关三角形的题目时，如果题目中的三角形看起来两腰相等，学生会凭观察直接把题中的三角形当成等腰三角形，并利用等腰三角形的知识进行求解。同时，初中生往往认识不到证明的必要性，他们困惑：为什么还要证明能直接观察出的结论？
考虑到初中生的认识发展规律，要消除这种思维习惯，教师只能逐步培养初中生逻辑思维能力。首先，教师要有意识地跟学生强调证明的重要性。比如，讲解三角形内角和定理时，教师让学生通过折纸，拼角，度量等方式提出猜想后，可以先用几何画板验证猜想，同时展示出不同形状、大小的三角形内角和，直观形象地体现出三角形数目之多。这时再抛出问题让学生思考：显然三角形是罗列不完的，那么，我们能只对一个给定的三角形动手探究就得到普遍结论吗？但即使我们对每个三角形都进行验证，我们能否全部验证完呢？此时，学生就会意识到凭实际操作是行不通的，迫切想知道解决的办法，教师再引入“数学证明”的定义，方法，作用。然后，再通过“三角形内角和定理”的证明示范，学生就会初步认识到证明的意义。其次，通过例题示范，让学生了解推理证明的方法、要求，做到推理有据。对例题的选择要遵循由易到难，由简到繁，逐步提高的原则，比如，在学习平行四边形判定时，在遵循教材学习顺序的基础上，先只要求学生能够找出条件，证明某个四边形是平行四边形；然后可要求学生在证明某个四边形是平行四边形的基础上，再证明另一个四边形也是平行四边形；先只要求不必添加辅助线的，再要求需要作辅助线才能求解的题目。这种由简到繁、逐步过渡的方法能让学生便于接受。同时，教师要告诉学生画图要有依据，不能把任意三角形画成等腰三角形，把矩形画成正方形。此外，在讲解题目时，教师要深入分析每一步证明的已知是什么，结论是什么，用了什么定理、公理。细致剖析证明过程，让学生明确逻辑推理的步骤，减少对图形的依赖，能避免学生思维混乱，形成清晰的思维层次，进而提高学生的逻辑思维能力。
三、排除“思维不缜密”，周密思考问题
由于小学的数学学习缺乏思维缜密的训练，到了初中后，学生考虑问题不全面，逻辑思维不缜密。比如：初中生习惯在非负数[第一 lunwen。1KEJIAN。com]范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况。这是由于初中数学中引入了字母，用抽象的字母代替具体的数值。而小学生接触到的数都是取定的自然数，受此影响。又比如：在解答“等腰三角形中有一个内角为35°，则其余各角的度数为多少？”这道题时，学生会出现这样的误解：把题意中的内角只当做顶角（或底角），导致出现漏解。
论文关键词：小学数学，思维习惯
所谓思维的有序性就是思考问题时有条理、按一定顺序地进行。养成了这个良好习惯，思考时就不遗漏、不重复，这是良好思维活动的开端，教师应当把这个习惯的培养摆在首位，并时刻提醒学生。如《计算圆柱的表面积》时，可以结合实物演示，让学生按照以下几个步骤来思考：①根据公式S=pr2计算一个底面积，②用一个底面积乘2得到两个底面积之和，③根据公式S=ch计算侧面积，④把两个底面积与侧面积相加即是这个圆柱的表面积。又如教学《分数基本应用题》时，可以引导学生按照“四步曲”来完成：一找关键句，即找出表述两个量之间关系的句子；二确定单位“1”，即找出关键句中是把哪个量看作单位“1”；三写关系式，写出“单位‘1’的量×分率=另一个量”这样的乘法式子；四列式并计算出结果。
二、思维的多向性
所谓思维的多向性就是指学生能从数学知识的各种不同角度，运用不同的思维方法去解决同一个问题，具有灵活的解题思路，养成多角度解决问题的习惯。在教学中，教师可以通过开展一题多解训练，有效开拓学生的思维空间，使思维更灵活。如教学《鸡兔同笼》问题：鸡兔共有20个头，54条腿，鸡兔各有多少只？可以引导学生采用列表法解答：假设鸡兔各有10只（折中法），发现腿的总条数比原来多，说明兔的只数多了，需调少一点，通过调整再调整，调至腿的总条数与原来同样多为止；可以引导学生采用假设法即算术法解答：①假设全部是鸡，一共有20×2=40（条）腿小学数学论文小学数学论文，相差的腿条数有54―40=14（条），是由于每只兔少算了4-2=2（条）腿，从而得到兔14÷2=7(只)，鸡20-7=13（只）；②假设全部是兔，一共有20×4=80（条）腿，相差的腿条数80-54=26（条），是由于每只鸡多算了4-2=2（条）腿，从而得到鸡26÷2=13（只），兔20-13=7（只）；还可以引导学生采用方程法解答：设兔子为X只，则鸡为（20-X）只，列方程为：4X+（20-X）×2=54，解得X即兔子7只，鸡13只；或设鸡为X只，则兔子为（20-X）只，列方程2X+（20-X）4=54，同样解得X即鸡13只，兔子7只。
又如：一架飞机所带的燃料最多只能使用6小时，已知飞出的时速为每时600千米，回来每时750千米，飞机最多飞出多少千米就应返回？①从分数知识出发，把飞出的总路程看作“1”，则飞出的时间为1/600，回的时间为1/720，根据“具体数量÷对应分率=单位‘1’的量”得算式6/（1/600+1/720）；②从比例知识出发，由于出去和回来所走的路程相等，飞机去回所用的时间比正好是速度比的反比，再把6小时按比例分配。
三、思维的深刻性
所谓思维的深刻性是指善于透过表面现象，发现事物的本质和规律，它来自于对事物本质属性的理解，对非本质属性的排除。为此教师可以变换思维方式，如用尺子量一张纸的厚度，让学生学会运用归一思想量出N张纸的厚度再除以N；还可以进行情节叙述的变式如“甲筐水果比乙筐多10千克”可以变为：①乙筐再填上10千克和甲筐一样多。② 甲筐去掉10千克和乙筐同样多。③甲筐给乙筐5千克后，甲乙两筐同样多。④甲筐给乙筐4千克后，则比乙筐还多2千克论文网站cssci期刊目录。⑤甲筐给乙筐6千克后，则比乙筐还少2千克等。
此外加强“一题多变”的训练，既是提高学生审题能力的重要途径，又是培养学生解题思维深刻性的重要策略。如教学分数基本应用题“面粉有40千克，大米的重量是面粉的3/4，大米有多少千克？”在让学生理解题意正确解答后，可以把第二个条件“大米的重量是面粉的3/4”改为① “是大米重量的3/4”②“大米重量比面粉多3/4”③“比大米重量少3/4”④“大米重量比面粉重量的3/4还少3千克”等，让学生在比较中进一步理解分数应用题的结构，提高解题水平，同时也大大增加了课堂容量。又如在低年级教学与乘法有关的解决问题时，可以安排如下习题来训练思维的深刻性：1、我家种了2行树，一行6棵，一行4棵，一共种了多少棵树？2、我家种了2行树，第一行6棵，第二行也是6棵，一共种了多少棵树？通过分析判断第一题用加法计算，“2行”是多余条件，干扰学生，要学会选择条件进行解题，第二题除了“2行”是多余条件，还要帮助学生从过去的加法算式中跳出来，运用新学的乘法知识来计算比较简便。
四、思维的创造性
创造性思维是指人在实践学习活动中小学数学论文小学数学论文，根据自己的目标展示出来的一种主动的、独创的、富有新颖特点的思维方式，它是在原有经验材料和学得知识的基础上进行合理性和突破性的创造组合，形成新的概念或新成果。对于小学生来说，一条新颖的解题思路，编一道应用题，小发现，小创造等都是创造性思想的结果，教师均需加以保护。如教学《圆的面积计算公式的推导》这课时，教材介绍了把一个圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，近似长方形的面积与圆的面积相等，长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，从而得到圆的面积计算公式S=pr2。此时教师可以激励学生：圆可以转化成近似的长方形，还能转化成其它学过的图形吗？通过学习小组的不断操作、反复验证，学生们发现：①可以把圆转化成近似的梯形，梯形的上下底之和相当于圆周长的一半，高相当于圆的直径（即2r）；②还可以把圆转化成近似的三角形，三角形的底相当于圆周长的四分之一，高相当于半径的4倍（即4r）。这样，不仅让学生感受到转化思想在数学学习中的作用，还增强了学生的创新意识。
总之，思维习惯直接影响着学生学习的好坏、能力的发展。只有爱动脑，勤质疑，敢于标新立异，才能不断地发现和理解数学知识，形成各种数学能力。良好思维习惯是在日复一日的学习活动中逐步形成的，离不开教师的引导和帮助。每一位数学教师都应充分关注学生良好思维习惯的形成，把良好习惯的培养贯穿在教学的全过程。
一、在引入概念时训练学生的形象思维
形象思维以表象和想象为基本形式，以观察、实验、联想、类比、猜想等为基本方法。在数学概念引入时，教师应从学生的生活实际入手，充分运用实物、教具、图表等直观教具，以及动手操作等直观手段，帮助学生获得正确、完整、丰富的表象，训练学生的形象思维。
例如“面积”的概念，可通过引导学生观察黑板、桌子、课本等实物的面引入，还可以引导学生用小刀剖开萝卜观察它的截面，让学生亲眼看一看，亲手摸一摸引入。通过多种感官的协同活动，使面积的具体形象在学生头脑中得到全面的反映。
又如教学“除法的初步认识”，一位教师先让学生分小棒：每人拿出8根小棒，把它们分成两排，看有几种分法。教师适时把他们的不同分法展示出来：
附图{图}
然后启发学生观察比较：这四种分法有什么相同？有什么不同？从而引出“平均分”。
这样引入概念，符合小学生掌握概念的认知规律：即从外部的感知开始，通过一系列外部操作活动和内部智力活动，把感性材料和生活经验化为概念。
二、在概念的形成中训练学生的抽象思维
抽象思维是用抽象的方式对事物进行概括，并凭借抽象材料进行的思维活动。它以概念、判断、推理为基本形式，以分析与综合，比较与分类，抽象与概括、归纳与演绎为基本方法。数学抽象思维能力指的是理解、掌握和运用数学概念与原理的能力。
在小学数学概念形成过程中，要及时把概念从具体引向抽象，抓住实质，排除个别实例对全面理解和运用概念的干扰，使学生充分了解概念的内涵和外延。
例如，一位教师教学“长方体和正方体的认识”时，在指导学生给不同形体的实物分类引入“长方体”和“正方体”的概念后，及时引导学生先把“长方体”或“正方体”的各个面描在纸上，并仔细观察描出的各个面有什么特点，再认识什么叫“棱”？什么叫“顶点”，然后，指导学生分组填好领料单，根据领料单领取“顶点”和“棱”，制作“长方体”或“正方体”的模型，边观察边讨论，长方体与正方体的顶点和棱有什么特点，最后指导学生自己归纳、概括出“长方体”和“正方体”的特征。从而使学生充分了解“长方体”和“正方体”这两个概念的内涵和外延。这样，既使学生掌握了“长方体”、“正方体”概念的本质属性，又训练了抽象思维。
三、在深化概念中训练学生思维的深刻性
学生数学思维的深刻性集中表现在善于全面地、深入地思考问题，能运用逻辑思维方法，思考与问题有关的所有条件，抓住问题的实质，正确、简捷地解决问题。在深化概念的教学中，可从以下两方面训练学生思维的深刻性。
一是在学生理解和形成概念之后，要引导他们对学过的有关概念进行比较、归类。既要注意概念间的相同点和内在联系，把有关概念沟通起来，使其系统化，又要注意概念之间的不同点，把有关概念区分开来。从而使学生逐步加深对概念内涵和外延的认识，深入理解概念。例如学习了“比”的概念后，可设计下表引导学生弄清“比”、“除法”、“分数”这三个概念之间的联系与区别。名称举例相互关系区别
比2:3前项:(比号)后项比值两个数的关系除法2÷3被除数÷(除号)除数商一种运算分数2/3分子──(分数线)分母分数值一个数
二是在运用数学概念解决问题的过程中，要引导学生识别数学概念的各种变式，从变化中抓概念的本质。例如，学生认识了“直角”后，教师，出示不同位置的直角（如下图），让学生判断：
附图{图}
这是在同一来源中产生各种各样的为数众多的输出的分析性的思维形式，而教师可以引导学生从不同的方面探索问题的多种答案。如16—10，可以启发学生用不同的叙述方式表述这道算式。如①16减去10等于几？②16减去10还剩多少？③16与10的差是多少？④10与什么数的和是16？⑤16比10多多少？⑥10比16少多少？⑦16减去什么数等于10？⑧10加上什么数等于16？这样，既使学生透彻理解了数量关系，又训练了口头表达能力，更重要的是锻炼了学生的思维能力。其它如“一题多解”、“一题多变”等就不赘述了。
2.求同型
这是一种进行综合、概括的思维形式。如上例，教师亦可以用几种不同的叙述方法提出几个问题，让学生归纳出16—10的算式来。此外，还可以通过一些异中有同的习题来训练学生的抽象概括思维能力。如：
①甲乙两人接到加工54只零件任务，甲每天加工10只，乙每天加工8只，几天后完成任务？
②一件工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成，两人合作几天完成？
像这些形异质同的问题，要引导学生自己总结出：工作总量÷工作效率=工作时间。只有这样，学生才能以不变应万变，解一题会多题，可以起到减轻学生负担的作用。
3.递进型
这是一种属于逻辑判断、推理的思维形式。例如，教师在讲授“已知一个数的百分之几是多少，求这个数。”一类题时，叮以引导学生用已掌握的“已知一个数几倍是多少，求这个数”的解题规律去进行逻辑推理，让学生自己发现新出现的百分数应用题的解题规律。教师不要越俎代疱，否则吃力不讨好，反而妨碍了学生思维能力的提高。
4.逆反型
这是一种敢于和善于突破习惯性思维束缚的反向思维形式。在数学教学中，可供训练的材料比比皆是，如加减、乘除、通分约分、正反比例等，问题是教师如何善于运用它。如教验算时，16-10=6，学生习惯地用16-6=10来验算，这时教师可启发学生用6＋10=16来验算。经过训练，学生便可知道用加法验算减法、用减法验算加法、用乘法验算除法、用除法验算乘法了。
5.激化型
这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。如问：3个5相加是多少？学生答：5＋5＋5=15或5×3=15。教师又问：3个5相乘是多少？学生答：5×5×5=125。紧接着问：3与5相乘是多少？学上答：3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。
6.类比型
这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如：
①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨？
②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨？
以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。
7.转化型
这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如：某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，4人买了后，筐中鱼尽，问筐中原有鱼多少条？该题对一些没有受过转化思维训练的学生来说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。
但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成1人，显然鱼1条；然后转换成2人，则鱼有3条；再3人，则7条；再4人，则15条。
8.系统型
这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。如：123456789在不改变顺序前提下（即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可以颠倒），在它们之间划加减号，使运算结果等于1OO。象这道题就牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把10个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次：找100的最接近数，即89比100仅少11。第二个层次：找11的最接近数，很明显是前面的12。第三个层次：解决多l的问题。整个程序如下：12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100
