关键词：混沌 分形 高职教育 教学系统
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）04（b）-0117-02
混沌理论和相对论、量子力学是20世纪三个最伟大的科学发现，而混沌、分形和孤子则构成了非线性科学的主体。自从美籍华裔数学家李天岩和他的导师J.Yorke提出混沌概念以来，非线性科学有了重大的突破。混沌概念与理论已渗透到自然科学和社会科学的许多领域，尤其是对科学技术哲学产生了前所未有的冲击，因此，也不可避免地影响到教育科学和高职教育中来。从混沌理论的视野来思考高职教育，会给我们带来哪些启示呢？
1 混沌的基本理论
1.1 混沌的涵义
混沌的古典涵义是指宇宙初开尚未成形时的混沌状态，而混沌的现代意义则是指一门新兴的数学分支学科―― 混沌动力学。
混沌的研究历史可追溯到19世纪末20世纪初，法国数学家H.Poincare将动力学和拓扑学有机结合起来研究三体问题，1903年在《科学与方法》一书中提出了Poincare猜想，指出三体问题在一定范围内其解是随机的，这实际上是一种保守系统中的混沌，是世界上最早的对混沌存在可能性的理论研究。1963年，美国气象学家E.Lorenz在用计算机对两无限平面间的大气湍流模拟求解时，发现当Lorenz方程中的参数取适当值时，解是非周期的且具有随机性，即由确定性方程可得出随机性结果，从而掀起了混沌研究的热潮。1975年，中国旅美学者李天岩与他的导师美国数学家J.Yorke在美国《数学月刊》发表了题为《周期三蕴含混沌》的论文，研究表明许多简单的一维非线性动力系统表现出混沌特征，“混沌（chaos）”一词正式开始以其现代意义来命名非线性动力学的研究[1]。
在混沌理论的研究中，人们把在某些确定性非线性系统中不需要附加任何随机因素，由于其系统内部存在着非线性的相互作用所产生的类似随机的现象称为“混沌”。但这并不是动力系统中严格意义上的混沌的定义。
1.2 混沌相关概念
（1）不可预测性：混沌系统具有对初始状态和参数的敏感依赖性，“差之毫厘，失之千里”，使得系统长时间后的行为难以预见，表现为随机性质。但这种随机性质是一种伪随机性，是由确定性动力系统本身的相互作用所产生的类似随机现象，有人称之为内（禀）随机性[2]，使之与真正的随机性区分开来。而Lorenz将这一现象表述为“蝴蝶效应”，这可能源于Lorenz吸引子像一只振翅的蝴蝶。
（2）不可分解性：混沌系统是拓扑传递的，是不能分解为两个或更多个不相互影响的子系统的。所以，对混沌系统只能从整体上去研究，因此，混沌系统是一种复杂性系统。
（3）混沌吸引子：吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。有三种不同的吸引子控制和限制物体的运动程度：点吸引子、奇异吸引子、极限环吸引子。点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，以便系统的性态呈现出平衡的、静态的特征，故它们也叫做收敛吸引子。而奇异吸引子则与前二者不同，它使系统偏离收敛吸引子的区域而导向不同事的性态，它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性[3]。
（4）分形几何学：美籍法国数学家B.B.Mandelbrot于1975年提出了分形几何学的概念，他同年出版的分形几何学的第一部著作《分形：形状、机遇和维数》，象征着分形（Fractals）理论的诞生。自相似性是分形的最重要特征。分形是指系统在不同标度下的自相似性，即指系统局部的形态与整体的形态相似。分形理论的重要原则是自相似原则和迭代生成原则。分形具有两个普遍特征：首先，它们自始至终都是不规则的；其次，在不同的尺度上不规则程度却是一个常量。
混沌动力学研究的是无序中的有序，混沌事件在不同的时间标度下表现出相似的变化模式，与分形在空间标度下表现的自相似十分相像。混沌主要讨论非线性动力系统的不稳定、发散的过程，但系统在相空间中总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相似。所以分形与混沌有着密切的联系[1]，但却是两门不同的数学分支学科―― 混沌动力学与分形几何学。
2 混沌理论视野的高职教育思考
J.Yorke认为，混沌是宇宙的自然状态，在混乱中，复杂系统可以被不断完善，秩序形成于混沌之中。混沌不是混乱的、随机的分散，相反，其中的模式是非常有秩序的，只是较为复杂，混沌指的就是这种复杂的秩序化[4]。混沌理论为当代教育理论，包括学校管理、课程发展和教学改革，提供了丰富的信息，启迪我们去探索思考。
2.1 学校管理设计
混沌源自于非线性的相互作用。在当今的社会里，有很多学校在管理中存在着大量的混沌现象。体现在学校面临的外部环境具有复杂性、学校管理目标的多维性、学校内部存在自发的混沌行为。学校作为社会系统的一个子系统，它要向前发展，就需要与外界进行信息和物质交流，在此过程中，必然要受外部环境的影响。而教育作为一种准公共产品，具有社会性和市场性的双重属性，高职高专这种双重属性则更加明显。同时，学校组织也是一个具备自组织特征的非线性耗散系统，可以自发产生混沌行为，一些扰动于学校内部的众多因素在非线性作用下可以被放大为巨涨落，促使学校走向混沌[5]。
现代管理理论普遍认同的管理过程的四个职能是计划、组织、领导和控制。在整个管理过程中，混沌理论都有着重要的指导意义。从计划的角度而言，由于混沌系统具有对初值的敏感依赖性（蝴蝶效应），学校不可避免地会受到内部涨落和环境噪声的影响，从而导致未来的不可确定性。因此，在混沌环境中，学校应更注重对未来可能出现的各种环境的分析，缩短战略规划长度，减少战略的刚性和被动适应性，增加战略的灵活性、敏捷性和战略的柔性，以应对不断变化的环境。重视人的个人价值实现，实行因才施用的开放性管理模式。根据混沌运动的内随机性特征，对于学校组织管理者而言，如何打破上下级之间的紧密联系，使得各个子组织成为具有相对独立决策地位的自组织管理团体，让组织管理实现由“紧”而“松”的转变，使学校组织形式从他组织转变为自组织管理。学校作为一个非线性的耗散系统，学校的领导者要有效地运用波动理论的耗散结构，使学校管理产出具有高的教育效率。混沌系统奇异吸引子诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。对于学校管理者而言，组织中奇异吸引子的设计相当重要，学校管理者应注意找出变革混沌的规律秩序的线索，找到学校管理中引起变革的人和事，形成一种变革的引力系统，从而推动改革的进行。动力系统出现混沌现象有利也有弊，对有利的混沌善加利用、对不利的混沌进行抑止即是混沌控制。混沌控制一般采用自反馈控制，学校必须在各子组织中设计反馈机制，组成一种不断追求卓越的动力系统，以全面提升学校的管理质量和绩效。
2.2 教学系统设计
教学系统一般由教学规划、教学实施和质量评价几个要素构成，教学规划包括：数学模式、数学时空、教学计划和教学大纲（课程标准）等内容。教学空间指教学目标与学生初始水平之间的距离，教学时间指学生在校学习年限，两者之和为教学时空；教学模式是指达到教学目标的路径和规划。由于教学目标具有市场为导向的多元、动态特性，因此，教学过程中人的思维是一个复杂的非线性过程，教学系统呈现混沌特性。利用混沌理论掌控教学系统、优化教学路径和方法，这就是混沌教学系统设计[6]。
教学规划是教学系统设计的方案，主要是根据教学时空确定人才培养模式，根据人才培养模式制定人才培养方案，包括人才培养目标、专业课程体系和教学进度安排。由于学校教育的准公共产品特性，使其培养目标必然受到社会性和市场性的制约，就高职教育而言，既要关注学生的社会需要，使其全面发展，又要根据市场就业需求，培养市场需要高技能人才。“大批量定制教育新模式[6]”为解决学校教育社会性和市场性矛盾提供了一个可行的方案，为培养“通专结合”人才指出了一条可行之路。我们不妨将“通”与“专”看成是Lorenz蝴蝶上的两个吸引子，围绕着“通”与“专”这两个混沌吸引子来人才培养方案。根据分形理论，精心设计公共课、专业课，提高大批量生产人才的质量；合理安排选修课，保持人才培养的灵活性。
由于人的思维是一个复杂的非线性过程。在高职教育的教学实施过程中，存在着教学空间的扩张和教学时间的压缩的矛盾、信息输入的确定性与思维的非预测性的矛盾、施教内容的封闭性与学习内容的开放的矛盾。为了不使这些矛盾出现，就要利用混沌和分形理论形成一个看似无序但是确有规律的混沌教学实施过程。以Cherryholmes的“解构性后现代课程观”和Doll的“建构性后现代课程观”为基础的后现代课程主义理论，吸收了J.Piaget的生物学世界观以及自然科学中的不确定原理、非线性观点以及J.Dewey经验主义思想，勾画出其后现代主义的课程理论框架。这是一个复杂的、多维的、万花筒般的、联系的、跨学科的、隐喻的系统，呼唤着教育工作者为进行现代课程的变革而努力。
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【关键词】混沌理论；创造；蝴蝶力量；简单与复杂
混沌也写作浑沌，中国古人想象中天地未开辟以前宇宙模糊一团的状态，后用以形容模糊隐约的样子；也形容人幼稚糊涂。混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。该理论是科学与哲学的结合，形成的一种独特的富有成效的生活智慧，旨在启发、洞察对世界的新体验，与其抗拒生命的不确定性，不如接受他们提供的诸多可能性。
一、混沌理论的主要鉴识
（一）创造――来自涡旋的鉴识
将热源置于盛水的平底锅下面，由于热水比冷水轻，锅底部的热水上升，同时上面的冷水下沉，这样上上下下就产生了混沌的竞争。i只要将水加热到稍低于沸点的某个特定温度，变化就会出现，水自发地形成一种规则的涡旋，只有将涡旋的条件保持在一定的范围内，才能保持稳定。将这种现象隐喻到现实生活中的创造，能更好的让人们从新认识创造，激发每个人的创造力。真理和混沌紧密联系，带着创造性的疑惑去生活，就会步入混沌并发现真理。制造涡旋首先，必须得有湍流，也即生活中体验无法用语言描述的感受，这将引导到新的生活道路。其次，分岔和放大效应，也即生活中对待错误、机会和失败的态度远离普遍认可的结构，都有可能产生分岔点。最后，开流，当我们产生创意并沉浸于混沌之中，分岔点迟早都会出现，就需要我们保持一种流动的开放感，不应与整体分割，误入个体性悖论。创造属于每一个人，当我们的想法发生转变时，我们就能体验到存在和真实，我们将变得富有创造性。
（二）运用蝴蝶力量――微妙影响的鉴识
个体的微不足道的行为可能会对社会产生重大的影响，就像“蝴蝶效应”一样，对初始条件的极端依赖性。系统内蝴蝶般的微动会通过反馈扩大化直至改变整个系统状态。混沌理论指出，虽然我们每一个人都不具有传统意义上控制者的力量，但是我们都拥有微妙影响的“蝴蝶力量”。哈韦尔渐渐意识到他们国家以及世界上其他许多强大的组织和系统，并不是由传统的等级制度来维系的，而是由社会的弱势成员主动纠合及趋同结合在一起来维系的。ii基于纠合和趋同的系统显然不是创造性的开放系统，它们的行为受制于少量负反馈环，无数的小反馈环纠结一起形成“极限环”。任何僵化的社会、组织、心理会自我强化，就是一个“极限环”。要打破极限环，就需要个体施加微妙影响力。微妙影响力的负面影响将相互制约的极限环联系在一起，形成僵化系统，但它的正面影响对开放系统不断更新并保持活力至关重要。在现实生活中我们每个个体都是整体不可分割的部分，应采取一种更温和的态度处理复杂的事情，系统中每一个元素都影响着其他元素的发展方向，以一种正面的方式施加影响，本质上需要谦虚，现实世界永远在流动，任何语境都能够而且会改变。
（三）行云流水――关于集体创造与革新的鉴识
从一个印第安部落需要翻新议事厅屋顶故事，说明该部落是一个开放的、创造性的、混沌的非线性系统。那里的人民既无所谓竞争，也无所谓合作，他们的所作所为非常自然，一如行云流水。这一例证说明社会自组织和集体创造性不仅发生在印第安部落，也存在于全球各地的乡村社区和各种各样非正式组织中。混沌理论通过“白蚁”个体行为和集体行为的对比说明社会实践中个体准则和集体准则的并存，提出“协同进化观”转变了传统的达尔文生物学意识形态即不加限制的竞争行为的合理化解释。引用“猕猴”的例子说明竞争在个体之间交互作用方面可以是一个重要的因素，但从混沌理论的角度看，注意系统间如何彼此竞争，不如关注系统间如何彼此依赖，相互关联更为重要。混沌理论告诉我们，竞争与合作不是非此即彼的对立概念，它们复杂地交织在一起。
（四）上下求索――关于简单与复杂的鉴识
混沌理论表明貌似相当复杂的事物也许有一个简单的起源，而简单的表象之下或许隐藏着惊人的复杂内涵。iii当我们生活看起来最复杂时，简单的秩序或许就在某个角落。而当事情显得简单时，我们应该注意隐藏的细微差别和微妙之处。复杂和简单并非事物内部所固有，而是体现在事物之间以及我们和它们之间的互动之中。iv我们要学会在简单化和复杂化中把握自己，在现实生活中，我们应该尊重我们自身存在的复杂性和差异性。超越投射、成见与二元论，学会用混沌理论指引我们超越简单与复杂、客观与主观、稳定与超敏感。超越我们的思维基础并为我们的成见和投射注入能量的其他的二元论。
二、混沌理论在现实生活中的应用
第一鉴：创造――来自涡旋的鉴识。混沌理论告诉我们创造是属于我们每一个人，“混沌”中“正负反馈”造成动态平衡，从“分岔点”产生有序。人类的创造与此类似，也来自于思维中的混沌，学会制造湍流，放大效应，开流，创造性的思维油然而生，生活无处不存在创造。
第二鉴：运用蝴蝶的力量――微妙影响的鉴识。混沌理论告诉我们一个系统对初值的敏感性，个体的微不足道的行为可能会对社会产生重大的影响，就像“蝴蝶效应”一样。然而僵化的社会、组织、心理会自我强化，就是一个“极限环”，要打破极限环，就需要个体施加微妙影响力。不论在职场还是人际交往，抓住微妙的影响，都值得重视。
第三鉴：行云流水――关于集体创造与革新的鉴识。在集体创造过程中“自组织”无处不在，开放、创新、有活力的组织就像混沌中的“奇异吸引子”有利于集体协同创造，僵化的组织则像极限环，扩大其负反馈的作用，不利于集体的发展。
第四鉴：上下求索――关于简单与复杂的鉴识。在混沌理论中，“分形”体现了简单与复杂的融合。在自然界中，简单与复杂以“间歇性”的形式相互转化。人类社会、人类的认识论与此相仿。我们应该超越简单、复杂的二分，二而一地认识一切。
《混沌七鉴》中混沌理论被整合成广阔的视野，揭示了创造性的深邃本质，强调微妙变化对整体的影响力，认识到简单与复杂的统一，用整体的视角看待一切，学会集体创造。混沌理论与“易经”、“佛学”、“老庄”等观点都有异曲同工之处，强调最高境界就是仿效自然。混沌理论中也有不少可以商榷的地方，比如用混沌理论来重新理解整体论，本人社会经验尚浅，学识不足，很多观点还需细细品味。
注释：
i 约翰・布里格斯.混沌七鉴[M].上海：科技教育出版社，2005：15.
ii 约翰・布里格斯.混沌七鉴[M].上海：科技教育出版社，2005：38.
iii 约翰・布里格斯.混沌七鉴[M].上海：科技教育出版社，2005：78.
iv 约翰・布里格斯.混沌七鉴[M].上海：科技教育出版社，2005：87.
【参考文献】
关键词：混沌理论；非线性系统；蝴蝶效应；教学系统；素质教育
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）22-0153-02
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统产生的内在随机性的研究。它是非线性系统的共同属性，而世界上非线性系统，小到原子世界，大到宇宙，从自然科学到社会科学，乃至人际关系，各种各样的非线性系统无不例外都存在着混沌特性，混沌理论在其中起到重要的引导作用。近年来，对教学领域的混沌现象研究备受教育工作者重视，它给传统的、线性的、封闭的、模式化的教学模式带来极大冲击。实际上，教学过程恰恰是一个非线性的混沌过程，所以混沌理论必然对其会产生影响。从混沌的角度重新思考传统高校教学模式，对于我们实现教学模式改革和创新，大力增强新时期教学工作方法的针对性和创造性，具有较强的借鉴和指导作用。
一、混沌理论及基本特征
混沌理论被称为与相对论、量子力学相提并论的20世纪自然科学三大发现之一。混沌理论打破了人们对于确定论式可预测性的传统观念，揭示了非线性系统演化的复杂过程。混沌学将确定的与随机的、必然的与偶然的、有序的与无序的对立的方法论统一了起来[1]。混沌学的任务就是对混沌现象中蕴含的“无序之中的有序性”的研究。混沌理论已逐渐被视为一种崭新的、人们深入认识客观世界和改造世界的方法论。
混沌运动的几个明显的特征是内随机性、非周期性、遍历性、普适性、初值敏感性等[2]。其中对初值的敏感性这一特点也被称为“蝴蝶效应”，它是混沌学理论中的一个重要概念。“蝴蝶效应”表现在非线性系统的长期演化行为对初始条件的极端敏感的性质，初值极小的变化将会引起系统演化的巨大差异，系统的将来不可预测。所谓“差之毫厘，失以千里”正是这一现象。所有的混沌系统的发展必然受到混沌理论的指导。
二、混沌理论对传统线性教学模式的影响
传统的教学过程常被认为是线性的一维封闭过程。教学单位往往事先预定一个或多个固定不变的目标，并以此制定教学方法。教师扮演的是教学程序的主动施教者，学生成为被强迫式的受教者，施教与受教两者发展着目标确定的因果线性关系，学习的最终结果是可预测的，一切教学过程和结果都能被精确地把握[3]。这样的观念导致了教学的教条化、刻板化，学生的学习被看为简单地知识累积，扼杀了学生的主体性，这与现代以人为本的素质教育要求极为不符。实际上教学过程是一个复杂的非线性过程，教师和学生的状态具有复杂性，教学环境具有多样性。这些不确定因素微小的变化，在教学过程的长期发展中，将会导致实际教学效果的巨大变化。教学系统应当是一个难以预测的、非封闭的、非线性系统，而学生的学习形式也必定是开放式的。
三、混沌理论对高校教学模式改革的启示
既然混沌普遍存在于非线性系统中，所有非线性系统都或多或少的存在混沌现象，那么也可以用混沌理论来研究教育问题[4]。混沌理论对转变传统的教育观念提供了富有价值、可借鉴的新思维，为现代高校教育改革提供了重要启示。应用混沌理论促进高校教育改革可以从以下几方面着手：
1.强化初始条件，制定合理教学目标，为开展教学打下坚实的基础。混沌理论强调系统或事物对初始条件的敏感的依赖性。众所周知，人的行为受观念指导。因此，实施教育教学，首先必须从如何加强正确学习观念引导这一基础性工作入手。对于刚迈入大学校园的新生而言，他们还缺乏明辨是非、区分界限以及给自身制定发展目标的能力。教师若在这个时期给学生定位不好，不能及时给以正确的引导，那么对大学生今后的学习生活会产生极大影响。正如一句古话：“良好的开端是成功的一半。”[5]。教师应加强对学生学习初期行为的规范指导，合理而有效地为学生制定多维性教学目标，为教学过程向着好的方向l展奠定坚实的基础，为学生全面发展做好准备。
2.运用敏感性分析方法，充分利用正负反馈的激励作用，实时对教学工作进行修正。当学生学习从初级进入新的阶段时，学生在思想上、行为上产生细微的变化，致使预定的教学目标难以实现。此时教师必须采取敏感性分析法，针对不同时期学生学习的特殊性，充分关注混沌事件的影响，利用反馈机制及时灵活地调整教学内容和教学方法，按照混沌理论的需要对非线性系统的各个控制变量进行微调，制定有效的对策，要做到“教学有法，教无定法”。教师要重视教育细节，有时候细节决定成败。对于一些坏的因素，即学生学习中出现的混乱，教师应及时发现，妥善处理，引导学生朝着正确的方向前行，使混沌区域有序和稳定。一些有益的现象，教师要适当地利用并加以放大，使其发挥更大的促进作用[6]。对微小变化的敏感性既能发挥教师的主导作用，又能发挥学生思维的主观能动性。总之，教师应能熟练掌握敏感性分析手段，找到调节某种因素，使混沌收敛，达到预期的教学目标。
3.弹性灵活的教学设计，给学生一定的混沌空间，建立更高层次的规律。传统教学要求课堂纪律严格，学生严格按照老师定制的学习模式进行学习，容不得一点混乱。然而，教学系统内部各要素是相互影响的，处于混乱状态的。学者多尔曾说过，正是有了混乱，才有了有序，严格的控制和复杂的规则，制造的只能是一片死寂[7]。教师应在总体教学目标指导允许一定混乱存在，掌握一定的驾驭混沌的能力，通过某些恰当的手段对混乱加以有效引导，有序便可自觉形成。而混沌可以给学生一定的活动空间，使学生找到适合自己的人生目标，这样才能激发学生的学习激情，实现其发展的可能性。所以，高校必须要设定多角度、多方面的教学目标，并允许在实际教学过程中偶尔对教学目标有合理的偏离，而这些偏差很可能将会激发教师的教学灵感和学生的学习热情，增强课堂教学的创造性和主动性[8]。
四、结束语
混沌是一种关于过程和演化的科学，它使人们看到了运动演化中的生机和动力[9]。HenryAdams曾经说过：“有序培养习惯，混沌塑造生命。”教育工作者必须重视混沌理论的灵活应用，这有助于我们从传统教学模的桎梏中解放出来，真正进入到创造性的非线性教学中。混沌理论在教学过程中的合理应用对学生发散思维、创新意识、学习热情等综合素质的培养具有重要的作用。然而目前在各种教学活动中混沌理论的应用还比较少。在我国教育改革日益深化的今天，教育工作者应该进一步充分认识混沌理论在教育过程中的指导作用，运用混沌理论研究的视角来重新诠释高校教学，创设适应新形势的教学模式，从而为社会培养具有创造力和实践能力的高素质人才。
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Exploration on the Application of Chaos theory in Optimizing the Teaching Mode of University
ZHANG Zhi-ying，WANG Si-han，LIU Chun-yu
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun，Jilin 130022，China）
[关键词] 电子商务混沌信息安全
一、引言
近年来，随着计算机技术和网络技术的不断发展，与实物流和资金流相关的信息流趋于多样化，这种多样化反映在信息流上为介质发生了变化。纸介质的契约、商务合同等逐步转变为电子介质和并进行电子传输。当前，我国电子商务普及程度正逐步提高，发展迅速。在电子商务快速发展的同时，其中的安全问题也日益受到人们的重视。如何保证电子商务活动的安全，为之提供行之有效的保障是当今的研究热点之一。从电子商务活动的全过程来看，以下三个方面极为重要：（1）交易双方或多方的身份认证；（2）交易过程中信息的保密；（3）交易完成后参与各方不能对交易的结果进行抵赖。而这些过程均是建立在加密算法基础之上的。当前传统的加密算法如三重DES、AES等大多来自于美国的标准，其中是否存在安全“后门”尚有争议，而且常常受到出口的限制。为此，引入各种新的技术，研究具有我国自主知识产权的加密算法，对促进我国电子商务的发展具有十分重要的意义。
自1989年英国数学家Matthews提出基于混沌的加密技术以来，混沌密码学作为一种新技术正受到各国学者越来越多的重视。现有的研究成果表明混沌和密码学之间有着密切的联系，比如传统的密码算法敏感性依赖于密钥，而混沌映射依赖于初始条件和映射中的参数；传统的加密算法通过加密轮次来达到扰乱和扩散，混沌映射则通过迭代，将初始域扩散到整个相空间。传统加密算法定义在有限集上，而混沌映射定义在实数域内。当前，混沌理论方面的研究正在不断深入，已有不少学者提出了基于混沌的加密算法，这些都使得将混沌技术广泛应用于电子商务安全成为可能。
二、混沌及其特性
1.混沌的定义
混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为。混沌一词由李天岩（Li T Y）和约克（Yorke J A）于1975年首先提出，他们给出了混沌的一种数学定义，即Li-Yorke定义:
设连续自映射,I是R中一个子区间。如果存在不可数集合满足
（1）S不包含周期点
（2)任给,有和。此处表示t重函数关系。
（3）任给及f的任意周期点有则称f在S上是混沌的。
除此之外，关于混沌还有如Smale马蹄、行截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。虽然混沌的定义众多，但迄今为止，还没有公认的普遍适用的数学定义。这主要是因为不使用大量的技术术语不可能定义混沌，且从事不同研究领域的人使用的混沌定义有所不同。
2.混沌特性与信息加密的密切联系
混沌现象是非线性确定性系统中的一种类似随机的过程。人们通过对混沌系统进行的大量研究，认识到它具有一些重要的特性，即高度的不可预测性，伪随机性和对系统参数、初始状态的敏感依赖性。而且这些特性非常适合用于数据加密。
由于混沌系统对初始状态具有敏感依赖性，因此当把两个具有非常细微差别的初始值引入到混沌中时，经过一定阶段的运算后，两者之间的差别会非常大。这满足Shannon提出的，好的加密系统其函数必须复杂且一个小的变化必然导致结果发生很大变化的要求。为此，在设计基于混沌的加密系统时，可将系统参数或初始状态作为密钥。同时，将明文在混沌系统中进行迭代以产生密文，这样能保证密文对密钥（即系统参数和初始状态）的敏感依赖。
混沌系统进行迭代时产生的数值序列虽然来自于确定的系统，但是却具有不可预测性和伪随机性。针对混沌数值序列不可预测的特性，可将混沌系统用于产生流密码。这在一定程度上可以非常方便的实现“一密一钥”。针对数值序列的伪随机性，可将明文序列隐藏于其中，从而实现信息的隐藏或加密。常见的加密方法是将混沌系统迭代产生的数值序列与明文序列进行异或操作，解密时将密文序列与混沌数值序列进行异或。图1为logistic映射：在μ=4，x=0.1234567时迭代产生的混沌序列。图2和图3分别为Lena原图像和利用该混沌序列加密后的图像。虽然上述加密方法非常简单，但是从中仍可看到密码学中的一些特性与混沌系统的特性有着巨大的相似性。
图1. logistic映射产生的混沌序列
图2. Lena标准图像
图3. 加密后的Lena图像
三、混沌技术在电子商务安全中的应用分析
1.可行性分析
电子商务行业的发展迫切需要引入新的技术，构建更加可靠的安全方案。现今，我国电子商务发展迅速，应用的领域日益广泛，已经具有相当的产业规模。无论是从事电子商务的商家还是消费者个人都更加重视交易的安全。同时，由于技术的发展一些原本安全的算法也正面临严峻的挑战，如已有学者找到构造MD5碰撞性的算法。这些情况均极大地促使人们应用新技术，构建可靠的电子商务安全方案。
混沌密码学的发展为混沌技术广泛应用于电子商务奠定了很好的基础。自上世纪80年代开始将混沌应用于信息加密以来，混沌密码学作为一门新兴的学科发展迅速，在该领域内已取得了不少的研究成果，主要有（1）利用混沌同步技术进行信息保密通信；（2）利用混沌迭代产生的伪随机序列来构建对称的序列密码系统和分组密码系统;（3）利用一些特殊的混沌映射如Chebyshevy映射来构建非对称的加密系统;（4）利用混沌映射构建Hash函数、S盒等。身份认证、防止信息窜改,以及数字签名是电子商务中非常重要的过程，它们均是建立在加密算法、hash函数基础之上的。从当前混沌密码学研究的成果来看，以混沌技术为基础，设计各种加密算法和hash函数是完全可行的，并且能最终构建满足电子商务安全需要的方案。
2.需要解决的问题
当前，在电子商务的安全领域内，专门以混沌技术为基础构建的安全方案不多，广泛应用于实际的就更少。这主要是因为，混沌密码学中的许多研究成果并未专门针对电子商务安全的特点进行考虑，部分成果停留于理论研究还未进行实践检验。为此要将混沌技术广泛应用于电子商务安全中，还需要解决下列问题：
（1）进一步研究数字化混沌系统的理论。已有的对混沌系统的理论研究主要是在实域范围内。当将混沌系统用于信息加密时，需要对混沌系统进行数字化，特别是计算机中对混沌系统的数字化只能在有限精度范围内进行。显然，这对混沌系统的特性是有影响的。这种影响究竟有多大，应该怎样处理才能保证信息的安全。这些均是数字化混沌系统理论应该解决的问题。
（2）建立混沌加密算法的评判标准。当前对基于混沌的加密算法的评判，主要还是依据传统密码学的标准，如考察混淆、扩散、密钥空间大小等指标，几乎没有采用针对混沌特点的指标。显然这是不全面的。同时，在评判标准中还应加入一些与电子商务应用相关的指标，如加密速度、实时性等。建立合理全面的加密评判标准是混沌技术广泛应用于电子商务安全的必要条件。
（3）合理的结合混沌加密方案和传统加密方案。虽然随着技术的发展，传统加密方案中部分算法可能需要替换或者加强，但是从整体上看，传统加密方案在完备性、可操作性等方面还是具有很强的优势，且经过实践的检验。因此，不能一味的用混沌加密方案彻底替换传统的加密方案，而应将两者有效结合起来。将两种类型的方案有效的结合起来是混沌技术广泛应用电子商务安全的最为可行的策略。
3.发展趋势
从当前混沌密码学的研究成果来看，在电子商务安全中设计基于混沌的加密算法时主要有如下的趋势：
（1）加密算法由基于简单的混沌系统向复杂混沌系统发展。由于对混沌序列的研究不断深入，当前已有一些混沌序列的预测方法。它们能在一定程度上预测简单混沌系统的序列值，而对于复杂混沌系统则几乎不可能。当前，在设计电子商务安全中的加密算法时，大都趋向于使用复杂的混沌系统，或者将简单的混沌系统增强为多级的混沌系统或复合系统。
（2）使用时空混沌系统设计加密算法。在时空混沌系统中，某点的状态不仅与时间相关，而且还与它在系统中的位置,以及它与邻接点的耦合强度相关。时空混沌系统是一种非常复杂的混沌系统，它在计算机的有限精度范围内也很难出现退化为周期解的情况，因此这种类型的混沌系统正日益受到重视。
(3）使用混沌技术增强传统的加密算法。如使用混沌技术构造变化的S盒能在很到程度上增强传统加密算法的安全强度，同时又能保持传统加密算法已有的优点。这种处理方式正得到越来越多人的认可。
（4）根据电子商务安全的需求，设计自适应的混沌加密算法。在电子商务交易过程中，根据信息安全等级的要求决定信息加密的程度是一种非常好的方法。在混沌加密过程中，可以非常方便的实现这种自适应加密方法。常通过设置迭代次数的多与少来实现加密强度的变化。当迭代次数越多时，序列在相空间的离散度就越高，从中抽取的数值的随机性就越好，因此加密的强度就越高，加密的时间也越长。反之，迭代次数越少，加密强度越低，加密时间也就越短。
四、结论
[关键词] 电子商务混沌信息安全
一、引言
近年来，随着计算机技术和网络技术的不断发展，与实物流和资金流相关的信息流趋于多样化，这种多样化反映在信息流上为介质发生了变化。纸介质的契约、商务合同等逐步转变为电子介质和并进行电子传输。当前，我国电子商务普及程度正逐步提高，发展迅速。在电子商务快速发展的同时，其中的安全问题也日益受到人们的重视。如何保证电子商务活动的安全，为之提供行之有效的保障是当今的研究热点之一。从电子商务活动的全过程来看，以下三个方面极为重要：（1）交易双方或多方的身份认证；（2）交易过程中信息的保密；（3）交易完成后参与各方不能对交易的结果进行抵赖。而这些过程均是建立在加密算法基础之上的。当前传统的加密算法如三重DES、AES等大多来自于美国的标准，其中是否存在安全“后门”尚有争议，而且常常受到出口的限制。为此，引入各种新的技术，研究具有我国自主知识产权的加密算法，对促进我国电子商务的发展具有十分重要的意义。
自1989年英国数学家Matthews提出基于混沌的加密技术以来，混沌密码学作为一种新技术正受到各国学者越来越多的重视。现有的研究成果表明混沌和密码学之间有着密切的联系，比如传统的密码算法敏感性依赖于密钥，而混沌映射依赖于初始条件和映射中的参数；传统的加密算法通过加密轮次来达到扰乱和扩散，混沌映射则通过迭代，将初始域扩散到整个相空间。传统加密算法定义在有限集上，而混沌映射定义在实数域内。当前，混沌理论方面的研究正在不断深入，已有不少学者提出了基于混沌的加密算法，这些都使得将混沌技术广泛应用于电子商务安全成为可能。
二、混沌及其特性
1.混沌的定义
混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为。混沌一词由李天岩（Li T Y）和约克（Yorke J A）于1975年首先提出，他们给出了混沌的一种数学定义，即Li-Yorke定义:
设连续自映射,I是R中一个子区间。如果存在不可数集合满足
（1）S不包含周期点
（2)任给,有和。此处表示t重函数关系。
（3）任给及f的任意周期点有则称f在S上是混沌的。
除此之外，关于混沌还有如Smale马蹄、行截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。虽然混沌的定义众多，但迄今为止，还没有公认的普遍适用的数学定义。这主要是因为不使用大量的技术术语不可能定义混沌，且从事不同研究领域的人使用的混沌定义有所不同。
2.混沌特性与信息加密的密切联系
混沌现象是非线性确定性系统中的一种类似随机的过程。人们通过对混沌系统进行的大量研究，认识到它具有一些重要的特性，即高度的不可预测性，伪随机性和对系统参数、初始状态的敏感依赖性。而且这些特性非常适合用于数据加密。
由于混沌系统对初始状态具有敏感依赖性，因此当把两个具有非常细微差别的初始值引入到混沌中时，经过一定阶段的运算后，两者之间的差别会非常大。这满足Shannon提出的，好的加密系统其函数必须复杂且一个小的变化必然导致结果发生很大变化的要求。为此，在设计基于混沌的加密系统时，可将系统参数或初始状态作为密钥。同时，将明文在混沌系统中进行迭代以产生密文，这样能保证密文对密钥（即系统参数和初始状态）的敏感依赖。
混沌系统进行迭代时产生的数值序列虽然来自于确定的系统，但是却具有不可预测性和伪随机性。针对混沌数值序列不可预测的特性，可将混沌系统用于产生流密码。这在一定程度上可以非常方便的实现“一密一钥”。针对数值序列的伪随机性，可将明文序列隐藏于其中，从而实现信息的隐藏或加密。常见的加密方法是将混沌系统迭代产生的数值序列与明文序列进行异或操作，解密时将密文序列与混沌数值序列进行异或。图1为logistic映射：在μ=4，x=0.1234567时迭代产生的混沌序列。图2和图3分别为Lena原图像和利用该混沌序列加密后的图像。虽然上述加密方法非常简单，但是从中仍可看到密码学中的一些特性与混沌系统的特性有着巨大的相似性。
三、混沌技术在电子商务安全中的应用分析
1.可行性分析
电子商务行业的发展迫切需要引入新的技术，构建更加可靠的安全方案。现今，我国电子商务发展迅速，应用的领域日益广泛，已经具有相当的产业规模。无论是从事电子商务的商家还是消费者个人都更加重视交易的安全。同时，由于技术的发展一些原本安全的算法也正面临严峻的挑战，如已有学者找到构造MD5碰撞性的算法。这些情况均极大地促使人们应用新技术，构建可靠的电子商务安全方案。
混沌密码学的发展为混沌技术广泛应用于电子商务奠定了很好的基础。自上世纪80年代开始将混沌应用于信息加密以来，混沌密码学作为一门新兴的学科发展迅速，在该领域内已取得了不少的研究成果，主要有（1）利用混沌同步技术进行信息保密通信；（2）利用混沌迭代产生的伪随机序列来构建对称的序列密码系统和分组密码系统;（3）利用一些特殊的混沌映射如Chebyshevy映射来构建非对称的加密系统;（4）利用混沌映射构建Hash函数、S盒等。身份认证、防止信息窜改,以及数字签名是电子商务中非常重要的过程，它们均是建立在加密算法、hash函数基础之上的。从当前混沌密码学研究的成果来看，以混沌技术为基础，设计各种加密算法和hash函数是完全可行的，并且能最终构建满足电子商务安全需要的方案。
2.需要解决的问题
当前，在电子商务的安全领域内，专门以混沌技术为基础构建的安全方案不多，广泛应用于实际的就更少。这主要是因为，混沌密码学中的许多研究成果并未专门针对电子商务安全的特点进行考虑，部分成果停留于理论研究还未进行实践检验。为此要将混沌技术广泛应用于电子商务安全中，还需要解决下列问题：
（1）进一步研究数字化混沌系统的理论。已有的对混沌系统的理论研究主要是在实域范围内。当将混沌系统用于信息加密时，需要对混沌系统进行数字化，特别是计算机中对混沌系统的数字化只能在有限精度范围内进行。显然，这对混沌系统的特性是有影响的。这种影响究竟有多大，应该怎样处理才能保证信息的安全。这些均是数字化混沌系统理论应该解决的问题。
（2）建立混沌加密算法的评判标准。当前对基于混沌的加密算法的评判，主要还是依据传统密码学的标准，如考察混淆、扩散、密钥空间大小等指标，几乎没有采用针对混沌特点的指标。显然这是不全面的。同时，在评判标准中还应加入一些与电子商务应用相关的指标，如加密速度、实时性等。建立合理全面的加密评判标准是混沌技术广泛应用于电子商务安全的必要条件。
（3）合理的结合混沌加密方案和传统加密方案。虽然随着技术的发展，传统加密方案中部分算法可能需要替换或者加强，但是从整体上看，传统加密方案在完备性、可操作性等方面还是具有很强的优势，且经过实践的检验。因此，不能一味的用混沌加密方案彻底替换传统的加密方案，而应将两者有效结合起来。将两种类型的方案有效的结合起来是混沌技术广泛应用电子商务安全的最为可行的策略。
3.发展趋势
从当前混沌密码学的研究成果来看，在电子商务安全中设计基于混沌的加密算法时主要有如下的趋势：
（1）加密算法由基于简单的混沌系统向复杂混沌系统发展。由于对混沌序列的研究不断深入，当前已有一些混沌序列的预测方法。它们能在一定程度上预测简单混沌系统的序列值，而对于复杂混沌系统则几乎不可能。当前，在设计电子商务安全中的加密算法时，大都趋向于使用复杂的混沌系统，或者将简单的混沌系统增强为多级的混沌系统或复合系统。
（2）使用时空混沌系统设计加密算法。在时空混沌系统中，某点的状态不仅与时间相关，而且还与它在系统中的位置,以及它与邻接点的耦合强度相关。时空混沌系统是一种非常复杂的混沌系统，它在计算机的有限精度范围内也很难出现退化为周期解的情况，因此这种类型的混沌系统正日益受到重视。
(3）使用混沌技术增强传统的加密算法。如使用混沌技术构造变化的S盒能在很到程度上增强传统加密算法的安全强度，同时又能保持传统加密算法已有的优点。这种处理方式正得到越来越多人的认可。
（4）根据电子商务安全的需求，设计自适应的混沌加密算法。在电子商务交易过程中，根据信息安全等级的要求决定信息加密的程度是一种非常好的方法。在混沌加密过程中，可以非常方便的实现这种自适应加密方法。常通过设置迭代次数的多与少来实现加密强度的变化。当迭代次数越多时，序列在相空间的离散度就越高，从中抽取的数值的随机性就越好，因此加密的强度就越高，加密的时间也越长。反之，迭代次数越少，加密强度越低，加密时间也就越短。
关键词：Rǒssler系统；分数微积分；动态仿真
1 引言
虽然分数阶微积分已有300多年的研究历史，但是它在实际工程方面的应用还只是近几年关注的焦点。近年来，在对整数阶混沌系统研究的基础上，人们将分数阶微分算子引入到非线性动力学系统中，才引起了越来越多人关注分数阶混沌系统的动力学行为[1]，并且发现了存在混沌吸引子的最低阶。同时，分数阶混沌系统的电路设计也逐渐引起了人们的兴趣和关注[2]。
本文基于分数阶微分算子及其复域表示方式，利用分数阶微积分理论，以分数阶Rǒssler混沌系统为研究对象，建立了该系统的动态仿真模型，仿真结果验证了该方法的有效性和可行性。
2 分数阶微分及其逼近
因此，分数阶微分算子α可以在频域中用传递函数1/sα表示。由于分数阶微分的标准定义不能直接在时域仿真中进行分数阶算子的运算，为了有效地分析分数阶动力学系统的混沌行为，需用标准整数阶算子来逼近分数阶算子，当然这种逼近是在允许的误差范围内，完全可满足工程的需要，文献[4]给出了一种近似方法。在后面的仿真研究中，我们将应用此逼近公式，当α=0.9时，1/sα的逼近公式近似表达式为：
（3）
3 分数阶Rǒssler混沌系统的动态仿真方法
我们选择simulink动态仿真分析，通过分析其变量的实时演化，进而分析系统的动力学行为特性。该方法可以通过观察模块直接观察输出结果，也可以将仿真数据输出来定量分析混沌特性，使动态仿真比其他方法更加灵活可靠。
4 分数阶Rǒssler混沌系统的仿真模型
在设计系统仿真模型之前，首先考虑到分数阶微分算子仿真模块的设计。虽然前面介绍过可以使用分数逼近公式（3）的传递函数，但是不能设定初值。本文利用传递函数转换为State-space（状态空间）模块来实现初值的设置。该模块是输入-输出变量的一种状态空间描述，其数学表达式为：
（4）
其中，x是状态向量， y是输出向量，u是输入向量。A、B、C、D是系数矩阵，可以通过函数命令tf2ss计算得到相应参数。
5 分数阶Rǒssler混沌系统动态仿真
5.1 分数阶Rǒssler混沌系统可以用下式描述：
（5）
其中， q为系统的微分阶数，0
由引理可知，系统在平衡点S1，2是混沌的。
5.2 仿真模型及其参数设计
根据分数阶Rǒssler混沌系统方程，在Simulink中设计仿真模型如图1所示。
通过函数命令tf2ss（num，den）求出State-space的系数矩阵A、B、C、D。
[A，B，C，D] = tf2ss（[1.766 38.27 4.914]，[1 36.15 7.789 0.01000]）。
经过计算可得A=[-36.1500 -7.7890 -0.0100；1.0000 0 0；0 1.0000 0]；B=[1；0；0]；C=[1.7660 38.2700 4.9140]；D=[0]。系统的初始设置为（0，0，0）；gain1设置为0.4，gain2设置为10，gain3设置为-1；常数项设置为0.2；仿真时间100s，其它参数为系统默认值，使用ODE45对系统进行仿真。
5.3 仿真结果
当a=0.4，b=0.2，c=10时，通过Graph模块可以观察到系统在x-y、y-z平面的相图，仿真结果分别如图2、图3所示；通过使用Scope模块，可以观察到系统x时域波形如图4所示；同样，也可以通过 workspace模块输出到Matlab的工作区中，然后通过图像输出命令得到三维混沌系统吸引子如图5所示；结果与理论分析相吻合，证实了分数阶Rǒssler系统此时产生了混沌行为，显示了分数阶Rǒssler混沌吸引子；
6 结束语
本文基于分数阶微分算子及其复域表示方式，利用分数阶微积分理论，以Rǒssler分数阶混沌系统为研究对象，实现了混沌系统的动态仿真，数值仿真结果证实了系统存在混沌吸引子，同时也与理论分析相吻合。此外，还可以将该方法推广应用到其它分数阶混沌系统、整数阶混沌系统以及超混沌系统的动态仿真中。
参考文献
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[2] 王发强，刘崇新.分数阶临界混沌系统及电路实验的研究[J].物理学报，2006，55（8）：3922-3927.
[3] A Chare，f HH Sun， Y Y Tsao. Fractal system as represented bysingularity fuction[ J]. IEEE Trans. Automatic Contro，l 1992，37： 1465.
[4] T T Hartly， C F Lorenzo， H K Qammer. Chaos in a fractional order Chua s system[J]. IEEE Trans. CAS-I： 1995， 42（8）： 485-489.
1、《混沌七鉴》作者是布里格斯、皮特。主要内容：人们自古以来就与混沌打交道，直至最近，科学才认识到它为宇宙中的根本力。混沌理论，最初用于理解产生暴风雨、洪水和飓风的运动，如今正被运用于从医学、战争到组织如何形成、变化的社会动力学和理论。
2、《混沌与分形，科学的新疆界》作者是佩特根、于尔根斯、绍柏。本书介绍了分形与混沌理论的基础知识、基本原理和特性，包括：分形与自相似、分形的维数与测度、分形与图像数据压缩编码、随机性与确定性、分形的递归结构、细胞元自动机与吸引子、分形构造中的随机性、确定性混沌：灵敏度、混合与周期点、有序与混沌、奇异吸引子、典型的分形集。
3、《混沌的本质》作者是E.N 络伦兹。全书共分五章，全面介绍了混沌理论的基本概念，发展历程和前景展望，既是一本很有分量的学术专著，又是一本科学散文集，哲理、文学与科学融为一体，读来引人入胜。
（来源：文章屋网 ）
关键词:分数阶;混沌;电路设计;电路仿真
中图分类号:TN401文献标识码:A
文章编号:1004-373X(2009)10-122-03
Study on New Fractional Chaotic System
ZUO Jianzheng,WANG Guangyi
(Department of Electronics Information,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou,310018,China)
Abstract:In order to enhance complexity of chaotic systems,this paper proposes a new fractional chaotic system and introduces two analytical methods of fractional calculus.Numerical simulation adopts a method to solve fractional calculus in time domain,Circuit simulation adopts the method of conversion between time domain and frequency domain.The simulation results show that the minimum order of the system is 2.31 when the system exhibits chaotic behaviors.Then a fractional chaotic oscillating circuit for implementing the system is designed and simulated.Circuit simulation results show a good qualitative agreement between the circuit and numerical simulations.The feasibility of the signal generator is confirmed.
Keywords:fractional;chaos;circuit design;circuit simulation
0 引 言
分数阶微积分是研究任意阶微积分的理论,是普通整数阶微积分向非整数阶(任意阶)的推
广。几十年来,国内外学者研究发现,在电介质极化、电磁波、有色噪声等存在分数阶动力行为,从而使分数阶微积分理论应用到物理和工程领域而成为一个热点研究课题。最近,更多的研究开始广泛涉及分数阶混沌和超混沌、分数阶混沌控制与同步等领域[1-8]。从某种意义上说,分数阶混沌系统更能反映系统呈现的工程物理现象,从而促进分数阶混沌的研究与发展。
与整数阶混沌系统相比,一个确定的分数阶混沌系统随着其阶数即分数值的不同而呈现不同的状态(同一个分数阶系统出现混沌的分数阶往往有一个范围,而不是一个特定的分数值),因而这种系统具有更大的密钥空间,更不易被复制,在混沌保密通信中将会具有潜在的应用价值。因此,提出一个新的分数阶混沌系统,并应用两种分数阶微积分理论分析方法,分别对其进行数值仿真和电路仿真。两种仿真结果相符,证实了分数阶混沌系统的存在。分析与结论证明,分数阶混沌信号比整数阶混沌信号更有优势,更适合于应用到混沌通信以及信息加密中。
1 基本分析
在分数阶微积分的研究过程中,对微分和积分概念应用研究较多的是GL(Grunwald Letnikov)定义和RL(Riemann Liouville)定义。GL定义为:
dqf(t)dtq=limh0 h-q∑[t-a/h]j=0(-1)jqj〗f(t-jh)(1)
式中:a,t是运算限值。根据文献[7],式(1)可变换为式(2)形式:
dqf(tm )dtqm= h - q∑mj=0ω(q)jxm-j (2)
式中:ω(q)j=(-1)jqj〗,j=0,1,2,…;qj〗=q(q-1)…(q-j+1)j!;h为步长。
RL定义为:
dqf(t)dtq=1Γ(n-q)dndtn∫t0f(τ)(t-τ)q-n+1dτ(3)
式中:n为整数,且q > 0,n-1 ≤ q < n;Γ是Gamma函数。式(3)是分数阶微分和分数阶积分的统一表示,它显示分数阶微积分具有记忆功能,因此分数阶微积分更适合于电路系统特性的描述。
若时域函数f(t)的初始值为零,则式(3)的拉普拉斯变换表达式为:
L\=sqL\(4)
由此可用目前工程中常用的时域与复频域转换法求解分数阶微积分方程。通过求解复频域的传输函数1/sq得到复频域的展开形式,再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解。文献[9]介绍了一种用波特图逼近法确定1/sq的展开式;文献[10]推导出q从0.1~0.9的1/sq展开;文献[6]通过这种方法设计了n=3,F(s)=1/sq时的单元电路如图1所示。
图1 单元电路
图1中Ra=62.84 ΜΩ,Rb=250 kΩ,Re=2.5 kΩ,Ca=1.232 μF,Cb=1.835 μF,Ce=1.1 μF。通过用单元电路代替整数阶电路中的电容,可构造出分数阶混沌振荡电路。
2 一个新的分数阶混沌系统
文献[11]提出一个三维二次混沌系统:
=n(y-x+yz)
=lx-xz+y
=xy-kz(5)
用分数阶形式描述如下:
dqx/dtq=n(y-x+yz)
dqy/dtq=lx-xz+y
dqz/dtq=xy-kz(6)
根据式(2)、式(5)可转化成如下形式:
xm=nhqym+nhqymzm-∑mj=1ω(q)jxm-j1+nhq
ym=lhqxm-hqxmzm-∑mj=1ω(q)jym-j1-hq
zm=hqxmym-∑mj=1ω(q)jzm-j1+khq(7)
式中:m=1,2,3,…。这样就可以只在时域里通过Matlab对此方程组进行数值仿真。仿真结果表明,当q=0.9-0.77,n=35,k=6,l=5,设步长h=0.01时,系统存在混沌吸引子,即系统存在混沌状态的最低阶数是2.31阶,q=0.9时,系统(6)或(7)的仿真吸引子如图2所示。
图2 q=0.9,n=35,k=6,l=5时混沌吸引子
3 电路设计与仿真
利用基本分析中时频域转换方法以及单元电路形式设计出一个模拟电路,实现了分数阶混沌系统(6),这对实际应用有重要的意义,其电路如图3所示。其中,运算放大器(LF347)用来进行电路的加减运算;模拟乘法器(AD633)用来实现系统中的非线性项。根据电路理论以及各个元件的特性,考虑到乘法器输出是两乘积相的1/10,可得电路方程为:
=R10yR9R2C-xR3C+R10yz10R9R1C
=R5xR4R6C-xz10R7C+R10yR9R8C
=R10xy10R9R11C-zR12C(8)
式中:C代表整个单元电路。为了能在示波器上正常显示混沌信号,进行坐标变换。设线性变换u = 10x,v = 10y,w = 10z,这将不影响系统的状态及特性,并把这种变化代入式(5),再令x = u,y = v,z = w,由此该混沌方程可变换为:
=n(y-x+10yz)
=lx-10xz+y
=10xy-kz(9)
比较式(8)与式(9)的同类项系数后得出:R1=0.1 kΩ,R2=R3=30 kΩ,R6=200 kΩ,R8=1 ΜΩ,R12=200 kΩ,R4=R5=R7=R9=R10=R11=10 kΩ。
利用EWB对图3所示的分数阶电路进行仿真,得到图4所示的分数阶混沌吸引子。图4与图2比较,可以看出电路仿真实验结果与数值仿真结果基本一致。
图3 分数阶混沌振荡电路
图4 EWB仿真得到的分数阶混沌吸引子
4 结 语
在此提出一个分数阶混沌系统,介绍了两种分数阶微积分分析方法,分别对提出的混沌系统进行数值与电路仿真。仿真结果表明,系统处于分数阶时确实存在混沌行为,而且存在混沌的最低阶数为2.31阶。由于分数阶微积分具有记忆功能,更适合电路系统特性描述和反映系统呈现的工程物理现象。与整数阶混沌系统相比,分数阶混沌系统具有更大的密钥空间,在各种基于混沌的信息加密和保密通信中将具有更好的潜在应用价值。EWB软件采用的是实际电路元件模型,本文的后续工作是物理实现该分数阶混沌系统。
参考文献
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[4]王发强,刘崇新.分数阶临界混沌系统及电路实验的研究[J].物理学报,2006,55(8):3 922-3 927.
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