结构和谐匀称,字母替换出现的不等式称为对称不等式。对称不等式的证法极为丰富,本文介绍一种该类不等式的拆分证法,即将2拆成1+1的形式,相关代换后再进行相应组合,运用基本不等式,便可得到该类不等式简明流畅、表象清晰的证法。如下以全国数学竞赛中的高难度的不等式证明问题为例说之。
作者:周华生; 夏国良 期刊:《河北理科教学研究》 2004年第02期
众所周知,△ABC三内角有如下两个常见的对称不等式:
作者:曾东升; 甘义宁 期刊:《数学通报》 2005年第05期
作者:蒋明斌 期刊:《河北理科教学研究》 2006年第04期
本文给出几道不等式竞赛题的一种证法,这些不等式为涉及和的对称不等式,形如“已知n∑i=1g(xi)=A,求证n∑i=1f(xi)≥Bi=1(或≤B)”,具体证明步骤如下:
文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称容易得到不等式:
作者:王阳 季晓蕾 期刊:《沈阳化工大学学报》 2012年第03期
不等式是研究分析数学的重要工具,很多常见不等式又是与函数的凸性分不开的,根据Jensen不等式,运用简捷的初等方法和恒等变形的技巧,导出一些重要不等式.以Jensen不等式为基础不等式,并以此证明3个命题,这3个命题都具有广泛的应用价值.通过对凸函数的描述、凸函数与不等式的关系、应用琴生(Jensen)不等式,将一个二元对称不等式问题转化成与之等价的线性约束条件下的幂指型二元对称不等式问题,并予以解答和推广.
文[1]用拆2化1证法统一证明了《数学教学》问题解答中出现的几个问题.笔者发现,此类问题若利用不等式等号成立的条件,配凑后使用均值不等式,则会更简单.本文以文[1]中的例1、3、4、5、6、7为例,对这一类对称不等式进行证明(例2使用数学归纳法会更简单).
数学通讯2008年三月号问题1724: 已知a,b,c为满足a+b+c=1的正实数,求证1/a+bc+1/b+ac+1/c+ab≥27/4(1).
对于满足条件∑ni=1xi=A(≥A,≤A),证明形如∑ni=1f(xi)≥M(≤M)(A,M为常数)的一类对称不等式,众多文章提出了“构造切线法”的证明:构造函数y=f(x)在均值x=A/n处的切线y=g(x),
作者:赵克 赵临龙 期刊:《中学数学研究》 2013年第07期
《数学通讯》2008年3月号问题1724:已知a,b,c是满足条件a+b+c=1的整数.
作者:黄其华 期刊:《中小学数学·高中版》 2013年第11期
本文主要探讨在条件a,b,c〉0且abc=1或可障化为此条件下的三元齐次对称不等式的一个证明方法,笔者称之为“x—y法”,
作者:马占山 潘长江 期刊:《中学数学研究》 2014年第05期
《数学通讯》2008年3月号问题1724: 已知a,b,c为满足n+b+c=1的正实数,求证:
作者:张艳宗 刘春苗 期刊:《中学教研》 2015年第03期
对于条件是^n∑i=1x^ki=A(其中k∈N^*),证明形如^n∑i=1f(xi)≥M(或≤M)(其中A,肘均为常数)的对称型不等式,文献[1]利用以曲代曲的思想加以证明,起到了较好的效果.笔者进一步思考,对一般的非线性约束条件^n∑i=1F(xi)=A或n∏i=1xi=A,