在文[1]归纳、提出了竞赛试题中常出现的一类求通项问题:一般地,在数列{an}中,若首项为正实数a1,递推关系式为an+1=x+yan+/san+t(其中x,y,s,t>0),求数列{a_n}的通项公式.文中用构造的办法给了求解这类问题的通法,由于技巧性强,教学中发现此法不便于学生掌握,并且求得的通项公式非常复杂,为了学生掌握此类问题简洁做法,笔者也进行探究,找到了更自然的求法,并简化了结果,现整理成文,与大家共享.
作者:刘晔晔; 孙维波 期刊:《数学之友》 2015年第16期
数学问题的基本形式为pq,其中p是条件,q是结论,解决问题的一般思路是由条件向结论逐步转化,而转化有等价转化和非等价转化.等价转化的前因后果是充分必要的关系.由于等价转化要求比较高,在某些情况下实施并不一定很顺利.非等价转化一般可以从条件和结论两个方面考虑,一是退一步:弱化条件,寻求题设的必要不充分条件;二是进一步:强化结论,推导结论的充分不必要条件.
<正>一元二次方程的根的判别式的应用是一元二次方程的重点,也是中考试题的一个热点.这里通过相关例题向同学们介绍根的判别式的应用.
文[1]介绍了第33届中国数学奥林匹克第三题的解法.问题设正整数q不是完全立方数.证明:存在正实数c,使得{nq^1/3}+{nq^2/3}≥cn^-1/2对于任意正整数n均成立,其中,{x}表示实数x的小数部分.
问题呈现已知a、b、c为正实数,且ab+bc+ca=1,试证明:2/a2+1+2/b2+1+3/c2+1≤163.引理(嵌入不等式)若x、y、z∈R,A+B+C=π,则x^2+y^2+z^2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC.当且仅当x:y:z=sinA:sinB:sinC时等号成立.
2017年11月在杭州举行的第33届中国数学奥林匹克第三题是由北京大学安金鹏提供的.问题设正整数q不为完全立方数.证明:存在正实数c,使得{nq^1/3}{nq^2/3}≥cn^-1/2①对于任意正整数n均成立,其中,{x}表示实数x的小数部分.
<正>初一年级1.对于整数a、b、c、d,定义等号|ab/dc|=ac-bd,若1<|1b/d4|<3,试求b+d 的值. (山东梁山县梁山镇二中(272600) 王可民) 2.对有理数x、y,定义运算“(?)”;x(?)y =ax+by+c(a、b、c为常数,等式右边是通常的加法与乘法运算),已知3(?)5=15,4(?)7 =28.求1(?)1值.
问题呈现已知a,b,c为正实数,且ab+bc+ca=1,试证明: 2/a^2+1 + 2/ b^2+1 + 3/ c^2+1 ≤ 16/ 3 .引理(嵌入不等式)若x,y,z∈R,A+B+C=π,则x 2+y 2+z 2 2yz cos A+2zx cos B+2xy cos C.当且仅当x:y:z= sin A: sin B: sin C时等号成立.问题证明:由a,b,c为正实数,且ab+bc+ca=1,可令a= tan A /2 ,b= tan B /2 ,c= tan C /2 ,其中A+B+C=π,则 2 a^2+1 =2 cos^2 A/ 2 , 2 b^2+1 =2 cos^2 B /2 , 3 c^2+1 =3 cos^2 C/2 .
作者:沈兵; 陈罗英 期刊:《中学数学研究》 2018年第12期
例1设x,y,z是正实数,且xyz=1,求P= x 4+y 4 x 3+y 3 + y 4+z 4 y 3+z 3 + z 4+x 4 z 3+x 3 的最小值.这是2018年第1期《数学通讯》(上半月)问题征解的第331题,试题小巧轻灵,结构均匀优美,看到问题中分式结构中的高次幂,首先想到的是降幂处理.
越南《数学与青年》杂志2018年4月刊登了一道如下的不等式试题:问题1已知正实数a,b,c满足abc=1,求证: 1 a 5+b 5+c 2 + 1 b 5+c 5+a 2 + 1 c 5+a 5+b 2 ≤1.笔者将其加强为:问题2设a,b,c为正实数,且abc=1,求证: 1 a 2+b 5+c 5 + 1 b 2+c 5+a 5 + 1 c 2+a 5+b 5 ≤ 3 a 2+b 2+c 2 .
《数学通报》2015年第4期《数学问题解答》第2235号问题是:设a,b,c是正实数,且abc=1,证明:a2+b2/1+a+b2+c2/1+b+c2+a2/1+c≥3.
欢迎初中学生对本期数学问题提出解答.解答者注意:1.来稿要用原稿纸抄正,写明所在学校和所读年级;2.来稿寄至:海口市海南师范学院数学系蔡亲鹏老师收(邮编:571158);3.本期截稿日期2005年11月20日.对于优秀解答者,本刊将公布名单并发给证书.
多元式的最值问题是高考中的热点问题,也是难点问题.江苏高考中多以填空题形式出现,而且往往出现在填空题的后几道,很多学生遇到这类题目时束手无策.笔者在本文中通过一些特殊的范例,发现规律,找到一类问题的简便方法,让学生花少量的时间得到正确的答案.
2017年5月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 2361若x,y,z是正实数,求证:
2005年格鲁吉亚国家集训队试题中有一道不等式题:设a、b、c是正实数,且abc=1.求证:a3+b3+c3≥ab+bc+ca.……………①
"懂而不会"是指学生在课堂上能听懂教师所讲或能看懂课本内容,但课下自己一做就错或根本不会的一种无效的教学现象[1].学生的数学思维水平不高、思维品质差,如思维发散性和深刻性不够、思维灵活性不足、无批判性思维等是造成"懂而不会"现象的重要原因.对不同题型加强训练,则利于提高学生的思维水平,优化学生的思维品质,从而顺利解出题目,消除"懂而不会"现象.
作者:朱月祥; 成效雨 期刊:《中学数学教学参考》 2015年第11X期
2007年春考有这样一道题(20题):通常用a、b、c分别表示AABC三个内角A、B、C所对边长,R表示AABC的外接圆半径,给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问a、b、R满足怎样关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的AABC不存在,存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在AABC存在情况下,用a、b、R表示C.