文[1]将欧拉不等式加强为:定理1在三角形ABC中,外接圆半径R,内切圆半径r,则(∑表示循环和)R/2r≥√3/8∑cotA/2-1/8.文[2]将定理1改进为:定理2在三角形ABC中,外接圆半径R,内切圆半径r,则R/2r≥1+1/4(∑cotA/2-3√3).
作者:师轶 期刊:《中小学课堂教学研究》 2017年第04期
类比是合情推理的一种思维形式,是一种重要的数学思想。类比能力是数学学科核心素养的要素之一。培养学生的类比能力是国家数学课程标准的必然要求。数学中许多概念、定理、公式、法则都是运用类比思想提出的。在高中数学知识体系中,类比思想无处不在。教学中,教师要用好课本已有的类比资源,积极开发类比推理能力的课程资源,引导学生平时注重类比方法的归纳、总结,通过有意识地培养,让学生从学会类比、善用类比再到用好类比。
就欧拉不等式R≥2r问题,运用几何知识和三角公式对其在三维空间上的推广,给出了一种证明方法.
1765年,大数学家欧拉建立了-个重要的几何不等式,现被称为欧拉不等式,即三角形外接圆半径至少是其内切圆半径的两倍.近年来,许多学者在探究欧拉不等式的加强,如2015年文[1]中研究著名的外森比克不等式的加强时提出了几个关于欧拉不等式加强的问题,其中包括如下优美不等式(1);2016年文[2]中首次给出了不等式(1)的证明.
作者:贺基军; 李永利; 杨续亮; 许康华; 王建荣 期刊:《数学通报》 2019年第03期
2019年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)2466若△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R,r,则有欧拉不等式一个三角函数形式的加强链:R/2r≥4-2∑cosA≥4 —2∑sinA/2≥1.
作者:杨永刚 期刊:《四川职业技术学院学报》 2017年第04期
对文[1,2]中欧拉不等式的加强或加强链作了进一步的优化,得到两个三角形式的加强链.
设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内接圆半径分别为R,r,则有不等式R≥2r,此即为著名的欧拉不等式.文[1]提出欧拉不等式的如下加强猜想.
设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有欧拉不等式R≥2r.美国数学月刊曾刊出关于不等式R≥2r加强的一个有趣问题(编号11240):
设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有不等式R≥2r.上述不等式是数学家欧拉于1765年建立,该不等式具有简单而不平凡的特点,关于它的各种加强、隔离和推广的研究从未间断过.
[1]、E2]给出欧拉不等式的两种证法,但不容易.应用三角形的边变换及均值不等式可以更简捷的证得R≥2r.
作者:何灯; 田芳松 期刊:《福建中学数学》 2016年第06期
设AABC的三边分别为a,b,C,外接圆和内接圆半径分别为R,r,则有不等式R≥2r.上述不等式是数学家欧拉于1765年建立.由于该不等式具有简单而不平凡的特点,所以至今仍然在几何不等式领域里保持着高水平的地位,关于它的各种加强和推广的研究一直没有间断过.文[1]提出欧拉不等式的如下加强猜想:
三角形的外接圆半径不小于其内切圆直径,即R≥2r,这就是简约而有用的欧拉不等式.如果存在满足不等式R≥K≥2r的几何量K,则称K为欧拉不等式的一个隔离.欧拉不等式因其在初等几何中的重要地位而备受关注,其各式各样的隔离也是异彩纷呈.但是,也有一些隔离或稍嫌复杂,或略显造作.刘绍学先生在其主编的数学教科书中曾说:数学是有用的,数学是自然的.斯言诚哉.
文[1]、[2]给出的欧拉不等式“证法不容易”,文[3]利用三角形的边变换及均值不等式给出了“更简捷证法”.本文运用中学基础知识给出的简证可以揭示欧拉不等式的本质.
文[1]给出欧拉不等式与边长间的一个不等式链,笔者得到欧拉不等式的一个三角形式的加强链,与不等式爱好者共赏.
设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有R≥2r,当且仅当△ABC为等边三角形时等号成立.此即欧拉不等式.多年来,我国数学教育界对此不等式进行了广泛和深入的研究,给出了该不等式的多种加强和推广的结论.笔者最近用几何画板进行了一些探究,发现了它的最简隔离!
作者:叶慧萍 杨学才 期刊:《数学教学研究》 2013年第04期
在文[1]中,对著名的欧拉不等式2r≤R,给出了4个不等式链,每个不等式链各自给出了欧拉不等式的六层隔离,本文进一些步给出欧拉不等式的无限层隔离.
“R≥2r”即“三角形的外接圆半径不小于其内切圆直径”,这就是著名的欧拉(Euler)不等式.
在△ABC中,R和r分别是△ABC的外接圆半径和内切圆半径,则R≥2r,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立,这就是著名的欧拉不等式.如果我们能够找到一个表达式Q使得2r≤Q≤R,那么就称这个表达式Q为欧拉不等式的隔离式,贵刊文[1]、文[2]和文[3]中所给出的隔离式比较复杂,而且有些隔离式也缺乏几何意义,经过研究笔者发现了一个极其简单并且具有明显几何意义的隔离式。