作者:张慧丰; 张国清 期刊:《数理天地》 2011年第03期
解 由题设知D关于CJ的对称点Q在AC上(其中I为AD与BE的交点).
1.用Z表示全体整数构成的集合.求所有的函数f:Z→Z,满足对任意的整数a、b,均有f(2a)+2f(6)=f(f(a+b)).(南非供题)2.在△ABC中,点A1、B1分别在边BC、AC上,点P、Q分别在线段AA1、BB1上,且满足PQ//AB.在直线PB1上取点P1,使得点B1严格位于点P与P1之间,并且∠PP1C=∠BAC.
作者:吴立宝; 熊昌雄 期刊:《数学通报》 2004年第12期
不等式的证明存在着寻找入口难,条件运用难,确定变形方向难等问题,本文从一道IMO试题证明入手,从多方向考虑,探求其一般的思路,使学生能举一反三.
1问题背景 问题1 设J为△ABC顶点A所对旁切圆的圆心.该旁切圆与边BC相切于点M,与直线AB和AC分别相切于点K和L.直线LM和BJ相交于点F,直线KM与CJ相交于点G.设S是直线AF和BC的交点,T是直线AG和BC的交点.证明:M是线段ST的中点.(2012年第53届IMO试题)
从不同角度研究第36届国际数学奥林匹克竞赛第二题,得出多种不同的解法,旨在说明研究解题和阐述思考过程.
在任一△ABC的边上,向外作△BPC,△CQA和△ARB,使得∠PBC=∠CAQ=45°,∠BCP=∠QCA=30°,∠ABR=∠BAR=15°.证明:(1)∠QRP=90°;(2)QR=RP.
第48届IMO的第四题是由捷克提供的一道平面几何题.此题浅显简明,内涵丰富,颇具思考性.笔者经探究,得到了异于原参考解答的几种较为简单、明快、有趣的别证,现介绍如下,供参考.
2009年第50届IMO的第6题是一个组合问题: 设α,α2,…,an是互不相同的正整数.M是有n-1个元素的正整数集,且不含数s=a1+α2+…+an.
2001年第42届IMO的第3题(德国命题)为: 21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛. (1)每一个参赛者至多解出6道题; (2)对于每一个女孩和每一个男孩,至少有一道题被这一对孩子都解出.证明:有一道题,至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出.
2007年7月第48届国际数学奥林匹克(IMO)第4题为: 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q.设K,L分别是边BC,AC的中点,证明:△RPK和△RQL的面积相等.
第49届IMO试题的第6题为:在凸四边形ABCD中,BA≠BC.圆ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆.假设存在一个圆ω与射线BA相切(切点不在线段BA上),与射线BC相切(切点不在线段BC上),且与直线AD和CD都相切.证明:圆ω1,ω2的两条外公切线的交点在圆ω上.
2007年第48届IMO试题的第4题为:在△ABC中,△BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点尺,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K,L分别是边BC,AC的中点.求证:△RPK和△RQL的面积相等.
题目在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q.设K、L分别是BC、AC的中点.证明:△RPK和△RQL的面积相等。
(第48届IMO试题)△ABC中,〈BCA的平分线交外接圆于另一点R,交BC的中垂线于点P,交AC的中垂线于点Q,设BC的中点为K,AC的中点为L,求证:△RPK与△RQL的面积相等.
命题 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R.与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K、L分别是BC、AC的中点,证明:△RPK和△RQL的面积相等.(图1)
题目 (IMO-31预选题)设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数,求证:a^3/b+c+d+b^3/c+d+a+c^3/d+a+b+d^3/a+b+c≥1/3.
在2007年举行的第48届IMO试题中,有这样一道构思巧妙、引发笔者深入研究的平面几何问题: 问题设A,B,C,D,E五点中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BCED是圆内接四边形.设l是通过点A的一条直线,l与线段DC交于点F(F是线段DC的内点),且l与直线BC交于点G.若EF=EG=EC,求证:l是〈DAB的平分线.
作者:周峻民 郑慧娟 期刊:《中学教研》 2011年第12期
题目证明:(2m)!(2n)!/m!n!(m+n)!是整数。
一、试题呈现 设P是△ABC内的一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Г的另一个交点分别为K、L、M,圆Г在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP,证明:MK—ML.(第51届IMO)
作者:高继扬 浦鸿铭 期刊:《中等数学》 2014年第12期
题目 在凸四边形ABCD中,已知∠ABC=∠CDA=90°,H是点A向BD引垂线的垂足,点S、T分别在边AB、AD上,使得H在△SCT的内部,且么CHS-∠CSB=90°,∠THC-∠DTC=90°.